函数的基本性质(二)函数的周期性

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函数的基本性质和特征

函数的基本性质和特征一．函数的基本性质1. 函数的单调性：1212),,f x D x x D x x ∈<函数（的定义域为，任给，且 1212)(0f x f x x x ->-（）若1212()(()())0x x f x f x ⇔-->，则函数)f x （是单调递增函数；12121212)(0()(()())0f x f x x x f x f x x x -<⇔--<-（）若，则函数)f x （是单调递减函数； 2. 函数的奇偶性：函数)f x （的定义域为D ，D 关于原点为对称，()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=---∈---若（则为奇函数。

或）则为奇函数。

()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=--∈--若（则为奇偶函数。

或）则为偶函数。

3. 函数的周期性：(=()()f x T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。

(=()()f kx T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。

(=()()f x T f x f x T +-若），则函数是以2为周期的周期函数。

1(=()()f x T f x T f x +若），则函数是以2为周期的周期函数。

1(=()()f x T f x T f x +-若），则函数是以2为周期的周期函数。

(=()()m f x T m f x T f x +-≠若），(0),则函数是以2为周期的周期函数。

()()T f x T f x ϖϖ若的周期是，则的周期为。

1(()()21(f x f x T f x T f x -+=+），则是以为周期的周期函数。

） 1(()()1(f x f x T f x T f x -+=-+），则是以4为周期的周期函数。

函数周期知识点总结

函数周期知识点总结一、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定区间内具有重复性的性质。

如果函数在一个区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数f(x)在该区间上有周期T，T称为函数f(x)的周期。

函数的周期性是函数中非常重要的一种性质，对于周期函数而言，其周期性是其定义的本质。

二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指函数的取值在每个周期内具有重复性。

周期函数的周期是指函数在一个区间内具有重复性。

设f(x)是定义在一定区间上的函数，如果存在正数T，使得任意x∈[a,a+T]，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。

周期函数的周期一般是不唯一的。

2. 周期函数的图像特点周期函数的图像表现出在一个周期内具有重复性的特点。

周期函数的图像通常是具有规律的波动，在一定周期内呈现出反复的形状。

3. 周期函数的基本性质周期函数在一个周期内具有相同的性质，包括最大值、最小值、零点等。

周期函数还具有周期平移、镜像对称等性质。

周期函数的和、差、积、商也是周期函数。

4. 周期函数的分类周期函数根据周期的不同可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等。

根据周期的形式还可以分为奇函数和偶函数。

5. 周期函数的应用周期函数在自然界和各种科学领域有着非常广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等等。

周期函数的研究对于理解自然规律和解决实际问题具有重要的意义。

三、常见周期函数1. 正弦函数正弦函数是最基本的周期函数之一。

其函数表达式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性。

2. 余弦函数余弦函数也是最基本的周期函数之一。

其函数表达式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

3. 正切函数正切函数的函数表达式为y=A tan(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。

函数的基本性质及常用结论

函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间）若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。

《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》

备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)．当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0，所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)．答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )，故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45，又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1，且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数，于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。

高中数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

函数的周期性的知识点总结

函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。

更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。

二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。

2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。

3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。

三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。

2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。

四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。

2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。

3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。

五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。

2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。

3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。

六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。

2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。

函数的基本性质

函数的基本性质一．函数的单调性：1. 定义：设D 为函数)(x f 定义域的子集。

对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔>--⇔>--⇔<0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是增加的。

对任意的D ,21∈x x 且21x x <时，都有⇔<--⇔<--⇔>0)](()([0)()()()(1212121221）x x x f x f x x x f x f x f x f 函数)(x f y =在D 上是减少的。

2. 图像特点：自左向右看图像是上升的。

（图像在此区间上是增加的）自左向右看图像是下降的。

（图像在此区间上是减少的）3.判断函数单调性的方法：（1）图像法：作出函数图像，由图像直观判断求解，只能用于判断。

（数形结合）解题程序：解析式-----图像-----单调区间（2）性质法：需要先记清基本初等函数的单调性。

高中基本初等函数：一次函数：)0(≠+=k b kx y ，二次函数：)0(2≠++=a c bc ax y 反比例函数：)0(≠=k x k y ，简单幂函数：3,2,21,1,1)(-=∈=αααR x y 指数函数：)10(≠>=a a a y x 且，对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且， “对勾”函数：)0(>+=a x ax y①a x f y +=)(与)(x f y =的单调性相同。

②当0>a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相同；当0<a 时，函数)(x af y =与)(x f y =的单调性相反；③在公共定义域内，增函数)(x f +增函数)(x g 是增函数，减函数)(x f +减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f －减函数)(x g 是增函数，减函数)(x f －增函数)(x g是减函数；④两函数积的单调性：当)(x f ，)(x g 在公共区间上都是增（减）函数。

《函数的基本性质》知识点总结

《函数的基本性质》知识点总结《函数的基本性质》知识点总结「篇一」《函数的基本性质》知识点总结基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

函数的基本性质

函数的基本性质之一——单调性【基本概念】（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f (x 1)－f (x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数的周期性与奇偶性

函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。

函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。

本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。

一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。

若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。

周期函数是一类具有固定重复规律的函数。

常见的周期函数有三角函数和指数函数。

以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。

它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。

在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。

对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。

而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。

函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。

二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。

若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。

偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。

典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。

奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。

典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。

在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。

比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。

同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。

函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。

函数课题研究报告范文

函数课题研究报告范文函数课题研究报告一、引言函数是数学中的重要概念，也是物理、化学、经济等学科中经常被使用的工具。

通过研究函数，我们可以更好地理解和描述自然界中的各种现象和规律。

本次研究报告旨在探讨函数的基本性质及其在实际问题中的应用。

二、函数的定义和性质函数是一种变量之间的关系。

在数学上，一个函数可以定义为一个集合，其中每个输入值有一个对应的输出值。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系等要素。

在研究函数的过程中，我们发现了一些重要的性质。

1. 函数的单调性：函数可以是递增或递减的。

如果对于定义域中的任意两个数a和b，当a小于b时函数值f(a)小于f(b)，则称函数为递增函数；如果f(a)大于f(b)，则称函数为递减函数。

2. 函数的奇偶性：如果对于定义域中的任意数x，有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；如果f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数。

3. 函数的周期性：如果存在正数T使得对于定义域中的任意数x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T称为函数的周期。

三、函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 物理学中的函数：物理学中很多物理量的变化都可以用函数来描述，例如位移、速度、加速度等。

通过函数，我们可以得到物理系统的运动规律，从而解决与运动有关的问题。

2. 经济学中的函数：经济学中的供求关系、收入分配等问题，都可以通过函数来进行描述和分析。

通过函数的模型，我们可以预测市场中商品的价格变化，分析收入分配不平等等经济问题。

3. 生物学中的函数：生物学中的生理过程、遗传规律等可以用函数来描述。

例如，酶的活性随温度的变化可以通过函数关系来表示，从而研究酶的催化作用。

四、结论通过对函数的定义和性质的研究，我们可以更好地理解函数的概念和应用。

函数作为一种重要的数学工具，在各个学科中都有广泛的应用，帮助我们解决实际问题，进一步深化对自然界和社会现象的理解。

函数的周期性与奇偶性的判定

函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。

函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。

本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。

一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。

一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。

这个正数T被称为函数f(x)的周期。

周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。

判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。

如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。

2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。

例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。

二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。

一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。

奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。

判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。

2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。

例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。

综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。

通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。

这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。

2024年高二数学函数基本性质知识总结（2篇）

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于对称。

（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于对称。

（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。

二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞．考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。

函数的周期性有哪些公式呢？

函数的周期性有哪些公式呢？
一、函数的周期性：
设函数 f（x）在区间 X 上有定义，若存在一个与 x 无关的正数 T , 使对于任一x∈X,恒有 f（x+T）= f（x）
则称f（x）是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数 f（x）的周期。

二、周期函数的运算性质：
①若T为f（x）的周期，则f（ax+b）的周期为 T/|a| 。

②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。

③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。

三、常见的周期函数有：
sinx，cosx，其周期T=2π；
tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其周期T=π。

解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。

四、例题：
设对一切实数x，有f（1/2 + x）= 1/2 + √【f(x)- f^2(x)】,则f （x）是周期为多少的周期函数？
解：f【1/2 +（1/2 + x）】= 1/2 + √【f(1/2 + x)- f^2(1/2 + x)】
=1/2 + √【1/4 - f(x) + f^2(x)】= 1/2 + 【 f(x) - 1/2】
= f(x),(由题设f(x)≥1/2)
即 f(1+x) = f(x) ,故可知f(x)的周期为1 。

函数的基本性质(二)函数的周期性-10页word资料

函数的基本性质(二)基础知识：函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.)也是f(x)的周期. 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编)例题：1．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.2．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立，所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)m x (f 1)m x (f 1+-++--=+++-=＝f(x) 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])x (f 1)x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)m x (f 1)m x (f 1-=+--+-+-=+++--=于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b－x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b)) ＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期当a＜b时同理可得所以，2|a－b|是f(x)的周期6．已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝20047．已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) 所以，f(x)为偶函数 ⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0 所以f(x ＋2m)＝－f(x)于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m] ＝－f(x ＋2m) ＝f(x) 即T ＝4m(周期函数)8．数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，且a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)①求a 100； ②求S 100.解：由已知a 1＝a ，a 2＝b ，所以a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ，a 7＝a ，a 8＝b ，…… 由此可知，{a n }是以6为周期的周期数列，于是a 100＝a 6×16＋4＝a 4＝－a又注意到a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 96＋a 97＋a 98＋a 99＋a 100＝0＋a 97＋a 98＋a 99＋a 100 ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4 ＝a ＋b ＋(b －a)＋(－a) ＝2b －a9．对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy ＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a 的所有整数a. 解：令x ＝y ＝0，得f(0)＝－1再令x ＝y ＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2 所以f(－1)＝－2又令x ＝1，y ＝－1，可得f ⑴＝1 令x ＝y ＝1得f ⑵＝2f ⑴＋1＋1＝4 令y ＝1，得f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋2即f(x ＋1)－f(x)＝x ＋2 ① 当x 取任意正整数时，f(x ＋1)－f(x)＞0 又f ⑴＝1＞0 所以f(x)＞0于是f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋2＞x ＋1 即对任意大于1的正整数t ，f(t)＞t在①中，令x ＝－3，得f(－3)＝－1，进一步可得f(－4)＝1 注意到f(x)－f(x ＋1)＝－(x ＋2) 所以当x ≤－4时，f(x)－f(x ＋1)＞0即f(x)＞f(x ＋1)＞f(x ＋2)＞……＞f(－4)＝1 所以x ≤－4时，f(x)＞x综上所述，满足f(a)＝a 的整数只有a ＝1或a ＝－210．设f(x)是一个从实数集R 到R 的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+)71x (f )61x (f )4213x (f +++=+,求证:f(x)是周期函数.证明：由已知f(x)+)4216x (f )427x (f )4213x (f +++=+所以)426x (f )4213x (f )x (f )427x (f +-+=-+)4242x (f )4249x (f ......)4212x (f )4219x (f +-+===+-+=即 )427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+ ①同理有)4243x (f )4249x (f )421x (f )427x (f +-+=+-+即 )421x (f )4243x (f )427x (f )4249x (f +-+=+-+ ②由①②)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+)4242x (f )4284x (f ......)422x (f )4244x (f )421x (f )4243x (f +-+===+-+=+-+=于是f(x ＋1)－f(x)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)，记这个差为d 同理f(x ＋3)－f(x ＋2)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)＝d ……f(x ＋n ＋1)－f(x ＋n)＝f(x ＋n)－f(x ＋n －1) ＝……＝f(x ＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x ＋n)}是一个以f(x)为首项，d 为公差的等差数列因此f(x ＋n)＝f(x)＋nd ＝f(x)＋n[f(x ＋1)－f(x)]对所有的自然数n 成立，而对于x ∈R ，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x ＋1)－f(x)＝0 即f(x ＋1)＝f(x) x ∈R 所以f(x)是周期为1的周期函数.习题:1.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2.设f(x)是定义在实数集上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，那么，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝a)x (cf b)x (af -+(其中:a,b,c∈R,且a 2＋bc≠0),求证:2m 是f(x)的一个周期.5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数,求证:2m 是f(x)的一个周期.6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数,求证:4m 是f(x)的一个周期.7. 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：8.1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。

职高函数必考知识点总结

职高函数必考知识点总结一、函数的定义与基本性质1. 函数的概念：函数是一种将输入值映射到输出值的关系，通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

2. 函数的定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的范围，值域是所有可能的输出值的集合。

3. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表示，它展示了函数的变化规律和特点。

4. 函数的奇偶性：函数的奇偶性可以通过f(-x)和f(x)的关系判断，若f(-x)=f(x)则为偶函数，若f(-x)=-f(x)则为奇函数。

5. 函数的单调性与极值：函数在定义域内的单调性可以通过导数的正负来判断，而函数的极大值和极小值可以通过导数的零点来判断。

6. 函数的周期性：周期函数的周期是指函数在一个周期内能够重复自身的长度，可以用f(x+T)=f(x)来表示，其中T为周期。

7. 函数的基本性质：包括函数的有界性、连续性、增减性等基本性质。

二、常见函数的性质1. 一次函数：一次函数的一般形式为f(x)=ax+b，其中a和b为常数，它的图像是直线，具有斜率和截距的含义。

2. 二次函数：二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，它的图像是抛物线，具有顶点和对称轴的特点。

3. 指数函数：指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为正数且不等于1，它的图像是以a为底的指数曲线。

4. 对数函数：对数函数的一般形式为f(x)=loga(x)，其中a为正数且不等于1，它的图像是对数曲线。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的图像分别是周期波动的曲线。

三、函数的运算1. 函数的加减乘除：两个函数的加减乘除可以分别表示为(f+g)(x)、(f-g)(x)、(f*g)(x)、(f/g)(x)，其中加减乘除的运算规则与普通数的四则运算相似。

2. 复合函数：若g(x)是f(x)的自变量，则复合函数的表示为f(g(x))。

3. 反函数：若f(x)的定义域和值域分别为D和R，且f(x)是单射函数，则它的反函数为f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x))=f^(-1)(f(x))=x。

函数的基本性质(二)函数的周期性

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