隐函数存在定理
8-5隐函数存在定理与隐函数微分法
2
Fy (0,1) 2 0,
2
依定理知方程 x y 1 0 在点 (0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数 y y( x )，且 y(0) 1。
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则
dy Fx x , dx Fy y
把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得
y y 1 f1 ( 1) f 2 ( xy xz ), z z
整理得
y 1 f1 xyf 2 . f1 xzf 2 z
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z f ( x y z , xyz )
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dy d2y 例2： 已知 sin y e x x y 1 0 , 求 , 2 。 dx x 0 dx x 0
解1： 用公式 由条件易知 x 0 时 , y 0
设
F ( x , y ) sin y e x x y 1 ,
第五节 隐函数存在定理与 隐函数微分法
一、一个方程的情形 二、方程组的情形
第八章
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结束
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
解2 方程的两边同时求微分，x、y、z 看 成相互独立的变量 dz f1 (dx dy dz) f 2 ( yzdx xzdy f 2 dz dx dy, 1 f1 xyf 2 1 f1 xyf 2 f1 xzf 2 1 f1 xyf 2 dx dy dz, f1 yzf 2 f1 yzf 2 1 f1 xyf 2 f1 yzf 2 dy dz dx. f1 xzf 2 f1 xzf 2
第16章隐函数存在定理
隐函数存在定理
• 第一节 隐函数存在定理
函数相关
一、F(x,y)=0 情形
定理 1 设函数 F ( x , y )满足： （1） 在区域D :| x x | a,| y x | b上，F , F 连续； （2） F ( x0 , y0 ) 0， （ 3） F y ( x 0 , y 0 ) 0 ，
Fx Gx u 1 (F ,G ) Fu x J ( x, v ) Gu
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
0 0 x y
则（1）方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内唯 一确定一个函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )， （2）y=f(x)在 x 0 邻域内连续 (3) y=f(x)在 x 0 邻域内具有连续导数，且
dy F ( x, y) . dx F ( x, y)
存在,具有对各变元的连续偏导数.那么
D( y1 , y2 ,, yn ) D( x1 , x2 ,, xn ) 1. D( x1 , x2 ,, xn ) D( y1 , y2 ,, yn )
这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广.
dy dx 1 dx dy
于是，在( x0 , y0 ,0)附近，曲面必与平面相交， 其交线是唯一的，并且还是一条z=0面上的 光滑曲线。
1 2 n
(1)在区域D :| x x | a ( i 1,2,...,n), | y y | b
0 i i 0
6-8 隐函数存在定理概要
的z f ( x, y), 满足z0 f ( x0 , y0 )，F ( x, y, f ( x, y)) 0 z Fy Fx z 且 x F y Fz z
注意：定理1可推广到n个自变量的情况： 由F ( x1 , , xn , y ) 0确定的隐函数y f ( x1 , x2 , xn ) 满足条件时，有
Fxk y x k F y
例4
z z 已知 x y z 4z 0, 求 2 、 x x y
2
2
2
2
2
解一：利用定理2 解 令 F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4z 则
Fx 2 x,
Fy 2 y ,
Fz 2z 4
x y z 1
2 2 2
可解出
或
z 1 x2 y2 z 1 x2 y2
隐函数
隐函数存在定理1
设F ( x , y )在点P ( x0 , y0 )的某邻域内满足： F F 1. , 连续 x y
2.F ( x0 , y0 ) 0 但Fy( x0 , y0 ) 0. 则F ( x , y ) 0 在某邻域内 唯一确定一个 具有连续导数
Fx Gx u 1 (F , G ) Fu x J ( x, v ) Gu Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F , G ) Gu G x x J (u, x )
Fy u 1 (F , G ) Gy y J ( y, v ) Fu v 1 (F , G ) Gu y J (u, y ) Fv Gv Fy Gy
的y f ( x ), 满足y0 f ( x0 )，F ( x, f ( x )) 0
§16.1隐函数存在定理
则
x y y 2 2 , Fx ln x y arctan 2 2 x x x y y x y 2 2 , F y ln x y arctan 2 2 x y x y Fx x y dy . y x dx Fy
由于 x的任意性，这就证明了对于O x0 , 中任一x , 总能从 F x , y 0得到唯一的y与x相对应.这就是函数关系, 记为 y f x 。
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
考虑一元函数F x, y0 b .
F x, y0 b 0.
由于F x0 , y0 b 0，所以必存在2 0，在邻域O x0 ,2 内,
取＝min 1 ,2 ，于是在邻域O x0 , 内同时有
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例4. 证明有唯一可导的函数y y( x )满足方程 sin y shy x , 并求出导数y '( x ).
证明 : 令F x , y sin y shy x , 它在整个平面上连续. Fx 1, Fy cos y chy也连续.
PutianUniversity
§1. 隐函数存在定理
例 2 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点(0,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1的隐函 数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在
x 0 的值.
解
F ( x, y) x 2 y 2 1 则 Fx 2 x , F y 2 y , 均连续。 x0 0, y0 1. F (0,1) 0, F y (0,1) 2 0,
隐函数存在定理概要
在这样的条件下,显然在点( x0 , y0 ,0)的附近,曲面 z F ( x
, y) 必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的
曲线 y f ( x) (在 z 0 平面上).
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在 (0,1) 这一点 及其某个邻域内唯一地确定了一个函数
y 1 x2 ,
这个函数在 x 0 的近旁连续,并具有连续导数.同样在
(0,1) 这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数
y 1 x2 ,
面,现在的问题是, 在什么条件下这一联立方程有解, 亦
即在什么条件下,曲面 z F ( x, y) 与平面相交,其交线是唯 一的并且又是光滑( x, y) 是光滑曲面, 定 理的条件 (2) 又表明曲面在 z 0 平面上有一个交点( x0 , y0 ,0) 定理的条件 (3) 告诉我们,曲面在交点 ( x0 , y0 ,0) 处沿 y 轴方 向看,曲面是单调的(若 Fx ( x0 , y0 ) 0 则它是单调增加的,若
例 考察方程
F ( x, y ) x 2 y 2 1 0
二、多变量情形
上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明 方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下: 定理2 若函数 F ( x1 , x2 ,, xn ; y ) 满足以下条件:
(1) 在区域 D : xi xi( 0 ) ai , y y ( 0) b (i 1,2,, n)
1 隐函数存在定理
隐函数存在定理
O
x0
x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
(a) 把上述 y f ( x ) 看作曲面 z F ( x , y ) 与坐标
平面 z 0 的交线，故至少要求该交集非空，即
P0 ( x0 , y0 )，满足 F ( x0 , y0 ) 0 , y0 f ( x0 ) .
(b) 为使 y f ( x ) 在 x0 连续，故要求 F ( x , y ) 在点
－－－－
y f ( x)
x0
x0
x0
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
(c) 同号两边伸
图2 隐函数存在性与惟一性分析示意图
(a) “一点正, 一片正 ” y
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
y J 与之对应, 能使 ( x , y ) E , 且满足上方程 ,
则称由上方程 确定了一个定义在 I , 值域含于 J
的隐函数. 如果把此隐函数记为
y f ( x) , x I , y J ,
则成立恒等式
证 首先证明隐函数的存在与惟一性．
证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图2 )：
隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1几何解释
隐函数存在定理1指出，在一定条件下，如果一个多元函数表达式可以被表示为一个变量的函数和其他变量的常数（或者函数）的形式，且该变量在特定点的偏导数不为零，则在该点附近可以存在一个隐函数。
其几何解释可以理解为，在平面直角坐标系中，如果一个函数的图像可以被表示为一个变量（例如$x$）和其他变量（例如$y$）的方程形式，且在特定点$(x_0,y_0)$处$\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$，则在该点附近可以存在一条曲线（例如$y=g(x)$），该曲线是函数
$f(x,y)$在该点的图像在$y$方向上的切线，也就是说，函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的图像在该点附近可以表示成一个关于$x$的函数$g(x)$的形式。
标准的例子是圆的方程$x^2+y^2=r^2$，在点$(x_0,y_0)$处如果$\frac{\partial f}{\partial y}\neq 0$则在该点附近可以表示成一个关于$x$的函数$y=\sqrt{r^2-x^2}$或$y=-\sqrt{r^2-x^2}$的形式。
《隐函数存在定理》课件
结论二
通过证明过程，揭示了隐函数存 在定理与函数极限、连续性、可 导性等基本概念之间的内在联系 。
结论三
证明了隐函数存在定理的应用价 值，为解决与隐函数相关的问题 提供了理论支持。
03
隐函数存在定理的应用
Chapter
在微分方程中的应用
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而隐函数存在定理可以用于 证明某些微分方程的解的存在性和唯一性。
应用研究方向
分析了隐函数存在定理在解决实际问 题方面的应用前景，如优化问题、微 分方程求解等。
隐函数存在定理的研究前景
未来发展趋势
预测了隐函数存在定理未来的发展趋势，如与其他数学分支的交叉融合、新方法的出现 等。
潜在应用领域
探讨了隐函数存在定理在解决实际问题中的潜在应用领域，如人工智能、大数据分析等 。
利用多元函数的可导性，推导出 与隐函数存在定理相关的性质和 结论。
对证明过程进行总结和归纳，得 出隐函数存在定理的完整证明。
第一步 第二步 第三步 第四步
利用多元函数的极限和连续性， 推导出与隐函数存在定理相关的 性质和结论。
利用第一步和第二步的结论，证 明隐函数存在定理。
证明的结论
结论一
证明了隐函数存在定理，即对于 某一方程组，如果满足一定条件 ，则该方程组存在唯一确定的隐 函数。
THANKS
感谢观看
对定理的推广结论
推广结论包括
在满足一定条件下，隐函数存在定理 可以推广到多变量、多维度的情形。
推广结论还包括
在一定条件下，隐函数存在定理可以 推广到无穷维空间。
对定理的推广应用
推广应用包括
在微分方程、偏微分方程、积分方程等领域的应用。
推广应用还包括
隐函数存在的唯一性定理
隐函数的存在性和唯一性定理指出，如果函数f(x, y)满足某些条件，则存在一个唯一函数y = g(x)，该函数满足特定区间内x所有值的方程f(x, y) = 0。
这个定理通常用于以f(x, y) = 0的形式找到方程的解，其中y不是显式给出为x的函数，而是由方程隐式定义的。
要使用存在性和唯一性定理，您必须首先确定该定理成立所需的条件是否满足。
这些条件是：
1 f(x, y)在xy平面的某个区域R是连续的。
2 f相对于y的偏导数，表示为fy，存在并在R中是连续的。
3 对于R中的所有点，f（x，y）并不等于0。
如果满足这些条件，那么存在性和唯一性定理保证存在一个唯一函数y = g(x)，该函数满足特定区间I中所有x的方程f(x, y) = 0。
区间I被定义为所有x值的集合，其中存在至少一个满足方程f(x, y) = 0的相应y值。
要找到函数y = g(x)，您可以使用牛顿法或两节法等数值方法。
这些方法可用于迭代近似方程f(x, y) = 0的解，只要满足存在条件和唯一性定理，它们就保证收敛到唯一解。
第16章第1节隐函数存在定理
(2) y f x 在O x0 , 内连续;
5
§16.1. 隐函数存在定理
(3) y f x 在O x0 , 内具有连续导数, 且 Fx x , y y' （隐函数求导公式） . Fy x , y
证明： 由条件(1), F x, y 在D上必连续.
xyz
这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会 遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对 应法则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称 为隐函数.
2
§16.1. 隐函数存在定理
例1: 设有方程F x, y x2 y2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
设 x， x x是O x0 , 内任意两点，记 y f x ,
由函数y f x 的定义可知
y y f x x .
F x , y 0, 所以
F x x , y y 0.
0 F x x , y y F x , y
9
§16.1. 隐函数存在定理
(2)下证y f x 在O x0 , 内连续.
设x1是O x0 , 内任意一点, 记y1 f x1 。
F x1 , y1 0, F x1 , y1 0.
0，由刚才证明知
又由F x , y 的连续性可知一定存在x1的某 一邻域O x1 , 内成立着
让y在 y0 b, y0 b 内变化, 显然有
Fy x0 , y 0
y0 b y y0 b
隐函数存在定理
隐函数存在定理注: ∧P 读作P roof .定理1 设),(y x F 满足下列条件：i) x F ,y F 在D :a x x ≤-∧||,b y y ≤-∧||上连续; ii) 0),(=∧∧y x F (通常称为初始条件); iii) 0),(≠∧∧y x F y . 则有以下三个结论:(1)0>∃α, 使得在点),(∧∧∧y x P 的某一个邻域内, 方程0),(=y x F 唯一地确定了一个定义在区间),(αα+-∧∧x x 内的隐函数)(x f y =, 满足)(∧∧=x f y .换句话说, 存在定义在),(αα+-∧∧x x 内的函数)(x f y =, 满足0)](,[≡x f x F , 且)(∧∧=x f y ;(2))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上连续;(3))(x f y =在),(αα+-∧∧x x 上有连续的导数, 且),(),()(y x F y x F x f y x -='.定理2 设函数),,,,(21y x x x F n 满足下列条件:i) 偏导数),,2,1(n i F i x =和y F 在D :),,2,1(||n i a x x i i i =≤-∧,b y y ≤-∧||上连续, 其中0>b ,),,2,1(0n i a i =>;ii) 0),,,,(21=∧∧∧∧y x x x F n ; iii) 0),,,,(21≠∧∧∧∧y x x x F n y . 则有以下结论成立:(1)存在),,,(21∧∧∧∧n x x x Q 的一个邻域)(∧Q O , 使得在点),,,,(21∧∧∧∧∧y x x x P n 的某个邻域内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 唯一地确定了一个定义在)(∧Q O 的n 元隐函数),,,(21n x x x f y =, 满足),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y .换句话说, 存在函数),,,(21n x x x f y =,∈),,,(21n x x x )(∧Q O , 使得当∈),,,(21n x x x )(∧Q O 时,,,,,[21n x x x F ),,,(21n x x x f 0]≡,且),,,(21∧∧∧∧=n x x x f y ;(2)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内连续;(3)),,,(21n x x x f y =在)(∧Q O 内有连续的偏导数, 且n i y x x x F y x x x F f n x n x x i i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=.定理3 设函数),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 满足:i) 在点),,,(∧∧∧∧∧v u y x P 的某个邻域U 内, F ,G 对各变元均有一阶连续偏导数; ii) 0)(=∧P F ,0)(=∧P G (称为初始条件); iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PPv u G F J.则有以下结论成立:(1)在点∧P 的某个邻域U ⊂∆内, 方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 唯一地确定一组函数),(y x u u =,),(y x v v =,它们定义在),(∧∧y x 的某个邻域D 内, 当D y x ∈),(时,∆∈),,,(v u y x ,满足),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ,且D y x y x v y x u y x G y x v y x u y x F ∈⎩⎨⎧≡≡),(,0)],(),,(,,[,0)],(),,(,,[; (2)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内连续;(3)),(y x u u =及),(y x v v =在D 内有关于x ,y 的偏导数, 且),(),(1v x G F J x u ∂∂-=∂∂, ),(),(1v y G F J y u ∂∂-=∂∂, ),(),(1x u G F J x v ∂∂-=∂∂, ),(),(1y u G F J y v ∂∂-=∂∂.定理4 设函数组),(y x u u =,),(y x v v =满足i) 在),(∧∧∧y x P 的某邻域D 内对x ,y 有连续偏导数; ii) ),(∧∧∧=y x u u ,),(∧∧∧=y x v v ; iii) 0),(),(≠∂∂=∧∧PPv u G F J.则在),(∧∧∧y x Q 的某邻域D '内存在唯一一组反函数),(v u x x =,),(v u y y =使得(1)),(∧∧∧=v u x x ,),(∧∧∧=v u y y ,且当D v u '∈),(时D y x ∈),(,有)],(),,([v u y v u x u u ≡, )],(),,([v u y v u x v v ≡;(2)),(v u x x =,),(v u y y =在D '内存在连续的一阶偏导数, 且y v J u x ∂∂=∂∂1, yu J v x ∂∂-=∂∂1, x v J u y ∂∂-=∂∂1, xu J v y ∂∂=∂∂1.推论1 在定理4的条件下有1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂y x v u v u y x .推论2 设函数组),(y x u u =,),(y x v v =在开集D 内有连续偏导数, 且在D 内),(),(y x v u ∂∂恒不为零, 则由函数组定义的映射)(:D T D T →的像集)(D T 是uv 平面上的开集.推论3 在推论2的条件下, 设D E ⊂是任一有界闭集, 则它的像集))()((D T E T ⊂也是有界闭集, 且E 的内点映射为)(E T 的内点, E 的边界点映射为)(E T 的边界点映射.定理5 设有n 个m n +元函数),,,,,,,(2121n m i y y y x x x F ),,2,1(n i =,满足i) 在点),,,,,,,(2121∧∧∧∧∧∧∧n m y y y x x x P 的某邻域U 内有对各变元的连续偏导数; ii) n i P F i ,,2,1,0)( ==∧; iii) .0),,,(),,,(2121≠∂∂=∧Pn n y y y F F F J则有以下结论成立:(1) 在∧P 的某邻域内, 方程组0),,,,,,(121=n m i y y x x x F ,n i ,,2,1 =,唯一地确定函数组),,,(21m i i x x x f y =,n i ,,2,1 =,它们定义在),,,(21∧∧∧m x x x 的某邻域D 内, 使得),,,(21∧∧∧∧=m i i x x x f y ,n i ,,2,1 =,且当D x x x m ∈),,,(21 时有恒等式0)],,,(,),,,,(,,,,[2121121≡m n m m i x x x f x x x f x x x F ;(2) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内连续;(3) 这组函数),,2,1(n i f i =在D 内对个变元有连续的偏导数, 且对j x ),,2,1(n j =的偏导数可由下面方程组解出:02211=∂∂∂∂++∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂jn n i j i j i j i x fy F x f y F x f y F x F ),,2,1(n j =.。
8-5隐函数存在定理及求导法则
解
令 F ( x, y) x y 1 则 F 2 x, Fy 2 y, x
2 2
F ( 0 ,1 ) 0 , F y ( 0 , 1 ) 2 0 ,
y 1 0 在 点 ( 0 ,1 ) 的 某 邻 域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函 数 y f ( x )．
高等数学（下）
在 J 0的条件下，
u u x v x y
y x y x
xu yv x y
2 2
,
x v x y x y
高等数学（下）
u v y x
yu xv x
2
y
2
,
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv yu x y
y f ( x )， 它 满 足 条 件 y0 f ( x0 )， 并 有 dy Fx . 隐函数的求导公式 dx Fy
高等数学（下）
例１ 验证方程 x
2
y 1 0 在 点 ( 0 ,1 ) 的 某 邻
2
域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的 隐 函 数 y f ( x)， 并 求 这 函数 的 一 阶和 二 阶 导 数在 x 0的值.
1 f 1 (
整理得
y z y
1 ) f 2 x ( y z
y z
),
z
1 f 1 xy f 2 f 1 xz f 2
.
高等数学（下）
例5 已知
xy xf ( z ) yg ( z ), x f ( z ) y g ( z ) 0 .
数学分析课件：14_6 隐函数定理
( y0 , y0 )的隐函数 y f ( x). 若记 : U(P0 ) ( x0 , x0 ) ( y0 , y0 ),
则 y f ( x) 满足10的各项要求,即为所求.
20 f ( x)在( x0 , x0 )内连续.
证明 : 由条件(iv), 不妨设Fy x0 , y0 0,
1. 先证隐函数y f ( x)的存在性和唯一性 由条件(iii ), Fy在D内连续, 由连续函数的 局部保号性, 存在P0的某一闭的方邻域
x0 , x0 y0 , y0 D
2008／04／15
§14.6 隐函数定理
显函数 y 2x, z x2 y2 . 隐函数 F : X Y R, F ( x, y) 0
如对于 x I X , 恒有唯一确定的y J Y , 它与x一起满足F ( x, y) 0, 就称F ( x, y) 0 确定了一个定义在I上, 值域含于J的隐函数.
所确定的隐函数 y f ( x)在 ( x0 , x0 )内
有连续的导函数，且
分析 : ......
f '( x) Fx ( x, y) Fy(x, y)
证明 :
设 x, x x ( x0 , x0 ), 则 y f ( x), y y f ( x x)( y0 , y0 ). F ( x, y) 0, F ( x x, y y) 0.
由保号性，存在 x 的某邻域 ( x , x )
x0 , x0 , 使得x属于该邻域时,
F ( x, y ) 0, F ( x, y ) 0. 因此存在唯一的y,使得F ( x, y) 0, | y y | ,
14-6隐含数定理
( iii ) 在D内存在连续的偏导数F y ( x , y ); ( iv ) F y ( x0 , y0 ) 0,
则在点P0的某邻域U ( P0 ) D内, 方程F ( x, y ) 0 唯一确定了一个定义在 某区间( x0 , x0 )内
的函数y f ( x ), 使得
10 f ( x0 ) y0 , x ( x0 , x0 )时
( x, f ( x )) U ( P0 )且F ( x, f ( x )) 0;
2 0 f ( x )在( x0 , x0 )内连续.
证明 : 由条件( iv ), 不妨设F y x0 , y0 0,
所以
Fx ( x , y ) y f ' ( x ) lim x 0 x Fy ( x, y)
且 f ' ( x )在 ( x0 , x0 )内连续.
若方程F ( x , y ) 0 存在连续可微隐函数, 则对 F ( x, y ) 0 复合函数求导 可得 ,
若函数F ( x, y, z )满足下列条件:
(i ) 函数F在以P0 ( x0 , y0 , z0 )为内点的某一区域
D R 上连续;
3
(ii ) F ( x0 , y0 , z0 ) 0;
( iii ) 在D内存在连续的偏导数Fx , F y , Fz ;
(iv ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0,
2010／04／28
§14.6 隐函数定理
显函数
y 2 x,
zx y .
2 2
隐函数 F : X Y R, F ( x , y ) 0
如对于 x I X , 恒有唯一确定的 J Y , y 它与x一起满足F ( x, y ) 0, 就称F ( x, y ) 0
隐函数存在定理
(b) 为使 y f (x) 在 x0 连续, 应要求 F(x, y) 在点 P0 连续.
(c) 为使 y f (x)在 x0可导, 即曲线 y f (x) 在点 P0 存在切线, 而此切线是曲面 z F(x, y) 在点 P0 的切平面与 z 0 的交线, 故应要求 F(x, y)在点 P0 可微, 且
并且 u,v关于 x, y有连续的偏导数.
定理3 设函数 F(x, y,u,v)和 G(x, y,u,v)满足: (i) 在点 P0 (x0 , y0 ,u0 , v0 ) 的某邻域 U (P0 )内, F 和 G 对各变元有连续偏导数; (ii) F (P0 ) 0, G(P0 ) 0;
这表明两曲面的交线在点 (1,1,2)附近能用形 如 z f (x), y g(x) 的一对方程表示.
sin f (x, y) xyf (x, y).
若能, 求 z , z .
x y
隐函数存在定理(方程组情形)
不失一般性, 我们先研究两个方程和四个 变量的方程组
F(x, y,u, v) 0,
G(x,
y,
u,
v)
0
在什么条件下可以确定 u,v是 x, y 的函数
u u(x, y),v v(x, y),
使得当 (x1, x2 ,, xn ) U (Q0 )时, 有
F (x1, x2 ,, xn , f (x1, x2 ,, xn )) 0,
且 y(0)
f
(
x1(0)
,
x2(0)
,,
x
(0 n
)
);
(2) y f (x1, x2 ,, xn ) 在 U (Q0 )内连续;
8-5隐函数存在定理及求导法则65299
v 1 (F ,G) Fu Fy y J (u, y) Gu Gy
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv , Gu Gv
Fu Fv . Gu Gv
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变量数-方程数=自变量数
隐函数存在定理 3 设
(1) F(x, y, z) 、 G(x, y, z) 在点 P( x0, y0, z0 ) 的某一邻
域内有对各个变量的连续偏导数;
(2) F(x0, y0, z0) 0 ,G( x0, y0, z0 ) 0;
(3)雅可比行列式 F F
J
(F,G) ( y, z)
dy dx
Fx Fy
x y
y x
.
Th1可以推广至三元及以上：
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用隐函数求导公式时须注意:
1.用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函 数变量求导数时,函数作为常数.
2.不用隐函数求导公式求导,只是用思想方法 求导,当出现对函数变量求导数时,函数作为 中间变量,
(3)雅可比行列式
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
0.
P u v P
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则方程组 F ( x, y,u,v) 0、G( x, y, u,v) 0 在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定
一组单值连续且具有连续偏导数的函数
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例１ 验证方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
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§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0
O
y0 y0
x
U ( P0 )
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
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O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0x源自华北科技学院基础部9
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§16.1
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§16.1
隐函数存在定理
设 x, x x I , 则 y f ( x), y y f ( x x) J .
由条件易知 F 可微，并有
F ( x , y) 0, F ( x x , y y) 0 .
类似于前面 (c) ， 0, 使得
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§16.1
隐函数存在定理
( x , x ) ( x0 , x0 ),
且当 x ( x , x ) 时，有
F ( x , y ) 0, F ( x , y ) 0.
0
y
D
由条件 (iii)，不妨设
y0
Fy ( x0 , y0 ) 0.
因为 Fy ( x , y ) 连续， 所以根据连续函数的 保号性， 0 , 使得
y0
+++++ P+ ++ 0++ ++ ++ +++++ +++++
x0
星星之火 可以燎原
Fy ( P0 ) 0
O
x0
等.
2、隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x , y ) 满足怎样一些
条件时，由 F(x, y) =0 能确定隐函数 y =f (x) 并使
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
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隐函数存在定理
2、隐函数存在性条件分析
隐函数存在定理
3、隐函数存在定理
定理1 (隐函数存在惟一性定理) 设方程 F(x,y)=0中 的函数 F ( x , y ) 满足以下三个条件：
(i) 在区域 D : x x0 a , y y0 b上 Fx , Fy 连续; (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )；
(0,1) (-1,0)
(1,0) (0,-1)
但 在( 1,0)和(1,0)这 两 点 的 任 何 邻域内却不具有这种性 质.
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隐函数存在定理
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程
F ( x , y , z ) 0 确定的隐函数 z f ( x , y ) , 由方程 F ( x , y , z , u) 0 确定的隐函数 u f ( x , y , z ) , 等
注3 一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点 及其某邻域有关.
例如方程 F ( x. y) x 2 y 2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
它在 0，-1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 下半圆）
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隐函数存在定理
ˆ ( y0 , y0 ), 满足 一的 y
就证得存在惟一的隐函数:
y f ( x ),
ˆ, y ˆ ) 0. 由 x F(x ˆ 的任意性, 这 y0
y0
y0
y
＋＋＋＋
化为显函数．上面把隐函数仍记为 y f ( x )，这 与它能否用显函数表示无关． 注2 不是任一方程 F ( x , y) 0 都能确定隐函数,
例如 x 2 y 2 1 0 显然不能确定任何隐函数．
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隐函数存在定理
y Fx ( x , y ) / Fy ( x , y ).
证 首先证明隐函数的存在与惟一性．
证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图2 )：
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y y0
y0
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+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
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§16.1
隐函数存在定理
曲面 z F ( x, y) 在 p0点有切平面且切平面的法线不平行于 z 轴（即切平面不是 xoy 平面）
p0 切平面的法向量为 n Fx , Fy , 1
P0
与 k 0,0,1 不共线
x0
x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
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§16.1
隐函数存在定理
U ( P0 )
x I ( x0 , x0 ), y J ( y0 , y0 ).
O x0 x 0 x0
(d) 利用介值性
－ － －－
y f ( x)
x
1 U ( P ) I J , 若记 则定理结论 得证． 0
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
y f ( x) y , x ( x , x ) ,
因此 f ( x ) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上处处连续．
最后再来证明 y = f (x) 可微性:
y
+ ＋
＋ ＋
件 F ( x0 , y0 ) 0 可知
F ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ) 0.
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y0
O x0
_0
y0
_ _ _
x0 x0 x
(b) 正、负上下分
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它满足：
f ( x0 ) y0 , 且当 x ( x0 , x0 ) 时, 使得
( x , f ( x )) U ( P0 ) , F ( x , f ( x )) 0;
(ii) f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上连续． (iii) y f ( x))在 ( x0 , x0 ) 内有连续导数，且
(iii) Fy ( x0 , y0 ) 0. 则有如下结论成立： (i) 存在某邻域 U ( P0 ) D ，在 U ( P0 ) 内由方程 F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数
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§16.1
隐函数存在定理
y f ( x ), x ( x0 , x0 ),
＋＋＋＋ .
y0 y y y0 , 其中 y f ( x ).