加权残值法(全)

w ~1maxπ14
q4 L0.0102q64 L6
EI
EI
w ~2max
32 22
2 2
1 π4
11(312
2)
qL4 EI
0.01236q6L4 EI
（3）子域法（Subdomain Method）
w ~1max21 π3
q4L0.0 EI
1
6q1E4L 2I 6w~ 2
max
3 2
2
1 27
（2）配点法（Collocation Method）
对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
V R id W V v R ( x ， y )( x x i ， y y i) d R v ( x i ， y i) 0
（i=1，2，…N） （3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
（3.2.9）
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。 需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同， 也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须 考虑各子域间的连接条件。
3.2 加权残值法的基本方法
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域 Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
1 Wi 0
(在Vi内) 不在Vi内)
（3.2.8）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：
Vi Ridv0 （i=1，2，…N）
（1）最小二乘法（Least Square Method）
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
J(Ci )
R2dv
V
（3.2.1）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
J (Ci ) 0 （i=1，2，…N）
Ci
即可得到最小二乘法的基本方程：
w ~1max21 π3
q4L0.0 EI
1
6q1E4L 2I6w~2max21π3
13π3 84
121411π22qEL4I
0.01278q6L4 EI
qL4
4π3 (2 2 2 ) EI
（4）伽辽金法（Galerkin Method）
0.013677 qL4 EI
w ~1maxπ45qE4LI0.0130qE74 LI1 w ~2maxπ4512143 qE4LI0.013q 0 E41 LI7
（5）矩量法（Method of Moment）
V
由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
例2：简支梁的弯曲问题
（1）最小二乘法（Least Square Method）
w ~1maxπ45qE4LI0.0130qE74 LI1 w ~2maxπ4512143 qE4LI0.013q 0 E41 LI7
（2）配点法（Collocation Method）
如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
Wi δ(xxi)
（3.2.4）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
V Rid W v V R (x )(x x i)d v R (x i) 0 （3.2.6）
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
3.1 加权残值法的基本概念
R VLu ~f0 R sG u ~g0
（3.1.4） （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和 边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在 域内和边界上的积分为零，即：
VRVWVdV 0
（3.1.6）
S RSWSdS 0
不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算
工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
3.2 加权残值法的基本方法
（5）矩量法（Method of Moment） 当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量 法的基本方程为：
Rxi dvwk.baidu.com （i=0，1，…N－1） （3.2.12）
（3.2.2）
R R dv0（i=1，2，…N）
V Ci
（3.2.3）
可见，最小二乘法就是将权函数取作
R C i
。式（3.2.3）将
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，
2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method）
数学物理中的近代 分析方法
第三章 加权残值法
3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上）
（3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
（3.1.7）
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的
代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 分为三类： ➢内部法 ➢边界法 ➢混合法
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式分类，主要有以下五种方法：
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求
得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的
试函数：
N
u~ Civi i 1
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。
（3.1.3）
将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确
满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：
（4）伽辽金法（Galerkin Method） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名
的方法。
伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：
Wi=vi， （i=1，2，…N）
（3.2.10）
V Rvidv0 （i=1，2，…N）
（3.2.11）
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，