高考数学(文科)压轴题提升练含解析

压轴提升卷(一)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E .

(1)求曲线E 的方程；

(2)设直线y ＝2x ＋m (m ∈R 且m ≠0)与曲线E 相交于P ，Q 两点，点M ⎝⎛⎭⎫

12，1，求△MPQ 面积的取值范围．

解：(1)设C (x ，y )．

由题意，可得y x －1·y x ＋1＝－2(x ≠±1)，

∴曲线E 的方程为x 2

＋y 2

2

＝1(x ≠±1)．

(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 联立，得⎩⎪⎨⎪

⎧y ＝2x ＋m ，x 2＋y 22＝1，消去y ，

可得6x 2＋4mx ＋m 2－2＝0， ∴Δ＝48－8m 2＞0，∴m 2＜6. ∵x ≠±1，∴m ≠±2. 又m ≠0，

∴0＜m 2＜6且m 2≠4.

∵x 1＋x 2＝－2m

3，x 1x 2＝m 2－26

，

∴|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·⎝⎛⎭⎫－2m 32－4×m 2－26＝103·6－m 2.

又点M ⎝⎛⎭⎫12，1到直线y ＝2x ＋m 的距离d ＝|m |

5

， ∴△MPQ 的面积S △MPQ ＝12·103·6－m 2·|m |5＝26

·|m |·6－m 2＝2

6

m 2（6－m 2），

∴S 2

△MPQ ＝118m 2(6－m 2

)≤

118⎝⎛⎭⎫m 2＋6－m 2

22＝12. ∵0＜m 2＜6且m 2≠4，∴S 2△MPQ ∈⎝⎛⎦

⎤0，12， ∴△MPQ 面积的取值范围为⎝

⎛⎦

⎤

0，

22.

2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x

e x ＋x 2－x (其中e ＝2.718 28…)．

(1)求f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；

(2)已知函数g (x )＝－a ln[f (x )－x 2＋x ]－1

x －ln x －a ＋1，若对任意x ≥1，g (x )≥0恒成立，

求实数a 的取值范围．

解：(1)由题意得f ′(x )＝

1－x e x ＋2x －1，f (1)＝1e

， 所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝1，

所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －1

e ＝x －1，即e x －e y －e ＋1＝0.

(2)由题意知函数g (x )＝－(a ＋1)ln x ＋ax －1

x

－a ＋1，

所以g ′(x )＝－a ＋1x ＋a ＋1x 2＝ax 2

－（a ＋1）x ＋1x 2＝（ax －1）（x －1）

x 2

，

①若a ≤0，当x ≥1时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，＋∞)上是减函数，故g (x )≤g (1)＝0； ②若0＜a ＜1，则1a ＞1，当1＜x ＜1a 时，g ′(x )＜0，当x ＞1

a 时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫1，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数，故当1＜x ＜1

a

时，g (x )＜g (1)＝0； ③若a ≥1，则0＜1

a ≤1，当x ≥1时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以

g (x )≥g (1)＝0.

综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．

压轴提升卷(二)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)及点D ⎝⎛⎭⎫0，－p

2，动直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AD 与BD 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若H 为抛物线C 上不与原点O 重合的一点，点N 是线段OH 上与点O ，H 不重合的任意一点，过点N 作x 轴的垂线依次交抛物线C 和x 轴于点P ，M ，求证：

|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.

解：(1)把y ＝kx ＋1代入x 2＝2py 得x 2－2pkx －2p ＝0， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 2

12p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 2

2

2p ，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由α＋β＝π可知， 直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之和为零， 所以x 212p ＋p 2x 1＋x 222p ＋p 2x 2＝0，去分母整理得(x 1＋x 2)(x 1x 2＋p 2)＝0，

即2pk (p 2－2p )＝0，由该式对任意实数k 恒成立，可得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .

(2)证明：设过点N 的垂线方程为x ＝t (t ≠0)，由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t ，x 2＝4y 得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t ，

y ＝t 24

，即点P ⎝⎛⎭⎫t ，t

24. 令|MN ||MP |＝λ，则N ⎝⎛⎭⎫t ，λt 24，所以直线ON 的方程为y ＝λt 4x ，

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝λt 4x ，x 2＝4y 且x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λt y ＝λ2t 24，即点H ⎝⎛⎭⎫λt ，λ2t 24， 所以|OH ||ON |＝x H x N ＝λt t ＝λ，所以|MN ||MP |＝|OH ||ON |，

即|MN |·|ON |＝|MP |·|OH |.

2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(x －k )e x ＋k ，k ∈Z ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)当k ＝0时，求函数f (x )的单调区间；

(2)当x ∈(0，＋∞)时，不等式f (x )＋5＞0恒成立，求k 的最大值． 解：(1)当k ＝0时，f (x )＝x e x ， ∴f ′(x )＝(x ＋1)e x . 由f ′(x )＝0，得x ＝－1，