电磁场中的矩阵理论及应用

⎡ a11 a12
⎢ ⎢
a21
a22
a1 j
a1N ⎤
a2 j
a2 N
⎥ ⎥
⎢
⎥
行i →
⎢ ⎢
ai1
ai 2
aij
aiN
⎥ ⎥
=
A
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣aM1 aM 2
aMj
aMN ⎥⎦
↑
列j
(1‐16)
M × N 矩阵 A 可以写成 M 块行向量Vi (i = 1, 2, , M )
2
第一章 线性空间与线性变换
(1‐6)
X 和Y 的点积是一个标量值，表示为 X iY = x1 y1 + x2 y2 + + xN yN
(1‐7)
1
电磁场中的矩阵理论与计算
向量 X 的长度（范数）定义为
( ) X = x12 + x22 + + xN2 1/2
(1‐8)
式(1-8)称为向量 X 的欧几里得范数。
如果 X 和Y 表示位置向量， N 维空间中两点 X 和Y 的距离可表示向量差的范
向量 X 和Y 相等当且仅当它们对应的各分量相等，设向量Y = ( y1, y2, , yN )
X = Y if and only if xj = y j 其 中 j = 1, 2, , N
(1‐2)
向量 X 与Y 的和是它们对应的各分量分别相加得到的向量，表示为
X + Y = ( x1 + y1, x2 + y2 , , xN + yN )
r( A) = r(PA) = r(AQ)
(1‐25)
证 由定理 1.2的后一个不等式，得 r( A) ≥ r(PA) ≥ r(P−1(PA)) = r( A) 。同理可 证其余部分。
1.1.3 矩阵的初等变换
1.1.3.1初等变换的标准形
当 n ≥ 3 时，用公式 A−1 = A* / A 求逆矩阵(或，等价地，用 Cramer 法则求解方 程组)工作量过大，以致没有实用价值，所以需要发展其它工具，这就是初等变换。
=
E
(1‐24)
反过来，若有矩阵 B ∈ M n 使得AB=BA=E，则显然 A ≠ 0 ，从而有下述定理。 定理 1.3 n阶方阵A非奇异的充要条件是存在n阶方阵B使得AB=BA=E。 将满足定理 1.3的方阵B称为A的逆矩阵，此时，矩阵A称为可逆的。于是，对
n阶方阵而言，“秩为n”(也称为“满秩”)，“非奇异”与“可逆”是等价的三个概念。易 知，若A是可逆矩阵，则其逆矩阵是唯一的，记为 A−1 。故 A−1 = A∗ / A 。逆矩阵具 有下述性质：
数形式
( ) Y − X = ( y1 − x1)2 + ( y2 − x2 )2 + + ( yN − xN )2 1/2
(1‐9)
当上式计算两个点的距离时，称这些点位于 N 维欧几里得范数
定理 1.1（向量代数）设 X ，Y 和 Z 是 N 维向量， a 和 b 是标量，向量加和标量 乘积有如下性质：
(1) ( A−1)−1 = A ；
(2) ( AT )−1 = ( A−1)T ；
4
第一章 线性空间与线性变换
(3) (AB)−1 = B−1A−1 ； (4) 若 λ ≠ 0 ，则 (λ A)−1 = λ −1A−1 ； (5) A−1 = A −1 。 定理 1.4 设A是 m × n 矩阵，P是m阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵，则
r(C) ≥ r( A) + s + t − m − p
(1‐22)
定理 1.2 的证明将将在下一节介绍初等变换后再给出。
对任意 n 阶方阵 A = (aij ) ，去掉第 i 行第 j 列后所剩余的 n-1 阶方阵的行列式 称为元素 aij 的余子式，记为 Mij 。而 (−1)i+ j Mij 称为元素 aij 的代数余子式，记为 Aij 。 n阶方阵
阵 A 称为降秩的，退化的或奇异的。 定理 1.2 (1)设 A，B 分别为 m × p ， p × n 矩阵，则
r( A) + r(B) − p ≤ r( AB) ≤ min{r( A), r(B)}
(1‐21)
(2)设 A 是 m × p 矩阵，任取 A 的 s 行 t 列构成 s × t 子矩阵 C，则
I
目录
1.5.5 算子方程的变分原理 ........................................ 54
II
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换 Equation Section 1
学习线性空间与线性变换的知识。主要学习矩阵、线性空间、线性变换和内积空间的理 论知识，最后讲解电磁理论分析中使用到的函数空间概念。
1.1.1.2 矩阵
矩阵是按行列分布的二维数组，一个矩阵有 M 行和 N 列，称为 M × N 矩阵。
大写字母 A 表示矩阵，小写 aij 表示构造矩阵的一个复数，矩阵表示为
A = ⎡⎣aij ⎤⎦M×N , 其 中 1 ≤ i ≤ M ,1 ≤ j ≤ N
(1‐15)
这里 aij 是位于矩阵第 i 行和第 j 列的 (i, j) 数，矩阵 A 的扩展形式为
1.1.2 矩阵的秩
定义 1.1 在矩阵 A = (aij )m×n 中，任取 k 行 k 列，位于这 k 行 k 列交叉位置的 元素，按原矩阵 A 中的相对位置排列成的 k 阶行列式，成为矩阵 A 的一个 k 阶子式。
定义 1.2 矩阵 A 的所有不为零的子式的最高阶数为矩阵 A 的秩，记为 r( A) 。 矩阵 A 的秩等于 r 当且仅当（至少）存在一个 r 阶子式不等于 0，且所有的阶 数超过 r 的子式都等于 0。 因此，矩阵 A = 0 当且仅当 r( A) = 0 。显然，r( Am×n ) ≤ min{m, n}，当 r( A) = m 时，
A = ⎡⎣C1 C2
Cj
CN ⎤⎦
(1‐19)
其中列向量 C j 为 M 维向量
⎡ a1 j ⎤
⎢ ⎢
a2
j
⎥ ⎥
⎢⎥
Cj
=
⎢ ⎢
aij
⎥ ⎥
⎢⎥
⎢⎥ ⎢⎣aMj ⎥⎦
(1‐20)
当 M = N 时，矩阵 A 为 N 阶方阵，对于方阵而言，主对角线（即 i = j ）上的 元素为主对角元素；除主对角线外的其余元素均为 0 的方阵为对角矩阵；主对角 线以下均为 0 的矩阵称为上三角矩阵；主对角线以上均为 0 的矩阵称为下三角矩 阵；关于主对角线对称，即满足条件 M = N 。
(1‐3)
向量 X 的取负是通过取它的各分量取负得到，表示为
− X = (−x1, −x2 , , −xN )
(1‐4)
标量乘积 cX 为，设 c 为实数（标量）
cX = (cx1, cx2 , , cxN )
(1‐5)
X 和Y 线性组合为加权和 cX + dY ，设 d 为标量
cX + dY = (cx1 + dy1, cx2 + dy2 , , cxN + dyN )
3
电磁场中的矩阵理论与计算
矩阵 A 称为是行满秩的；当 r( A) = n 时，矩阵 A 称为是列满秩的。 特别，对 n 阶方阵 A 有 r(A) ≤ n ，并且 A 满秩即 r(A) = n 当且仅当| A |≠ 0 ；等价
地， n 阶方阵 A 的秩小于 n 当且仅当| A |= 0 。 一般的，将| A | 的方阵 A 称为满秩的，非奇异的或非退化的，而将| A |= 0 的方
目录
目录
第一章 线性空间与线性变换 ........................................... 1 1.1 矩阵的概念...................................................... 1
1.1.1 向量和矩阵 ................................................. 1 1.1.2 矩阵的秩 ................................................... 3 1.1.3 矩阵的初等变换 ............................................. 5 1.1.4 分块矩阵 .................................................. 11 1.2 线性空间....................................................... 14 1.2.1 线性空间的概念 ............................................ 14 1.2.2 基变换与坐标变换 .......................................... 20 1.2.3 线性子空间 ................................................ 23 1.3 线性变换....................................................... 30 1.3.1 线性变换的概念及实例 ...................................... 30 1.3.2 线性变换的运算 ............................................ 32 1.3.3 线性变换的矩阵表示 ........................................ 32 1.3.4 线性映射的矩阵表示 ........................................ 38 1.4 内积空间....................................................... 39 1.4.1 内积的定义 ................................................ 39 1.4.2 正交性与 Gram-Schmidt 正交化方法 ........................... 41 1.4.3 正交补空间 ................................................ 43 1.4.4 选定基下内积的表达式 ...................................... 48 1.5 电磁问题中的线性算子和线性方程................................. 49 1.5.1 线性算子 .................................................. 49 1.5.2 希尔伯特空间的有界线性算子 ................................ 50 1.5.3 有界线性泛函 .............................................. 51 1.5.4 线性算子方程 .............................................. 52