大学数学教案第14章

第十四章 级数无穷级数是大学数学的重要组成部分，它是由于进行实际计算的需要，随着极限概念的完善而同时形成的。

无穷级数是表示函数、研究函数性质及进行数值计算的重要工具之一。

本章首先讨论常数项级数，然后讨论幂级数和富里叶级数。

第一节 无穷级数的概念与性质一、教学目标1、理解无穷级数收敛和发散的概念。

2、理解无穷级数的基本性质；3、熟悉级数收敛的必要条件。

二、教学重点1、无穷级数收敛和发散的概念；2、无穷级数的基本性质。

三、教学内容1、无穷级数的概念(1)设已给数列123,,,,,n u u u u L L ，则式子123n u u u u +++++L L或简记为1nn u∞=∑，称为无穷级数，其中第n 项n u 叫做级数的通项或一般项。

（2）各项都是常数的级数称为常数项级数。

（3）定义 当n →∞时，若级数1nn u∞=∑的部分和所成的数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，则称级数收敛，并称S 为级数的和，记为1231n n n S u u u u u ∞===+++++∑L L，这时也称级数收敛于和S 。

若{}n S 没有极限，则称级数发散。

例1 判定级数111111(1)122334(1)n n n n n ∞==+++++++∑L L g g g 的敛散性.例2 判定级数1111ln(1)ln(11)ln(1)ln(1)2n n n ∞=+=+++++++∑L L 的敛散性.例3 讨论等比级数（也称几何级数）1211n n n ara ar ar ar ∞--==+++++∑L L的敛散性.例 4 试利用无穷级数说明循环小数10.33⋅=.2、无穷级数的基本性质由上述关于数项级数敛散性的定义可知，级数的收敛问题，实际上就是其部分和数列的收敛问题，因此我们能应用数列极限的有关性质来推导级数的一系列重要性质.性质1 若级数1nn u∞=∑收敛，其和为S ，则级数1nn ku∞=∑叶收敛，其和为kS .这个性质表明：将级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.性质2 设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑分别收敛于σ和τ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且有111()nn n n n n n uv u v ϖτ∞∞∞===±=±=±∑∑∑.性质 3 加上或去掉级数的有限项，不影响级数的敛散性，只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和.性质4 若级数1nn u∞=∑收敛于和S ，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.性质5（级数收敛的必要条件） 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=.例5 判定级数11231234n n n ∞==++++∑L 的敛散性.例6 证明调和级数111123n+++++L L 发散.四、布置作业§2 正项级数一、教学目标1、熟练掌握几何级数和p —级数；2、熟练掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。

二、教学重点1、正项级数的比较判别法；2、正项级数的比值判别法。

三、教学难点正项级数的比较判别法。

四、教学内容1、正项级数收敛的充分必要条件正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n S 有上界。

例1 证明当1p >时，p -级数11111123pp p p n nn∞==+++++∑L L 收敛。

2、正项级数收敛性的判别法（1）比较判别法设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且对一切n ，有n n u v ≤，则（1）如果级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑也收敛；（2）如果级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑也发散.例2 证明级数 1111135721n ++++++-L L 是发散级数.例3 证明p -级数11111123p p p p n n n ∞==+++++∑L L 当1p ≤时发散.例4 证明级数2311112222n a a a a+++++++++L L (0)a >收敛.例5 判定级数21sin n nπ∞=∑的敛散性.例6判定级数1n ∞=是发散的.说明：比较判别法的极限形式设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑是两个正项级数，如果limnn nu l v →∞=，则（1）当0l <<∞时级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑有相同的敛散性；（2）当0l =且级数1nn v∞=∑收敛时，级数1nn u∞=∑也收敛；（3）当l =+∞且级数1nn v∞=∑发散时，级数1nn u∞=∑也发散.例7 判定级数11sin2n n∞=∑的敛散性.（2）比值判别法设1nn u∞=∑为正项级数，其中0(1,2,3,)n u n >=K ，如果其后项与前项之比的极限存在，即1lim n n nuq u +→∞=存在，则（1）当1q <时，级数收敛； （2）当1q >时，级数发散； （3）当1q =时，级数可能收敛，也可能发散.例8 判定级数111111!2!3!!n n n ∞==+++++∑LL 的敛散性.例9 证明级数1!nn x n ∞=∑对任何正值x 都是收敛的.（3）根值判别法如果正项级数1nn u∞=∑通项的n 次方根的极限存在，即n q =存在，则（1）当1q <时，级数收敛； （2）当1q >时，级数发散； （3）当1q =时，级数可能收敛，也可能发散.例10 判定级数1()21nn n n ∞=+∑的敛散性.例11 判定级数1(1)12n n n -∞-+-=∑的收敛性.五、布置作业§3 任意项级数一、教学目标1、熟练掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法；2、理解绝对收敛与条件收敛的概念。

二、教学重点、教学难点绝对收敛与条件收敛的概念。

三、教学内容1、 交错级数莱布尼兹定理 若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）1(1,2,3,)n n u u n +≥=L （2）lim 0n n u →∞=则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤.例1 判定级数11111111(1)1(1)234n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L 的敛散性.2、 绝对收敛与条件收敛（1）定理1 设1n n u ∞=∑为任意项级数，若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑也一定收敛.（2）定义 如果级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑为绝对收敛级数；如果级数1nn u∞=∑发散，而1nn u∞=∑收敛，则称1nn u∞=∑为条件收敛.例2 判定级数211sin 5n n nπ∞=∑的敛散性.（3）定理2 若任意项级数121nn n uu u u ∞==++++∑L L 满足条件1lim n n n u q u+→∞=，则 （1）当1q <时，级数1nn u∞=∑绝对收敛；（2）当1q >时，级数1nn u∞=∑发散.例 3 判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）111(1)2n nn n ∞-=-⋅∑；（2）1(1)!nnn n n ∞=-∑；（3）1nn ∞=四、布置作业§4 幂级数一、教学目标1、理解幂级数的概念及其运算性质；2、掌握求幂级数的收敛半径和收敛区间的方法。

二、教学重点、教学难点幂级数收敛半径和收敛区间的求法。

三、教学内容1、 函数项级数的一般概念2、 幂级数的收敛区间与收敛半径定理1 若幂级数在00(0)x x x =≠收敛，则对满足不等式0x x <的任何x ，幂级数收敛，且绝对收敛；若幂级数在0x x =时发散，则对满足不等式0x x >的任何x ，幂级数发散.定理2 若幂级数nn n a x∞=∑的系数满足 1lim n n naa ρ+→∞= 则 （1）当0ρ<<+∞时，1R ρ=；（2）当0ρ=时，R =+∞； （3）当ρ=+∞时，0R =.例1 求幂级数02nn n n x ∞=∑的收敛半径、收敛区间.例 2 求幂级数0(21)!nn x n ∞=-∑的收敛区间.例3 求幂级数0!nn n x∞=∑的收敛区间.例 4 求幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛区间.例 5 求幂级数2(1)1212n n n n x ∞-=-∑的收敛区间.例6 求幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛区间.3 幂级数的性质 性质1 加减法运算性质2 乘法运算性质3 微分运算性质4 积分运算§5 函数的幂级数展开式一、教学目标1、了解泰勒公式，泰勒级数和麦克劳林级数；2、掌握几个常用的初等函数的幂级数展开式及它们的收敛区间；3、会求较简单函数的幂级数展开式。

二、教学重点将较简单的函数展开成幂级数。

三、教学难点幂级数在其收敛区间内和函数的求法。

四、教学内容1 、泰勒级数（1）定理1若函数()f x在00(,)x R x R-+内可以展开为幂级数即()()nnnf x a x x∞==-∑，则()()(0,1,2,)!nnf xa nn==L（2）定义若()f x在x x=处的任意阶导数都存在，则称级数()()()!nnnf xx xn∞=-∑()2000 000()()() ()()()( 1!2!!nf x f x f xf x x x x x xn'''=+-+-++L为函数()f x在x x=处的泰勒级数.当x=时上式变为()(0)!nnnfxn∞=∑()()(0)(0)(0)1!2!!nnf xf ff x x xn'''=+++++L L称为函数()f x 在0x =处的泰勒级数，也称为()f x 的马克劳林级数.（3）定理2设()f x 在0x 的某个R 邻域内有任意阶导数.若()f x 的n 阶泰勒余项在这个邻域内当n →∞时趋于0，即对00(,)x R x R -+内的一切x 都有lim n →∞()0n R x =，则()f x 在00(,)x R x R -+内可展开为泰勒级数.2 初等函数的幂级数展开式（1）直接展开法例1 将函数()xf x e =展开成x 的幂级数.例 2 将函数()sin f x x =展开成x 的幂级数.例 3 讨论二项式函数()(1)f x x α=+的展开式.（2）间接展开法例4 将21()1f x x=+展开成马克劳林级数.例 5 将1()2f x x=-展开成马克劳林级数.例 6 将()cos f x x =展成马克劳林级数.例7 将()ln(1)f x x =+展成马克劳林级数.例8 将()sin f x x =在04x π=处展开成泰勒级数.3 幂级数应用例9 求e 的近似值.例10数点后四位.五、布置作业§6 傅里叶级数一、 教学目标1、理解三角级数、三角函数系的正交性的概念；2、熟练掌握将函数展开成傅里叶级数的方法。