数列、极限、数学归纳法 归纳、猜想、证明 教案

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案张毅教学目标1．对数学归纳法的认识不断深化．2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题．师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．（二）归纳、猜想、证明1．问题的提出a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式．师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上）师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．2．归纳与猜想生：我猜出了一个an的计算公式．（许多学生在偷笑）师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的．师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？生：我只是通过对a1，a2，a3，a4的观察，就去归纳an的计算公式，这个公式不一定对，所以还只能是“猜想”．师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论．他用的是不完全归纳法．他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的．我们一起把他的“猜想”记录下来．（教师板书）师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？生：用数学归纳法证明．3．证明（学生口述，教师板书）师：证得非常好．在证明n=k+1时，每一步的依据是什么？生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键．因此先根据定义用ak表示ak+1，然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出n=k+1的相应结论．师：这才能体现出递推性．必须注意要由归纳假设（n=k时）的正确性来推n=k+1时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键．回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明．这种从观察到归纳到猜想到证明的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题．（板书课题：归纳、猜想、证明）4．不完全归纳法中的“猜测”二法师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行证明往往是时间问题．”在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键．我们再看一个例题，在解题过程中重点思考：如何猜想．且n≥2）．先求出f（2），f（3），f（4）的值，再由此推测f（n）的计算公式，并对其正确性作出证明．（学生们在笔记本上解答，教师巡视完成情况，请两位同学把自己的解法写到黑板上）（学生甲书写如下）则f（n）=f（n-1）+lg 2n-1（n≥2）．f（3）=f（2）+lg 23-1=0+2 lg 2=2lg 2，f（4）=f（3）+lg 24-1=2lg 2+3 lg 2=5lg2．猜想：……（学生乙书写如下）得f（n）=f（n-1）+lg 2n-1（n≥2）．则f（2）=f（1）+lg 22-1=-lg 2+（2-1）lg 2=（-1+2-1）lg 2，f（3）=f（2）+lg 23-1=（-1+2-1+3-1）lg 2，f（4）=f（3）+lg 24-1=（-1+2-1+3-1）lg 2+（4-1）lg 2=（-1+2-1+3-1+4-1）lg 2．由此可以推测：f（n）=[-1+（2-1）+（3-1）+…+（n-1）]lg2=[-1+1+2+…+（n-1）]lg 2f（k+1）=f（k）+lg 2（k+1）-1师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就是从n=2，3，4，…分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．（三）练习已知数列{an}和{bn}，其中an=1+3+5+…+（2n+1），bn=1+2+22+…+2n-1，（n∈N+）当n∈N+时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．（教师巡视学生的解题情况，适时点评）师：有的同学面对问题无从下手，一下子就想得到一个一般性的结论是不太容易，但我们可以从特殊的n=1，n=2，……入手，通过观察归纳，猜想出一个一般的结论，这应是可以做到的吧．……有的同学结论下得太草率，只看了a1与b1，a2与b2，a3与b3就下结论了，急于去证明，证的时候就有困难了．这种时候该怎么办？①看证法是否正确；②回过头来多试几个，甚至还应看看an，bn的结构，再慎重下结论．（待大部分学生都解出后，教师将课前准备好的写在投影片上的解答在投影机上打出来并讲评．）当n=1时，a1=4，b1=1，则a1＞b1；当n=2时，a2=9，b2=3，则a2＞b2；当n=3时，a3=16，b3=7，则a3＞b3；当n=4时，a4=25，b4=15，则a4＞b4；当n=5时，a5=36，b5=31，则a5＞b5；当n=6时，a6=49，b6=63，则a6＜b6；当n=7时，a7=64，b7=127，则a7＜b7；……由此得到：当n≤5（n∈R）时，an＞bn；猜想：当n≥6（n∈R）时，an＜bn．前一结论在推导时已用穷举法得到证明，后一猜想我们用数学归纳法加以证明．证明：（1）当n=6时，上面已证得a6＜b6，命题成立．（2）假设当n=k（k≥6）时命题成立，即k≥6时，（k+1）2＜2k-1．则当n=k+1时，bk+1=2k+1-1=2·2k-1=2（2k-1）+1＞2（k+1）2+1=2k2+4k+3=k2+4k+4+（k2-1）．因k≥6，则k2-1＞0．所以k2+4k+4+（k2-1）＞k2+4k+4．即bk+1＞k2+4k+4=（k+2）2=[（k+1）+1]2=ak+1．故ak+1＜bk+1，所以当n=k+1时，命题也成立．由（1），（2）得an＜bn对任意n≥6且n∈N+都成立．第（2）步亦可由分析法证得．（2）假设当n=k（k≥6）时命题成立，即k≥6时，（k+1）2＜2k-1，则当n=k+1时，要证ak+1＜bk+1，即证：（k+2）2＜2k+1-1．这只要证（k+2）2＜2·2k-1．由归纳假设2k＞（k+1）2+1，只要证（k+2）2 ＜[（k+1）2+1]×2-1，只要证k2+4k+4＜2k2+4k+3，只要证1＜k2．这由k≥6是显然成立的，所以当n=k+1时命题也成立．师：本题不能只对n=1，2，3，4做出检验，就冒然断定当n∈N+时，an＞bn成立．如果仓促做出此推测，在后面证明受阻时，也应重新检查猜想是否准确．其实，仔细看看式子an=（n+1）2，bn=2n-1的结构，就不难发现：随着n的不断增大，bn的增长速度明显快于an．想想这些，对结论的猜测会是大有好处的．（四）小结（引导学生一起归纳小结）1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明．2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．（五）布置作业1．高级中学课本《代数》下册（必修）P129第35题．2．（选作）已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和．先求出a1，a2，a3，a4的值，再推测{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．本题的求值计算、猜想都不是很困难，但用数学归纳法证明有一定难度．在由归纳假设ak成立推证ak+1成立时，需ak+1与ak的关系式，而题目条件中没有直接给出，这就需要学生能有意识地利用条件Sn+an=2n+1①．由于n∈N，就可以得到Sn+1+an+1=2（n+1）+1②．将数学归纳法的证明中起着重要作用，而且可简化计算．有整体构想的同学应先推导出此关系式，再计算、猜想、证明）课堂教学设计说明利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．至于课后思考题，其计算、猜想都不困难，使学生对此题轻松上手．但证明时的不顺利会引发他们的思考：照搬例习题的模式是不行的，它与例习题的区别何在？数学归纳法的本质特征是什么？……这些思考不仅有助于学生解出此题，更有助于学生从实质上理解数学归纳法，抓住其核心——递推．这节课的教学，我们始终以问题为主线，让学生的思维由问题开始，到问题深化．通过问题的研讨，帮助学生从认识上得到提高．逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入．从而提高学生的思维层次与思维水平．。