云南省2016年1月普通高中学业水平考试数学试卷及答案

an－1 ∴数列{an－1}是等比数列，其首项为 a1－1＝2，公比为 2. (3)证明：由(2)知 an－1＝2×2n－1＝2n，∴bn＝an－1 1＝21n， 故 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12＋212＋…＋21n＝1－21n<1.
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6
∵PD⊥平面 ABCD，
又 CD⊂平面 ABCD，∴PD⊥CD.
∵PD∩AD＝D，∴CD⊥平面 PAD，
又 PA⊂平面 PAD，∴PA⊥CD.
(2)解：∵BC∥AD，
∴∠PAD 即为异面直线 PA 与 BC 所成的角．
由(1)知，PD⊥AD，
在 Rt△PAD 中，PD＝AD，故∠PAD＝45°即为所求．
(2)当 c＝2，m＝－1 时，证明：数列{an－1}为等比数列；
(3)在(2)的条件下，记
bn＝
1 an
1
，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn<1.
4

云南省 2016 年 1 月普通高中学业水平考试
数学试卷答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
D
B
D
C
A
A
B
的大小关系是( )
A．f(1)>f(－2)>f(3)
B．f(－2)>f(1)>f(3)
C．f(1)<f(3)<f(－2)
D．f(1)<f(－2)<f(3)
第Ⅱ卷 (非选择题 共 49 分)
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．请把答案写在答题卡相应的位置上) 18．已知α是第二象限的角，且 sin α＝4，则 sin 2α的值为____________．
(2)将 y＝sin x 的图象向左平行移动π个单位， 4
得到 y＝sin (x ) 的图象， 4
再将 y＝sin (x ) 的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的 2倍， 4
横坐标不变，所得图象即为函数 y＝f(x)的图象．
24.(1)证明：如图，已知底面 ABCD 是正方形，
∴CD⊥AD.
10 (1)求该产品每吨的最低生产成本； (2)若该产品每吨的出厂价为 6 万元，求该厂 2016 年获得利润的最大值．
3

26.(本小题满分 9 分)
已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝can＋m(c，m 为常数)．
(1)当 c＝1，m＝1 时，求数列{an}的通项公式 an；
1．已知集合 M＝{0，1，2，3}，N＝{1，3，4}，那么 M∩N 等于( )
A．{0} B．{0，1}
C．{1，3}
D．{0，1，2，3，4}
2．计算 sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°的值等于( )
A．0
B. 1
2
C. 2 2
D. 3 2
3．同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是( )
A．2
B．－2
C. 1
2
D．－1 2
7．某校有男生 450 人，女生 500 人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为 95
的样本，则抽出的男生人数是( )
A．45
B．50
C．55
D．60
8．已知两直线 m，n 和平面α满足 m∥α，n⊥α，则 m 和 n 的位置关系一定是( )
A．平行 B．垂直
中的概率是( )
A. 3
B. 2
π
π
C. 4 π
D. π 5
12．如图，一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的正三角形，俯视图是一个半径为 1
的圆，那么这个几何体的体积为( )
A. 2π 3
B．2π
C. 3π 3
D. 3π
13．有一个容量为 100 的样本，其频率分布直方图如图 3 所示，根据样本的频率分布直方图
可得，样本数据落在区间[10，12]内的频数是( )本
A．9
B．18
C．27
D．38
14．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，且 a＝2，b＝ 2，A＝45°，则角
B 等于( )
A．30°
B．60°
C．30°或 150°
D．60°或 120°
15．已知 AD 是△ABC 的一条中线，记向量A→B＝a，A→C＝b，则向量A→D等于( )
25.解：(1)设每吨的成本为 w 万元，则
w＝y＝ x ＋90－2≥2 x ×90－2＝4，
x 10 x
10 x
当且仅当总产量 x＝30 吨时，每吨的成本最低为 4 万元．
(2)设利润为 u 万元，则
5

u＝6x－ ( x2 2x 90) 10
＝－ x2 ＋8x－90 10

云南省 2016 年 1 月普通高中学业水平考试 数学试卷
【考生注意】本试卷考试时间 100 分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试 卷上一律无效．
参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 球的表面积公式：S＝4πR2，体积公式：V＝4πR3，其中 R 表示球的半径．
A．－1(a＋b) 2
B. 1(a＋b) 2
C. 1(a－b) 2
D. 1(b－a) 2
16．函数 f(x)＝ln x－1 的零点所在的区间为( )
A．(2，3)
B．(3，4)
C．(0，1)
D．(1，2)
17．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上为减函数，则 f(1)，f(－2)，f(3)
3 柱体的体积公式：V＝Sh，其中 S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式：V＝1Sh，其中 S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．
3
第Ⅰ卷 (选择题 共 51 分)
一、选择题(本大题共 17 小题，每小题 3 分，共 51 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂)
24．(本小题满分 7 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是正方形，PD⊥平面 ABCD，且 PD＝AD.本 (1)求证：PA⊥CD； (2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的大小．
25.(本小题满分 7 分) 2016 年，某厂计划生产 25 吨至 45 吨的某种产品，已知生产该产品的总成本 y(万元)与总产 量 x(吨)之间的关系可表示为 y＝ x2 －2x＋90.
A．1
B. 3
C. 1
4
2
4．不等式 4－x2<0 的解集为( )
D. 1 4
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
5．若等差数列{an}中，a1＝2，a5＝6，则公差 d 等于( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．已知向量 a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cos θ)，且 a⊥b，则 tan θ的值为( )5 Nhomakorabea2

x y 2，
19．设实数
x，y
满足约束条件

x y， 则目标函数 z＝2x－y 的最大值是____________．
y 0.
20．运行图的程序，则输出 a 的值是____________．
21．圆心为点(1，0)，且过点(1，－1)的圆的方程为____________．
C．相交
D．异面
9．经过点 B(3，0)，且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线的方程是( )
A．2x－y－6＝0
B．x－2y＋3＝0
C．x＋2y－3＝0
D．x－2y－3＝0
10．log23·log35＋log2 4的值为( ) 5
1

A. 5
B. 2
C．2
D. 1
2
5
2
11．如图，向圆内随机掷一粒豆子(豆子的大小忽略不计)，则豆子恰好落在圆的内接正方形
D
题号
10
11
12
13
14
15
16
17
答案
C
B
C
B
A
B
A
D
二、填空题 18． 24
25
；19. 4 ；20. 14 ；21． (x－1)2＋y2＝1 ；22. 16 .
三、解答题
23.解：(1)函数 f(x)＝sin x＋cos x＝ 2sin (x ) ， 4
∴f(x)的最小正周期是 2π，最大值是 2.
22．已知函数 f(x)＝
2x，x＜5， 那么 f(6)的值为____________．
f (x 1)，x 5.
三、解答题(本大题共 4 个小题，共 29 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 23．(本小题满分 6 分) 已知函数 f(x)＝sin x＋cos x，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值； (2)函数 y＝f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？
＝－ 1 (x－40)2＋70， 10
当总产量 x＝40 吨时，利润最大为 70 万元． 26.(1)解：当 c＝1，m＝1 时，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是等差数列，其首项为 3，公差为 1. ∴an＝3＋(n－1)·1＝n＋2. (2)证明：当 c＝2，m＝－1 时， an＋1＝2an－1， 有 an＋1－1＝2(an－1)， 即an＋1－1＝2，