椭圆的标准方程与性质

椭圆的标准方程与性质

教学目标：

１了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

高考相关点:

在高考中所占分数:13分

考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。

涉及到的基础知识

1．引入椭圆的定义

在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数：

有以下３种情况

(１）若a＞c,则集合P为椭圆；

(2）若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a

２.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

ａ2

+＼ｆ（y２,ｂ2）＝1

（a>ｂ>0)

＼f(y2，a2）＋错误!=1

(a>ｂ>０)

图形

性质范围

－a≤x≤a

-b≤y≤b

-b≤ｘ≤b

-a≤ｙ≤a

对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点

顶点

A1(-a,0),A２(a,０）

Ｂ1(０,-b）,B2(0,b)

A１(0，－a),A２(0，a)

B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b

焦距｜F１Ｆ２|=2c

离心率ｅ=错误!∈(０，1）

ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结

类型一椭圆的定义及其应用

例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( )

A.椭圆ﻩ

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道

结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根

据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的

练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C

上的一点,且

错误!

1⊥2

PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_．

【解析】由题意的面积∴故答案为:

【答案】３

练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6ﻩB.5 Ｃ．4 D．3

【解析】由椭圆方程知,椭圆的长轴,则周长为16，故第三边长为６.所以正确答案为A.

【答案】A

类型二求椭圆的标准方程

例2:在平面直角坐标系ｘOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F2在x轴

上，离心率为２

2

.过Ｆ１的直线l交Ｃ于A，B两点,且△ABF2的周长为１6，那

么椭圆C的方程为________．

【解析】设椭圆方程为错误!+错误!=1(aﻩ>ｂ>0）,

由e＝错误!，知错误!＝错误!,故错误!=错误!.

由于△ABF２的周长为｜AB|+|BF2|＋|ＡF2|=|ＡF1|＋｜AF2|＋|ＢF1|＋｜ＢF

2

|=4a＝16，故ａ=4．

∴b２＝8,∴椭圆C的方程为错误!+错误!=1.

【答案】＼f(ｘ2,16)+＼f(y２,８)=１

练习１：设F1,F２分别是椭圆E：ｘ2＋y2

ｂ2

=1（0

的直线交椭圆E于A,B两点．若｜AF1|=3|F１B|,ＡF2⊥ｘ轴,则椭圆E的方程为___＿_＿_＿．

【答案】x2＋3y2/2=1

类型三 椭圆的几何性质

例3:如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，A 1，A 2,B 1，B 2为椭圆

()22

22

10x y a b a b +=>>的四个顶点,Ｆ为其右焦点,直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为________．

【解析】直线A 1B 2的方程为错误!＋错误!=1，直线B1F 的方程为错误!+错误!=１,二者联立，

得T(２a ｃａ-c

,错误!），

则M(＼f(ac,a －c),错误!）在椭圆错误!+错误!＝１(ａ>ｂ>0)上,

∴

22

22

()1()4()c a c a c a c ++=--, c 2＋10a ｃ－3a 2＝0，ｅ2＋1０e-３＝０,解得e ＝２错误!-5. 【答案】2错误!－5

练习1:已知A 、B 是椭圆错误!＋错误!＝１(a >b ＞０)和双曲线错误!-错误!＝1(a >０，ｂ＞0)的公共顶点.P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(Ｐ、M 都异于A 、B ),且满足错误!+错误!=λ(错误!＋错误!),其中λ∈R ,设直线A Ｐ、BP 、A Ｍ、BM 的斜率分别记为ｋ1、ｋ２、ｋ３、k 4，k 1＋k 2=５，则k 3＋k 4=__＿＿____．

【解析】设出点Ｐ、M 的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足

及其斜率的计算公式即可求出.

【答案】∵A,B

是椭圆

和双曲线