2020年物理竞赛—量子力学A版—第四章 量子力学中的力学量 电子在库仑场中的运动32PPT 课件
2023-2024高中物理竞赛：量子力学
Planck 辐射定律：
式中： d是黑体内频率在到 d之间的辐 射能量密度，C 是真空 中光速，k 是波尔兹 曼常数,T 是黑体的绝对温度。该式称为 Planck 辐射定律
Planck 常数：h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
de Broglie 波：描写自由粒子的平面波Ψ
上，提出了他的原子的量子论。
波尔假定：电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着
其中一组特殊的轨道运动。波尔假设沿这一组特殊轨道运动的电子处于稳定状态（简称定态）。 当电子保持在这种状态时，他们不吸收也不发出辐射。只有当电子由一个定态跃迁到另一个 定态时，才能产生辐射的吸收或发射现象。电子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定 态时所吸收或发射的辐射频率ν，满足下列关系： 为了确定电子运动的可能轨道，波尔提出量子化条件：在量子理论中，角动量必须是 h 的整 数倍。
平方可积：由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间
找到粒子的几率应为一，即：C∫∞|Ψ (r,t)|2 dτ= 1，从而得常数 C 之值为：C = 1/∫∞| Ψ(r,t)|2dτ
粒子产生和湮灭： 归一化：由于粒子在全空间出现的几率等于 1，所以粒子在空间各点出现的几率只取决
Compton 散射：X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。
电子的 Compton 波长：
Planck 假定：1900 年，普朗克提出黑体以 为能量单位不连续地发射和吸收频率为
的辐射,而不是像经典物理所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 能量单位称为能量子，h 是普朗克常数，数值为 h=6.62559(16)×10-34 焦耳·秒
量子力学复习资料
第一章知识点：1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应---光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率ν0 只有当光的频率大于某一定值ν0时，才有光电子发射出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的这一频率ν0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关，与光强无关，光强只决定电子数目的多少 （爱因斯坦对光电效应的解释）3. 当入射光的频率大于ν0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 ν 振荡;b.黑体只能以 E = h ν 为能量单位不连续的发射和吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下： 把光子的波动性和粒子性联系了起来8.波长增量 Δλ=λ′–λ 随散射角增大而增大.这一现象称为康普顿效应.散射波的波长λ′总是比入射波波长长（λ′ >λ）且随散射角θ增大而增大。
9.波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念. 2.量子跃迁的概念. 10.德布罗意：• 假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = h ν ⇒ ν= E/h • P = h/λ ⇒ λ= h/p • 该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：ψde Broglie 关系：ν= E/h ⇒ω = 2π ν= 2πE/h = E/ λ= h/p ⇒k = 1/ = 2π /λ = p/n k h k n n h n C h n C E p h E ===⎪⎩⎪⎨⎧=======πλπλνων22其中波长。
量子力学教程-第四章精品PPT课件
a2(t)
a1(t)*
a2(t)*
an(t)*
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
( x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
an(t) un *( x)( x.t)dx
No Image
第四章 态和力学量的表象
§4.1 态的表象 §4.2 算符的矩阵表示 §4.3 量子力学公式的矩阵表述 §4.4 么正变换 §4.5 狄拉克符号 §4.6 线性谐振子和占据数表象
量子力学
1
§4. 1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示：
1）波函数是坐标的函数 2）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。
1 * ( x, t )( x, t )dx
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p ( x)dp]dx
( x, t ) C ( p, t ) p ( x)dp C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx
5
（二）力学量表象
推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
量子力学 第四章
∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
北京大学量子力学教材第四章
北京⼤学量⼦⼒学教材第四章第四章量⼦⼒学中的⼒学量第四章⽬录§4.1表⽰⼒学量算符的性质 (3)(1) ⼀般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归⼀化” (15)（1）连续谱本征函数“归⼀化” (15)（2）δ函数 (18)（3）本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) ⾓动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) ⼒学量的完全集 (34)§4.5 ⼒学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) ⼒学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维⾥定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章量⼦⼒学中的⼒学量§4.1表⽰⼒学量算符的性质(1) ⼀般运算规则⼀个⼒学量如以算符O表⽰。
它代表⼀运算，它作⽤于⼀个波函数时，将其变为另⼀波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (O=ψ。
它代表⼀个变换，是将空间分布的⼏率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O→?ψ-=，于是)x (e )x (Odx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=即将体系的⼏率分布沿x ⽅向移动距离a .A. ⼒学量算符⾄少是线性算符；量⼦⼒学⽅程是线性齐次⽅程。
由于态叠加原理，所以在量⼦⼒学中的算符应是线性算符。
2020年人大附中高中物理竞赛辅导课件(静电场)电荷 库仑定律(共18张PPT)
最后将各分量按矢量合成
E Exi Ey j Ezk
电荷元随不同的电荷分布应表达为
线电荷 d q d l 面电荷 dq dS
体电荷 dq dV
2020全国高中物理学奥林匹克竞赛 人大附中竞赛班辅导讲义
（含物理竞赛真题练习）
静电场
静电场----相对于观察者静止的电荷产生的电场 两个物理量：电场场强、电势； 一个实验规律：库仑定律； 两个定理： 高斯定理、环路定理
电荷
一、电荷的量子化
库仑定律
电荷的种类：正电荷、负电荷
电荷的性质：同号相斥、异号相吸 电量：电荷的多少 单位：库仑 符号：C
q1
P
E1
r20
q2
E
F
Fi
q0 q0
Ei
E
Ei
i
1
i 4 0
qi ri2
ri 0
点电荷系的电场
场强在坐标轴上的投影
Ex Eix, Ey Eiy,
i
i
E Exi Ey j Ezk电荷连续分布带电体的电场
Ez Eiz i
E dE
dq r0
dE
dE
dq
★研究方法：力法—引入场强
E
能量法—引入电势 u
二、电场强度
E
F
q0
E E(x, y, z)
q0
F
q 试验
场源 电荷
电荷
讨论
a.由 E
F q0
是否能说，E 与 F 成正比，与
q0成反比？
b.一总电量为Q>0的金属球，在它附近P点产生的场强
为E0。将一点电荷q>0引入P点，测得q实际受力 F 与
“电力”应为“电场力”。
量子力学——第四章作业参考答案
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
2020年物理竞赛—量子力学A版—第四章 量子力学中的力学量 氢原子27PPT 课件
分后得到在半径 r r+dr 球壳内找到电子
的几率
Wnlm (r, , )d | nlm (r, , ) |2 r 2 sindrdd
R20(r) R21(r)
1 2a0
1 2a0
3/ 3/
2 2
(2
1 a0 3
r1
a0
re
)e
1 2 a0
r
1 2 a0
r
Wnlm
例如：对于基态
（一）二体问题的处理
（1）基本考虑 （2）数学处理
二体运动 可化为：
I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。
一个电子和一个质子组成的氢原子的 Schrodinger 方程是：
Hˆ (
r1
,
r2
)
E(r1 , r2 )
其中
Hˆ
2
21
12
2
22
2 2
V
将二体问题化为一体问题
量(ET-E) 作自由运动。
的能级。
（二）氢原子能级和波函数
氢原子相对运动定态 Schrodinger方程
2
2
r 2
(r )
V
(r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节 已经解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。 于是氢原子能级和相应的 本征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
em
2c
Bm
1. 由上式可以看出，磁矩与 m 有关， 这就是把 m 称为磁量子数的理由。
2. 对 s 态，( = 0)，磁矩 MZ= 0， 这是由于电流为零的缘故。
2020年高中物理竞赛—量子物理篇(进阶版)附：量子力学练习试题(共58张PPT)
量子物理 （进阶版）
（下一页）
一、选择题
1、关于不确定度关系 pxx h 有以
下几种理解： （1）、粒子的动量不可能确定
（2）、粒子的坐标不可能确定
（3）、粒子的坐标和动量不可能同时确定
（4）、不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用
于其它微观粒子 上述说法那些正确？
答案： （3）、
解： E1 13.6eV EL 0.85eV
EK EL 10.8eV
应为10·2eV
EK 10.8eV 13.6eV 2.8eV ? 应为-
----氢原子哪有这个能级？ 3·40eV
EL EK 1.95eV 应为2·55eV
（下一页）
3、氢原子从能量为－0.85eV的状态跃迁到能量
2
2
2
2
(2,1,1, 1 ), (2,1,1, 1 ), (2,1,1, 1 ), (2,1,1, 1 )
2
2
2
2
（下一页）
16(T19-23)、试证：如果粒子位置的不确定
量等于其德布罗意波长，则此粒子速度的不确 定量大于或等于其速度。
x m
x
px x h
h mvx • mv x h
道角动量在外磁场中的取向；
自旋磁量子数(ms =±1/2):它决定了电子自旋角动 量在外磁场中的取向。
（下一页）
13、如图所示，一束动量为P的电子，通过缝宽为a
的狭缝，在距离狭逢为R处放置一荧光屏，屏上衍射 图样中央最窄的宽度d等于多少？
解： x a
P
px psin
a
d
sin a
k=1
R
d
sin tg 2
量子力学中的力学量
量子力学中的力学量经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。
量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数ψ这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。
但ψ并不能作为量子力学中的力学量。
于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。
算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。
重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；四个本征态及本征值：坐标x 或r 、动量x p ∧或∧p 、角动量∧2L 及z L ∧、能量（哈密顿量∧H ）。
本部分的难点是任意态),(t x ψ与力学量算符本征态n ϕ及力学量概率态n C 的区别。
1 厄米算符1.1 算符：算符∧F 只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。
例如⎰、、dx d等。
量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量p与∇- i 相当，自由粒子体系的能量E 与222∇-μ 相当。
于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。
1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数 ϕψ=∧F （1） 但在特殊情况下，得到λψψ=∧F （2）λ为实或复常数。
量子力学中把这样的函数称为算符∧F 的本征函数，对应的常数λ称为算符∧F 的本征值，相应的关系式称为本征方程。
1.3 厄米算符：（1）算符∧F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符∧*F 。
例如∇-=∧i p ，则∇=∧i p *， 一般来说，∧∧≠*p p 。
（2）算符∧F 的转置算符定义为∧~F ，即⎰⎰∧∧=dx F dx F ϕψϕψ*~* （3）ϕψ,*一般为任意函数，∧∧≠F F ，例如算符x∂∂的转置算符为 x x ∂∂-=∂∂~ （4） 这是因为 ⎰⎰∞∞∞∞∂∂=∂∂＋－＋－dx xdx x **~ψϕϕψ⎰⎰∞∞∞∞∞∞∂∂-=∂∂-=＋－＋－＋－dx x dx x ϕψϕψϕψ)(|***（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为∧+∧=F F ~*，即⎰⎰⎰∧∧∧+==dx F dx F dx F ϕψϕψϕψ****)( （5）一般来讲， ∧∧+≠F F ，但动量算符却例外，如 xi p x ∂∂-=∧， x xp xi p ∧∧+=∂∂-= （6） （4）厄米算符 满足∧∧+=F F 的算符称为厄米算符，又称自厄算符。
电子在库仑场中的运动.
可令 R r 变换函数（12）并 r 得 U 所满足 r 的方程: Zes2 l l 1 d 2U 2 2 E U 0 (13) 2 2 r dr r
U r
（2）在代换：
8 E 2 Zes2 Zes2 r, 2 , 2 2 E
,与 e 相 若级数为幂级数，则当 ,（19） 2 同行力,而 R U e f ,会使 R r 在 发散，不满足波函数条件。必须使 f 在有限项处断为 1
多项式！
拉盖尔多项式： L0 x 1, L1 x x 1, L2 x x 2 4 x 2,
(5)
2.分离变量 设 r , , R r Y ,
将（6）代入（5）式，并 1
2
(6)
2
ˆ 中有 L2 ， U r 与 , 无关 理由： H
2 r 2 Zes 1 d 2 d 2 r r 2 E R dr dr r
1 2 1 2
(14)
变换自变量。变换的目的：化为某种已知的数理方程 标准形式。
方程（13）变为
d 2U 1 l l 1 U 0 2 2 d 4
(15)
1 (3)求公式（15）的渐近解：令 则[ ]只有 ： 4
限性相抵触，舍去。所以取
(3) (4)
1 1 2 l2 T sin 2 2 2 sin 2 r 2 2 r sin
2
Zes2 而势能 U r 仅与 r 有关，与 , 无关，提示 r （1）可将第一项+U r 与二、三项分离变量，（回忆
物理学第四章
Ei Biblioteka 4 0 ri2ri
代入前面场强迭加原理的表达式可得点电荷系产生的电 场在空间某点的场强： n 1 qi 0 E r （4—8） 2 i i 1 4 0 ri 电荷连续分布带电体产生的电场在空间某点的场强
设其中任一电荷元 dq在空间某点 P产生的场强为dE ，则按（4—7） 式可相应列得： 1 dq 0 dE r 2 4 0 r
q1q2 0 q1q2 0 F12 K 2 r12 F21 K 2 r21 r r
q1
0 r 12
r12
q2
F12
第四章 静电场
0 r 代表q1指向q2的矢径 如果以 F 表示q1 对q2 的作用力， 向上的单位矢量，则库仑定律的数学表达式为：
q1
r方
r
2π R
x
dE⊥
P
dE
dE
dE∥
x
1 dl er 2 4π 0 r
dE
dq E = Ex= E∥ = dE∥ = dE cos cos 2 q q q 4 r 0 dl cos cos 将 dq dl代入上式得： E cos dl 2R 2 2 l 4 r 2 l 4 0 r 4 0 r 0 q x 2 2 cos 将 ， ， 代入上式可得： r x R 2R r qx 讨论：当时x=0，E=0，即均匀带电圆环中心的场 E 4 0 ( x 2 R 2 )3 / 2 强为零。当时x>>R时，相当一个点电荷产生的场。
E 1
lr0
q
e
q 1 q 1 q 1 q E 2 2 2 4 0 r2 4 0 r 2 (l / 2) 2 4 r 4 r ( l / 2 ) 0 0 （1）
量子力学周世勋习题解答第四章
第四章习题解答4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。
解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z rp i p p x)ˆˆ()21()(3 ⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z rp i)()21(3 ⎰⋅⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i e rp i zy y z r p i))(()21(3⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i r p p i z y y z）（3)21)()(()()(p p p p p p i y z z y'-∂∂-∂∂= δ ⎰''=τψψd L x L p x p p p x 2*2)()( ⎰⋅⋅'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i23)ˆˆ()21( ⎰⋅⋅'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z rp i)ˆˆ)(ˆˆ()21(3 ⎰''-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i p z p y e rp i yz z y y z r p i))()(ˆˆ()21(3 ⎰⋅⋅'--∂∂-∂∂=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z rp i y z z y)ˆˆ()21)()((3 ⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p r p p i y z z y）（322)21()()()(22p p p p p p yz z y'-∂∂-∂∂-= δ #4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：x a n a x u n πsin 2)(=能量：22222a n E n μπ =对角元：2sin 202a xdx a m x a x a mm ==⎰π 当时，n m ≠ ⎰⋅⋅=a mn dx ax x a m a x 0)(sin )(sin 2π[][]1)1()(4)(1)(11)1(])(sin )()(cos )([])(sin )()(cos )([1)(cos )(cos 12222222022202220---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎥⎥⎦⎤+++++-⎢⎢⎣⎡--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--⎰n m n m a aa n m mnan m n m a x a n m n m ax x a n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a a dx x a n m x a n m x a ππππππππππππ[][]a n m mn i n m n m a a n i x a n m n m a x a n m n m a a n i dxx a n m x a n m a n i xdxa n x a m an i xdxan dx d x a m a i dx x u p x u p n m nm aa a a n m mn )(21)1(]1)1()(1)(1 )(cos)()(cos )()(sin )(sin cos sin 2sin sin 2)(ˆ)(2220202020*---=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=⋅-=⋅-==--⎰⎰⎰⎰πππππππππππππππ#4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
量子力学中的力学量
由归一化波函数ψ(r)求 力学量平均值时，必须把该力 学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分，即
一维情况： x x
( x ) x ( x )dx
px px F F
ˆ ( x ) p x ( x )dx
F 是任一 力学量算符
0, V ( x)
| x | a | x | a
m 0的偶数
m奇数。
线性谐振子
1 V 2 x 2 2
量子力学中的线性谐振 子就 是指在该式 所描述 的势场中运动的粒子。
则 Schrodinger 方程可写为 ：
2 d 2 1 [ E 2 x 2 ] ( x ) 0 2 dx 2 2 2 1 d2 或： 2 2 [ E 2 x 2 ] ( x) 0 2 dx
2 2 ˆ (r , t ) i (r , t ) [ V (r )](r , t ) H t 2
波函数可确定任意力学量的平均值、可能值及相应的几率
定态Schrodinger方程
i Et ( r , t ) ( r )e
于是最后得： E ( n 1 ) 2 n 0,1,2,
n ( x) n 2 n!
其中：
e
2 x 2 / 2
H n (x )
dn H n ( ) ( 1) exp[ ] exp[ 2 ] d n
n 2
第三章
§1 §5 §6 §7 §2 §3 §4 §8
ˆ p x i
三维情况：
dx
ˆ r r ˆ i[ i j k ] i p x y z
2020年高中物理竞赛-近代物理学(含真题练习题)量子力学对氢原子的应用(共16张PPT)
T
1
5.79 105 eV
T 1
载流线圈在外磁场中受力矩作用
M
B
力矩作功
W Md B sind B cos
2
2
相互作用势能（磁矩垂直磁场方向时为势能零点）
U
B cos
B
zB
磁场在z方向不均匀，载流线圈在z方向受力
fz
U z
z
B z
结论：原子射线束通过不均匀磁场，
原子磁矩在磁力作用下偏转。
dt
TL
A
dt
0 2m
电子在有心力场中运动，角动量守恒 A L T
2m
IA e L
2m
e
L
2m
L l( l 1 ), l是角量子数
角动量在外磁场方向（取为z轴正向）的投影
Lz ml, ml是磁量子数
磁矩在z轴的投影
z
e 2m
Lz
e 2m
ml
ml B
玻尔磁子B
e 2m
9.27 1024 J
x r sin cos z r cos
y r sin sin
r
O
x
P
y
定态薛定谔方程为：
用分离变量求解，令 ( r , , ) R( r ) ( ) ( )
代入方程可得：
1 d ( r 2 dR ) 1 1 d (sin d )
R dr dr sin d
d
1 1 d 2 2mr 2
1 e2
2020高中物理学奥林匹克竞赛
量子物理篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
15-8 量子力学对氢原子的应用
氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量 是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子 受质子库仑电场作用而绕核运动。 电子势能函数
2020年高中物理竞赛—量子物理篇(进阶版)19-5量子力学处理方法(共25张PPT)
1
0.
0
Lz h
=m l
2
Lz h
=
2
1
0
Lz
h
Lz h
=
=m l
3
62
1
0
1
1
Lz h
=
l (l +1) =
22
Lz h
=
l (l +1) =
6
1
2
3
Lz h
=
Lz h
=
12
l (l +1) = 12
l =0 l =1
l =2
l =3
五、氢原子的电子云 氢原子定态的波函数为：
ψ Θ n,l, （ ml r,θ ,φ ）=Rn,l (r) l,ml(θ ) Φ ml (φ )
z r cos
( r：电子到核的距离）
（下一页）
x r sin cos
z
电子
y r sin sin
z r cos
( r：电子到核的距离）
原子核
θ
r
y
φ 在球坐标中的薛定谔方程为： x
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
s in
1
r 2 sin2
2 2
2m 2
E
e2
4 0r
2020高中物理竞赛
量子物理 （进阶版）
氢原子的
量子力学处理方法
（下一页）
19-9﹡ 氢原子的量子力学处理方法
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子带电系统的势能为： V e2
其定态薛定谔方程为：
4 0r
2
2m 2
(E
量子力学 电子在库仑场中的运动
９４§3.3 电子在库仑场中的运动重点：电子在库仑场中运动的结果的理解 难点：电子在库仑场中运动的求解过程一、粒子在辏力场（中心对称或球形对称场）中的运动：特点：)r (U )r (U =r与ϕθ,无关，中心对称。
辏力场在经典物理及量子力学中都是一类重要问题。
原子中电子在核电场中的运动，核中单个核子在其余核子产生的平均场中运动都属于这类问题。
定态dinger o Schr &&方程为：Ψ=ΨE H ˆ (1) 其中：)r (U 2Hˆ22+∇μ−=h ，Ψ=ΨE H ˆ在球坐标系中的可以表示为： Ψ=Ψ+Ψϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θ+∂∂∂∂μ−E )r (U ]sin 1)(sin sin 1)r r (r[r 2222222h 即：Ψ=Ψ++⊥E )]r (U T ˆT ˆ[r 其中：μ=∂∂∂∂−μ=2p ˆ)]r r (rr [21T ˆ2r 222rh 为径向动能算符 (2) )r r ˆp ˆp ˆr r ˆ(21pˆr r r r r ⋅+⋅= (3)（这样才能保证其厄米性）=⊥T ˆ2222222r 2L ˆ]sin 1)(sin sin 1[r 2μ=ϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θμ−h９５μ=μ×=⊥2p ˆr2)pˆr (222r r 为横向（角）动能算符 (4) 于是方程可以写为：Ψ=Ψ+μ+E )]r (U r 2L ˆT ˆ[22r (5) 采用分离变量法，设),(Y )r (R ),,r (ϕθ=ϕθΨ，代入上式后两边同除以2r2RYμ，得 22r 2L Y LˆY1R ]E )r (U T ˆ[R r 2−=−=−+μ 于是：0R ]E )r (U r2L T ˆ[22r =−+μ+(径向dinger o Schr &&方程) (6) Y L Y Lˆ22=（角向方程） (7) 而角向方程Y L Y Lˆ22=的解与辏力场的具体形式无关，即： 22)1(L h l l += ，),(Y Y m ϕθ=l所以径向dinger o Schr &&方程可以表述为： 0R ]E r 2)1()r (U T ˆ[22r=−μ+++h l l (8) 即：)r (ER )r (R ]r 2)1()r (U )r r (r r 2[22222=μ+++∂∂∂∂μ−h l l h二、电子在库仑场中的运动（辏力场的一种形式） 1.定态方程：质量为μ，带电e −的电子受核电荷为Ze 的吸引势能，即体系势能：９６rZe)r (U 2s −=其中1Z =，为氢原子；1Z >，为类氢原子， 如+He 、++Li 和+++Be 等。
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Yl*m[Lˆ y Lˆ z Lˆ z Lˆ y ]Ylmd
1
i
Yl*m Lˆ y
Lˆ zYlmd
1 i
Yl*m Lˆ z Lˆ yYlmd
1
i
Yl*m Lˆ y ( Lˆ zYlm )d
1 i
( Lˆ zYlm )* Lˆ yYlmd
1 m i
Yl*m Lˆ yYlmd
Lˆ
Lˆ
Lˆ2
Lˆ2z
Lˆ z
(4)
积分 并注意
Yl*m Lˆ LˆYlmd Yl*m Lˆ LˆYlmd
L- = L++
( LˆYlm ) * LˆYlmd | alm |2 Yl ,m1 *Yl ,m1d | alm |2
Yl*m (Lˆ2 Lˆz2 Lˆz )Ylmd
2020高中物理竞赛
量子力学 第四章
电子在库仑场中的运动
（二）角动量算符
（1）角动量算符的形式
根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:
经典力学中，若动量为 p，相对点O 的 位置矢量为 L r p
r
的粒子绕 O
Lˆ rˆ
点的角动量是：
pˆ ir
(I) 直角坐标系
角动量平方算符
归 一
c 2 2 d 0
化
2c 2 1
系 数
c 1
2
Lˆ z
(
)
i d
d
( )
l z
(
)
解得：
(
)
ce i
l
z
其 中c是 积 分 常 数 ， 亦 可 看 成
归一化系数。
( ) ( 2 )
ce ce i
l
z
i
lz
(
2
)
ei
l
z
2
1
于是 2lz 2m
lz m
正交性：
m 0,1,2, m 0,1,2,
条件为：
2 0
0
Yl*m( , )Ylm ( , )sindd ll mm
具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。
(III) 本征值的简并度
由于量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。
Ylm ( ,) (1)m NlmPlm (cos )eim
x
1 r
s in s in
y
1 cos r sin
z
0
将上面结果代 回原式得：
x
sin
cos
r
1 cos
r
cos
1 r
sin sin
y
sin
sin
r
1 cos
r
sin
1 r
cos sin
z
cos
r
1 sin
r
0
则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：
Lˆ x
i[sin
2 0
* (i )d
i * |02
2 0
(i *)d
i * |02
2 0
(i
*)d
i * |02
2 0
(Lˆz)* d
所以
*(2 )(2 ) *(0)(0) 0
或
(2） *(0) 则
(0) *(2 )
1
厄密性要求第一项为零
(2 ) (0)
由
i
lz
可知，
对 lz 0 本征值，（） 常数。
2
l(l 1) m(m 1)
Yl*mYlm1d
2
l(l 1) m(m 1)
Yl*mYlm1d
0
同理：
Ly 0
方法 II
由角动量对易关系：
Lˆ y , Lˆz iLˆ x
Lˆx
1 i
Lˆ y , Lˆz
1 i
[
Lˆ y
Lˆ z
Lˆz Lˆ y ]
代入平均值公式：
1
r
x
sin
cos
r
y
sin
sin s
r
z
cos
x
r
r
x
x
x
y
r
r
y
y
y
z
r
r z
z
z
将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
x
1 cos
r
cos
y
1 cos sin
r
z
1 sin
r
将（3） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
Lˆ2 LˆYlm Lˆ Lˆ2Ylm l(l 1)2 LˆYlm
可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和
l (l+1) 2。
由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即
1 sin2
2 2
]Y
(
,
)
2Y ( , )
或：
[ 1 sin
(sin
)
1 sin2
2 2
]Y
(
,
)
Y ( , )
为使 Y(,) 在 变化的整个区域(0, π)内都是有限的， 则必须满足： = （ + 1), 其中 = 0, 1, 2, ...
该方程的解就是球函数 Yl m(,)，其表达式：
（一）有心力场下的 SchrÖdinger 方程
体系 Hamilton 量
Hˆ 2 2 Ze 2
2
r
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点，
电子受核电的吸引势能.
H的本征方程
2
2
2
Ze2 r
E
对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求
例：证明在 LZ 本征态 Ylm 下，<Lx> = <Ly> = 0
证：
方法 I
Lx Yl*m Lˆ xYlmd
代入平均值公式：
Lˆ x
1 2
[
Lˆ
Lˆ ]
Lˆ y
1 2i
[ Lˆ
Lˆ ]
Lx
1 2
Yl*m [ Lˆ
Lˆ ]Ylmd
1 2
Yl*m LˆYlmd
1 2
Yl*m LˆYlmd
z
y
)
x
z
)
Lz
xpˆ y
ypˆ x
i( x
y
y
x
)
由于角动量平方算符中含有关于 x， y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标 下角动量平方算符的本征方程不能分 离变量,难于求解,为此我们采用球坐 标较为方便.
z
r
(II) 球坐标
直角坐标与球坐标之间的变换关系
x r sin cos r 2 x2 y2 z 2
(1)
r
y
r
sin
sin
cos z / r
(2)
x
y
z r cos
tan y / x
(3)
球坐标
对于任意函数f(r,θ,φ) （其中r,θ,φ都是 x,y,z 的函数）则有：
f f r f f
xi r xi xi xi
其中
x1 , x2 , x3 x, y, z
将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导 数得：
cot
cos
]
Lˆ y
i[cos
cot
sin
]
Lˆ z
i
Lˆ2
2[ 1
sin
(sin
1
) sin2
2
2 ]
（2）本征方程
(I) Lz的本征方程
I。波函数有限条件，要求 z 为实数；
II。波函数单值条件，要求 当 φ 转过 2π角 回到原位时波函数 值相等，即：
求
2 | |2 d 0
同理 [Lˆ y , Lˆz ] iLˆ x [Lˆz , Lˆ x ] iLˆ y
合记之： [Lˆ , Lˆ ] i Lˆ
称
为
Levi Civita
符号，
其意义如下：
123 1 其中，， 1，2，3
或 x, y,z
（4）角动量升降阶算符
(I) 定义
Lˆ Lˆ x iLˆ y
这正是周期 性边界条件
(II) L2的本征值问题
其中 Y(,) 是 L2 属于本征值 2 的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程，其求解 方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是：
Lˆ2Y ( , ) 2Y ( , )
L2 的本征值方程可写为：
2[ 1 sin
(sin
)
1 2 eim ein d 0
2 0
(n m)
正交归一化性：
1
2
2 0
e im e in d mn
最后得 Lz 的本征函数 和本征值：
l
z
m
m ( )
1 eim
2
m 0,1,2,
讨论：
按Lˆz厄密性要求， * Lˆzd (Lˆz)* d
其中 和是粒子的任意两个态。
* Lˆzd
[l(l 1)2 m22 m22 ] Yl*mYlmd l(l 1)2 m(m 1)2
比较
| alm |2 [l(l 1) m(m 1)]2