简支梁横向振动的求解
轴向运动简支-固支梁的横向振动和稳定性
轴向运动简支—固支梁的横向振动和稳定性!TRANSVERSE VIBRATION AND STABI ITY OF AN A IA Y MOVING BEAM WITH PINNED AND FI ED ENDS李晓军!!陈立群（上海应用数学和力学研究所，上海大学力学系，上海200072）Ll Xiaojun CHEN Lioun（Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Department of Mechanics，Shanghai Uniuersity，Shanghai200072，China）摘要研究一端简支一端固支轴向运动梁的横向振动和稳定性。
提出在给定边界条件下确定一匀速运动梁固有频率和模态函数的方法。
当轴向运动速度在其常平均值附近作简谐波动时，应用多尺度法给出轴向变速运动梁参数共振时的不稳定条件。
用数值仿真说明相关参数对固有频率和不稳定边界的影响。
关键词轴向运动梁横向振动固有频率模态函数多尺度法稳定性中图分类号O326O343.9Abstract Vibration and stabiIity are investigated for an axiaIIy moving beam constrained by a pinned end and a fixed end.A scheme is proposed to derive naturaI freguencies and modaI functions of a beam under the given boundary conditions and moving axiaIIy at a constant speed.When the axiaI speed varies harmonicaIIy about a constant mean one，the method of muItipIe scaIes is appIied to the axiaIIy moving beam to determine the instabiIity boundary due to parametric resonance.NumericaI simuIations show the effects of reIated parameters on the naturaI freguencies and the instabiIity boundaries.Key words Axially moving beam；Transverse vibration；Natural freguency；Modal function；The method of multiple scales；StabilityCorresponding author：CHEN Lioun，E-mail：lgchen@，Tel：+86-21-66134972，Fax：+86-21-56553692 The project supported by the NationaI NaturaI Science Foundation of China（No.10472060），and the NaturaI Science Foundation of Shanghai City（No.04ZR14058）and Shanghai Leading DiscipIine Project（No.Y0103），China.Manuscript received20050113，in revised form20050308.1引言多种工程系统如传送带和带锯可以模型化为轴向运动梁，对于轴向运动梁横向振动的研究将有助于改进该类设备的设计与应用。
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。
2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。
3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。
4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。
5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。
6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。
7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。
8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。
9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。
10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。
通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。
简支梁横向振动的求解
用传递矩阵法求解固有频率
为了方便计算，我们假设简支梁分为两个集中质量平分为3段如下图
其中梁的抗弯刚度为EI 对支座、质量、梁段编号 如下图：
国家精A品ll课程Ri网g上h资t 源R的e可se用r性ve研d究/***
传递矩阵法求固有频率
状态变量：x y M Fs T
已知的两端边界条件
y0R
M
R 0
y3R
M
R 3
引入无量纲变量
y
y l
,M
Ml EI
, Fs
Fsl 2 EI
,
ml3 2
EI
无量纲状态变量
x
y
M
Fs
T
无量纲边界条件
y0R
M
R 0
0,
y3L
M
材料力学的等截面假设，弯矩 与挠度的关系：
M
x,
t
EI
2
y x,t
x2
等截面梁的动力学方程：
通解:
All Right Reserved
求解简支梁固有频率
固定铰：挠度和截面弯矩为零 0 0,'' 0 0 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 l 0,'' l 0
2.连续系统弹性振动求固有频率
把梁的弯曲振动看做连续系统的弹性振动，弹性振动是 无穷自由度的问题，其解更具有精确性普遍性与精确性。
简支梁的变形与振动分析
简支梁的变形与振动分析简支梁是一种常见的结构形式，广泛应用于桥梁、楼板等工程中。
在实际工程项目中，我们需要对简支梁的变形和振动进行分析，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将从数学模型到应用实例，全面深入地探讨简支梁的变形与振动分析。
一、简支梁的基本理论简支梁是在两端支座的约束下，承受集中力或均布力作用下的一种结构形式。
为了研究其变形和振动特性，我们需要建立数学模型。
1. 简支梁的受力分析在进行简支梁的变形和振动分析前，首先需要了解其受力情况。
在两端支座的约束下，简支梁主要受到弯矩和剪力的作用。
通过弯矩和剪力的分析，可以得出简支梁的受力公式，进而计算结构在承受力作用下的变形。
2. 简支梁的变形分析简支梁在受力作用下会发生一定的变形。
根据梁的假设和力学原理，可以建立简支梁的弹性变形方程。
通过求解弹性变形方程，可以得到简支梁在各个位置的变形情况。
3. 简支梁的振动分析在实际工程中，简支梁还可能受到外力的激励，导致振动现象的发生。
为了分析简支梁的振动特性，我们可以建立简支梁的振动微分方程，并求解得到简支梁的振动模态。
二、简支梁的应用实例1. 桥梁工程简支梁在桥梁工程中得到广泛应用。
为了确保桥梁在运行过程中的安全性和稳定性，需要进行简支梁的变形与振动分析。
通过分析得到的变形和振动数据，可以对桥梁的结构参数进行优化，提高桥梁的工作性能。
2. 建筑结构在楼板、屋顶等建筑结构中，简支梁也扮演着重要的角色。
在设计建筑结构时，需要对简支梁进行变形与振动分析，以确保结构的稳定性和安全性。
通过合理调整支座位置或增加梁的截面尺寸，可以改善简支梁的变形和振动特性。
三、总结简支梁的变形与振动分析对于工程项目的设计和施工至关重要。
通过建立数学模型，进行受力分析和变形分析，可以预测结构在实际工况下的变形情况。
同时，通过振动分析，可以了解简支梁的振动特性，为结构的稳定性提供参考。
在实际工程中，我们还可以利用现代软件进行简支梁的有限元分析，获得更加准确的变形和振动数据。
梁横向振动的近似解法
梁横向振动的近似解法弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。
从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近似解容易。
精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。
一方程的建立假设：梁的各截面中心主惯性轴在同一平面，外载也在同一平面，梁在该平面内的横向振动引起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。
∂2∂x 2 EJ ∂2y ∂x 2 +ρA ∂2y ∂t 2=p x,t −∂∂xm x,t (1) p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。
假设：y(x,t)=Y(x)bsin(ωt +ϕ)代入(1)式的齐次形式，有：(EJY ′′)′′−ω2ρAY =0 (2)上式改写成：(EJY ′′i )′′=ω2ρAY i上式两边同时乘以Y i 并在全梁上积分，i ，j 互换得到两个式子并相减等于0可以得到主振型的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率p378。
固有频率的变分式命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值ω2及相应的特征函数Y(x) 等价于下列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件P389。
ω2=st EJ(Y ′′)2dx l 0ρAY 2dx l 0 (3)证明：1，(3)式各驻值及相应的函数Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。
驻值时，一阶变分等于0，δ(ω2)=0展开后，得到三个item 相加得0：EJY ′′ ′′−ω2ρAY δYdx − EJY ′′ ′l0δY ︱0l +EJY ′′δY ‘︱0l=0 (∗) 由δY 的任意性，第一个item 等于0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到Y(x)的边界条件。
2，(3)式加(2)式后反过来可以得到δ(ω2)=0。
从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。
另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。
简支梁桥计算2(横向分布系数)
二、荷载横向分布计算
1.荷载横向分布系数的概念 2.荷载横向分布系数的计算方法 3.荷载横向分布计算系的其它方法简介 4.荷载在顺桥跨不同位臵时主梁荷载横向分布系数的取值
1.荷载横向分布系数的概念
对多主梁桥，荷载横向分布指作用在桥上的车辆荷载 如何在各主梁之间进行分配，或者说各主梁如何分担车辆 荷。 公路桥梁通常桥面较宽，主梁片数较多并与桥面板和横 隔梁连接在一起。当桥上车队处于横向不同位臵时，各主 梁参与工作的程度不同，由于结构受力和变形的空间性， 求解这种结构的内力问题成为空间计算理论问题。
（4）铰接板、梁法 对用现浇混凝土纵向企口缝连结的装配式板桥，以及 仅在翼板间用焊接钢板或伸出交叉钢筋连结的无中间横隔 梁的装配式桥，由于块件之间有一定的横向连接构造，但 连结刚性又很薄弱，可采用铰接板(梁)法来讨算横向分布 系数 其基本假定是： ①结合缝(铰接缝)仅传递竖向剪力; ②桥上的荷载近似地作为一个沿桥跨分布的正弦荷载,并 且作用于主梁轴线上。 由此假定,根据力的平衡条件和变形协调条件，可以 导出荷载在横向的分布值，算出横向分布影响线坐标，从 而求出横向分布系数。
根据力矩平衡条件，有：
R ''i ai 1 e
i 1
n
再根据反力与挠度成正比的关系，有 即
R '' i i I i '' i
R ''i I i ai tan ai I i ( tan )
再根据力矩平衡条件有： R i ai ai 2 I i 1 e
I.中心荷载P＝l的作用 II. 偏心力矩的作用 III. 偏心力矩为e 的单位荷载P=1对各主梁的总作用
I.中心荷载P＝l的作用
梁的横向强迫振动
（6.158）
y( x, t ) w( x) sin t
1 w ( x) w( x) p ( x) EJ
IV 4
（6.159）
4 2 其中 a ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解
可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得 1
（6.160）
0 j i 0 i j
l
l
（6.130）
将式（6.130）代入（6.129），得
l 2 l 0 i j i 0
EJY "Y " dx AY Y dx
i j
（6.131）
式（6.128）乘以 l
0
EJY "Y " dx AY Y dx
2 j i j 0 j i
Yi ( x) 并沿梁长对x积分，同样可得到
P(t )Y j (1 ) M (t )Y j ' ( 2 )
上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 筛选性质（见（ 1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 t t
( x)
导数的
1 y( x, t ) Y j ( x)Y j (1 ) P( ) sin j (t )d Y j ' ( 2 ) M ( ) sin j (t )d 0 0 j 1 j
2
（6.126）
式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有
l 2 0 j i i
(EJYi ")" i AYi 2 (EJYj ")" j AYj
l 0 i j
（6.127）
简支梁荷载横向分布作用模型实验流程
简支梁桥荷载横向分布模型实验流程实验名称：简支梁桥荷载梁横向分布模型实验实验目的：横向分布作用是桥梁设计理论中的一个重要问题。
通过对有横隔板和无横隔板两种简支桥梁模型的荷载横向分布作用的对比实验，可以从理论上了解和认识桥梁荷载横向分布作用的基本规律及各种影响因素，从而为掌握桥梁活载横向分布系数的计算打下基础。
通过本实验还可以进一步了解桥梁结构科研工作的基本方法和测试仪表的使用方法。
模型构造：本实验模型全部采用有机玻璃板加工制作，采用有横隔板和无横隔板两种简支桥梁型式。
模型安置在刚性台座上。
(模型及台座均为结构中心自行设计)。
模型主要尺寸：宽跨比（B:L）为（1：2）两种桥型的主梁截面型式相同，均为T形梁，具体构造详见模型图。
实验方案：1、采用杠杆原理的加载系统来实施加载分别在边梁、次边梁和中梁的跨中位置施加集中荷载；荷载分三级加载依次为0kg－2kg－4kg－6kg－0kg，加载5分钟后读数。
图1 杠杆加载示意图2、测点布置及测试内容测跨中截面各主梁的挠度：利用安置于刚性台座上的百分表测量挠度值。
测跨中截面各主梁的顶、底板的应变：利用贴在主梁顶、底板的应变片测试各片T梁跨中的应变值。
图2 跨中截面应变测点及挠度测点布置示意图实验步骤：实验结果整理：1、挠度和应变测量结果按表格填写，分别记录两种模型的实验情况；2、通过挠度和应变结果分别绘制1＃、2＃和3＃梁的实测荷载横向分布影响线；3、用铰接板和刚接板法计算1＃、2＃和3＃梁的理论荷载横向分布影响线；4、实验结论和看法。
注意事项和实验要点：1、加载点必须作用在纵梁的跨中位置；2、由于实验模型为有机玻璃板加工制成的，在杠杆加载时必须确保加载点作用在纵梁的中点位置上方时，在将加载杠杆轻轻放下，避免损坏面板；3、在分级加载时，应将砝码轻轻地放入加载篮中，待梁体变形稳定后方可读数；4、在整个实验过程中，不得碰撞梁体和台座，以免影响百分表和应变读数。
模型构造图：1、铰接板梁（无横隔板）简支有机玻璃模型计算跨径图3 铰接板梁（无横隔板）有机玻璃模型2、刚接板梁（有横隔板）简支有机玻璃模型计算跨径图4 刚接板梁（有横隔板）有机玻璃模型。
梁的振动微分方程
梁的振动微分方程梁的振动可以由梁的挠曲微分方程来描述。
梁的振动是非常复杂的，具体会受到梁的材料性质、几何形状、边界条件等多种因素的影响。
本文将着重介绍简单支承的简谐振动，并导出相应的微分方程。
首先，我们考虑一根长度为L、截面积为A的均匀弹性梁，该梁沿y 轴方向伸展，其横截面形状保持不变。
我们假设梁在振动过程中是在平衡位置附近做小振动，即挠度较小，且不考虑横向的变形。
令x为横向坐标，y为纵向坐标。
我们在梁上选取一个柱坐标系，其中原点位于梁的一个断面上，z轴指向梁的纵向，x轴指向梁的横向，y 轴与横截面的法向量方向一致。
在这个坐标系下，我们设梁的挠度为w(x,t)。
根据梁的挠曲理论，可以得到梁的挠度满足如下的挠曲微分方程：EI∂^4w/∂x^4 + qr = ρA∂^2w/∂t^2其中，EI为梁的弯曲刚度，q为横向分布载荷（如重力等），r为梁的横向变形力，ρ为梁的线密度。
简化起见，我们只考虑简支梁的振动，即两端固定，不受力矩。
对于简支梁，边界条件为：w(0,t)=w(L,t)=0∂w/∂x(0,t)=∂w/∂x(L,t)=0利用这些边界条件，我们可以求解梁的振动微分方程，得到梁的振动模态。
假设梁的振动解为：w(x, t) = ψ(x)sin(ωt)其中，ω为梁的固有频率，ψ(x)为振型函数。
代入梁的振动微分方程，得到：EI∂^4ψ/∂x^4+qψ=-ρAω^2ψ由于我们要求解简支梁的振动模态，因此我们可以将ψ(x)作为待定解，即将上面的方程改写为一个特征值问题：EI∂^4ψ/∂x^4+qψ=λ^2ρAψ其中，λ为特征值，可看作是角频率ω的平方根。
通过求解这个特征值问题，我们可以得到简支梁不同振动模态的特征函数ψ(x)，以及对应的特征值λ。
这些特征函数和特征值描述了梁的振动模态，即不同的振动模式。
至此，我们导出了简支梁的振动微分方程，并描述了如何通过特征值问题求解出梁的振动模态。
这个微分方程是梁的振动研究中的基础方程，可以用来研究梁的自由振动和强迫振动，以及梁的固有频率、模态分析等问题。
梁的横向振动
弹性载荷：
2u u M EI kt 2 x x
3u V EI 3 ku x 惯性载荷：
2u M EI 2 0 x
u u V EI 3 m 2 x x
3 2
在考虑梁的剪切变形和转动惯量时，微元dx 的受力分析系如下：
u （1） x
梁的横向振动
主讲人 ：王高爽 小组成员：王高爽、王宇谦 冯丹、徐笑寒 指导老师：李伟
1、梁横向振动的微分方程的建立 2、变量分离求解微分方程 3、边界讨论 4、运动方程的推到
如下图所示，梁在xy平面内横向振动，假设变形 u的函数u=u(x,t),则在任意的t时刻，梁的振动 状态如图所示，取微元dx作为研究对象。
Thanks.
两边求全微分： u u dx dt Y (t ) X ' ( x)dx Y ' (t ) X ( x)dt x t
u Y (t ) X ' ( x) x
u Y ' (t ) X ( x) t
u u ， x t
仍是关于x,t的函数，仍然采用全微分得：
1 d 2Y a2 d 4 X 2 Y dt X dx4
按受力情况，微元沿着y方向运动方程，有牛顿定理：
由
2u v Fy O m 2 dx V (V dx) t x
由简单梁理论，忽略转动惯量的影响，各个力在 对dx右侧取矩： M M O M dx M Vdx 0 R x
即
M V x
由材料力学：
（1）
令（1）=P2得： d 2Y 2 p Y 0 2 dt
d4X p 4 4 X 0, 4 dx a
Y (t ) A sin pt B cos pt
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l x x y -==）（223max43x l lx y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
振动力学(梁的横向振动)
取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。 则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
即
利用材料力学中的关系 得到梁的弯曲振动方程
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 固定端：挠度和转角为0，即
振动力学
------弹性体的振动
汇报人姓名
汇报日期
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
01
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对第j阶振型进行上面类似的运算得：
02
用Fj左乘上式两端，并积分
上两式相减得
则
i＝j时
梁在激励力作用下的响应
1.标准坐标（正则坐标）
对振型函数按下式条件正则化 和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
2.对初始激励的响应
以及
解：边界条件为挠度和弯矩为0。 【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 代入特征方程的解
得到
以及
则
则
以及频率方程
由此解得
所以固有频率
振型为 第i阶振型有i－1个节点。节点坐标 即
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
01
以及
02
解：边界条件为挠度和转角为0，即 代入特征方程的解得到
梁的横向强迫振动
3 l x l x ix l Ayst 3 dx 4 C i sin l l 2 l
Pl 3 其中 y st 48EJ 为梁中央的静挠度。从例6.3已知两端简支梁的固有频率
及主振型为
将主振型代入（6.140）的归一化条件，得
EJ i 2 2 i a i Al 4 l ix Yi ( x) C i sin l
2
2
i 1,2,... i 1,2,...
j (0) Af1 ( x)Y j ( x)dx
（6.150） (0) Af ( x)Y ( x)dx j 2 j
0 0 l
l
i ( 0)
l
l 2 0
3 x ix x Ayst 3 4 C i sin dx l l l
卷积性质得到非齐次特解为
这样，方程（6.160）的通解为
1 w( x) 2EJ 3
x
0
p( )sh ( x ) sin ( x )d
w( x) C1cos x C 2 sin x C 3chx C 4shx x 1 p( )sh ( x ) sin ( x )d （6.161） 2 EJ 3 0 上式中的四个常数由两端的边界条件确定，将求出 w( x) 的代入（6.159），
l
q j (t ) p( x, t )Y j ( x) m( x, t )Y j ' ( x) dx
q j (t ) P(t ) ( x 1 )Y j ( x) M (t ) ( x 2 )Y j ' ( x) dx （6.155）
梁横向弯曲振动的振型正交性及振型叠加法
梁横向弯曲振动的振型正交性),(]),()([),(222222t x p x t x u x EI x t t x u m =∂∂∂∂+∂∂齐次方程为：0]),()([),(222222=∂∂∂∂+∂∂x t x u x EI x t t x u m ]),()([),(222222x t x u x EI x t t x u m ∂∂∂∂-=∂∂根据分离变量法，设：)()(),(t q x t x u φ=，可得：0)()(2=+t q t qω )(])()([22222x m dxx d x EI dx d φωφ= 上式即为分析频率和振型的特征方程。
设对于第i 、j 两阶频率，有：)(])()([22222x m dx x d x EI dx d i i i φωφ= )(])()([22222x m dx x d x EI dx d j j j φωφ= 上面第一式两边乘以)(x j φ，并沿杆长积分得：)()(])()([)(22222x x m dx x d x EI dx d x j i i i j φφωφφ=⎰⎰⎰==l j i i l j i i li j dx x x m dx x x m dx dx x d x EI dx d x 020202222)()()()(])()([)(φφωφφωφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=-=-==l j i li j li j l j i li j li j i l j l i j l j i li j l j i li j l i j li j dx dx x d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d x EI d dx x d dx x d x EI dx d x xd dx x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x dx x d x EI dx d d x dx dx x d x EI dx d x 0222202222022022022220022022*********02202222)()()(])()([)(])()([)()()()(])()([)(])()([)(])()([)(])()([)()(])()([])()([)()(])()([])()([)(]))()([()(])()([)(φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ 对于基本边界条件，有：0])()([)(022=li j dx x d x EI dx d x φφ0])()([)(022=li j dx x d x EI dx x d φφ 则有：⎰⎰⎰==lj i i l j i li j dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 同理有：⎰⎰⎰==lj i j l j i lj i dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 两式相减得到：0)()()(022=-⎰lj i j i dx x x m φφωω当22j i ωω≠时，有：0)()(0=⎰ljidx x x m φφ令：iliiM dx x x m =⎰0)()(φφ为振型i 对应的广义质量。
简支梁横向振动的求解
2.连续系统弹性振动求固有频率
把梁的弯曲振动看做连续系统的弹性振动，弹性振动是 无穷自由度的问题，其解更具有精确性普遍性与精确性。
动力学方程的建立
建立力平衡方程
即：
国家精A品ll课程Ri网g上h资t 源R的e可se用r性ve研d究/***
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：
Fs
M x
m x,t
材料力学的等截面假设，弯矩 与挠度的关系：
用传递矩阵法求解固有频率
为了方便计算，我们假设简支梁分为两个集中质量平分为3段如下图
其中梁的抗弯刚度为EI 对支座、质量、梁段编号 如下图：
国家精A品ll课程Ri网g上h资t 源R的e可se用r性ve研d究/***
传递矩阵法求固有频率
状态变量：x y M Fs T
已知的两端边界条件
y0R
MR 0y3RMR 3引入无量纲变量
y
y l
,M
Ml EI
, Fs
Fsl 2 EI
,
ml3 2
EI
无量纲状态变量
x
y
M
Fs
T
无量纲边界条件
y0R
M
R 0
0,
y3L
M
L 3
0
国家精A品ll课程Ri网g上h资t 源R的e可se用r性ve研d究/***
传递矩阵法求固有频率
点传递矩阵
1 0 0 0
Sip
则必须满足
12
32
14 0 34
化解上式得 52 96可1解0出8 0
又因为 ml32 可得固有频率
EI
国家精A品ll课程Ri网g上h资t 源R的e可se用r性ve研d究/***
为何分段越多越精确呢？
拉压弹性模量不等材料简支梁在横向载荷作用下的线性振动问题
第 ４期
甘 肃 科 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇａ ｎ ｓ ｕ １ ． ２ ５ ＮＯ ． ４ Ｄｅ ｃ ． ２ Ｏ１ ３
２ Ｏ ｌ ３年 １ ２月
拉 压 弹 性 模 量不 等 材 料 简 支 梁 在 横 向载 荷 作 用 下 的 线 性 振 动 问题
Ｍ Ｕ Ｌｉ ｎ， Ｈ Ｕ Ｂａ ｏ — ｑ ｉ ｎｇ， ＬＩ ＮＧ Ｌｅ ｉ ， ＺＨ ＡＯ Ｙｏ ｎｇ — ｇ ａ ｎｇ （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ， Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ， Ｌａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ ７ ３ ０ ０ ５ ０ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ， ａ ｎ ｄ ａ ｓ ｓ ｕ ｍｉ ｎｇ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｏ ｆ ｈ ａ ｒ ｍｏ ｎ ｉ ｃ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ， ｔ ｈ ｅ
常微 分 方程 组． 考虑横 向 载荷作 用 的 大挠 度 ， 研 究拉 压 性 能不 同时 简支 梁的线性 振 动规律 ． 利 用 打靶 法数 值 求解 了简 支梁线性振 动 时 ， 横 向栽荷 引起 的 弯 曲挠 度 、 中性 轴 位 置 变化 以及微 幅振 动 时 的 固
有 频率 ． 结 果表 明 ： 固有频 率 随着 弹性模 量 比值 非 线性 变 化 ， 横 向载 荷较 大 时呈 现 出非单 调 性． 横 向
穆 琳 ， 胡 宝庆 ， 凌 雷 ， 赵 永 刚
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l xx y -==）（223max43x l l x y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EI图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
03-3 梁的横向振动
上式简化为
2 y Q x A x 2 f x, t t x
忽略截面转动的影响，微段的 转动方程为
M M dx M Q Q dx dx f ( x, t )dx dx 0 x x 2 M 略去dx的二次项，上式简化为 Q x 2 2 y M x A x 2 f x, t 代入运动微分方程得 2
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
3.4 梁的弯曲振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式 是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。
★ 以 y(x ， t) 表示梁的横向位
移，它是截面位置 x 和时间 t 的二元函数；以 f(x,t) 表示作 用于梁上的单位长度的横向 力。
★对位移和转角的限制属于几何边界条件； 对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。 其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。
用振型函数表示的边界条件
y x, t Y x F t 将方程 边界条件可以用振型函数表示。
简支梁固有频率及振型函数
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t) (1)除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：22y EI M x ∂=∂(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。
在这些规定下，有：M QQ q x x ∂∂==∂∂， (3)于是，对方程（2）求偏导，可得：222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂， (4)考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：3434y yEI Q EI q x x ∂∂==∂∂， (5)方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为22yq t ρ∂=-∂(6)其中ρ代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：4242y yEI x t ρ∂∂=--∂∂ (7)其中2/a EI ρ=。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t)(8)将式（8）代入（7），得：224241Y a d XY t X dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。
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S S S
F n
P n 1
... S S ... S S S S
P i
F i
P 2
F 2
P 1
F 1
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 因为 0 0 1 0 0 0 1
S中就有n-1个相乘，所得的方 程是n-1次方的，其所求得的解 就越精确了。 相当于用多远函数去拟合
2
2
EI EI 2 = S Sl 4
EI EI 2 4 Sl ml 3
EI 9.8696 ml 3
与上课pdf上 不一致
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传递矩阵法求固有频率
11 S 22 31 41 R 14 y 24 34 M 44 Fs 0
12 22 32 42
13 23 33 43
i l i , 1, 2...
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求解简支梁固有频率
EI i , i 1, 2...... 固有频率： i l S 其中为单位体积梁的质量，S为横截面面积
2
第一阶频率 1 l
14 24 34 44
列出矩阵方程
11 y 21 31 M 41 F s 3
F
12 22 32 42
13 23 33 43
根据两端支座边界条件，得：
12 0 14 Fs 0 0 32 0 34 Fs 0 0
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传递矩阵法求固有频率
要使方程
12 0 14 Fs 0 0 有非零解 32 0 34 Fs 0 0
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： Fs M m x, t
x
材料力学的等截面假设，弯矩 与挠度的关系：
M x, t EI
2 y x, t x 2
等截面梁的动力学方程：
通解:
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求解简支梁固有频率
代入通解中得 C1 C2 0 以及
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用传递矩阵法求解固有频率
为了方便计算，我们假设简支梁分为两个集中质量平分为3段如下图
其中梁的抗弯刚度为EI 对支座、质量、梁段编号 如下图：
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传递矩阵法求固有频率
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
li 2 2 Ei I i li Ei I i 1 0 li 3 6 Ei I i li 2 2 Ei I i li 1
0 1 0 0
场传递矩阵
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1 1/ 2 1/ 6 1 1 1/ 2 0 1 1 0 0 1
P 2 F 2 P 1 F 1
两支座之间的状态关系 那么两支间传递矩阵为
X 3L S S S S S X 0R
S S S S S S
F 3
P 2
F 2
P 1
F 1
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2.连续系统弹性振动求固有频率
把梁的弯曲振动看做连续系统的弹性振动，弹性振动是 无穷自由度的问题，其解更具有精确性普遍性与精确性。
动力学方程的建立
建立力平衡方程
即：
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T
y M 0R 0, y M 3L 0
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R 0
传递矩阵法求固有频率
点传递矩阵
1 0 S ip 0 2 mi
1 F Si 0 0 0
12 14 0 则必须满足 32 34
化解上式得
5 2 96可解出 0 108
可得固有频率
ml 3 2 又因为 EI
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为何分段越多越精确呢？
首先推广至n段的传递矩阵，当分为n段时，就有n-1 个集中质量在梁上，此时的传递矩阵应该是
机械动力学中求解简支梁横向振动方法的探讨
All Right Reserve中质量的位移
为广义坐标
All Right Reserved
1.传递矩阵法
传递矩阵法是适用于计算链状结构的固有频率和 主振型。 特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质 量的横向振动 传递矩阵法是线性振动的一种近似计算方法
传递矩阵法求固有频率
则点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域？
xy 将
M
Fs 代入到点与场矩阵中
T
有
1 0 0 0 0 1 0 0 S ip 0 0 1 0 0 0 1
1 0 SiF 0 0
F 3
0 0, '' 0 0 固定铰：挠度和截面弯矩为零 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 l 0, '' l 0
C2 sin l C4 sinh l 0 C2 sin l C4 sinh l 0
C4 0
频率方程： l 0 sin
状态变量：x y 已知的两端边界条件 引入无量纲变量 无量纲状态变量 无量纲边界条件
R 0
M
Fs
R 0
T
y M
y M
R 3
R 3
y Ml Fs l 2 ml 3 2 y ,M , Fs , l EI EI EI
xy
M
L 3
Fs