对灰色关联度计算方法的改进(精)

对灰色关联度计算方法的改进

■曹明霞

党耀国

张

蓉

陆建峰

计算方法

记折线

０

０

一、引言

在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、Ｔ型关联度、斜率关联度、Ｂ型关联度、广义灰色关联度、灰色Ｃ型关联度、欧几里德关联度等。灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。

（１）不具有规范性。这里的规范性是指：０＜γ≤１且γｉ＝１当且仅当Ｘｉ（ｋ）＝Ｘ０（ｋ）

轻的程度。

（６）当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动时，且Ｘｉ位于

０

０

（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１））为Ｘｉ。令

ｓｉ＝

Ｘ０之上部分的面积与位于之下的面积相

等时，ε０ｉ＝１。这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。

二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义

目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。

设系统行为数据序列为

０

#Ｘｄｔ

ｎ

０ｉｌ

（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），则

（１）当Ｘｉ为增长序列时，ｓｉ≥０；（２）当Ｘｉ为衰减序列时，ｓｉ≤０；（３）当Ｘｉ为振荡序列时，ｓｉ符号不定。命题２设系统行为数据序列

Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））Ｘｊ＝（ｘｊ（１），ｘｊ（２），…，ｘｊ（ｎ））

的始点零化像为：

Ｘｉ＝（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１）），记Ｘｊ＝（ｘｊ（１）－ｘｊ（１），ｘｊ（２）－ｘｊ（１），…，ｘｊ（ｎ）－ｘｊ（１））｜ｓｉ－ｓｊ｜＝｜

０

０

#（Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ））ｄｔ｜

０ｉ

０ｊ

设两个始点零化像曲线除了始点

ｔ０，终点ｔｎ以外还有ｌ个交点，交点记为ｔｋ

（ｋ＝１，２，…，ｌ），其中ｌ为有限整数，则｜ｓｉ－ｓｊ｜＝＋…＋＝% ｋ＝０ｌ－１

Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））（ｉ＝０，１，２，…，ｍ）

记折线

（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１）

为Ｘｉ，（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），令

０

#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ

０ｉ

０ｊ

０ｉ

０ｊ

０

１

ｔ１

０ｉ

０ｊ

ｔｎ

０ｉ

０ｊ

ｔ－１

ｔｔｋ＋１

０ｉ

０ｊ

ｋ

ｔ１ｔ２

＋ｃ（其中ｋ＝１，２，…，ｎ；ｃ为任意常数），即

两个序列平行或者重合。

（２）关联度的值不具有唯一性和对称性。因与其有关的因素很多，如系统行因素序列Ｘｉ的规为特征映射量序列Ｘ０、

范化方式、序列长度、分辨系数不同，特别是规范化方式或取值不同，关联度就不同，从而不唯一。又Ｘ０对Ｘｉ的关联度与Ｘｉ对Ｘ０的关联度一般不等，即γ０ｉ≠

#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ

０

＋

０

#Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ）ｄｔ

ｔｎ

０ｉ

０ｊ

ｔ

（１）

ｓｉ＝

ｎ

０ｉ１

#Ｘｄｔ（ｉ＝０，１，２，…，ｍ），｜ｓ－ｓ｜＝

ｎ

０ｉｌ

ｉ

０

００

上式中的ｔｋ∈Ｒ，则

（１）当Ｘｉ与Ｘｊ除了原点外无交点时：

#（Ｘ－Ｘ）ｄｔ

则灰色绝对关联度为：

１＋｜ｓ０｜＋｜ｓｉ｜ε０ｉ＝

０ｉｉ０当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动，且Ｘｉ位于Ｘ０之上部分的面积与位于Ｘ０之下的面积相等时ε０ｉ＝１，此时的关联度明显具有不合理性。所以下面我们针对这种灰色关联度的计算公式来进行改进。首先定义曲线的相似性及灰关联空间。命题１

设系统行为数据序列Ｘｉ＝

０

０

０

０

０

｜ｓｉ－ｓｊ｜＝%（ｘｉ（ｋ）－ｘｊ（ｋ））＋１

０

０

ｋ＝２

ｎ－１

（ｘｉ（ｎ）－ｘｊ（ｎ））

００

（２）

（２）当Ｘｉ与Ｘｊ除原点还有其它交点时，｜ｓｉ－ｓｊ｜不可以简化为（２）式的形式，只能先求出两数据序列始点零化像曲线的交点，然后带入（１）式来计算。

定义１设系统行为特征序列Ｘ０＝Fｘ０

００

γｉ０，即关联度不具有对称性。

（３）不同的分辨系数值会出现不同

的关联序。

（４）如按一般取ρ＝０．５，则恒有γｉ＞

０．３３３３０。

（５）在通常的关联度的计算中，一般

取相同的权重来计算。体现不出此重彼

（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎG，因素序列Ｘｉ＝Fｘｉ（ｋ），ｋ＝１，２，…，ｎG（ｉ＝１，２，…，ｍ），若ｘｉ（ｋ）＝ｘ０（ｋ）＋ｂ，（ｋ＝１，２，…，ｎ；ｂ为常数），则称Ｘｉ与Ｘ０完全

相似。

（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））（ｉ＝０，１，２，…，ｍ）基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０４７３０３７）；国家教育部博士点基金资助项目（２００２０２８７００１）；江苏省自然科学基金重点项目（ＢＫ２００３２１１）；南京航空航天大学博士创新基金资助项目（０１９００４）

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