简支梁横向振动的求解
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状态变量：x y 已知的两端边界条件 引入无量纲变量 无量纲状态变量 无量纲边界条件
R 0
M
Fs
R 0
T
y M
y M
R 3
R 3
y Ml Fs l 2 ml 3 2 y ,M , Fs , l EI EI EI
xy
M
L 3
Fs
i l i , 1, 2...
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求解简支梁固有频率
EI i , i 1, 2...... 固有频率： i l S 其中为单位体积梁的质量，S为横截面面积
2
第一阶频率 1 l
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
li 2 2 Ei I i li Ei I i 1 0 li 3 6 Ei I i li 2 2 Ei I i li 1
0 1 0 0
场传递矩阵
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1 1/ 2 1/ 6 1 1 1/ 2 0 1 1 0 0 1
P 2 F 2 P 1 F 1
两支座之间的状态关系 那么两支间传递矩阵为
X 3L S S S S S X 0R
S S S S S S
F 3
P 2
F 2
P 1
F 1
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2
2
EI EI 2 = S Sl 4
EI EI 2 4 Sl ml 3
EI 9.8696 ml 3
与上课pdf上 不一致
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传递矩阵法求固有频率
11 S 22 31 41 R 14 y 24 34 M 44 Fs 0
12 22 32 42
13 23 33 43
12 14 0 则必须满足 32 34
化解上式得
5 2 96可解出 0 108
可得固有频率
ml 3 2 又因为 EI
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为何分段越多越精确呢？
首先推广至n段的传递矩阵，当分为n段时，就有n-1 个集中质量在梁上，此时的传递矩阵应该是
传递矩阵法求固有频率
则点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域？
xy 将
M
Fs 代入到点与场矩阵中
T
有
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 0 0 1 0 0 0 1
1 0 SiF 0 0
F 3
0 0, '' 0 0 固定铰：挠度和截面弯矩为零 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 l 0, '' l 0
C2 sin l C4 sinh l 0 C2 sin l C4 sinh l 0
C4 0
频率方程： l 0 sin
T
y M 0R 0, y M 3L 0
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R 0
传递矩阵法求固有频率
点传递矩阵
1 0 S ip 0 2 mi
1 F Si 0 0 0
S S S
F n
P n 1
... S S ... S S S S
P i
F i
P 2
F 2
P 1
F 1
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 因为 0 0 1 0 0 0 1
S中就有n-1个相乘，所得的方 程是n-1次方的，其所求得的解 就越精确了。 相当于用多远函数去拟合
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用传递矩阵法求解固有频率
为了方便计算，我们假设简支梁分为两个集中质量平分为3段如下图
其中梁的抗弯刚度为EI 对支座、质量、梁段编号 如下图：
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传递矩阵法求固有频率
12 0 14 Fs 0 0 32 0 34 Fs 0 0
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传递矩阵法求固有频率
要使方程
12 0 14 Fs 0 0 有非零解 32 0 34 Fs 0 0
14 24 34 44
列出矩阵方程
11 y 21 31 M 41 F s 3
F
12 22 32 42
13 23 33 43
根据两端支座边界条件，得：
机械动力学中求解简支梁横向振动方法的探讨
All Right Reserved
简支梁的集中质量模型：
选择集中质量的位移
为广义坐标
All Right Reserved
Biblioteka Baidu
1.传递矩阵法
传递矩阵法是适用于计算链状结构的固有频率和 主振型。 特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质 量的横向振动 传递矩阵法是线性振动的一种近似计算方法
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： Fs M m x, t
x
材料力学的等截面假设，弯矩 与挠度的关系：
M x, t EI
2 y x, t x 2
等截面梁的动力学方程：
通解:
All Right Reserved
求解简支梁固有频率
代入通解中得 C1 C2 0 以及
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2.连续系统弹性振动求固有频率
把梁的弯曲振动看做连续系统的弹性振动，弹性振动是 无穷自由度的问题，其解更具有精确性普遍性与精确性。
动力学方程的建立
建立力平衡方程
即：
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R 0
M
Fs
R 0
T
y M
y M
R 3
R 3
y Ml Fs l 2 ml 3 2 y ,M , Fs , l EI EI EI
xy
M
L 3
Fs
i l i , 1, 2...
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求解简支梁固有频率
EI i , i 1, 2...... 固有频率： i l S 其中为单位体积梁的质量，S为横截面面积
2
第一阶频率 1 l
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
li 2 2 Ei I i li Ei I i 1 0 li 3 6 Ei I i li 2 2 Ei I i li 1
0 1 0 0
场传递矩阵
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1 1/ 2 1/ 6 1 1 1/ 2 0 1 1 0 0 1
P 2 F 2 P 1 F 1
两支座之间的状态关系 那么两支间传递矩阵为
X 3L S S S S S X 0R
S S S S S S
F 3
P 2
F 2
P 1
F 1
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2
2
EI EI 2 = S Sl 4
EI EI 2 4 Sl ml 3
EI 9.8696 ml 3
与上课pdf上 不一致
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传递矩阵法求固有频率
11 S 22 31 41 R 14 y 24 34 M 44 Fs 0
12 22 32 42
13 23 33 43
12 14 0 则必须满足 32 34
化解上式得
5 2 96可解出 0 108
可得固有频率
ml 3 2 又因为 EI
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为何分段越多越精确呢？
首先推广至n段的传递矩阵，当分为n段时，就有n-1 个集中质量在梁上，此时的传递矩阵应该是
传递矩阵法求固有频率
则点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域？
xy 将
M
Fs 代入到点与场矩阵中
T
有
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 0 0 1 0 0 0 1
1 0 SiF 0 0
F 3
0 0, '' 0 0 固定铰：挠度和截面弯矩为零 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 l 0, '' l 0
C2 sin l C4 sinh l 0 C2 sin l C4 sinh l 0
C4 0
频率方程： l 0 sin
T
y M 0R 0, y M 3L 0
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R 0
传递矩阵法求固有频率
点传递矩阵
1 0 S ip 0 2 mi
1 F Si 0 0 0
S S S
F n
P n 1
... S S ... S S S S
P i
F i
P 2
F 2
P 1
F 1
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 因为 0 0 1 0 0 0 1
S中就有n-1个相乘，所得的方 程是n-1次方的，其所求得的解 就越精确了。 相当于用多远函数去拟合
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用传递矩阵法求解固有频率
为了方便计算，我们假设简支梁分为两个集中质量平分为3段如下图
其中梁的抗弯刚度为EI 对支座、质量、梁段编号 如下图：
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传递矩阵法求固有频率
12 0 14 Fs 0 0 32 0 34 Fs 0 0
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传递矩阵法求固有频率
要使方程
12 0 14 Fs 0 0 有非零解 32 0 34 Fs 0 0
14 24 34 44
列出矩阵方程
11 y 21 31 M 41 F s 3
F
12 22 32 42
13 23 33 43
根据两端支座边界条件，得：
机械动力学中求解简支梁横向振动方法的探讨
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简支梁的集中质量模型：
选择集中质量的位移
为广义坐标
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1.传递矩阵法
传递矩阵法是适用于计算链状结构的固有频率和 主振型。 特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质 量的横向振动 传递矩阵法是线性振动的一种近似计算方法
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： Fs M m x, t
x
材料力学的等截面假设，弯矩 与挠度的关系：
M x, t EI
2 y x, t x 2
等截面梁的动力学方程：
通解:
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求解简支梁固有频率
代入通解中得 C1 C2 0 以及
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2.连续系统弹性振动求固有频率
把梁的弯曲振动看做连续系统的弹性振动，弹性振动是 无穷自由度的问题，其解更具有精确性普遍性与精确性。
动力学方程的建立
建立力平衡方程
即：
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