大学数学教案第14章

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第十四章 级数

无穷级数是大学数学的重要组成部分,它是由于进行实际计算的需要,随着极限概念的完善而同时形成的。无穷级数是表示函数、研究函数性质及进行数值计算的重要工具之一。本章首先讨论常数项级数,然后讨论幂级数和富里叶级数。

第一节 无穷级数的概念与性质

一、教学目标

1、理解无穷级数收敛和发散的概念。

2、理解无穷级数的基本性质;

3、熟悉级数收敛的必要条件。 二、教学重点

1、无穷级数收敛和发散的概念;

2、无穷级数的基本性质。 三、教学内容

1、无穷级数的概念

(1)设已给数列123,,,,,n u u u u L L ,则式子

123n u u u u +++++L L

或简记为

1

n

n u

=∑,称为无穷级数,其中

第n 项n u 叫做级数的通项或一般项。 (2)各项都是常数的级数称为常数项级数。 (3)定义 当n →∞时,若级数

1

n

n u

=∑的部

分和所成的数列{}n S 有极限S ,即

lim n n S S →∞

=,则称级数收敛,并称S 为级数

的和,记为

1231

n n n S u u u u u ∞

===+++++∑L L

,这时也称级数收敛于和S 。若{}n S 没有极限,则称级数发散。

例1 判定级数

111111

(1)

122334(1)n n n n n ∞

==+++++++∑L L g g g 的敛散性.

例2 判定级数

1

111ln(1)ln(11)ln(1)ln(1)2n n n ∞

=+=+++++++∑L L 的敛散性.

例3 讨论等比级数(也称几何级数)

1

211

n n n ar

a ar ar ar ∞

--==+++++∑L L

的敛散性.

例 4 试利用无穷级数说明循环小数

10.33

=.

2、无穷级数的基本性质

由上述关于数项级数敛散性的定义可知,级数的收敛问题,实际上就是其部分和数列的收敛问题,因此我们能应用数列极限的有关性质来推导级数的一系列重要性质.

性质1 若级数

1

n

n u

=∑收敛,其和为S ,

则级数

1

n

n ku

=∑叶收敛,其和为kS .

这个性质表明:将级数的每一项同乘以不为零的常数后,其敛散性不变.

性质2 设级数

1n

n u

=∑和

1

n

n v

=∑分别收敛

于σ和τ,则级数

1

()n

n n u

v ∞

=±∑也收敛,且

1

1

1

()n

n n n n n n u

v u v ϖτ∞

===±=±=±∑∑∑.

性质 3 加上或去掉级数的有限项,不影响级数的敛散性,只是当级数收敛时,加上有限项或去掉有限项,一般会改变级数的和.

性质4 若级数

1

n

n u

=∑收敛于和S ,则对

其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛,

且其和不变.

性质5(级数收敛的必要条件) 若级数

1

n

n u

=∑收敛,则lim 0n n u →∞

=.

例5 判定级数

11231

234n n n ∞

==++++∑L 的敛散性.

6 证明调和级数

111

123n

+++++L L 发散.

四、布置作业

§2 正项级数

一、教学目标

1、熟练掌握几何级数和p —级数;

2、熟练掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。 二、教学重点

1、正项级数的比较判别法;

2、正项级数的比值判别法。 三、教学难点

正项级数的比较判别法。 四、教学内容

1、正项级数收敛的充分必要条件

正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{}n S 有上界。

例1 证明当1p >时,p -级数

1

1

111123p

p p p n n

n

==+

++++∑L L 收敛。

2、正项级数收敛性的判别法

(1)比较判别法

1

n

n u

=∑和

1

n

n v

=∑都是正项级数,且对

一切n ,有n n u v ≤,则

(1)如果级数

1

n

n v

=∑收敛,则级数

1

n

n u

=∑也收敛;

(2)如果级数

1

n

n v

=∑发散,则级数

1

n

n u

=∑也发散.

例2 证明级数 1111

135721

n +

+++++-L L 是发散级数.

例3 证明p -级数

1

1111123p p p p n n n ∞

==+++++∑L L 当1p ≤时发散.

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