西安交通大学计算方法B大作业资料
数值计算B大作业---精品模板
课程设计课程名称：数值计算B设计题目：数值计算B大作业学号：姓名:完成时间:题目一:多项式插值某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线,插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。
二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -⋯⋯-+⋯⋯+-++=αααα (1） 其中系数i α(i=0,1，2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =）（（i=0，1,2……n ）确定。
根据均差的定义，把x 看成[a,b ］上的一点，可得f(x)= f （0x ）+f ［10x x ，］（0x -x )f ［x ， 0x ］= f[10x x ，］+f ［x,10x x ，］ （1x -x ）……f[x ， 0x ，…x 1-n ]= f ［x, 0x ，…x n ］+ f ［x ， 0x ,…x n ］(x —x n ）综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f （x ）= f ［0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，］(0x -x ）(1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ](0x -x ）…（x —x 1-n ）+ f ［x ， 0x ，…x n ,x ］）（x 1n +ω= N n （x ）+）（x n R 其中N n （x ）= f[0x ］+f ［10x x ，]（0x -x ）+ f ［210x x x ，，］(0x -x ）（1x -x )+…+ f ［x ， 0x ，…x n ]（0x -x )…（x —x 1-n ） （2））（x n R = f （x)— N n (x ）= f ［x, 0x ，…x n ，x ]）（x 1n +ω (3） ）（x 1n +ω=（0x -x ）…(x —x n ）Newton 插值的系数i α（i=0，1，2……n ）可以用差商表示。
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
计算方法大作业1 克服Runge现象
x3
x2
x
1
S1 ( x)
-0.34685
0.2086
0.073964
0.038462
S2 (x)
S (xi 0 ) S x(i 0 )
S
'
(xi
0) S
xi' (
0 )i
S
'
'
x(i
0)S
xi' ' (
0)
1 ,n2, . . . , 1
（1）
这里共有了 3n-3 个条件，再加上条件（2）中的 n+1 个插值条件，共有 4n-2 个条件，
因此还需要 2 个方程才能确定 S (x) .通常可在区间[a, b]的端点 a x0,b xn 上各加一个边
dn1
1
2
Mn
dn
（6）
2 1
2
2
2
1 M1 d1
M2
d2
n 1
2
n
1
M
n
1
dn1
n
n 2 M n dn
由式（1）内点拼接条件，可得
i M i1 2M i i M i1 d j i 1, 2,..., n 1
（3） （4）
其中
i
hi 1 hi1
, hi
i
hi hi 1
大学计算机基础习题答案(西安交大)
大学计算机根底习题答案〔西安交大〕大学计算机根底第1章引论习题参考答案习题一1．第一代计算机的主要部件是由〔电子管和继电器〕构成的。
2．未来全新的计算机技术主要指〔光子计算机〕，〔生物计算机〕和〔量子计算机〕。
3．按照Flynn分类法，计算机可以分为〔单指令流单数据流〕，〔单指令流多数据〕，〔多指令流单数据流〕和〔多指令流多数据流〕4种类型。
4．计算机系统主要由〔硬件系统〕和〔软件系统〕组成。
5．说明以下计算机中的部件是属于主机系统、软件系统、还是属于外部设备。
〔1〕CPU 〔主机系统〕〔2〕内存条〔主机系统〕〔3〕网卡〔主机系统〕〔4〕键盘和鼠标〔外设〕〔5〕显示器〔外设〕〔6〕Windows 操作系统〔软件系统〕6．控制芯片组是主板的的核心部件，它由〔北桥芯片〕局部和〔南桥芯片〕局部组成。
7．在计算机系统中设计Cache的主要目的是〔提高存去速度〕。
8．计算机各部件传输信息的公共通路称为总线，一次传输信息的位数称为总线的〔宽度〕。
9．PCIE属于〔系统〕总线标准，而SATA那么属于〔硬盘接口或外设〕标准。
10．在微机输入输出控制系统中，假设控制的外部设备是发光二极管，最好选用的输入输出方法是〔程序控制〕方式；假设控制的对象是高速设备，那么应选那么〔 DMA 〕控制方式。
11．操作系统的根本功能包括〔处理器管理或进程管理〕、〔文件管理〕、〔存储器管理〕、〔设备管理〕和用户接口。
12．虚拟存储器由〔主内存〕和〔磁盘〕构成，由操作系统进行管理。
13．CPU 从外部设备输入数据需要通过〔输入接口〕，向外设输出数据那么需要通过〔输出接口〕。
14．简述CPU从外部设备输入数据和向外设输出数据的过程。
请参见教材第18页关于输入输出过程的描述。
15．普适计算的主要特点是〔是一种无处不在的计算模式〕。
1大学计算机根底第1章引论习题二1．在计算机内，一切信息的存取、传输和处理都是以〔二进制码〕形式进行的。
西安交大计算方法上机报告
从而得到计算的公式：
j 1, 2,..., n 1 j 1 j l i1 i 2,3,..., n i1 11 i 1 lik ukj j i , i 1,..., n, i 2,3,.., n ij ij k 1 i 1 1 l ( lkt ti ) k i 1,..., n, i 2,3,.., n ki ki t 1 ii
计算方法 上机实习题目报告
班级：材料 s3076 班 姓名：丁明帅 学号：3113305029
1：计算 S
100000
k 1
1 ,要求误差小于 106 ,给出实现算法。 k2
【实现思路】
设当 k 值为 i 时 S-Si<10-6,则只需要
S Si
100000 1
k i
1
2
1 l32 ln 2 1 ln 3 1
4 / 46
12 22
1n 2 n
nn
因此有
1 j 2 j 0 jj 0 0
ij li1
li 2
li ,i -1
根据定义知道 L 矩阵的斜对角线上的值都为 1，且 L 矩阵的第一行与原矩阵 A 的第一行 相同，因此可以根据公式先计算 U 的第一行，然后计算 L 的第一列；以后的第 i 步先计算 U 的第 i 行， 然后计算 L 的第 i 列 （U 的第 n 行不作计算） 。 然后把最后的 U 的第 n 行计算出来。
【算法依据】
列主元高斯消元法的过程可以将方程组系数简化为系数矩阵与 b 矩阵， 从而利用方程组 对系数扩展矩阵进行消元。 在消元的过程中矩阵的行向量之间可以变换， 但列向量不能变化。 在进行压缩矩阵的求解中还需要人为的将因调整行向量所导致的列向量的变化调整回来。 Matlab 对于矩阵的处理非常容易，结合 for 循环语句可以实验本题大规模方程组的求解。
西安交大 计算方法B上机作业
计算方法（B ）上机作业一、三次样条拟合某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位置的深度数据(单位:米)如下表所示：(1)(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图； 解：1、算法实现的思想及依据题目（1）为曲线拟合问题多项式插值、分段插值和最小二乘法。
多项式插值，随着插值数据点的数目增多，误差也会随之增大，因此不选用。
最小二乘法适于数据点较多的场合，在此也不适用。
故选用分段插值。
分段插值又分为分段线性插值、分段二次插值、三次样条插值及更高阶的多项式插值。
由本题的物理背景知，光缆正常工作时各点应该是平滑过渡，因此至少选用三次样条插值法。
对于更高阶的多项式插值，由于“龙格现象”而不选用。
题目（2）求光缆长度，即求拟合曲线在0到20的长度，对弧长进行积分即可。
光缆长度的第一型线积分表达式为190k kk l +==∑⎰。
2、算法实现的结构参考教材给出的SPLINEM 算法和TTS 算法，在选定边界条件和选定插值点等距分布后，可以先将数据点的二阶差商求出来并赋值给右端向量d ，再根据TSS 解法求解M 。
光缆长度的第一型线积分表达式为190k kk l +==∑⎰。
3、程序运行结果及分析图1.1三种边界条件下三次样条插值图1.2光缆长度4、MATLAB代码：1）自己编程实现代码clear;clc;I=input('你想使用第几种边界条件？请输入1、2、3之一: ');x=0:20;y=[9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.22 9.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.8 10.93];plot(x,-y,'k.','markersize',15)%y为深度，取负号hold on%% 计算一阶差商y1=ones(1,21);for i=2:1:21y1(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1));end%% 计算二阶差商y2=ones(1,21);for i=3:1:21y2(i)=(y1(i)-y1(i-1))/(x(i)-x(i-2));end%% 计算三阶差商y3=ones(1,21);for i=4:1:21y3(i)=(y2(i)-y2(i-1))/(x(i)-x(i-3));end%% 选择边界条件（I）if I==1d(1)=0;d(21)=0;a(21)=0;c(1)=0;% 第一个点和最后一个点的二阶差商为0 endif I==2d(1)=6*y1(1);d(21)=-6*y1(21);a(1)=1;c(1)=1;endif I==3d(1)=-12*y3(1);d(21)=-12*y3(21);a(21)=-2;c(1)=-2;%endfor i=2:20d(i)=6*y2(i+1);end%% 构造带状矩阵求解（追赶法）b=2*ones(1,21);a=0.5*ones(1,21);%a(21)=-2;c=0.5*ones(1,21);%c(1)=-2;u(1)=b(1);r(1)=c(1);%% 追yz(1)=d(1);for i=2:21l(i)=a(i)/u(i-1);u(i)=b(i)-l(i)*r(i-1);r(i)=c(i);yz(i)=d(i)-l(i)*yz(i-1);end%% 赶xg(21)=yz(21)/u(21);for i=20:-1:1xg(i)=(yz(i)-r(i)*xg(i+1))/u(i);endM=xg;%%所有点的二阶导数值%% 求函数表达式并积分t=1;h=1;N=1000x1=0:20/(N-1):20;length=0;for i=1:Nfor j=2:20if x1(i)<=x(j)t=j;break;elset=j+1;endendf1=x(t)-x1(i);f2=x1(i)-x(t-1);S(i)=(M(t-1)*f1^3/6/h+M(t)*f2^3/6/h+(y(t-1)-M(t-1)*h^2/6)*f1+(y(t)-M(t)*h^2/6)* f2)/h;Sp(i)=-M(t-1)*f1^2/2/h+M(t)*f2^2/2/h+(y(t)-y(t-1))/h-(M(t)-M(t-1))*h/6;length(i+1)=sqrt(1+Sp(i)^2)*(20/(N-1))+length(i);%第一类线积分endfigure(1);plot(x1,-S,'r-')%深度曲线griddisp(['第',num2str(I),'种边界条件下长度',num2str(length(N+1)),'米'])axis fill;xlabel('测点/米');ylabel('深度/米');title('三次样条曲线拟合');legend('数据点','拟合曲线',3);二、最小二乘近似假定某天的气温变化记录如下表所示，试用数据拟合的方法找出这一天的气温变化的规律;试计算这一天的平均气温,并试估计误差。
西安交大计算方法B2017大作业
计算方法B上机报告姓名：学号：班级：学院：任课教师：2017年12月29日题目一:1.1题目内容某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位置的深度数据（单位:米）如下表所示：(1)请用合适的曲线拟合所测数据点；(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图;1.2实现题目的思想及算法依据首先在题目(1)中要实现的是数据的拟合，显然用到的是我们在第三章中数据近似的知识内容。
多项式插值时，这里有21个数据点，则是一个20次的多项式，但是多项式插值随着数据点的增多，会导致误差也会随之增大，插值结果会出现龙格现象，所以不适用于该题目中点数较多的情况。
为了避免结果出现大的误差，同时又希望尽可能多地使用所提供的数据点，提高数据点的有效使用率，这里选择分段插值方法进行数据拟合。
分段插值又可分为分段线性插值、分段二次插值和三次样条插值。
由于题目中所求光缆的现实意义，而前两者在节点处的光滑性较差，因此在这里选择使用三次样条插值。
根据课本SPLINEM算法和TSS算法，采用第三种真正的自然边界条件，在选定边界条件和选定插值点等距分布后，可以先将数据点的二阶差商求出并赋值给右端向量d，再根据TSS解法求解三对角线线性方程组从而解得M值。
求出M后，对区间进行加密，计算200个点以便于绘图以及光缆长度计算。
对于问题(2)，使用以下的公式20f (x)2dxf'(x)2dx(x )ds1.3算法结构1. For i 0,1,2, , n12. x kelse i 1 kxx k1〜一〜h; x< x x; x x<13 x xh2h" 〜[M k 1 _ M k (y k 1 M k 1 )x (y k M k —)xVh y6 6 6 61.4 matlab 源程序n=20;x=O:n;y=[9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.229.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93];M=y; %用于存放差商，此时为零阶差商h=zeros(1, n+1);c=zeros(1, n+1);d=zeros(1, n+1);a=zeros(1, n+1);b=2*o nes(1, n+1);h(2)=x(2)-x(1);for i=2:n %书本110 页算法SPLINEMh(i+1)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));a(i)=1-c(i);enda(n +1)=-2; %计算边界条件c(0),a(n+1),采用的是第三类边界条件c(1)=-2;for k=1:3 %计算k阶差商for i=n+1:-1:k+1M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k));endif(k==2) %计算2阶差商d(2:n)=6*M(3:n+1); %给 d 赋值endif(k==3)d(1)=(-12)*h(2)*M(4); %计算边界条件d(0),d(n),采用的是第三类边界条件d( n+1)=12*h( n+1)*M( n+1);endendl=zeros(1, n+1);r=zeros(1, n+1);u=zeros(1, n+1);q=zeros(1, n+1);u(1)=b(1);r(1)=c(1);q(1)=d(1);for k=2:n+1 %利用书本49页算法TSS求解三对角线性方程组r(k)=c(k);l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1);q(k)=d(k)-l(k)*q(k-1);endp( n+1)=q( n+1)/u( n+1);for k=n :-1:1p(k)=(q(k)-r(k)*p(k+1))/u(k);endfprintf('三对角线性方程组的解为：');disp(p);%求拟合曲线x1=0:0.1:20; %首先对区间进行加密，增加插值点n1=10* n;x2=zeros(1, n1+1);x3=zeros(1, n1+1);s=zeros(1, n1+1);for i=1: n1+1for j=1: nif x1(i)>=x(j)&&x1(i)<=x(j+1) %利用书本111 页算法EVASPLINE 求解拟合曲线s(x)h(j+1)=x(j+1)-x(j);x2(i)=x(j+1)-x1(i);x3(i)=x1(i)-x(j);s(i)=(p(j).*(x2(i))A3/6+p( j+1).*(x3(i))A3/6+(y(j)-p(j).*((h(j+1))A2/6)).*x2(i)+…(y(j+1)-p(j+1).*(h(j+1))A2/6).*x3(i))/h(j+1);endendendplot(x,-y,'x') %画出插值点hold onplot(x1,-s) %画出三次样条插值拟合曲线hold ontitle('三次样条插值法拟合电缆曲线');xlabel('河流宽度/m');ylabel('河流深度/m');Len gth=0;for i=1: n1L=sqrt((x1(i+1)-x1(i))A2+(s(i+1)-s(i))A2); % 计算电缆长度Len gth=Le ngth+L;endfprintf('电缆长度(m)=');disp(Le ngth);图1. 1三次样条插值法拟合海底光缆曲线山舅 10 -0.70091,922& 0.8703 -山 24斫 0.3520 -0.9224 -1,8224电缆长 l(n)= 26.6656图1.2海底光缆长度结果铺设海底光缆的曲线如图1.1所示由上图可以看出，所得到的曲线光滑，能够较好得反映实际的河沟底部地势 形貌。
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
西安交大计算方法B2017大作业
计算方法B上机报告姓名：学号：班级：学院：任课教师：2017年12月29日题目一：1.1题目内容某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位置的深度数据(单位:(1)(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图；1.2 实现题目的思想及算法依据首先在题目（1）中要实现的是数据的拟合，显然用到的是我们在第三章中数据近似的知识内容。
多项式插值时，这里有21个数据点，则是一个20次的多项式，但是多项式插值随着数据点的增多，会导致误差也会随之增大，插值结果会出现龙格现象，所以不适用于该题目中点数较多的情况。
为了避免结果出现大的误差，同时又希望尽可能多地使用所提供的数据点，提高数据点的有效使用率，这里选择分段插值方法进行数据拟合。
分段插值又可分为分段线性插值、分段二次插值和三次样条插值。
由于题目中所求光缆的现实意义，而前两者在节点处的光滑性较差，因此在这里选择使用三次样条插值。
根据课本SPLINEM 算法和TSS 算法，采用第三种真正的自然边界条件，在选定边界条件和选定插值点等距分布后，可以先将数据点的二阶差商求出并赋值给右端向量d ，再根据TSS 解法求解三对角线线性方程组从而解得M 值。
求出M 后，对区间进行加密，计算200个点以便于绘图以及光缆长度计算。
对于问题（2），使用以下的公式:20=()L f x ds ⎰20(f x =⎰191(k kk f x +==∑⎰1.3 算法结构1. For n i ,,2,1,0⋅⋅⋅=1.1 i i M y ⇒2. For 2,1=k2.1 For k n n i ,,1, -=2.1.1 i k i i i i M x x M M ⇒----)/()(13. 101h x x ⇒-4. For 1-,,2,1n i =4.1 11++⇒-i i i h x x4.2 b a c c h h h i i i i i i ⇒⇒-⇒+++2;1;)/(11 4.3 i i d M ⇒+165. 0000;;c M d M d n n ⇒⇒⇒λn n n b a b ⇒⇒⇒2;;20μ6. 1111,γμ⇒⇒d b7. For m k ,,3,2 = ! 获取M 的矩阵元素个数，存入m7.1 k k k l a ⇒-1/μ 7.2 k k k k c l b μ⇒⋅-1- 7.3 k k k k l d γγ⇒⋅-1- 8. m m m M ⇒μγ/9. For 1,,2,1 --=m m k9.1 k k k k k M M c ⇒⋅-+μγ/)(110. k ⇒1 ! 获取x 的元素个数存入s 11. For 1,,2,1-=s i11.1 if i x x ≤~then k i ⇒；break else k i ⇒+112. xx x x x x h x x k k k k ˆ~;~;11⇒-⇒-⇒--- y h x h M y x h M y x M x M k k k k k k ~/]ˆ)6()6(6ˆ6[2211331⇒-+-++---1.4 matlab 源程序n=20; x=0:n;y=[9.01 8.96 7.96 7.97 8.02 9.05 10.13 11.18 12.26 13.28 13.32 12.61 11.29 10.22 9.15 7.90 7.95 8.86 9.81 10.80 10.93];M=y; %用于存放差商，此时为零阶差商 h=zeros(1,n+1); c=zeros(1,n+1); d=zeros(1,n+1); a=zeros(1,n+1); b=2*ones(1,n+1); h(2)=x(2)-x(1);for i=2:n %书本110页算法SPLINEM h(i+1)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1)); a(i)=1-c(i); enda(n+1)=-2; %计算边界条件c(0),a(n+1),采用的是第三类边界条件 c(1)=-2;for k=1:3 %计算k 阶差商 for i=n+1:-1:k+1M(i)=(M(i)-M(i-1))/(x(i)-x(i-k)); endif(k==2) %计算2阶差商 d(2:n)=6*M(3:n+1); %给d 赋值 endif(k==3)d(1)=(-12)*h(2)*M(4); %计算边界条件d(0),d(n),采用的是第三类边界条件 d(n+1)=12*h(n+1)*M(n+1); end endl=zeros(1,n+1); r=zeros(1,n+1); u=zeros(1,n+1); q=zeros(1,n+1); u(1)=b(1); r(1)=c(1); q(1)=d(1);for k=2:n+1 %利用书本49页算法TSS求解三对角线性方程组r(k)=c(k);l(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*r(k-1);q(k)=d(k)-l(k)*q(k-1);endp(n+1)=q(n+1)/u(n+1);for k=n:-1:1p(k)=(q(k)-r(k)*p(k+1))/u(k);endfprintf('三对角线性方程组的解为：');disp(p);%求拟合曲线x1=0:0.1:20; %首先对区间进行加密,增加插值点n1=10*n;x2=zeros(1,n1+1);x3=zeros(1,n1+1);s=zeros(1,n1+1);for i=1:n1+1for j=1:nif x1(i)>=x(j)&&x1(i)<=x(j+1) %利用书本111页算法EVASPLINE求解拟合曲线s(x)h(j+1)=x(j+1)-x(j);x2(i)=x(j+1)-x1(i);x3(i)=x1(i)-x(j);s(i)=(p(j).*(x2(i)).^3/6+p(j+1).*(x3(i)).^3/6+(y(j)-p(j).*((h(j+1)).^2/6)).*x2( i)+...(y(j+1)-p(j+1).*(h(j+1)).^2/6).*x3(i))/h(j+1);endendendplot(x,-y,'x') %画出插值点hold onplot(x1,-s) %画出三次样条插值拟合曲线hold ontitle('三次样条插值法拟合电缆曲线');xlabel('河流宽度/m');ylabel('河流深度/m');Length=0;for i=1:n1L=sqrt((x1(i+1)-x1(i))^2+(s(i+1)-s(i))^2); %计算电缆长度Length=Length+L;endfprintf('电缆长度(m)=');disp(Length);1.5 结果与说明铺设海底光缆的曲线如图1.1所示图1. 1三次样条插值法拟合海底光缆曲线由上图可以看出，所得到的曲线光滑，能够较好得反映实际的河沟底部地势形貌。
西安交通大学计算方法B完整版
第一章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。
通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。
一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。
立足点：面向数学——解决数学问题面向计算机——利用计算机作为工具充分发挥计算机的功能，设计算法，解决数学问题例如：迭代法、并行算法二、问题的类型1、离散问题：例如，求解线性方程组bAx=——从离散数据：矩阵A和向量b，求解离散数据x；2、连续问题的离散化处理：例如，数值积分、数值微分、微分方程数值解；3、离散问题的连续化处理：例如，数据近似，统计分析计算；1.2数值方法的分析在本章中我们不具体讨论算法，首先讨论算法分析的基础——误差。
一般来讲，误差主要有两类、三种（对科学计算）：1）公式误差——“截断误差”，数学↔计算，算法形成——主观（人为）：数学问题-数值方法的转换，用离散公式近似连续的数学函数进行计算时，一般都会发生误差，通常称之为“截断误差”；——以后讨论2）舍入误差及输出入误差——计算机，算法执行——客观（机器）：由于计算机的存储器、运算器的字长有限，在运算和存储中必然会发生最末若干位数字的舍入，形成舍入误差；在人机数据交换过程中，十进制数和二进制数的转换也会导致误差发生，这就是输入误差。
这两种误差主要是由于计算机的字长有限，采用浮点数系所致。
首先介绍浮点数系一、计算机上的运算——浮点运算面向计算机设计的算法，则先要讨论在计算机上数的表示。
科学记数法——浮点数：约定尾数中小数点之前的数全为零，小数点后第一个数不能为零。
目前，一般计算机都采用浮点数系，一个存储单元分成首数和尾数：首数l 尾数(位)其中首数存放数的指数（或“阶”）部分，尾数存放有效数字。
西安交通大学计算方法B大作业资料.doc
计算方法上机报告姓名：学号：班级：目录题目一------------------------------------------------------------------------------------------ - 4 -1.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 -1.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 4 -1.3Matlab源程序----------------------------------------------------------------------- - 5 -1.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 5 - 题目二------------------------------------------------------------------------------------------ - 7 -2.1题目内容 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 -2.2算法思想 ---------------------------------------------------------------------------- - 7 -2.3 Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 8 -2.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------- - 9 - 题目三----------------------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 11 -3.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 13 -3.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 14 - 题目四----------------------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 15 -4.3Matlab源程序---------------------------------------------------------------------- - 15 -4.4计算结果及总结 ------------------------------------------------------------------ - 16 - 题目五----------------------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.1题目内容 --------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.2算法思想 --------------------------------------------------------------------------- - 18 -5.3 Matlab源程序--------------------------------------------------------------------- - 18 -5.3.1非压缩带状对角方程组------------------------------------------------- - 18 -5.3.2压缩带状对角方程组---------------------------------------------------- - 20 -5.4实验结果及分析 ------------------------------------------------------------------ - 22 -5.4.1Matlab运行结果 ---------------------------------------------------------- - 22 -5.4.2总结分析------------------------------------------------------------------- - 24 -5.5本专业算例 ------------------------------------------------------------------------ - 24 - 学习感悟-------------------------------------------------------------------------------------- - 27 -题目一1.1题目内容计算以下和式：0142111681848586n n S n n n n ∞=⎛⎫=--- ⎪++++⎝⎭∑，要求： (1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法； (2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。
2019-2020学年第一学期期末考试《计算方法》大作业答案
吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《计算方法》大作业答案学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
一、解线性方程（每小题8分，共80分）1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组X1+2X2+3X3= 02X1+2X2+8X3= -4-3X1-10X2-2X3= -11答：2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组X1+2X2+3X3= 12X1– X2+9X3= 0-3X1+ 4X2+9X3= 1答：3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组2X1+X2+X3= 46X1+4X2+5X3=154X1+3X2+6X3= 13答：4、用高斯消去法求解线性方程组2X1- X2+3X3= 24X1+2X2+5X3= 4-3X1+4X2-3X3= -3答：5、用无回代过程消元法求解线性方程组2X1- X2+3X3= 24X1+2X2+5X3= 4-3X1+4X2-3X3= -3答：6、用主元素消元法求解线性方程组2X1- X2+3X3= 24X1+2X2+5X3= 4-3X1+4X2-3X3= -3答：7、用高斯消去法求解线性方程组1231231232344272266x x x x x x x x x -+=++=-++=答：8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组12341231521917334319174262113x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 答：9、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组123421111443306776081011112x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 答：10、用高斯消元法解方程组1237811351341231x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦答案：二、计算（每小题10分，共20分）1、已知节点x1,x2及节点处函数值f(x1)，f(x2)，构造线性插值多项式p1(x). 答：2、设f(xi)=i(i=0,1,2),构造二次式p2(x)，使满足： p2(xi)=f(xi)(i=0,1,2)答：。
西安交通大学气液两相流作业
题目：直径D=5.08cm管子，P=180bar，进口流量M=2.14kg/s,进口为饱和水，粗糙管εD =0.002，出口干度x e=0.3，管长100m，求∆P F。
分别用M—N法、Chisholm方法（经验的C公式）、苏联78年计算标准、我国水动力计算方法。
解：计算结果如下：1Martinelli-Nelson计算方法ϕLO2=ΔP FΔP O=f(x,P)ϕLO2等于管道中两相流体流动时的摩擦阻力压力降ΔP F和管道中汽-水混合物全部为水时的摩擦阻力压力降ΔP O之比。
对于进口处干度x=0,出口处x=x e的受热管，可按出口干度x e及P值在图中查出自x=0到x=x e的ϕLO2的平均值，当x e =0.3，P=180bar=18MPa 时，查图可知平均ϕLO 2≈1.4； 对于管道中汽-水混合物全部为水时的摩擦阻力压力降：ΔP O =λO L D G 22A 2ρL查NIST 软件可知在180bar 压力下ρL =543.54kg/m 3, μL =6.22×10−5Pa∙s -1；λO 为假设两相混合物全部为液相时的摩擦阻力系数，采用Churchill 推荐在全Re 数范围内的计算公式：λ=8[(8R e)12+1(A +B )3/2]1/12式中 A ={2.45ln [1(7R e)0.9+0.27(εD)]}16B =(37530/R e )16 其中R eL =Du L ρL μL =DG AμL =4G πDμL =4×2.14π×0.0508×6.22×10−5≈8.62×105 所以λO =8[(8R eL)12+1(A +B )32]112≈0.02384所以ΔP O =λO L D G 22A 2ρL =0.02384×1000.0508× 2.1422×(π×0.02542)2×543.54≈48 125.36ΔP F=ϕLO2×ΔP O=67 375.51Pa 2Chisholm方法ϕL2=ΔP FΔP LO=1+CX+1X2ϕLO2等于管道中两相流体流动时的摩擦阻力压力降ΔP F和液相单独流过全部管道截面积时的摩擦阻力压力降ΔP LO之比。
计算方法b课程设计
计算方法b课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握计算方法B中的基本概念，如插值法、数值积分和微分方程的数值解法。
2. 学生能够运用适当的计算方法解决实际问题，并对结果进行分析和评价。
3. 学生能够掌握计算方法B中涉及的数学原理和算法步骤，与高年级数学课程内容相衔接。
技能目标：1. 学生能够运用计算软件（如MATLAB）实现计算方法B中的算法，解决相关数学问题。
2. 学生通过小组合作，培养解决复杂问题的能力，学会在实际情境中运用计算方法B。
3. 学生能够通过实际案例，分析数据，撰写报告，提高计算思维和解决问题的技能。
情感态度价值观目标：1. 学生对计算方法B产生兴趣，认识到其在工程、自然科学等领域的重要应用。
2. 学生在学习过程中，培养严谨的科学态度，树立正确的数学观念。
3. 学生通过小组合作，培养团队协作精神，增强沟通与交流能力。
课程性质：本课程为专业基础课程，旨在帮助学生建立扎实的计算方法基础，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生处于大学二年级，具备一定的数学基础和编程能力，但对计算方法B的了解有限。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强化上机操作和实际案例分析，提高学生的实际应用能力。
在教学过程中，关注学生的个别差异，因材施教，确保每位学生都能达到课程目标。
通过课程学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观方面取得具体的学习成果，为后续课程和实际工作打下坚实基础。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 插值法：介绍拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等方法，分析各种插值法的优缺点及适用范围。
2. 数值积分：讲解梯形法、辛普森法、高斯求积等数值积分方法，探讨数值积分的误差分析。
3. 微分方程的数值解法：介绍欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题的数值方法。
4. 线性方程组的数值解法：讲解高斯消元法、LU分解、迭代法等方法，分析算法的稳定性和收敛性。
计算方法大作业讲解
计算方法大作业—、计算方法学后感计算方法学习主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。
常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等，印象深刻的是三次样条差值函数，大概是做了作业的缘故。
计算也称数值分析，数学不好的人也没有学会太多东西，不过还是有些小体会的：1＞主要矛盾和次要矛盾之间的关系。
现实问题中有很多约束条件，需要我们有侧重的保留摒弃，辨析主要矛盾和次要矛盾，从而提出合理假设；2＞尺有所短寸有所长。
没有完美无缺的算法，虽然我们看到有不断地改进优化算法，但这些往往都是以牺牲某些优点为代价的。
比如提高精度，往往会导致格式复杂，产生较大运算量；3＞原则不能变。
算法也是要讲原则的，比如要谈算法的优劣性前提是要保证算法的可靠性（相容、收敛、稳定等）。
门外汉的感受也就这水准了。
至于计算方法思想在实际生活中的应用，我想来想去就这些了。
（1）天气预报：天气会受各种因素的影响，稍微一些因素发生改变就会产生很大的变化，所以天气预报其实是一件比较困难的工作。
古代人们用占卜或者经验总结等方式来预计天气状况，这倒更像是统计学。
而有了计算机，我们就可以通过数值模拟来预报天气。
具体过程就是：首先根据大气运动列出数学物理方程（偏微分），其次对空间进行网格划分，然后通过观测数据给出初值条件，最后通过数值方法求解这些偏微分方程得到网格点处的数值解。
这也是为什么主持人总是说大概在… 地区，大致在… 时段，可能有… 量级的降水… 因为时空是连续的，而网格划分不可能无限密，所得的数值解也存在误差。
（2）等离子体：对等离子体现有的理论描述中，磁流体力学、符拉索夫方程、福克-普朗克方程等都是微分方程，包含很多参量，如果要求出解析解，物理模型往往需要过分简化以至于无法精确和全面的包罗各种效应，所以需要数值计算，这也是等离子体物理学研究中很重要的一个方面。
比如最简单的单粒子模型，它的牛顿洛伦兹方程是这样：^ I' 。
这就是一个二阶微分方程，可以用数值分析里的隐式欧拉，显式欧拉，中点格式，龙格库塔等方法来求解。
2018-2019学年第二学期期末考试《计算方法》大作业参考答案
吉林大学网络教育学院2018-2019学年第二学期期末考试《计算方法》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日一、构造次数不超过三次的多项式P3（X），使满足：（10分）P3（0）= 1;P3（1）=0；P3′（0）=P3′（1）=0。
二、设f(x i)=i(i=0,1,2),构造二次式p2(x)，使满足：（10分） p2(x i)=f(x i)(i=0,1,2)三、设节点x i=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造次数不超过3次的多项式p3(x),满足p3(x i)=f(x i),i=0,1,2,3 （10分）四、对于上题的问题，构造Newton插值多项式。
（10分）五、构造三次多项式P 3（X ）满足：P 3（0）= P 3（1）=0，P 3′（0）=P 3′（1）=1。
（10分）六、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b 即解方程组 （15分） 12341231521917334319174262113x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：用公式七、基于迭代原理证明（10分）+++=22 (22)八、构造二次多项式2()x p 满足： （10分）'010222()1;()0;()1p p p x x x ===九、构造一个收敛的迭代法求解方程3210x x --=在[1.3,1.6]内的实根。
合理选择一个初值，迭代一步，求出1x 。
（15分）作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终word文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
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计算方法上机报告姓名:学号: 班级:目录题目一----------------------------------------------------------------- 4 -1.1题目内容-------------------------------------------------------- 4 -1.2算法思想-------------------------------------------------------- 4 -1.3Matlab 源程序----------------------------------------------------- 5 -1.4计算结果及总结------------------------------------------------- 5 -题目二----------------------------------------------------------------- 7 -2.1题目内容-------------------------------------------------------- 7 -2.2算法思想-------------------------------------------------------- 7 -2.3 Matlab 源程序---------------------------------------------------- 8 -2.4计算结果及总结------------------------------------------------- 9 -题目三--------------------------------------------------------------- -11-3.1题目内容----------------------------------------------------------- 11 -3.2算法思想----------------------------------------------------------- 11 -3.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- -13 -3.4计算结果及总结----------------------------------------------------- 14 - 题目四--------------------------------------------------------------- -15 -4.1题目内容----------------------------------------------------------- 15 -4.2算法思想----------------------------------------------------------- 15 -4.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- -15 -4.4计算结果及总结----------------------------------------------------- 16 - 题目五--------------------------------------------------------------- -18 --18 -5.1题目内容5.2算法思想----------------------------------------------------------- 18 -5.3 Matlab 源程序--------------------------------------------------- -18 -5.3.1 非压缩带状对角方程组 ----------------------------------- -18 -5.3.2压缩带状对角方程组-------------------------------------- -20 -5.4实验结果及分析------------------------------------------------ -22 -5.4.1Matlab 运行结果-------------------------------------------- -22 -5.4.2总结分析------------------------------------------------- -24 -5.5 本专业算例 --------------------------------------------------- -24 - 学习感悟------------------------------------------------------------- -27 -题目1.1题目内容计算以下和式：S 1n4 2- - ，要求: ^016 (8n+1 8n+4 8n+5 8n + 6 丿(1)若保留11个有效数字，给出计算结果，并评价计算的算法；(2)若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算。
1.2算法思想在程序编写中需要把握以下几点:①随着n值的增加，和式的项递减速度很快，因此我们可以认为，在确定为某一精度的前提下，n达到一定的值，加下一项将不会对最终的加和产生影响，首先我们应找到n值②根据精度要求估计所加的项数，可以使用后验误差估计，通项为:③为减小舍入误差，在计算s时所采用的方法是逆序相加，其依据是：两个数量级相差较大的数字相加减时，较小数的有效数字会被丧失，从而导致最后的运算结果失真。
为避免“大数吃小数”现象的发生，采用逆序相加。
④对于实现30位有效数字，则调用从工具箱中digits(位数)或vpa(变量,精度位数)即可实现1.3Matlab源程序16n .8n 1 8n 4 8n 5 8n 6 16n 8n 1>>clear;>>clc;>> m=i nput('输入需要求的有效数字位数m=');s=0for n=0:200 %寻找满足条件的最小ns=(1/16A n)*(4/(8* n+1)-2/(8* n+4)-1/(8* n+5)-1/(8* n+6));if s<=10A(-m) %当项小于10A-m时，停止循环breakendend;fprintf('n值加至n%d\n',n-1); %需要将n值加到的数值for i=n-1:-1:0 %逐项逆序相加求和s=(1/16Ai)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6));t=t+s;ends=vpa(t,m)1.4计算结果及总结①输入需要求的有效数字位数m=11t = 0n值加至n7s =3.1415926536②t =0n值加至n22s =3.14159265358979311599796346854从上述的算法思想中可以看出，运算中不仅要满足误差要求，还要尽可能地减少计算量，此外还要考虑舍入误差的影响，这时就要对所运算数据的性质进行分析，设臵合适的算法，从而提高运算的精度。
而逆序算法能够很好的满足上述要求。
题目二2.1题目内容某通信公司在一次施工中，需要在水面宽度为20米的河沟底部沿直线走向铺设一条沟底光缆。
在铺设光缆之前需要对沟底的地形进行初步探测，从而估计所需光缆的长度，为工程预算提供依据。
已探测到一组等分点位臵的深度数据(单位: 米)如下表所示：(1)请用合适的曲线拟合所测数据点；(2)估算所需光缆长度的近似值，并作出铺设河底光缆的曲线图;2.2算法思想利用曲线拟合数据点，即利用数据点拟合差值多项式，我们可以利用Newton 法进行拟合，也可以用复化Simpson求积公式、三次样条插值来拟合，但三次样条插值使用方程组计算增大了计算量，同时还要附加边界条件，分段三次样条插值对图形的控制能力还不够灵活。
因此这里用Newt on形式的差值多项式进行拟合。
首先计算出各差商，然后计算出Newton差值多项式的每一项，最后将所有项相加，即可计算出Newton差值多项式，然后利用所得的差值多项式一次算出多个点的函数值。
MATLAB的plot函数进行绘图。
计算长度近似值，只需将每隔两点之间的距离算出，然后一次相加，所得的折线长度，即为长度的近似值。
2.3 Matlab源程序Un titled2clearclcx=0:1:20;y=[-9.01 -8.96 -7.96 -7.97 -8.02 -9.05 -10.13 -11.18 -12.26 -13.28 -13.32 -12.61-11.29 -10.22 -9.15 -7.90 -7.95 -8.86 -9.81 -10.80 -10.93];%俞入给定的数据点xi=0:20;[Nx,Ni]=Newto n(x,y,xi);plot(xi,Ni);Ion g=0;for i=1:20Io ng=lo ng+sqrt(1+((y(i)-y(i+1)F2)); end disp ('需要的光缆长度为')disp(l ong)Newton插值法function [Nx,N0]=Newton(X,Y ,x0)n=size(X);y=Y;Nx=Y(1);N=1; %调用函数，建立Newton差值多项式%绘制拟合的曲线图%为长度赋初值%将每一段折线相加算出长度的近似值%显示需要的光缆长度%插值点个数for i=1: n-1 %计算Newton插值多项式for j=i+1: n yi(j)=(y(j)-y(i))/(x(j)-x(i))； endm(i)=yi(i+1);N=N*(x-X(i));Nx=Nx+N*m(i); y=yi;endNO=subs(Nx,'x',xO);2.4计算结果及总结针对上述Matlab程序，铺设海底光缆的曲线图如下图所示:结果如下：Nl=26.4844，即为所求近似计算光缆长度。
本题利用Newton法进行拟合，既简单又使用，运行也可以用复化Simpson 求积公式、三次样条插值来拟合，但三次样条插值使用方程组计算增大了计算量, 同时还要附加边界条件，分段三次样条插值对图形的控制能力还不够灵活。
题目二3.1题目内容假定某天的气温变化记录如下表所示，试用数据拟合的方法找出这一天的气温变化的规律；试计算这一天的平均气温，并试估计误差。
3.2算法思想在本题中，数据点的数目较多。