加权残值法(全)
加权残值法(全)
即可得到最小二乘法的基本方程：
（3.2.2）
R R dv 0（i=1，2，…N）
V Ci
（3.2.3）
可见，最小二乘法就是将权函数取作 R
Ci
。式（3.2.3）将
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，
2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的 试函数：
N
u~ Civi i 1
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。
（3.1.3）
将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确
满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：
w~1max
1 2π3
qL4 EI
0.016126 qL4 EI
w~2 max
1 2π3
1
8
3 4
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） 对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
RWidv R(x， y) (x xi， y yi )dv R(xi， yi ) 0
V
V
（i=1，2，…N） （3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
w~1max
1 π4
qL4 EI
0.010266 qL4 EI
第1章 有限元法概述
第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。
为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。
但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。
弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。
有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。
这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。
1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。
有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。
对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。
最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。
图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。
在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。
第二章 微分和变分
最小二乘法(Least square method)
通过使在整个求解域上的平方和取极小值来消除残值
V
R R dV I
T
湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical & Vehicle Engineering, Hunan University
湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical & Vehicle Engineering, Hunan University
连续介质系统
微分方程 (Differential formulation) 变分方程 (Variational formulation)
加权余量法 Weighted residual method(WRM) Galerkin Method 最小二乘法 Least square method 配点法等
xL
湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical & Vehicle Engineering, Hunan University
虚位移原理-平衡方程和约束条件
由此我们可以推导得到微分形式
u 2u B R AE 2 f 0 EA x x L x 2 2 2 u 1 u E u B 2 2 C f A 2 2 x C t t
有限元基础知识：虚位移原理，加权余量 法
湖南大学机械与运载工程学院 College of Mechanical & Vehicle Engineering, Hunan University
三本教材 The Finite Element Method-Volume I 有限单元法基本原理和数值方法 有限元法的实用教程
一维弹性杆件旋转问题的加权残值法和伽辽金法
则
������(������ + ������������) − ������(������) ������������
������ = ������ + ������������ − ������ = ������������
(5) (6)
将(7)代入(5)得：
������0 = −(2������1 + 3������2)
(7)
定义残差
���̃���(������) = ������(−2������1 − 3������2 + ������1������ + ������2������2)
(8)
∆(���̃���) = ���̃���′′(������) + ���̃���(������) + ������ = ������2������3 + 3������2������ + ������ + ������1(������2 − 2������ + 2) (9) 为使���̃���(������)为������(������)的近似解，可以要求
依次取������(������) = ������, ������(������) = ������2, ������(������) = ������3代入(16)达式得：
���̅���1
=
−
2 3
������0
−
3 4
������1
−
4 5
������2
+
1 3
=
0
���̅���2
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
加权残值法(全)
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件 试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 试函数是否满足控制方程和边界条件 分为三类： 内部法 边界法 混合法
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式 权函数的形式分类，主要有以下五种方法： 权函数的形式 （1）最小二乘法（Least Square Method） ）最小二乘法（ ） 最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上） （3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求 得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的 试函数：
可见，最小二乘法就是将N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1， 2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method） ）配点法（ ） 如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
J (Ci ) = ∫ R 2 dv
V
（3.2.1）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
∂J (Ci ) = 0 （i=1，2，…N） ∂Ci
（3.2.2）
即可得到最小二乘法的基本方程：
∫
∂R ∂R R dv = 0 （i=1，2，…N） V ∂Ci
变分原理
1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
《加权残值法》课件
加权残值法概述加权残值法的应用场景加权残值法的优缺点加权残值法的实际案例分析加权残值法与其他方法的比较加权残值法的未来发展与展望
contents
目录
加权残值法概述
01
加权残值法是一种将历史数据转换为预测数据的统计方法，通过对历史数据加权平均，并考虑时间序列的相关性，来预测未来的数据。
加权残值法的优势：加权残值法能够综合考虑资产的各种属性和未来发展前景，提供更为准确的资产评估结果。此外，该方法还可以用于资产定价和交易策略的制定。
加权残值法的局限性：加权残值法对于数据的要求较高，需要充分的历史数据和市场信息。此外，该方法可能无法充分考虑市场中的不确定性因素和突发事件的影响。
未来研究方向：未来研究可以探索如何结合其他资产评估与定价方法，如折现现金流分析（Discounted Cash Flow Analysis, DCF）和相对估值法（Relative Valuation），以提高资产评估与定价的准确性和可靠性。
总结词
侧重点不同
历史模拟法
根据历史数据模拟未来可能发生的情况，评估项目风险。优点是简单直观，能反映历史数据的分布情况。缺点是假设未来与历史相似，对于突变情况考虑不足。
加权残值法
不仅考虑历史数据，还结合专家判断和未来预测，更全面地评估项目风险。优点是综合性强，能更好地反映实际情况。缺点是需要足够的历史数据和可靠的预测依据。
加权残值法基于历史数据的残差序列，通过加权平均的方式，对未来的数据进行预测。
概念
定义
适用于具有时间序列相关性的数据预测，如股票价格、销售额等。
适用范围
不适用于无时间序列相关性的数据预测，如随机噪声数据。
限制
计算步骤
加权残值法
实际算例（内部法—子域法）
由前两式积分得到
q 3EI q 4 β1 + 7 L β 2 = 6EI 4 β1 − 3L β 2 =
(18) (19)
联立以上方程组，求解可得
17 q 240 EI q β2 = 6 EIL
β1 =
实际算例（内部法—子域法）
为得到该梁中点的挠度,将β1 , β2代入所取的近似挠度函数表达式，有
引入加权残值的原因
①结构复杂很难列出泛函具体表达式
②或列出的泛函对应的欧拉方程（微分方程）很 难从直接方程求解
③对于一些工程问题，只要找到满足一定精度的 解即可。
加权残值法的基本思路
①假设试函数和未知参数式为控制方程的近似解 ②将其带入控制方程 ③此时必定不能满足原控制方程 残差R
④通过将残差R积分，令其在积分意义下等于0， 得到一系列有关未知参数的代数方程 ⑤求解方程求出未知参数，进而获得问题的解
实际算例（内部法—子域法）
求下图所示简支梁跨中的挠度
由材料力学，梁的挠曲线微分方程为
d 4w EI 4 − 2q = 0, dx d 4w EI 4 − q = 0, dx L x ∈ [0, ) 2 (9)
L x ∈ [ , L] (10) 2
实际算例（内部法—子域法）
边界条件为：
w
x = 0 ,L = 0
理论推导
配点法
最小二乘法
按计算权函数 不同方法分类
力矩法
伽略金法 子域法
方法分类
内部法
按选取ui分类
边界法
混合法
实际算例（内部法—子域法）
内 部 法 : u i只 满 足 边 界 条 件 而 不 满 足 微 分 方 程 。
有限元思考题（1）
有限元思考题（1）思考题第⼀章V u1-1. ⽤加权余量法求解微分⽅程，其权函数和场函数的选择没有任何限制。
（×）答：权函数V的选取必须保证残值的加权积分为零，强迫近似解所产⽣的残值在某种平均意义上等于零；场函数u必须保证任何⼀点都满⾜积分⽅程式（不⼀定连续），在边界每⼀点上都满⾜边界条件。
1-2. 加权余量法仅适合为传热学问题建⽴基本的有限元⽅程,⽽基于最⼩势能原理的虚功原理仅适合为弹性⼒学问题建⽴基本的有限元⽅程。
（×）分析：加权余量法只要能形成场的微分⽅程都能⽤，不局限于温度场。
尤其适合于具有连续场的⾮⼒学问题（如声、电、磁、热）的有限元⽅程的建⽴。
虚功原理（或虚位移原理）不仅可以应⽤于弹性性⼒学问题，还可以应⽤于⾮线性弹性以及弹塑性等⾮线性问题。
最⼩势能原理仅适⽤于弹性⼒学问题。
加权残值法尤其适⽤于具有连续场的⾮⼒学问题的有限元⽅程的建⽴。
1-3. 现代⼯程分析中的数值分析⽅法主要有有限差分法、有限元法和边界元法。
这些⽅法本质上是将求解区域进⾏⽹格离散化，然后求解⽅程获得数值结果。
是否可以将求解区域离散成结点群，但是没有⽹格进⾏求解？答：可以⽤⽆⽹格⽅法求解。
有限元法是基于⽹格的数值⽅法，它通⽤、灵活并被作为⼀种⼯业标准⼴泛遵循，但其在分析涉及特⼤变形(如：加⼯成型、⾼速碰撞、流固耦合)、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
近年来，⽆⽹格法得到了迅速发展，它不需要划分⽹格，克服了有限元法对⽹格的依赖，在涉及⽹格畸变、⽹格移动等问题时显⽰出明显的优势，同时⽆⽹格法的前处理过程也⽐有限元更为简单。
⽬前⽆⽹格法主要还是处在研究阶段，解决的⼯程实际问题相对较简单，与有限元的发展还有较⼤距离。
（⽆⽹格⽅法数值求解的基本思想：在每个节点上构建待求物理量近似值的插值函数，并⽤加权残量法和该近似函数对微分⽅程进⾏离散，形成与待求物理量相关的各节点近似值的离散⽅程，并求解之。
）第⼆章2-1. ANSYS软件有哪些功能模块？在GUI⽅式下的六个窗⼝有何功能和特点。
变分原理
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1) 用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dtdsv 2==(2-2) 曲线弧长为：dx dx dy dy dx ds 2221⎪⎭⎫⎝⎛+=+= (2-3)于是，时间为：()dx gyy v ds dt 212'+== (2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'21x Tdx gyy dt T (2-5) 经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=Cy Cx (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
加权残值法
题：对于右图所示的等截面简支梁，在均布载荷q 作用下，求中点的扰度max ω。
解：有材料力学相关知识，梁的绕曲线方程为：440d EI q dxω-= （1） 梁在固定两边的边界条件为22002200x x x l x l d ww dx d w w dx ====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（2） 采用加权残值法求解，为了说明加权残值法解题的实质，以下用低阶近似求解。
一阶近似试函数 1sin x w c lπ= （3） 二阶近似试函数 2123sin sin x x w c c l lππ=+ （4） 将试函数带入微分方程（1）式产生内部残差4414()sin I d w xR EI q EIc q dx l lππ=-=- （5）42123()[sin 81sin ]I x xR EI c c q l l lπππ=+- （6）式（5）是一阶内部残差，式（6）是二阶内部残差。
1，子域法： （1） 一阶近似试函数在整个区域[0,l]内积分为0，即30120lI R dx EIc ql l π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰ （7） 求的待定参数c 为4312ql c EIπ= （8）将式（8）代入式（3）的近似解为4131sin 2ql x w EI lππ= （9）所以梁的中点扰度近似值为：44max 310.0161262ql ql w EI EI π== （10）而精确解为4450.0130208384ql ql EI EI=，所以误差为23.85%（2） 二阶近似由于问题的对称性，可令内部残值2I R 在[0,l/4]与[l/4，l/2]两个子域内积分等于0，即34212041271022l I R dx EI c c ql l π⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎫=-++-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰[]2242220042103122270l l l l I I I l I R dx R dx R dxR dxEI c c ql l π=-=⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ （11）求的参变量12,c c 为41c = （12）42c = （13）得二阶近似解为4213sin ]27x x ql w l l EI ππ=++ （14） 梁中点的扰度近似值为442max130.013677ql wEI +== （15）其误差为5%，二阶近似也大大提高近似解的精度。
计算力学2--弹性力学二维及三维问题的加权残值法解
第二章弹性力学二维及三维问题的加权残值法解§2-1 引言我们知道在弹性力学中，如果有一个平面体（如薄板）受到平行于该平面体中面的外力的作用，于是就在该平面体中产生了也平行于中面的内力，这就构成了弹性平面应力问题。
如果有一棱柱形的物体，两端受到垂直于棱柱轴线且沿柱轴不变的外力作用，垂直于柱轴的棱柱体的切片中的应力变形状态就属于平面应变状态，亦即构成了弹性平面应变问题。
弹性平面问题在工程技术问题中遇见较多，如深梁，平面弯曲的直梁，曲梁及变截面梁，受中面静力作用或惯性力等作用的各种形状的板及盘，平板开孔挖槽的应力集中问题，开孔剪力墙，厚壁筒，各种管道，水坝，隧道，涵洞，机械零件的切片，弹性平面的接触问题都属于这类问题。
研究弹性平面体的应力变形问题的分析方法具有重要的实际意义。
弹性物体中长，宽，高都属于等量级的，如房屋基础，机器底座，厚板及厚壳，无限大及半无限大弹性体，及一切实体结构物的应力和变形的问题需应用弹性力学三维理论方法进行分析。
在一般情况下，这种弹性体在外力作用之后，物体中任一点有三个位移分量，六个独立的应力分量和六个应变分量，比较复杂。
无论弹性平面问题或是三维问题，解析法一般只能分析几何形状比较规则，载荷作用情况及边界条件比较简单的弹性体。
外形，载荷和边界条件比较复杂的弹性平面体或三维固体需依靠如差分法，有限元法等数值诸方法才能进行分析，其中以应用有限单元法更为广泛。
有限单元法发展已有30余年历史，比较成熟，应用广泛，且有现成的计算机程序可用，但是这种方法以离散后的结构物代替原有的结构物，抛弃可用的解析解太多，程序复杂，输入的工作量大，对于计算机要求较高，误差难估。
特别将有限元方法用于解弹性三维问题，工作量比较巨大。
所以，发展一种与有限元法并行，可供选择应用的数值计算方法很有必要。
自从1978年以来，国内将加权残值法用于弹性平面问题，已有较多的开发研究工作。
西南交大徐文焕及陈虬首先将加权残值法用于解算弹性平面问题和三维问题，此后浙江大学丁浩江、谢贻权及范本隽等在加权残值法中对于直角坐标平面问题作了重要的补充并又发展了极坐标弹性平面问题解法，计算效果良好。
第六届全国加权残值法及其工程应用会议文集
后，可由式(21)解出
a1
。
最小二乘配点法的未知数与直接配点法的未知数相等。在直接配点法中，平衡方程在域内
(n-b)个点上精确满足，但在其它 m 个点上不满足。而在最小二乘配点法中，平衡方程在域
内(n+m-b)个点上在最小二乘的意义下满足，精度好于直接配点法。同时，最小二乘配点法
"
#
pm ( x2 )w2 (x − x2 ) !
p1( xN )wN ( x − xN )
p2
(
xN
)
wN
(
x
−
xN
)
"
pm (xN )wN ( x − xN )
p1( x1)
A
=
B
p1( x2 "
)
p1
(
xN
)
p2 (x1) ! p2 (x2 ) !
"#
p2 (xN ) !
pm ( x1)
如果直接用最小二乘求解式(17)时，边界条件不能严格满足，将极大地降低解的精度。
为了解一组对应于平衡方
程。令边界条件严格满足，而使平衡方程在最小二乘意义下满足。根据这种思想，将式(17)
中与 b 个边界点对应的方程集中起来，排列在方程组的 1 ~ b 行。因此得：
Key words Weighted Residual Method, Meshless method, Moving Least-Square Method, Collocated Method, Least-Square Collocated Method
1 引言
有限单元法经过近三十年的高速发展，已经成为解决工程问题应用最为广泛的数值方 法。然而，随着应用范围的拓展，有限元方法的固有缺陷也日益显露出来。例如挤压与铸 造、高速冲击、流固耦合、动态裂纹扩展问题等。针对有限元方法暴露出来的问题，许多 国际上著名的计算力学学者，包括 T. Belytschko, O. C. Zienkiewicz, S. N. Atluri, J. T. Oden， 都对无网格方法表现出了很大兴趣，并进行了大量研究[1]。
有限元第2讲：加权余量法
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
第2讲: 加权余量法
崔向阳
从微分到积分
前面说过，微分方程不太容易直接求解，只好另觅蹊径！ 高老爷子有办法，微分方程难搞，积分容易啊 把微分方程弄成积分形式试一下？
dx
1 2
11 6
a1
0
解得： a1 3 /11
可以得一项近似解为：
u1
3 11
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
它们反映了试函数与真实解之间的偏 差，它们分别称做内部和边界余量。
用n个规定的函数来代替任意函数W及V: W WIi ，V WBi ，近似场函数的
微分方程组及其边界条件的等效积分形式:
积分形式: WIi L(u) f d WBi B(u) g d=0 (i 1, 2, , n)
余量形式: WIi RI d WBi RBd 0
此法的权函数取xi-1 (i=1，…n) :
对一维问题 Wi xi-1
(i 1, 2, , n)
对二维问题 Wij xi-1 y j-1
(i, j 1, 2, , n)
矩法实质是强迫余量的各阶次矩等于零
xi1Rd 0 i
(i 1, 2, , n)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果选用狄拉克δ函数（Dirac Delta Function）作为权 函数，即：
Wi δ(xxi)
（3.2.4）
就得到了配点法。配点法的基本方程为：
V Rid W v V R (x )(x x i)d v R (x i) 0 （3.2.6）
（i=1，2，…N）
3.2 加权残值法的基本方法
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
如果将待求问题的整个区域V按任意方式划分为N个子域 Vi（i=1，2，…N），并定义此时的权函数为：
1 Wi 0
(在Vi内) 不在Vi内)
（3.2.8）
于是在每个子域Vi内可列出消除残值的方程为：
Vi Ridv0 （i=1，2，…N）
w ~1maxπ14
q4 L0.0102q64 L6
EI
EI
w ~2max
32 22
2 2
1 π4
11(312
2)
qL4 EI
0.01236q6L4 EI
（3）子域法（Subdomain Method）
w ~1max21 π3
q4L0.0 EI
1
6q1E4L 2I 6w~ 2
max
3 2
2
1 27
qL4
4π3 (2 2 2 ) EI
（4）伽辽金法（Galerkin Method）
0.013677 qL4 EI
w ~1maxπ45qE4LI0.0130qE74 LI1 w ~2maxπ4512143 qE4LI0.013q 0 E41 LI7
（5）矩量法（Method of Moment）
（3.2.2）
R R dv0（i=1，2，…N）
V Ci
（3.2.3）
可见，最小二乘法就是将权函数取作
R C i
。式（3.2.3）将
给出N个代数方程，用于求解N个待定系数Ci（i=1，
2，…N）。这个方法一般计算精度高，但运算较为繁琐。
3.2 加权残值法的基本方法
（2）配点法（Collocation Method）
不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算
工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。
3.2 加权残值法的基本方法
（5）矩量法（Method of Moment） 当权函数选取为xi（i=0，1，…N－1）时，就得到了矩量 法的基本方程为：
Rxi dv0 （i=0，1，…N－1） （3.2.12）
（2）配点法（Collocation Method）
对于高维问题，例如二维问题的配点法基本方程为：
V R id W V v R ( x ， y )( x x i ， y y i) d R v ( x i ， y i) 0
（i=1，2，…N） （3.2.7）
由残值R在N个配点xi（或二维（xi，yi））处为零。得到N个 代数方程，从而求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。配点法是 加权残值法中最简单的一种，只是其计算精度相对差一些。
（3.2.9）
3.2 加权残值法的基本方法
（3）子域法（Subdomain Method）
这里，N个子域共有N个方程，联立求解即得待定系数 Ci（i=1，2，…N）。 需要说明的是，每个子域的试函数的选取可以相同， 也可以不同。若各子域的试函数互不相同时，则必须 考虑各子域间的连接条件。
3.2 加权残值法的基本方法
数学物理中的近代 分析方法
第三章 加权残值法
3.1 加权残值法的基本概念
设某一具体的工程定解问题： Lu－f=0（在域V内） Gu－g=0（在边界S上）
（3.1.1） （3.1.2）
这里，u为待求的未知函数，L和G分别为控制方程（在域V 内）和边界条件（在边界S上）的微分算子。f和g分别是域 内和边界上的已知项。
V
由上式不难求得待定系数Ci（i=1，2，…N）。
例2：简支梁的弯曲问题
（1）最小二乘法（Least Square Method）
w ~1maxπ45qE4LI0.0130qE74 LI1 w ~2maxπ4512143 qE4LI0.013q 0 E41 LI7
（2）配点法（Collocation Method）
（4）伽辽金法（Galerkin Method） 伽辽金法是俄国工程师伽辽金提出的并以他的名字而命名
的方法。
伽辽金法中的权函数就是试函数中的基函数，即：
Wi=vi， （i=1，2，…N）
（3.2.10）
V Rvidv0 （i=1，2，…N）
（3.2.11）
由残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，
3.1 加权残值~g0
（3.1.4） （3.1.5）
为了消除残值，选取内部权函数（Weighted function）WV和 边界权函数WS，使得残值RV和RS分别与相应权函数的乘积在 域内和边界上的积分为零，即：
VRVWVdV 0
（3.1.6）
S RSWSdS 0
3.1 加权残值法的基本概念
一般地，定解问题（3.1.1）、（3.1.2）的精确解难以求
得，从而求助于近似解，这里我们假设一个待求函数u的
试函数：
N
u~ Civi i 1
其中Ci为待定系数，vi为试函数项。
（3.1.3）
将（3.1.3）代入定解问题的两个微分方程中，一般不会精确
满足，于是就出现了内部残值（Residuals）RV和边界残值RS， 即：
w ~1max21 π3
q4L0.0 EI
1
6q1E4L 2I6w~2max21π3
13π3 84
121411π22qEL4I
0.01278q6L4 EI
（3.1.7）
据此，我们就可以得到关于待定系数Ci（i=1，2，…N）的
代数方程组，求得了Ci后，即确定了近似解（3.1.3）。
3.1 加权残值法的基本概念
按试函数是否满足控制方程和边界条件，将加权残值法 分为三类： ➢内部法 ➢边界法 ➢混合法
3.2 加权残值法的基本方法
据权函数的形式分类，主要有以下五种方法：
（1）最小二乘法（Least Square Method）
最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，使得在域V内的 残值平方积分：
J(Ci )
R2dv
V
（3.2.1）
最小。为使J（Ci）最小，取极值条件：
3.2 加权残值法的基本方法
J (Ci ) 0 （i=1，2，…N）
Ci
即可得到最小二乘法的基本方程：