15.2.2完全平方公式 ppt课件

4a +4ab+b
2 2-4xy+________=（x-2y）2． （ 3） x
4y
（-2ab) （4）a2+b2=（a+b）2+_________．
1 a2+______+9b2=（ 1 a+3b）2 3ab （ 5） 2 4
你会吗？
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（c）
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b a
ab
b²
a² ab
(a-b)²
(a b) a ab ab b
2
a b
2
2
a 2ab b
2
2
纠 错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
通过观察发现:(x+6)2=(-x-6)2 (2a-3b)2 =(3b-2a)2 思考:(a+b)2与(-a-b)2相等吗? 相等 相等 (a-b)2与(b-a)2相等吗?
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2; (2) (y-5)2;
(3) (-2x+5)2;
(4) (
x-
y)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2;
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
综合训练：
填空题：
2 2 2=_____________． （1）(-3x+4y)
9x -24xy+16y
2 2 2=____________． （2）（-2a-b）
2 、两数和（或差）的平方，等于它们的平
方和，加（或减）它们的积的2倍。
3、注意：项数、符号、字母及其指数；
4、解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2 =(b-a)2
试一试：
下列等式是否成立? 说明理由． (1)(4a+1)2=(1−4a)2；
成立
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
请 你 找 错 误
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2x−3y)2＝2x2 - 2(2x)(3y) +3y2; (2) (2x+3y)2＝4x2+ 9y2 ； (3) (2x−3y)2＝(2x)2- (2x)(3y)+(3y)2.
解 （1）首项、尾项被平方时, 没有添括号，这 样就只把字母平方而遗漏了系数的平方。 （2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2•(2x)•(3y) ; （3）中间项漏乘了2.
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
(a+b)2= a2 +2ab+b2 首平方，尾平方，
公式特点：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 乘积的2倍放中央。
1、左边是一个二项式的完全平方； 2、积为二次三项式； 3、积中两项为两数的平方和；
2 2
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2 (a
2= +b) 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
解：
2=x2 (x-2y)
-2•x •2y+(2y)2
2 -4xy =x
+4y2
学一学
(1) 1022；
做一做:根据两数和的完全平方公式填空.
(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2 =( x2+12x+36 ) (2)(2a-3b)2=( 2a )2-2( 2a )( 3b )+( 3b)2 =( 4a2-12ab+9b2 ) 2= (-x)2 -2(-x)(6) +(-6)2 (3)(-x-6) =x2+12x+36 (4)(3b-2a)2= (3b)2-2(3b)(2a) +(2a)2 =9b2-12ab+4a2
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2 (2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方? (2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ 为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2 ∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
2
更上一层
2
（8）已知： a ab b ， 求: (a b) 2 4, (a b) 2 36 的值.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
(9)已知 :
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 （2）代数式2xy-x2-y2= ( D A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
±5 则 k=_____.
更上一层
（3）如果x2+kx+25是完全平方式， （4）如果9x2-mxy+16y 2可化为一个
更上一层
a 2 b 2 c 2 2a 4b 6c 14 0, 求 : c a b的值.
1 1 2 (10)已知a 3，求a 2 的值. a a
通过这节课的学 习你学到了什么
小结：
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
+ b2
a−b a−b (a−b)2
b(a−b)
a
(a−b)2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2 = a2−2ab+b2
= a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
b
ab
a
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab a
b² ab b
2 2
(a+b)²
a²
a
2
(a b)来自百度文库 a + 2 ab+b
回顾 & 思考 ☞ (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:

对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符 号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式 后，才能使用平方差公式。
(4)
(m-2)2
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b)
= a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
4、另一项是两数积的2倍，且与乘式 中间的符号相同； 5 、公式中的字母a，b可以表示数，单 项式和多项式。
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b a a b a b a b
图 15.2-2
图15.2-3
议一议
几何解释:
b
a
a b b
= a2
+ ab
+ ab
A．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
C．（36+12a）cm2 D．以上都不对
拓展：
1. 2008 2 2008 2009 2009
2 2
1 =_______;
2.若 x 2kx 9 是一个完全平方公式, 则 k _______; 3.若 x 2 8 x k 2 是一个完全平方公式, 则 k _______; 4
±24 整式的平方，则 m=_____.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= 40 . （6）已知 m+n= 3，mn = 5， 求:(m+3)(n+3)的值. （7）已知 x+y=4，xy =-13， 2 2 求: x 3xy y 的值.
(2) (a – b) 2 =a2 – b2.
( （3）2a 1) 2a 2a 1
2 2
例3.若 a b 5, ab 6, 求 a b ,a ab b .
2 2 2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P2+2p+1 ______ (2)
2= m2+4m+4 (m+2) _________;
(3)(p-1)2
P2-2p+1 = (p-1 ) (p-1) = ________; m2-4m+4 = __________.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做 到不弄错符号、当a或b是整式，被平方时 要注意添括号, 是运 用平方差公式进行多项式乘法的关键。
3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
2
3
4.请添加一项________，使得 k
2
4k 完全平方式. 4k 5. x y 8, x y 4, 求xy. xy 12
k2 4
4是
拓展：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 和 2 求： x (x ) 2 x x
的值
拓展延伸
若 ( x y) 12 , ( x y) 16 , 求xy的值。
例题解析 例2 运用完全平方公式计算：
(2) 992
变形

解: (1)
1022
(100+2)2 =1002+2×100×2+22 = =10000+400+4 =10404
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=10000-200+1=9801 利用完全平方公式计算: 1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2×2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2×2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;