数理分析方法第八讲

连续型随机变量
• 一维连续型随机变量
– 定义 – 分布函数和密度函数 – 常见的一维连续型分布
• 均匀分布 • 指数分布 • 正态分布
连续型随机变量
• 多维连续型随机变量
– – – – 定义 联合分布和边际分布 联合概率密度函数和边际分布密度 常见的多维分布函数
• 均匀分布 • 高维正态分布
– 连续型随机变量的独立性
数理分析方法第八讲 概率统计基础知识
魏丽weili@sfruc.edu.cn 中国人民大学财政金融学院
确定性现象和随机现象
试验一：一个盒子中有十个完全相同的白球，搅匀 后从中任意摸取一球。 试验二：一个盒子中有十个完全相同的球，但五个 是白色的，另外五个是黑色的，搅匀后从中任意摸 取一球。
随机试验、随机事件和样本空间
k
(ν 2 )
ν3
3/ 2
• 矩母函数及其性质 • 特征函数及其性质
M( t ) = E e tX
( )
ϕ ( t ) = E(eitX )
随机变量的函数
• 随机变量函数的分布
– 一般情形
• 离散型随机变量函数的分布列 • 连续型随机变量函数的密度函数
– 多维随机变量函数的分布
• 和的分布与卷积 • 商的分布
贝叶斯（Bayes）公式
• 解：即求 P(B4 | A) ，由条件概率的定义知
P(B 4 | A) = P(AB4 ) P(A)
由全概率公式求得 而 于是
P(A) = ∑ P(Bi )P(A | Bi ) = 0.0325
i =1 4
P(AB4 ) = P(B4 )P(A | B4 ) = 0.35 × 0.02 = 0.007
– 非负性：对任意事件A， P(A|B) ≥0； – 规范性： P(Ω|B) =1； – 有限可加性：对任意有限个两两互不相容的事件Ai， i=1，2，…，n，和的条件概率等于条件概率之和。
• 例：一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？ （假定一个小孩是男还是女是等可能的。）
随机变量的数字特征
• 数学期望和方差
– – – – – – – – 离散型随机变量 连续型随机变量 一维情形 多维情形 期望基本性质：单调、线性、独立可乘 方差基本性质：常数方差为零，独立可加等 协方差及其性质：对称性等 标准差
随机变量的数字特征
• 矩：ν k = E(X − EX ) • 偏度： β =
• 随机试验：
1. 试验可以在相同的情形下重复进行； 2. 试验的所有可能结果是明确可知道的，并且 不止一个； 3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一 个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验出现 哪一个结果。
随机试验、随机事件和样本空间
• 随机试验的每一个可能的结果称为基本事 件，由多个基本事件组成的事件称为复杂 事件，它们统称为随机事件（简称事件）。 所有可能的结果（基本事件）的全体称为 样本空间。 • 必然事件和不可能事件
统计推断
• 经验分布
– 根据历史数据
• 理论分布
– 建立适当的数学模型
• 用理论的统计分布进行计算的原因
– 多数情况下能得到的经验数据都是不充分的 – 用理论分布进行数量分析具有明显的优越性：简化计 算，分析性质
研究分布的统计方法
• 拟合方法：根据最近的实际数据建立与之相适合的理论 分布，用该理论分布作为要用的分布，并由已知理论分 布的各种性质进行进一步的讨论 • 贝叶斯统计方法：根据最近的实际数据加上专家的经验 （可以是再早些的数据，也可以是其他同行业、同业务 的数据，也可以是主观判断），去估计分布的参数 • 随机模拟方法：在已知理论分布的情况下，利用一些统 计方法较快地得到大量的模拟数据，进而对模拟数据进 行研究
全概率公式
• 解：令 A={从第一个盒子中取得标有字母A的球} B={从第一个盒子中取得标有字母B的球} R={第二次取出的是红球} W={第二次取出的是白球} 则容易求得 P(A)=7/10， P(B)=3/10 P(R|A)=1/2， P(W|A)=1/2 P(R|B)=4/5， P(W|B)=1/5 于是，试验成功的概率为 P(R)=P(R|A)P(A)+ P(R|B)P(B)=0.59
全概率公式
• 例：有外形完全相同的球分装三个盒子，每盒10个。
其中，第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有 字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个 盒子中则有红球8个，白球2个。试验按如下规则进 行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母 A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次 取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个 球。如果第二次取出的是红球，则称试验为成功。 求试验成功的概率。
– 随机变量函数的独立性
• 随机变量函数的数字特征
条件分布与条件期望
• 条件分布与条件数学期望
– 离散型情形 – 连续型情形 – 条件期望 – 条件方差 – 回归与第二类回归
数理统计
• • • • • • • 母体与子样 经验分布函数 统计量及其分布 次序统计量及其分布 参数估计 假设检验 回归分析
P ( Bi | A ) =
∑ P(B )P(A | B )
j=1 j j
∞
P(Bi )P(A | Bi )
,
i = 1,2,L
独立性
对任意两个事件A、B，若 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A、B是相互对立的，简称 为独立的。
随机变量
• 随机变量及分布函数 – 离散型随机变量 – 连续型随机变量 • 随机变量的数字特征 • 随机变量的函数 • 条件分布与条件期望
随机试验、随机事件和样本空间
• 事件之间的关系：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 包含：如果事件A发生必然导致事件B发生 相等：事件A与B相等 和（并）：事件A与B中至少有一个发生 交（积）：事件A与B同时发生 差：事件A发生而B不发生 互不相容：事件A与B不能同时发生 对立（逆）事件：A与B只能且必然发生其一
P(B4 | A) =
P(B4 )P(A | B4 )
∑ P(B )P(A | B )
i =1 i i
4
0.007 = ≈ 0.215 0.0325
贝叶斯（Bayes）公式
设 B1 , B2 ,L 是一列互不相容的事件，且有
UB
i -1
∞
i
=Ω
P(Bi ) > 0, i = 1,2, L
则对任一事件A，有
条件概率的一般定义和概率的乘法公式
• 定义：对任意两个事件A、B，若P(B) ＞0，称
P(A|B)= P(AB)/P(B)
为在已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件 概率。 • 乘法公式：对任意两个事件A、B，若P(B) ＞0， 则有
P(AB)= P(B) P(A|B)
条件概率
• 条件概率的基本性质：
• • • • • 单点分布（退化分布） 二项分布 0-1分布（两点分布） 几何分布 Poisson分布
离散型随机变量
• 多维离散型随机变量
– 设X1、X2、，…，Xn是样本空间Ω上的n个离散 型随机变量，则称n维向量（X1、X2、，…，Xn） 是Ω上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量。 – 联合分布列 – 边际分布列 – 离散型随机变量的独立性
全概率公式
设 B1 , B2 ,L 是一列互不相容的事件，且有
UB
i -1
∞
i源自文库
=Ω
P(Bi ) > 0, i = 1,2, L
则对任一事件A，有
P(A) = ∑ P(Bi )P(A | Bi )
i =1 ∞
贝叶斯（Bayes）公式
• 例：某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四 条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%， 35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05， 0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一 件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？若该厂 规定，除了不合格品要追究有关流水线的经济责 任，现在在出厂产品中任取一件，结果为不合格 品，但该产品是哪一条流水线生产的标志已经脱 落。比较合理的一种处理方式是根据各流水线的 不合格品率和生产量确定承担责任的比例。问第 四条流水线应该承担多大责任？
对任意两个事件A、B： P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(AB) 特别当A、B是两个互不相容的事件时，有 P(A∪B)= P(A) + P(B)
条件概率
• 例：某个班级有学生40人，其中有党员15人。全班 分成四个小组，第一小组有学生10人，其中党员4 人。如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个 代表恰好在第一组的概率为（10/40=1/4）。现在 要在班内任选一个党员当党员代表，则这个代表恰 好在第一小组的概率是（4/15）。 • 分析：若计 A={在班内任选一名学生，该学生属于第一小组} B={在班内任选一名学生，该学生是党员} 可以看到，第一个问题求得的是P(A) ，而在第二 个问题里，是在“已知事件B发生”的附加条件下， 求事件A发生的概率，这个概率称作是在B发生的条 件下，A发生的条件概率，记作P(A|B)。
随机变量及分布函数
• 随机变量的定义 – 取值依赖于随机现象基本结果的变量 • 随机变量的分类 • 分布函数的定义 • 分布函数的性质 • 联合分布函数 • 随机变量的独立性
离散型随机变量
• 一维离散型随机变量
– 定义在样本空间Ω上，取值于实数域R，且只取有限个 或可列个值的变量X=X(ω)，称作是一维（实值）离散 型随机变量，简称为离散型随机变量。 – 分布列和分布函数 – 常见的一维离散型分布
概率和频率
• 概率：随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），记为P(A)。 • 概率可以通过频率来“测量”。 • 概率的性质： 1. 非负性：对任意事件A， P(A) ≥0； 2. 规范性： P(Ω) =1；
3. 有限可加性：对有限个（n个）两两不相容的事件，和的 概率等于概率之和。
概率的加法公式