数理分析方法第八讲
8概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章
∑ ⎪⎪⎧Yrij
⎨
= µ + ai ai = 0;
+ ε ij ,
i = 1, 2, L, r,
⎪ i=1
⎪⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ 2 ).
j = 1, 2, L, m;
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i=1 j =1
∑ ∑ 1
σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ ) 2
~ χ 2 (rm − r) ，
∑∑ 故 Se
σ2
=1 σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ )2
~
χ 2 (n − r) ，即得 E(S e) = (n − r)σ 2；
4
r
r
r
r
r
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （2） S A = m (Yi⋅ − Y )2 = m (ai + εi⋅ − ε )2 = m ai2 + m (ε i⋅ − ε )2 + 2m ai (εi⋅ − ε ) ，
是第 i 个总体内样本均值与总样本均值的偏差，称为组间偏差，反映第 i 个总体的主效应． 三．偏差平方和及其自由度
∑ 在统计学中，对于
k
个独立数据
Y1 ,
Y2 ,
…,
Yk
，平均值 Y
=
1 k
k
Yi
i =1
，称
Yi 与 Y
之差为偏差，所有偏差
的平方和
k
∑ Q = (Yi − Y )2 i =1
数理分析方法
数理分析方法数理分析方法是一种用于分析、解释、预测和控制复杂现象的数学技术。
它能够表达和提取复杂的数据结构，并可以分析和综合多种相互关联的元素，使用户获得最优和最佳的结果。
它主要应用于机械设计中，它可以解决设计问题、确定设计理念、分析结构性能等，极大地提高设计和制造水平，提高产品的可靠性和服务寿命。
数理分析方法的基本概念主要包括：范围分析，子空间分析，变换分析，系统分析，数据分析，五边形等群，投影，秩，夹角，斜率，微积分，反函数等。
范围分析是指分析和运用有限的数据来求得系统的形式表达，可以有效地控制现象，它包括数学变换、空间几何变换、相似缩放变换以及分析变换法。
子空间分析是指从一般空间（物理空间或数值空间）的数据中抽取出一组有关的元素，并形成一个子空间，然后在这个子空间中进行详细分析，以求解和获得最优结果。
变换分析是指通过转换和变换数据来分析系统，以求解系统的最优性，它以一定的变换和转换把复杂的问题转换成简单的问题，同时便于求解和分析的过程。
使用数理分析方法的关键是理解数据结构，分析几何和定量的数据，结合复杂的数据，求解结构的性能，最终得到最优的解决方案。
为此，在分析之前，需要收集、清理、整理和准备数据，并了解它们之间的联系。
在分析有关数据之后，可以通过数学建模，开发有效的算法和解决方案，以获得最优的结果。
数理分析方法在社会科学研究、经济学研究中均有广泛应用，其不仅仅可以分析，模拟、预测和控制复杂的现象，而且可以从复杂的数据中提取出有价值的信息，提供给决策者采取正确的政策，它可以用于衡量经济效率、评估成本效益、解决复杂的金融问题等。
通过数理分析方法，可以准确、有效地分析复杂的问题，从而有效的构建有效的解决方案，提高工程设计的效率，使社会经济有力的发展。
它将减少成本、提高管理效率，支撑产品市场的竞争优势，使经济发展加快。
总之，数理分析方法是一种有效的工具，它可以帮助决策者们有效的进行分析，从而构建有效的解决方案，为社会的发展提供有力的支持。
概率论与数理统计第八讲
[(2
z)x
1
z 1
x2]
1
( z 2
4z
3)
20 2
2 z 3时 ，z 2 x 1;即 ：
1
1
fz (z)
z2 f X ( x) fY (z x)dx
(2 z x)dx
z2
1 z2 3z 9
2
2
第八讲 二维变量函数的分布与期望
因 为1 z 2的 区 域 有2块 ， 根 据fZ (z)
z
1 2
z2
z2
3z
3 2
综合以上几步，得：
f
Z
(z)
1 2
z2 z2
,
3z
3 2
,
0 z 1 1 z2
1 2
z
2 0,
3z
9 2
,
2 z 3 其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
例8-1-2（07数学一，11分）
已 知(
X ,Y
)的 概 率 密 度 为f
( x,
y)
2
x 0,
z 1
z1
2z z2
即：fZ (z) (2 z)2
0,
0 z 1 1 z2
其它
第八讲 二维变量函数的分布与期望
2. 平方和的分布
设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为 f (x, y), 寻求
Z X 2 Y 2 的分布。
考虑 Z 的分布函数：
FZ z PZ z PX 2 Y 2 z
第八讲 二维变量函数的分布与期望
FY1 ( y) P(Y1 y) P[min(X11, X12 , X13 ) y] 由 最 小 大 于 号 ：FY1 ( y) 1 P[min(X11, X12 , X13 ) y]
第八讲 分析时代.ppt
微积分的发展
雅各布 · 伯努利出身于商人世家.生 于瑞士巴塞尔， 毕业于巴塞尔大学，1671年 获艺术硕士学位，（这里的艺术指“自由艺 术”，包括算术、几何学、天文学、数理、 音乐和文法等共七大门类）后来遵照父亲的 意愿又取得神学硕士学位，但他却不顾父亲 的反对，自学了数学和天文学.
雅各布 · 伯努利在 1678年和1681年两 次遍游欧洲学习旅行，接触了许多数学家和 科学家，丰富了他的知识，拓宽了他的兴趣. 1682年他重返巴塞尔，开始教授力学. 1687 年，雅各布成为巴塞尔大学的数学教授. 至 逝世，他一直执掌着巴塞尔大学的数学教席. 成为当时欧洲科学界一位颇有影响的人物.
l
医学博士、植物学教授、生理学教授、 物理学教授、哲学教授 圣彼得堡：1725－1733年 巴塞尔：1733－1782年 1738年：《流体动力学》 第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想 连接起来的人
曾10次获得巴黎科学院奖。 把微积分、微分方程应用到物理学，研 究流体力学问题、物体振动和摆动问题， 为数学物理方法的奠基人
1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿， 从此便成为牛顿的门生。1724年，由于牛顿的大力 推荐，他继续获得教授席位。麦克劳林终生不忘牛 顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说 而奋斗，是牛顿微积分学说的竭力维护者。死后在 他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛 顿的感激之情。
f(x) f(0) xf' (0) x2 f"(0) 2!
K | y | ． (1 y2 )3 2
若曲线的参数方程为：
x (t)
y
(t
)
那么极坐标下的曲率方程为：
K
第八讲 卫生统计学 方差分析
Si
S i2
完全随机设计资料在进行统计分析时，需 根据数据的分布特征选择方法，对于正态分布 且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单 因素方差分析(one-way ANOVA)或成组资料的 t检验（k=2）；对于非正态分布或方差不齐的 资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon秩和检 验。
记总均数为 X X / N ，
MS组内= SS组内/υ组内=16466.65/33=498.99 F= MS组间／MS组内=15645.83/498.99=31.36
按表中的公式计算各离均差平方和SS、自由度、 均方MS和F值。
表 8-3 变异来源 df 35 总变异 2 组 间 组内（误差） 33 例 8-1 的方差分析表 SS MS F P 47758.32 31291.67 15645.83 31.36 <0.01 16466.65 498.99
Xij
正常钙（0.5%） 332.96 297.64 312.57 295.47 284.25 307.97 292.12 244.61 261.46 286.46 322.49 282.42 12 293.37 24.62 606.15
全部数据 36 252.55 36.94 1364.52
ni
Xi
又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影 响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病 程等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象 随机分配到各处理或对照组。 与完全随机设计相比，随机区组设计的特点是随机分配的次数 要重复多次，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行，且 各个处理组受试对象数量相同，区组内均衡。在进行统计分析时， 将区组变异离均差平方和从完全随机设计的组内离均差平和中分离 出来，从而减小组内平方和（误差平方和），提高了统计检验效率。 若将区组作为另一处理因素的不同水平，随机区组设计等同于无重 复观察的两因素设计。
【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第八讲 倍数问题(一) 人教版(含答案)
第八讲 倍数问题（一）第一部分：趣味数学将军饮马古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.分析：下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．同学们知道，连接两点的所有线中，直线段最短．只要知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。
如果直接连AB ，与直线不会相交，怎么办呢？当A 、B 位于直线的异侧时，就有交点了．于是我们就希望在直线的另一侧找到一点A ′，使得连A ′B 与直线相交于P 点后（这时A ′P ＋PB 最短）线段A ′P 与AP 一样长．由对称的知识可知道，点A 关于直线的对称点A ′就有资格扮演A 的角色．解答：如图1先作A 关于直线的对称点A ′，连接A ′B 与直线相交于P 点，则AP ＋PB 就最小。
那么这样作出的AP ＋PB 是否真的最小呢？有兴趣的同学可以自己试着证明一下。
原来海伦本解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。
后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。
事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。
我们把这类求近道的问题统称最短线路问题。
第二部分：奥数小练【例题1】 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。
原来两根铁丝各长多少厘米？ lP A'l B A 图1。
《数学分析方法选讲》讲义
[ 求极限 lim
π 2
n→∞
π sin π sin 2n sin π n + + ··· + . (北京大学, 1999) 1 1 n+1 n+ 2 n+ n
]
答案提示: = 思考 1.4
2 n 1 + ··· + 2 ; = 2 2 n→∞ (n + n + 1 n +n+2 n +) n+n 2 1 1 1 (2) 求极限 lim √ −√ − ··· − √ ; = −1 2 2 2 n→∞ n −1 n −2 n −n (1) 求极限 lim +
第II页
数 学 分 析 方 法 选 讲 (李 松 华 )
湖南理工学院
第一章 极 限
第一章 极 限
§1.1 数列极限
一、内容提要
1. 与数列极限有关的定义（共8个）
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn − a| < ε成立. lim xn ̸= a ⇔ ∃ε0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 − a| ≥ ε0 成立. lim xn = ∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn | > K 成立. lim xn = +∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn > K 成立. lim xn = −∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn < −K 成立. lim xn ̸= ∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 | ≤ K0 成立. lim xn ̸= +∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≤ K0 成立. lim xn ̸= −∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≥ −K0 成立.
南京理工大学应用数理统计PPT(第八章 正交实验设计)
15
即对于在 A1下的四次试验和 A下2 的四次试验来说，
虽然其它条件（B、C、D）在变动，但这种变动是
“平等的”，所以 A和1 A2之间差异反映了A的两
个水平的不同，由于
A1 A2 91.5 89.5 2 0
所以说因子A 取 A1 时平均收率较高。 同样可以比较因子B、C、D的两个水平的好坏， 各项计算都可以在正交表上进行，十分简便。
6
多因子试验的分类。 在考查A，B，C，D，…等n个因子对指标y的
作用时，若每个因子都取两个水平，则称为 2 n
因子试验问题。
若被考查的n个因子都取三个水平，则称为 3n
因子试验问题。
若被考查的因子有n+m个，其中，其中n个因子
取两水平，m个因子取三水平，则称为 2n 3m
因子试验问题。
7
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验，并对数据 进行统计分析的主要工具。
正交表用符号 Lp (nm ) 表示。
“ L ”代表正交表， “ p ”表示表中的行数，即要作的试验次数， “ m ”表示表中有m列，即最多允许安排的因 子个数， “ n ”表示水平数。
可以证明：n，m，p满足 m(n 1) p 1
A×C B×C D
试验
结果
yi
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
86
1
1
1
2
2
2
2
16
表头 A
B
C
D
试验
设计
结果
列号
试验 1
2
3
4
第八指数分析P8-资料
q 1
p 0
q p 00
11 % 0 18 0100 % 5 15 00 18 010500
kq p
00
q p
=107.72%
00
2020/2/22
17
加权算术平均指数：
kq p 00
K=q1/q0
q p 10
q p 00
q p 00
已知数量指标个体指数 用加权算术平均法
2020/2/22
7
例1某商店销售量和销售价格资料如
商 下单：位 销售量
价格
品
基期 报告 基期 报告
（q0）
期 (q1)
(p0)
期 (p1)
甲 件 50 60 8 10
乙 公斤 150 160 12 14
计算销售量总指数和价格总指数
2020/2/22
8
报告期销售量 解：销售量总指数= 基期销售量
109.09%= 107.72% × 101.27% 300 = 255 + 45
2020/2/22
36
➢ 总量指标指数体系因素分析
➢ 平均指标指数体系因素分析
2020/2/22
22
pp qq • 例：qq指01 pp数1体0 系是 建qq 10立pp在00 指标×体系的基础10 上11 的。 销售额 指数=销售量指数×价格指数
产值指数 =产量 指数×出厂价格指数 总成本指数=产量指数 ×单位成本指数 产值 指数=职工人数指数×劳动生产率 指数
2020/2/22
24
例4某商店销售量和销售价格资料如
商下：单位 销售量
价格
品
基期 报告 基期 报告
（q0）
期 (q1)
概率论与数理统计教程(茆诗松)第8章
华东师范大学
第八章 方差分析与回归分析
第8页
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
H0 ：1 =2 =…=r
备择假设为
H1 ：1, 2, …, r 不全相等
（8.1.1）
在不会引起误解的情况下， H1 通常可省略不写。 如果H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r 个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之， 当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，这时 称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。
有一个恒等式
k
( yi y ) 0
，这说明在Q中独立
i 1
的偏差只有k1个。
➢ 在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平 方和的自由度，常记为f，如Q的自由度为 fQ=k1。自由度是偏差平方和的一个重要参数。
13 July 2020
华东师范大学
第八章 方差分析与回归分析
第19页
四、总平方和分解公式
第22页
8.1.4 检验方法
偏差平方和Q的大小与自由度有关，为了便于在 偏差平方和间进行比较，统计上引入了均方的 概念，它定义为MS=Q/fQ ，其意为平均每个自 由度上有多少平方和，它比较好地度量了一组 数据的离散程度。
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 进
1
r
r i 1
i
为总均值.
称第 i 水平下的均值 i 与总均值 的差:
ai=i - 为 Ai 的效应。
13 July 2020
华东师范大学
第八章 方差分析与回归分析
第12页
数理分析方法
数理分析方法魏丽weili@财政金融学院中国人民大学主要内容：z第一讲绪论：从数理经济学到数理金融学的百年回顾。
z第二讲线性空间：定义、基和维数及其在金融学中的应用。
z第三讲线性函数：线性、双线性函数、内积及其在金融学中的应用z第四讲无限维线性空间理论初步：无限维线性空间、凸集分离定理等z第五讲数学规划简介：线性规划、非线性规划、多目标规划等z第六讲组合最优化问题：最优分组、编排、筛选以及计算复杂性等z第七讲概率统计基础知识：基本概念，常用分布、数字特征z第八讲随机过程初步：一般概念，布朗运动、马尔科夫链和鞅简介z第九讲金融中的最优化问题：凸函数及性质、Kuhn-Tucker条件等z第十讲随机模拟：随机数的产生，Monte-Carlo模拟技术等参考书z《金融学中的数学》，史树中著，高等教育出版社，2006。
z《Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering》， Marek Capinski and Tomasz Zastawniak, Springer, 2003.z《Mathematical Techniques in Finance》, Ales Cerny, Princeton, 2004.z《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等，高等教育出版社，1991。
z《运筹学》，第二版，刁在筠等，高等教育出版社，2002。
z《随机规划与模糊规划》，刘宝碇等，清华大学出版社，2004。
z《现代优化计算方法》，刑文训等，清华大学出版社，2003。
第一讲绪论：从数理经济学到数理金融学的百年回顾一、一般经济均衡理论和数学公理化二、从“华尔街革命”追溯到1900年三、谁将是下一位因研究金融而成为诺贝尔经济学奖得主？一、一般经济均衡理论和数学公理化1.1838，A.A.Cournot，《财富理论的数学原理研究》2.1874.1，L.Warlas，《交换的数学理论原理》,首次公开他的一般经济均衡理论的主要观点。
数理分析方法
数理分析方法数理分析方法是一种综合研究的方法，用来分析和讨论数学和物理方面的概念和技术。
它也被称为统计学、科学计算机和模拟计算机技术。
它的基本思想是，通过应用分析的方法来求解复杂的问题，这种分析方法可以以计算机程序的形式实现，要求解的问题可以在任何计算机硬件平台上实现。
数理分析方法可以在任何学科领域中应用，比如建筑，机械，经济学，社会科学，生物学，地理学，计算机科学和其他学科。
它是一种多学科交叉研究方法，有助于大量收集数据，提取有价值的信息，求解规模相关的问题，建立复杂模型，分析复杂的问题，以及模拟复杂的系统等。
数理分析方法的应用范围广泛，从工程计算到机器学习。
它可以应用于控制系统，信号处理，经济分析，计算物理学，图像处理，生物信息学等。
它也可以用于经济计算和金融学，以及数据科学等领域。
数理分析方法不仅可以用于实际应用，而且可以用于学术研究。
它在科学中得到了广泛的应用，例如在经典力学中对运动的分析，在化学中分析物质的物理结构，在生物学中分析生物的数据，在工程学中分析复杂的系统，以及在系统科学、网络科学、计算机科学和信息科学等领域中应用数理分析方法。
外，数理分析方法也可以应用于社会学、心理学、政治学等领域。
数理分析方法的本质是将复杂问题分解，分析，解决，求解。
它通常分析和求解数学模型，以解决实际问题。
它使用计算机和数学工具来进行分析，以获得性能和可靠性的改进。
数理分析方法的发展历史悠久，起源于十九世纪，由古典数学家和物理学家提出，在二十世纪有了质的飞跃。
在过去的几十年里，由于计算机技术的迅速发展，数理分析方法变得更加广泛和先进，并且随着每一代计算机技术的进步，其应用也在不断扩大。
数理分析方法是当前多学科研究的重要工具，在工程和科学研究中有着重要的地位。
它也是一种经济而高效的研究方法，可以节省资源，提高工作效率。
第八讲 二项分布与Poisson分布及其应用wang
二、率的假设检验
（一）样本率与总体率比较 • 比较的目的是推断该样本所代表的未知总 体率π与已知的总体率π0是否相等。 （二）两样本率比较的u检验
• 比较的目的是推断该两样本率所代表的总 体率π1与总体率π2是否相等。
（一）样本率与总体率比较
1、直接计算概率法
• 当阳性数 x 较小时，可直接计算二项分布的累计 概率，做出统计推断。
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0
12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 0 3 6 9
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8
n=50 p=0.3
n=20 p=0.3
p(X k)
X 0
P(X)
k
例1：据以往经验，新生儿染色体异常率一般为 1%，某医院观察了当地 400名新生儿，只有1 例异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于 一般？
• H0: π=0.01 H1: π<0.01 α=0.05 （单侧） P = p(x≤1) = p(x=0) + p(x=1)
n=5
p=0.5
n=10 p=0.5
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
n=20 p=0.5
0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5 p=0.3
n=10
p=0.3
(2) 数理统计证明，当n趋于无穷大时， 二项分布趋于正态分布。实际应用中，只 要n足够大， π不接近于1或0，就可以用正 态分布来处理二项分布的问题。
数理分析法
数理分析法
数理分析法是指利用数学与统计理论中的知识，对商业决策、投资管理和经济分析等
领域进行系统分析和研究的综合研究方法。
它主要是利用数字、统计学和代数等数学规律
和技术方法，提出，研究和解决商业决策、投资管理和经济分析等领域中涉及信息量较大、概率性强、决策过程较复杂的问题。
数理分析法在商业活动中所扮演的角色十分重要，它的应用范围非常广泛，主要应用
在商业决策、投资管理、企业运行、市场营销和经济分析等方面，是利用数学方法求出技
术经济分析和结果的一种重要方法。
在商业活动中，数理分析法的应用比较多，主要可以实现的功能有三个方面：一是提
供有效的分析方法，可以帮助企业根据市场变化进行投资决策，二是提供充分的可用信息，以帮助企业更好地把握行业经济发展趋势，三是加强企业内部管理，提高行政人员的技能，以便有效地把握和控制企业的财务状况。
数理分析法不仅可以帮助企业有效地解决投资问题，而且还可以合理地确定目标、有
效地管理投资成本和可靠地评估投资风险。
数理分析法是一种将复杂的商业现象、经济实践和商业数据转换为合理算法、科学原
理和具有一般性的数学规律的一种重要方法，这一方法被广泛应用于复杂的商业活动中，
因此显得极其重要。
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P(B4 | A) =
P(B4 )P(A | B4 )
∑ P(B )P(A | B )
i =1 i i
4
0.007 = ≈ 0.215 0.0325
贝叶斯（Bayes）公式
设 B1 , B2 ,L 是一列互不相容的事件，且有
UB
i -1
∞
i
=Ω
P(Bi ) > 0, i = 1,2, L
则对任一事件A，有
• 随机试验：
1. 试验可以在相同的情形下重复进行； 2. 试验的所有可能结果是明确可知道的，并且 不止一个； 3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一 个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验出现 哪一个结果。
随机试验、随机事件和样本空间
• 随机试验的每一个可能的结果称为基本事 件，由多个基本事件组成的事件称为复杂 事件，它们统称为随机事件（简称事件）。 所有可能的结果（基本事件）的全体称为 样本空间。 • 必然事件和不可能事件
条件概率的一般定义和概率的乘法公式
• 定义：对任意两个事件A、B，若P(B) ＞0，称
P(A|B)= P(AB)/P(B)
为在已知事件B发生的条件下，事件A发生的条件 概率。 • 乘法公式：对任意两个事件A、B，若P(B) ＞0， 则有
P(AB)= P(B) P(A|B)
条件概率
• 条件概率的基本性质：
全概率公式
• 解：令 A={从第一个盒子中取得标有字母A的球} B={从第一个盒子中取得标有字母B的球} R={第二次取出的是红球} W={第二次取出的是白球} 则容易求得 P(A)=7/10， P(B)=3/10 P(R|A)=1/2， P(W|A)=1/2 P(R|B)=4/5， P(W|B)=1/5 于是，试验成功的概率为 P(R)=P(R|A)P(A)+ P(R|B)P(B)=0.59
全概率公式
• 例：有外形完全相同的球分装三个盒子，每盒10个。
其中，第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有 字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个 盒子中则有红球8个，白球2个。试验按如下规则进 行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母 A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次 取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个 球。如果第二次取出的是红球，则称试验为成功。 求试验成功的概率。
随机试验、随机事件和样本空间
• 事件之间的关系：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 包含：如果事件A发生必然导致事件B发生 相等：事件A与B相等 和（并）：事件A与B中至少有一个发生 交（积）：事件A与B同时发生 差：事件A发生而B不发生 互不相容：事件A与B不能同时发生 对立（逆）事件：A与B只能且必然发生其一
对任意两个事件A、B： P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(AB) 特别当A、B是两个互不相容的事件时，有 P(A∪B)= P(A) + P(B)
条件概率
• 例：某个班级有学生40人，其中有党员15人。全班 分成四个小组，第一小组有学生10人，其中党员4 人。如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个 代表恰好在第一组的概率为（10/40=1/4）。现在 要在班内任选一个党员当党员代表，则这个代表恰 好在第一小组的概率是（4/15）。 • 分析：若计 A={在班内任选一名学生，该学生属于第一小组} B={在班内任选一名学生，该学生是党员} 可以看到，第一个问题求得的是P(A) ，而在第二 个问题里，是在“已知事件B发生”的附加条件下， 求事件A发生的概率，这个概率称作是在B发生的条 件下，A发生的条件概率，记作P(A|B)。
k
(ν 2 )
ν3
3/ 2
• 矩母函数及其性质 • 特征函数及其性质
M( t ) = E e tX
( )
ϕ ( t ) = E(eitX )
随机变量的函数
• 随机变量函数的分布
– 一般情形
• 离散型随机变量函数的分布列 • 连续型随机变量函数的密度函数
– 多维随机变量函数的分布
• 和的分布与卷积 • 商的分布
数理分析方法第八讲 概率统计基础知识
魏丽weili@ 中国人民大学财政金融学院
确定性现象和随机现象
试验一：一个盒子中有十个完全相同的白球，搅匀 后从中任意摸取一球。 试验二：一个盒子中有十个完全相同的球，但五个 是白色的，另外五个是黑色的，搅匀后从中任意摸 取一球。
随机试验、随机事件和样本空间
贝叶斯（Bayes）公式
• 解：即求 P(B4 | A) ，由条件概率的定义知
P(B 4 | A) = P(AB4 ) P(A)
由全概率公式求得 而 于是
P(A) = ∑ P(Bi )P(A | Bi ) = 0.0325
i =1 4
P(AB4 ) = P(B4 )P(A | B4 ) = 0.35 × 0.02 = 0.007
– 非负性：对任意事件A， P(A|B) ≥0； – 规范性： P(Ω|B) =1； – 有限可加性：对任意有限个两两互不相容的事件Ai， i=1，2，…，n，和的条件概率等于条件概率之和。
• 例：一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？ （假定一个小孩是男还是女是等可能的。）
连续型随机变量
• 一维连续型随机变量
– 定义 – 分布函数和密度函数 – 常见的一维连续型分布
• 均匀分布 • 指数分布 • 正态分布
连续型随机变量
• 多维连续型随机变量
– – – – 定义 联合分布和边际分布 联合概率密度函数和边际分布密度 常见的多维分布函数
• 均匀分布 • 高维正态分布
– 连续型随机变量的独立性
随机变量的数字特征
• 数学期望和方差
– – – – – – – – 离散型随机变量 连续型随机变量 一维情形 多维情形 期望基本性质：单调、线性、独立可乘 方差基本性质：常数方差为零，独立可加等 协方差及其性质：对称性等 标准差
随机变量的数字特征
• 矩：ν k = E(X − EX ) • 偏度： β =
统计推断
• 经验分布
– 根据历史数据
• 理论分布
– 建立适当的数学模型
• 用理论的统计分布进行计算的原因
– 多数情况下能得到的经验数据都是不充分的 – 用理论分布进行数量分析具有明显的优越性：简化计 算，分析性质
研究分布的统计方法
• 拟合方法：根据最近的实际数据建立与之相适合的理论 分布，用该理论分布作为要用的分布，并由已知理论分 布的各种性质进行进一步的讨论 • 贝叶斯统计方法：根据最近的实际数据加上专家的经验 （可以是再早些的数据，也可以是其他同行业、同业务 的数据，也可以是主观判断），去估计分布的参数 • 随机模拟方法：在已知理论分布的情况下，利用一些统 计方法较快地得到大量的模拟数据，进而对模拟数据进 行研究
P ( Bi | A ) =
∑ P(B )P(A | B )
j=1 j j
∞
P(Bi )P(A | Bi )
,
i = 1,2,L
独立性
对任意两个事件A、B，若 P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称事件A、B是相互对立的，简称 为独立的。
随机变量
• 随机变量及分布函数 – 离散型随机变量 – 连续型随机变量 • 随机变量的数字特征 • 随机变量的函数 • 条件分布与条件期望
全概率公式
设 B1 , B2 ,L 是一列互不相容的事件，且有
UB
i -1
∞
i
=Ω
P(Bi ) > 0, i = 1,2, L
则对任一事件A，有
P(A) = ∑ P(Bi )P(A | Bi )
i =1 ∞
贝叶斯（Bayes）公式
• 例：某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四 条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%， 35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05， 0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一 件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？若该厂 规定，除了不合格品要追究有关流水线的经济责 任，现在在出厂产品中任取一件，结果为不合格 品，但该产品是哪一条流水线生产的标志已经脱 落。比较合理的一种处理方式是根据各流水线的 不合格品率和生产量确定承担责任的比例。问第 四条流水线应该承担多大责任？
概率和频率
• 概率：随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），记为P(A)。 • 概率可以通过频率来“测量”。 • 概率的性质： 1. 非负性：对任意事件A， P(A) ≥0； 2. 规范性： P(Ω) =1；
3. 有限可加性：对有限个（n个）两两不相容的事件，和的 概率等于概率之和。
概率的加法公式
随机变量及分布函数
• 随机变量的定义 – 取值依赖于随机现象基本结果的变量 • 随机变量的分类 • 分布函数的定义 • 分布函数的性质 • 联合分布函数 • 随机变量的独立性
离散型随机变量
• 一维离散型随机变量
– 定义在样本空间Ω上，取值于实数域R，且只取有限个 或可列个值的变量X=X(ω)，称作是一维（实值）离散 型随机变量，简称为离散型随机变量。 – 分布列和分布函数 – 常见的一维离散型分布
– 随机变量函数的独立性
• 随机变量函数的数字特征
条件分布与条件期望
• 条件分布与条件数学期望
– 离散型情形 – 连续型情形 – 条件期望 – 条件方差 – 回归与第二类回归
数理统计
• • • • • • • 母体与子样 经验分布函数 统计量及其分布 次序统计量及其分布 参数估计 假设检验 回归分析
• • • • • 单点分布（退化分布） 二项分布 0-1分布（两点分布） 几何分布 Poisson分布
离散型随机变量
• 多维离散型随机变量