大学数学教案第14章
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第十四章 级数
无穷级数是大学数学的重要组成部分,它是由于进行实际计算的需要,随着极限概念的完善而同时形成的。无穷级数是表示函数、研究函数性质及进行数值计算的重要工具之一。本章首先讨论常数项级数,然后讨论幂级数和富里叶级数。
第一节 无穷级数的概念与性质
一、教学目标
1、理解无穷级数收敛和发散的概念。
2、理解无穷级数的基本性质;
3、熟悉级数收敛的必要条件。 二、教学重点
1、无穷级数收敛和发散的概念;
2、无穷级数的基本性质。 三、教学内容
1、无穷级数的概念
(1)设已给数列123,,,,,n u u u u L L ,则式子
123n u u u u +++++L L
或简记为
1
n
n u
∞
=∑,称为无穷级数,其中
第n 项n u 叫做级数的通项或一般项。 (2)各项都是常数的级数称为常数项级数。 (3)定义 当n →∞时,若级数
1
n
n u
∞
=∑的部
分和所成的数列{}n S 有极限S ,即
lim n n S S →∞
=,则称级数收敛,并称S 为级数
的和,记为
1231
n n n S u u u u u ∞
===+++++∑L L
,这时也称级数收敛于和S 。若{}n S 没有极限,则称级数发散。
例1 判定级数
111111
(1)
122334(1)n n n n n ∞
==+++++++∑L L g g g 的敛散性.
例2 判定级数
1
111ln(1)ln(11)ln(1)ln(1)2n n n ∞
=+=+++++++∑L L 的敛散性.
例3 讨论等比级数(也称几何级数)
1
211
n n n ar
a ar ar ar ∞
--==+++++∑L L
的敛散性.
例 4 试利用无穷级数说明循环小数
10.33
⋅
=.
2、无穷级数的基本性质
由上述关于数项级数敛散性的定义可知,级数的收敛问题,实际上就是其部分和数列的收敛问题,因此我们能应用数列极限的有关性质来推导级数的一系列重要性质.
性质1 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,其和为S ,
则级数
1
n
n ku
∞
=∑叶收敛,其和为kS .
这个性质表明:将级数的每一项同乘以不为零的常数后,其敛散性不变.
性质2 设级数
1n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑分别收敛
于σ和τ,则级数
1
()n
n n u
v ∞
=±∑也收敛,且
有
1
1
1
()n
n n n n n n u
v u v ϖτ∞
∞
∞
===±=±=±∑∑∑.
性质 3 加上或去掉级数的有限项,不影响级数的敛散性,只是当级数收敛时,加上有限项或去掉有限项,一般会改变级数的和.
性质4 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛于和S ,则对
其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛,
且其和不变.
性质5(级数收敛的必要条件) 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,则lim 0n n u →∞
=.
例5 判定级数
11231
234n n n ∞
==++++∑L 的敛散性.
例
6 证明调和级数
111
123n
+++++L L 发散.
四、布置作业
§2 正项级数
一、教学目标
1、熟练掌握几何级数和p —级数;
2、熟练掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。 二、教学重点
1、正项级数的比较判别法;
2、正项级数的比值判别法。 三、教学难点
正项级数的比较判别法。 四、教学内容
1、正项级数收敛的充分必要条件
正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{}n S 有上界。
例1 证明当1p >时,p -级数
1
1
111123p
p p p n n
n
∞
==+
++++∑L L 收敛。
2、正项级数收敛性的判别法
(1)比较判别法
设
1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑都是正项级数,且对
一切n ,有n n u v ≤,则
(1)如果级数
1
n
n v
∞
=∑收敛,则级数
1
n
n u
∞
=∑也收敛;
(2)如果级数
1
n
n v
∞
=∑发散,则级数
1
n
n u
∞
=∑也发散.
例2 证明级数 1111
135721
n +
+++++-L L 是发散级数.
例3 证明p -级数
1
1111123p p p p n n n ∞
==+++++∑L L 当1p ≤时发散.