隐函数存在定理

F , F
x y
P 0
0, 0 （即 Fx , Fy 不能同时为零）

交线 L 存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求 T
F , F
x y
P0
0, 0
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《数学分析》(2)
§16.1 z
隐函数存在定理
Σ: z = F (x,y)
类似于前面 (c) ， 0, 使得
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
( x , x ) ( x0 , x0 ),
且当 x ( x , x ) 时，有
F ( x , y ) 0, F ( x , y ) 0.
x0
x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
Γ: F (x,y)=0 y0= f (x0) Γ: y = f (x) F (x0, y0) =0 ( 满足一定 条件或在某 一局部) 图1 隐函数存在性条件分析示意图
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O O
y
P0(x0,y0)
F (x, f (x)) =0
x
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§16.1
它满足：
f ( x0 ) y0 , 且当 x ( x0 , x0 ) 时, 使得
( x , f ( x )) U ( P0 ) , F ( x , f ( x )) 0;
(ii) f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上连续． (iii) y f ( x))在 ( x0 , x0 ) 内有连续导数，且
(iii) Fy ( x0 , y0 ) 0. 则有如下结论成立： (i) 存在某邻域 U ( P0 ) D ，在 U ( P0 ) 内由方程 F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数
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§16.1
隐函数存在定理
y f ( x ), x ( x0 , x0 ),
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
曲面 z F ( x, y) 在 p0点有切平面且切平面的法线不平行于 z 轴（即切平面不是 xoy 平面）
p0 切平面的法向量为 n Fx , Fy , 1

P0
与 k 0,0,1 不共线
(b) “正、负上下分 ”
因 Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S , 故 x [ x0 , x0 ], 把 F ( x , y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 , y0 ] 上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )．
y 特别对于函数 F ( x0 , y ), 由条 0
＋＋＋＋ .
y0 y y y0 , 其中 y f ( x ).
由 F ( x , y ) 对 y 严格增，而
F ( x , y ) 0,
y
y
y
y0
－－－－
x
. .P .
x
0
O
x
x
图3 隐函数连续性示意图
推知
F ( x, y ) 0 , F ( x, y ) 0 .
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《数学分析》（2）
§16.1
隐函数存在定理
第 16 章
隐函数存在定理 函数相关
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§16.1
隐函数存在定理
P 221
一、 F (x, y) = 0 情形
二、多变量情形
三、方程组情形
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(0,1) (-1,0)
(1,0) (0,-1)
但 在( 1,0)和(1,0)这 两 点 的 任 何 邻域内却不具有这种性 质.
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
注4 类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程
F ( x , y , z ) 0 确定的隐函数 z f ( x , y ) , 由方程 F ( x , y , z , u) 0 确定的隐函数 u f ( x , y , z ) , 等
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
设 x, x x I , 则 y f ( x), y y f ( x x) J .
由条件易知 F 可微，并有
F ( x , y) 0, F ( x x , y y) 0 .
y
+ ＋
＋ ＋
件 F ( x0 , y0 ) 0 可知
F ( x0 , y0 ) 0, F ( x0 , y0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) 0.
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y0
O x0
_0
y0
_ _ _
x0 x0 x
(b) 正、负上下分
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z F ( x, y ) F ( x, y) 0 z0
几何上
. 曲面z F ( x, y)与z 0的交线
唯一确定隐 函数 y f ( x)
曲面z F ( x, y)必须与z 0相交.


y f ( x)（1）连续
（1）连续曲线存在 p0 ( x0 , y0 ),使 F ( x0 , y0 ) 0 交线 （2）可微 （2）存在切线
等.
2、隐函数存在性条件分析
要讨论的问题是：当函数 F ( x , y ) 满足怎样一些
条件时，由 F(x, y) =0 能确定隐函数 y =f (x) 并使
该隐函数具有连续、可微等良好性质?
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§16.1
隐函数存在定理
2、隐函数存在性条件分析
隐函数存在定理
y y0
y0
＋
＋ ＋
+
y0
O x0
x0 x0 x
y0
0 _ _ _
_
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
(b) 正、负上下分
y0
y
＋＋＋＋


y0
y
＋＋＋＋

y0 y0
O
y0 y0
x

U ( P0 )
(d) “利用介值性”
y0
y
＋＋＋＋
y0 y0

－－－－
O x0 x 0 x0 x
(c) 同号两边伸
ˆ , y ) 关于 y 连续, 且严 ˆ ( x0 , x0 ) , 因 F ( x x
格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟
类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
y f ( x) y , x ( x , x ) ,
因此 f ( x ) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ) 上处处连续．
最后再来证明 y = f (x) 可微性:
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§16.1
隐函数存在定理
ˆ ( y0 , y0 ), 满足 一的 y
就证得存在惟一的隐函数:
y f ( x ),
ˆ, y ˆ ) 0. 由 x F(x ˆ 的任意性, 这 y0
y0
y0
y
＋＋＋＋
化为显函数．上面把隐函数仍记为 y f ( x )，这 与它能否用显函数表示无关． 注2 不是任一方程 F ( x , y) 0 都能确定隐函数,
例如 x 2 y 2 1 0 显然不能确定任何隐函数．
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§16.1
隐函数存在定理
注3 一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点 及其某邻域有关.
例如方程 F ( x. y) x 2 y 2 1 0.
它在 0， 1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 上半圆）
它在 0，-1 点及其某个邻域内唯一地确定了一个 函数： y 1 x 2（ ; 下半圆）
y Fx ( x , y ) / Fy ( x , y ).
证 首先证明隐函数的存在与惟一性．
证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图2 )：
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y y0
y0
§16.1
+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +


U ( P0 )
x I ( x0 , x0 ), y J ( y0 , y0 ).
O x0 x 0 x0
(d) 利用介值性
－ － －－
y f ( x)
x
1 U ( P ) I J , 若记 则定理结论 得证． 0
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《数学分析》(2)
§16.1
隐函数存在定理
前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数 存在，且它们的导数或偏导数也存在。 本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。
一、 F (x, y) = 0 情形 1、隐函数概念
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x, z x 2 y 2 .
0
y
D
由条件 (iii)，不妨设
y0
Fy ( x0 , y0 ) 0.
因为 Fy ( x , y ) 连续， 所以根据连续函数的 保号性， 0 , 使得
y0
+++++ P+ ++ 0++ ++ ++ +++++ +++++
x0
星星之火 可以燎原
Fy ( P0 ) 0
O
x0
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§16.1
隐函数存在定理
隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个
方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：
x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 , x 3 y 3 z 3 3 xy 0 .
注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要
－ － －－
x0
x0
x0
O x x0 x x 0 0
(d) 利用介值性
－－－－
y f ( x)
(c) 同号两边伸
图2 隐函数存在性与惟一性分析示意图
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§16.1
隐函数存在定理
(a) “一点正, 一片正 ” y
下面再来证明上述隐函数的连续性:
即 x ( x0 , x0 ) , 欲证上述 f ( x ) 在 x 连续.
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§16.1
隐函数存在定理
y
y0
如图 3 所示, 0 , 取 足够 小，使得
y f ( x)
§16.1
隐函数存在定理
(c) “同号两边伸”
因为 F ( x , y0 ) , F ( x , y0 ) 关于 x 连续，故由
(0 ) , 使得 (b) 的结论，根据保号性，
F ( x , y0 ) 0 , F ( x , y0 ) 0 , x ( x0 , x0 ).
使用微分中值定理, ( 0 1 ) , 使得
隐函数存在定理
3、隐函数存在定理
定理1 (隐函数存在惟一性定理) 设方程 F(x,y)=0中 的函数 F ( x , y ) 满足以下三个条件：
(i) 在区域 D : x x0 a , y y0 b上 Fx , Fy 连续; (ii) F ( x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )；