最新假设检验例题与习题讲课讲稿

假设检验的基本原理专题培训课件

4．假设检验中的两类错误及其控制
• 对于总体参数的假设检验，有可能犯两种类型的错误，即α错误和β错误。
2024/10/7
表9－1 假设检验中的两类错误
拒绝H0 接受H0
H0为真 α错误正确
H0为假正确 β错误
两类错误的关系及控制
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O
X
两类错误的关系及控制
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假设检验的基本原理
一、假设检验的基本原理
利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设例说明假设检验的基本原理。
当对某一个总体平均数（μ）进行假设检验时，首先从这个总体中随机抽取一个样本，计算出样本平均数的值。然后，假定样本所属总体的平均数（μ）等于某个假设的总体平均数（μ0），那么，这个样本就来自这个假设总体，样本统计量的值是这个假设总体平均数值的一个随机样本值，样本平均数与总体平均数之间的差异是由抽样误差造成的。
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1．假设
• 假设检验一般有两个互相对立的假设。 • H0：零假设，或称原假设、虚无假设（
null hypothesis）、解消假设；是要检验的对象之间没有差异的假设。
• H1：备择假设（alternative hypothesis ），或称研究假设、对立假设；是与零假设相对立的假设，即存在差异的假设。
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• 当概率足够小时，可以作为从实际可能性上，把零假设加以否定的理由。因为根据这个原理认为：在随机抽样的条件下，一次实验竟然抽到与总体参数值有这么大差异的样本，可能性是极小的，实际中是罕见的，几乎是不可能的。
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3．显著性水平

假设检验PPT课件

60 62.5 65 67.5 70 72.5 75
b
H0 不真
67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5
两类错误是互相关联的，当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.
b a
要同时降低两类错误的概率a b，或者要在 a 不变的条件下降低 b，需要增
加样本容量.
（二）备择假设（alternative hypothesis），与原假设相对立(相反)的假设。一般为研究者想收集数据予以证实自己观点的假设。用H1表示。表示形式：H1：总体参数≠某值（＜）（＞）
例:H1： 0
（三）两类假设建立原则 1、H0与H1必须成对出现 2、通常先确定备择假设，再确定原假设 3、假设中的等号“=”总是放在原假设中
•
P>α时，H0成立
多重检验及校正
在同一研究中，有时我们会用到二次或多次显著性检验，从上表可以看出，如果我们将显著性水平确定为α=0.05水平，做一次显著性检验后我们只能保证有95%的研究结果与真值是一致的；如果做两次显著性检验后，研究结果与真值的符合程度就会降至 95%*95%=90.25，当我们进行5次显著性检验后，就会降至77.4%，即在5次显著性检验后，由α水平所得到的显著性检验结果的可靠性只有3/4的可靠性。
用于处理生物学研究中比较不同处理效应的差异显著性。
数据资料中，两个样本的各个变量从各自总体中抽取，两个样本之间变量没有任何关联，即两个抽样样本彼此独立，不论两个样本容量是否相同。
方法1：两个总体方差都已知（或方差未知大样本)
• 假定条件
– 两个样本是独立的随机样本
– 两个总体都是正态分布 – 若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和

假设检验教案（课时备课）

注：板书设计可在教学进程中直接用横线、浪线等标示出。
1
章、节、目
教学目的和要求
假设检验教案（课时备课）
第 2 次课
第七章第一节[2]
学时 2
弄清两个正态总体均值或方差的假设检验，百分比假设检验．
重点难点
重点：掌握各类假设检验的方法．难点：假设检验的原理以及统计量的选择．
见讲稿
教学进程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计）
注：板书设计可在教学进程目的和要求
假设检验教案（课时备课）
第４次课
第七章第二节[2]
学时 2
弄清独立性检验的原理与步骤
重点难点
重点：结合实例讲解 2 检验法的具体计算步骤，掌握独立性的检验方法．难点：弄清独立性检验的原理
见讲稿
教学进程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计）
重点难点
重点：掌握总体分布的假设检验的方法。难点：理解总体分布的假设检验的原理
学时 2
见讲稿
教学进程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计）
（基本定义要有英文标识）
P１９３－１９４, 习题７.２：１，２，３，４。作业布置
课后自我总结分析
注重对总体分布的假设检验的步骤与原理的掌握，对具体计算推倒可以不用过多讲解．
见讲稿
教学进程（含课堂教学内容、教学方法、辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计）
（基本定义要有英文标识）
P１８３－１８４, 习题７.１：１，３，４，６。作业布置
课后自我总结分析
假设检验的原理结合反证法的思想予以讲解，让学生理解假设检验的原理．同时结合具体实例讲解一个正态总体假设检验统计量的选择与拒绝域的理解．

《假设检验检验》课件

《假设检验检验》PPT课件
数据分析中的假设检验
什么是假设检验
假设检验是一种统计方法，用于通过样本数据来推断总体参数的性质。它可以帮助我们判断一个观察结果是由偶然因素引起的，还是真实存在的差异。
假设检验的步骤
1
2. 选择检验统计量
2
选择适合问题的检验统计量，如t值、
z值等。
3
4. 计算统计量
4
利用样本数据计算检验统计量的值。
5
6. 得出结论
6
根据决策，得出关于总体参数的结论。
1. 建立假设
确定原始假设和备择假设，描述总体参数的状态。
3. 设定显著性水平
选择显著性水平，决定拒绝原始假设的界限。
5. 做出决策
根据检验统计量的值和显著性水平，决定是否拒绝原始假设。
常用的假设检验方法
单样本t检验
结论的解释
根据结果的解释，得出关于总体参数的结论，并提供相应的推论。
实例演示及应用场景
通过具体的实例演示，展示假设检验在各个领域的应用，如医学、市场研究、环境保护等。
总结与展望
假设检验是数据分析中重要的工具之一，它可以帮助我们做出科学的决策，并推动各个领域的发展。未来，我们可以进一步研究和改进假设检验方法，提高其效能和适用性。
用于比较一个样本的平均值与已知值或者另一个样本的平均值。
独立样本t检验
用于比较两个独立样本的平均值是否存在显著差异。
相关样本t检验
用于比较两个相关样本的平均值是否存在显著差异。
如何解读假设检验结果
拒绝原始假设
如
接受原始假设
如果检验结果的p值大于等于显著性水平，我们接受原始假设。

假设检验例题与习题演示文稿

0.05)
均值的单尾 t 检验
(计算结果)
H0: 40000 H1: < 40000 = 0.05 df = 20 - 1 = 19 临界值(s):
拒绝域
.05
-1.7291 0
t
第二十四页，共38页。
检验统计量:
t = x 0
sn
= 41000 40000 = 0.894 5000 20
假设检验例题与习题演示文稿
第一页，共38页。
假设检验例题与习题
第二页，共38页。
假设检验在统计方法中的地位
第三页，共38页。
统计方法
推断统计
参数估计
假设检验
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤
3. 对实际问题作假设检验
4. 利用置信区间进行假设检验
5. 利用P - 值进行假设检验
机器性能良好的假设。
双侧检验
第二十页，共38页。
H0: = 5 H1: 5 = 0.05 df = 10 - 1 = 9 临界值(s):
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
.025
-2.262 0 2.262 t
第二十一页，共38页。
检验统计量:
t = x 0 = 5.3 5 = 3.16
s n 0.6 10
第三十七页，共38页。
双侧检验！
香脆蛋卷
用置信区间进行检验 (例题分析)
H0: = 1000
H1: 1000
= 0.05
n = 49 临界值(s):
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
.025
-1.96 0 1.96 Z
第三十八页，共38页。

假设检验的习题及详解包括典型考研真题

§假设检验基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型【例8.1】u 检验、t 检验都是关于的假设检验.当已知时，用u 检验；当未知时，用t 检验.【分析】由u 检验、t 检验的概念可知，u 检验、t 检验都是关于均值的假设检验，当方差2σ为已知时，用u 检验；当方差2σ为未知时，用t 检验. 【例8.2】设总体2(,)XN u σ，2,u σ未知，12,,,n x x x 是来自该总体的样本，记11ni i x x n ==∑，21()ni i Q x x ==-∑，则对假设检验0010::H u u H u u =↔≠使用的t 统计量t = （用,x Q 表示）；其拒绝域w = . 【分析】2σ未知，对u 的检验使用t 检验，检验统计量为(1)x t t n ==-对双边检验0010::H u u H u u =↔≠，其拒绝域为2{||(1)}w t t n α=>-.【例8.3】设总体211(,)XN u σ，总体222(,)Y N u σ，其中2212,σσ未知，设112,,,n x x x 是来自总体X 的样本，212,,,n y y y 是来自总体Y 的样本，两样本独立，则对于假设检验012112::H u u H u u =↔≠，使用的统计量为，它服从的分布为 .【分析】记1111n i i x x n ==∑，2121n i i y y n ==∑,因两样本独立，故,x y 相互独立，从而在0H 成立下，()0E x y -=，221212()()()D x y D x D y n n σσ+=+=+，故构造检验统计量(0,1)x yu N =.【例8.4】设总体2(,)XN u σ，u 未知，12,,,n x x x 是来自该总体的样本，样本方差为2S ，对2201:16:16H H σσ≥↔<，其检验统计量为，拒绝域为 .【分析】u 未知，对2σ的检验使用2χ检验，又由题设知，假设为单边检验，故统计量为222(1)(1)16n S n χχ-=-，从而拒绝域为221{(1)}n αχχ-<-.【例8.5】某青工以往的记录是：平均每加工100个零件，由60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取100件，发现有70个是一等品，这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高（取0.05α=）？对此问题，假设检验问题应设为【】()A 01:0.6:0.6H p H p ≥↔<. ()B 01:0.6:0.6H p H p ≤↔>. ()C 01:0.6:0.6H p H p =↔≠. ()D 01:0.6:0.6H p H p ≠↔=.【分析】一般地，选取问题的对立事件为原假设.在本题中，需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为0:0.6H p ≤，相应的，对立假设为1:0.6H p >，故选()B .【例8.6】某厂生产一种螺钉，标准要求长度是68mm ，实际生产的产品，其长度服从2(,3.6)N u ，考察假设检验问题01:68:68H u H u =↔≠.设x 为样本均值，按下列方式进行假设检验：当|68|1x ->时，拒绝原假设0H ；当|68|1x -≤时，接受原假设0H . （1）当样本容量36n =时，求犯第一类错误的概率α；（2）当样本容量64n =时，求犯第一类错误的概率α；（3）当0H 不成立时（设70u =），又64n =时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）当36n =时，223.6(,)(,0.6)36xN u N u =，000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]( 1.67)[1(1.67)]0.60.6--=Φ+-Φ=Φ-+-Φ 2[1(1.67)]2[10.99575]0.095=-Φ=-=.（2）当64n =时，223.6(,)(,0.45)64xN u N u =000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]0.450.45--=Φ+-Φ 2[1(2.22)]2[10.9868]0.0264=-Φ=-=.（3）当64n =，又70u =时，2(70,0.45)xN ，这时犯第二类错误的概率(70){|68|1|70}{6769|70}P x u P x u β=-≤==≤≤=69706770()()( 2.22)( 6.67)0.450.45--=Φ-Φ=Φ--Φ- (6.67)(2.22)10.98680.0132=Φ-Φ=-=.【评注】01（1）（2）的计算结果表明：当n 增大时，可减小犯第一类错误的概率α；02 当64n =，66u =时，同样可计算得到(66)0.0132β=.03 当64n =，68.5u =时，2(68.5,0.45)xN ，则(68.5){6769|68.5}P x u β=≤≤= 6968.56768.5()()(1.11)( 3.33)0.450.45--=Φ-Φ=Φ-Φ-0.8665[10.9995]0.8660=--=.这表明：当原假设0H 不成立时，参数真值越接近于原假设下的值时，β的值就越大. 【例8.7】设总体2(,)XN u σ，12,,,n x x x 是来自该总体的样本，对于检验01:0:0H u H u ≤↔>，取显著性水平α，拒绝域为：{}w u u α=>，其中u =，求：（1）当0H 成立时，求犯第一类错误的概率()u α；（2）当0H 不成立时，求犯第二类错误的概率()u β. 【解】（1）当0H 成立时，0u ≤，则(){|0}|0}u P u u u P u u ααα=>≤=>≤()|0}1()(0)P x u u u u u αα=->≤=-Φ≤因0u ≤，故()()1u u αααΦ≥Φ=-，从而()1()1(1)u u αααα≤-Φ=--=，即犯第一类错误的概率不大于α.（2）(){|0}()|0}u P u u u P x u u u ααβ=≤>=-≤>()(0)u u α=Φ>因0u >，故当u →+∞时，()0u β→，即u 与假设0H 偏离越大，犯第二类错误的概率越小；而当0u +→时，()1u βα→-，即当u 为正值且接近0时，犯第二类错误的概率接近1α-.基本题型Ⅱ 单个正态总体的假设检验【例8.8】某天开工时，需检验自动包装机工作是否正常，根据以往的经验，其包装的质量在正常情况下服从正态分布2(100,1.5)N （单位：kg ），先抽测了9包，其质量为： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5 问这天包装机工作是否正常？【分析】关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常，化为数学问题应为双边检验01:100:100H u H u =↔≠.【解】由题意，提出假设检验问题：01:100:100H u H u =↔≠，选取检验统计量(0,1)x u N =当0.05α=时，0.02521.96u u α==，又20.04 1.96u u α==<=，即接受原假设0H ，认为包装机工作正常.【例8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000h ，现从这批元件中随机抽取25知，测得平均寿命980X h =，标准差65S h =，试在水平0.05α=下，确定这批元件是否合格.【解】由题意，2σ未知，在水平0.05α=下检验假设0010:1000:1000H u u H u u ==↔<=属于单边（左边）t 检验.构造检验统计量 (1)x t t n =-，其中25,65,980n S X h ===，查t 分布表可得：0.05(1)(251) 1.7109t n t α-=-=，又0.05|| 1.538(24) 1.7109x t t ===<=.即接受原假设0H ，认为这批元件是合格的.【例8.10】某厂生产的一中电池，其寿命长期以来服从方差225000()σ=小时的正态分布，现有一批这种电池，从生产的情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机地抽取26只电池，测得寿命的样本方差229200()S =小时，问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化（取0.02α=）.【解】检验假设2201:5000:5000H H σσ=↔≠，选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-，由0.02α=，26n =，查2χ分布表可得220.012(1)(25)44.314n αχχ-==，220.0912(1)(25)11.524n αχχ--==，又统计量2220.012(1)46(25)44.314n S χχσ-==>=，故拒绝原假设0H ，即认为这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化.【例8.11】某种导线，要求其电阻的标准不得超过0.005（欧姆），今在生产的一批导线中取样品9根，测得0.007S =（欧姆），设总体为正态分布，问在水平0.05α=下，能否认为这批导线的标准差显著性地偏大？【解】本题属于总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题0010:0.005:0.005H H σσσσ==↔>=选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-当0.05α=，9n =时，查2χ分布表可得：220.05(1)(8)15.507n αχχ-==，又题设0.007S =，则统计量22220.0522(1)80.00715.68(8)15.5070.005n S χχσ-⨯===>=. 故拒绝原假设0H ，认为这批导线的标准差显著性地偏大.【例8.12】机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不超过10克.某天开工以后，为了检查机器工作是否正常，从已包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其重量（克）为：497，507，510，475，484，488，524，491，515问这天自动包装机工作是否正常（显著性水平0.05α=）？【解】设每袋盐重量为随机变量X ，则2(,)XN u σ，为了检查机器是否工作正常，需检验假设：01:500H u =及202:100H σ≤.下面现检验假设0111:500:500H u H u =↔≠ 由于2σ未知，故构造统计量(1)x t t n =-由于0.05α=，查t 分布表可得0.0252(1)(8) 2.306t n t α-==，又由题设计算可得499,16.03X S ==，故统计量取值0.025||0.187(8) 2.306x t t ===<=即接受原假设01H ，认为机器包装食盐的均值为500克，没产生系统误差.下面在检验假设220212:100:100H H σσ≤↔>选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-，由于0.05α=，查2χ分布表可得220.05(1)(8)15.5n αχχ-==，而统计量2220.052(1)20.56(8)15.5n S χχσ-==>=，故拒绝原假设02H ，接受12H ，即认为其标准差超过了10克.由上可知，这天机器自动包装食盐，虽没有产生系统误差，但生产不够稳定（方差偏大），从而认为这天自动包装机工作不正常.基本题型Ⅲ 两个正态总体的假设检验【例8.13】下表给出了两个文学家马克·吐温（Mark Twain ）的8偏小品文以及斯诺·特格拉斯（Snodgrass ）的10偏小品文中由3格字母组成的词比例.马克·吐温： 0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217斯诺·特格拉斯：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201 设两组数据分别来自正态分布，且两总体方差相等，两样本相互独立，问两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例是否有显著性的差异（0.05α=）？【分析】首先应注意题中的“比例”即“均值”的含义，因而本题应属于未知方差，却知其相等的两正态母体，考虑它们的均值是否相等的问题.【解】设题中两正态母体分别记为,X Y ，其均值分别为12,u u ,因而检验问题如下：012112::H u u H u u =↔≠选取统计量(2)X Y T t n m =+-，其中8,10n m ==，()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-，在0.05α=时，查t 分布表可得()()/20.025216 2.1199t n m t α+-==由题设样本数据计算可得22120.2319,0.2097,0.00021,0.00009X Y S S ====，0.119w S ===.从而t统计量值为()0.025|| 3.964316 2.1199X Y T t ===>=，因而拒绝原假设0H ，认为两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例有显著性的差异.【例8.14】据专家推测：矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些，下面给出了美国31个自然死亡的总统的寿命.矮个子（身高小于5英尺8英寸）总统 Modison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams 身高 5’4” 5’6” 5’6” 5’7” 5’7” 寿命 85 79 67 90 80高个子（身高大于5英尺8英寸）总统 W.Harrison Plok Tayler Crant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson 身高 5’8” 5’8” 5’8”5’8.5” 5’8.5” 5’9” 5’9” 5’10” 5’10” 寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66 总统 T.Roosevelt Coolidge Eisenhower Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler 身高 5’10” 5’10” 5’10” 5’11” 5’11” 5’11” 6’ 6’ 寿命 60 60 78 71 67 90 73 71 总统 Buchanan Taft Harding Jaskon Washington Arthur F.Roosevelt 身高 6’ 6’ 6’ 6’1” 6’2” 6’2” 6’2” 寿命77 72 57 78 67 56 63设两个寿命总体均为正态分布且方差相等，试问以上数据是否符合上述推测（0.05α=）？【解】设矮个子总统寿命为X ，高个子总统寿命为Y ，需检验012112::H u u H u u =↔>.由于22212σσσ==未知，故选用统计量(2)X Y T t n m =+-，其中5,26n m ==，()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-.由题设样本数据可得80.2,69.15,X Y ==22124294.8,252183.215S S ==，故()()221221185.4492wn S m S Sn m -+-==+-，从而统计量|| 2.448X Y T ==，又当0.05α=时，查t 分布表可得()()0.05229 1.6991t n m t α+-==，即()0.05|| 2.44829 1.6991T t =>=，故拒绝原假设0H ，即推测是正确的，认为矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些【例8.15】总体21(,)XN u σ，22(,)Y N u σ，112,,,n x x x 与212,,,n y y y 分别时来自总体,X Y 的样本，试讨论检验问题012112::H u u H u u δδ-≤↔->.【解】取统计量12(2)X Y T t n n =+-，其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-，则检验统计量为X Y T =，当1H 成立时，t 有偏大的趋势，故取拒绝域为12{(2)}w t t n n α=>+-.【例8.16】甲乙相邻地段各取了50块和25块岩心进行磁化率测定，算出两样本标准差分别是210.0139S =，220.0053S =，问甲乙两段的标准差是否有显著性差异（0.05α=）？【解】作假设001:H σσ=，由题设有250211501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑， 252221521520.0053()0.00545215151ii S Y Y =⨯⨯-===-∑ 从而统计量21112222(1)0.01422.630.0054(1)n S n F n S n -===-，当0.05α=，查F 分布表可得0.0252(501,521)(501,521) 1.7494F F α--=--=，0.97512(501,521)(501,521)0.5698FF α---=--=，因为0.0252.63(49,51) 1.7494F F =>=，故拒绝原假设0H ，即认为甲乙两段的标准差有显著性差异.【例8.17】在集中教育开课前对学员进行了测试，过来一段时间后，又对学员进行了与前一次同样程度的考查，目的是了解上次的学员与这次学员的考试分类是否有显著性差别（0.05α=），从上次与这次学员的考试中随机抽取12份考试成绩，如下表考试次数考分合计平均分（1） 80.5，91.0，81.0，85.0，70.0，86.0，69.5，74.0，72.5，83.0，69.0，78.5940 78.5 （2）76.0，90.0，91.5，73.0，64.5，77.5，81.0，83.5，86.0，78.5，85.0，96080.073.5【解】此为双正态总体的假设检验，两总体均值未知，先检验假设2222012112::H H σσσσ=↔≠.选取统计量211222(1,1)S F F n n S =--，由题设可计算得221253.15,60.23S S ==，则统计量212253.150.882560.23S F S ===，取0.05α=，查F 分布表可得0.0252(11,11)(11,11) 3.43F F α==,0.97510.02521(11,11)(11,11)0.2915(11,11)FF F α-===.由于122(11,11)0.8825(11,11) 3.43FF F αα-<=<=，故在0.05α=下，接受0H ，即认为两次考试中学员的成绩的方差相等. 再假设012112::H u u H u u =↔≠.构造统计量12(2)X YT t n n =+-，其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-，1212,12n n ==.由样本数据可得78.5,80.0,X Y ==221253.1515,60.2273S S ==，故()()2211222121156.68942wn S n S Sn n -+-==+-，从而统计量||0.488X Y T ==，在0.05α=下，查t 分布表可得()()120.0252222 2.0739t n n t α+-==.由于()0.025||0.48822 2.0739T t =<=，即认为两次考试中学员的平均成绩相等，从而认为两次考试中学员的成绩无显著性差异.基本题型Ⅳ 非正态总体参数假设检验【例8.18】某产品的次品率为0.17，现对此产品进行了新工艺试验，从中抽取400件检查，发现次品56间，能否认为这项新工艺显著性地影响产品质量（0.05α=）？【解】检验问题01:0.17:0.17H p H p =↔≠由题设可知56ˆ0.14400m pn ===，构造统计量 1.597u ===-，当0.05α=时，查正态分布表可得0.025 1.96u =，因为0.025|| 1.96u u <=，故接受原假设0H ，认为新工艺显著性地影响产品质量.【评注】本题的理论依据时中心极限定理：当n 充分大时，在0H 成立时，u =(0,1)N 分布.【例8.19】已知某种电子元件的使用寿命X 服从指数分布()E λ，现抽查100个元件，得样本均值950()x h =，能否认为参数0.01λ=（0.05α=）？【解】由题设()XE λ，故211,EX DX λλ==，当n 充分大时，1((0,1)1x u x N λλ-==-，现在检验问题01:0.001:0.001H H λλ=↔≠，则((0.0019501)0.5u x λ=-=⨯-=，当0.05α=时，查正态分布表可得0.025 1.96u =，因为0.025|| 1.96u u <=，故接受原假设0H ，认为参数0.01λ=.【评注】总体()X F x ，2,EX u DX σ==，则当n充分大时，u =从(0,1)N 分布.【例8.20】对某干洗公司去除污点的比例做下列假设检验01:0.7:0.9H p H p =↔=，选出100个污点，设其中去除的污点数为x ，拒绝域为{82}w x =>. （1）当0.7p =时，求犯第一类错误的概率α；（2）当0.9p =时，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）由题设有{82|0.7}1P x p α=>==-Φ1(2.62)10.99560.0044=-Φ=-=.（2）{82|0.9}P x p β=≤==Φ( 2.67)1(2.67)10.99620.0038=Φ-=-Φ=-=.【评注】从计算分析，这一检验法的α，β皆很小，是较好的检验.§历年考研真题评析1、【98.1.4】设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，计算得到平均成绩为66.5，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分？并给出检验过程.【解】设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)XN ，设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值，S 为样本标准差，根据题意建立假设001:70;:70H H .选取统计量 07036X X TnSS在70时，2(70,),(35)X T t .选取拒绝域{||}R T ，其中满足{||}0.05P T ，即{||}0.95P T .即0.975(35) 2.0301t . 由036,66.5,70,15n xs 可以计算得统计量T 的值|66.570|||361.42.030115T .因此不能拒绝0H ，即在显著性水平0.05下可以认为全体考生的平均成绩为70分.§习题全解1、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)XN σ.一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 【解】设铁水含碳量作为总体X ，则2(4.55,)XN σ，从中选取容量为5的样本，测得24.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u = 构造检验统计量 ||(4)X u t t S -=，则7.051t ==在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<，拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.2、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）【解】设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)XN u σ，从中选取容量为15的样本，测得1511 3.215i i X x ===∑，22221111()()0.1911n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.构造检验统计量(14)X t t =，则 1.777t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.3、某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ， 5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？【解】设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)XN u ，从中选取容量为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N σ-=，则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..4、某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？【解】设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==， 1.6σ==，从中选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠. 构造检验统计量(0,1)X U N =，则 1.4142U ==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>，即接受原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.5、某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）【解】设每箱重量为总体X ，则2(100,)XN σ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t S -=，则0.5423t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>，即接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.6、某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到51124ii x==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）【解】设这批套筒直径为总体X ，则2(,)XN u σ，从中选取容量为5的样本，测得151124.815i i X x ===∑，22221111()()15.9511n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 由题意，设原假设为20:7H σ=，备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=，则2415.959.11437χ⨯==，在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==，220.0052(4)(4)0.2070αχχ==，从而222122(4)(4)ααχχχ-<<. 即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7、甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑，91370.8i i y ==∑，92115280.2i i y ==∑.问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？【解】设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则211(,)XN μσ、222(,)YN μσ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得61134.16i i X x ===∑222211111()()0.40811n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 从总体Y 中选取容量为9的样本，测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511n ni i i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S =，则0.4081.0070.405F ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==，0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8、某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？【解】设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)XN u ，从中选取容量为5的样本，测得511 1.4145i i X x ===∑，2211()0.00781n i i S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=，则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<.即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9、某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（显著性水平α=0.05）? 【解】设考试成绩为总体X ，则2(,12)XN u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠. 构造检验统计量2222(1)(14)n S χχσ-=，则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==，220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==，从而222122(14)(14)ααχχχ-<<.即接受原假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.10、某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？【解】设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ、222(,)Y N μσ，从中均选取容量为6的样本，测得61125.56i i X x ===∑，22111()7.51n i i S x x n ==-=-∑， 61125.66676i i Y y ===∑，22211()11.06671n i i S y y n ==-=-∑，由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.构造检验统计量12(2)X Y t t n n =+-,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S S n n -+-==+-.则0.0948t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>.即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意，在方差待定时，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S =，则7.50.677711.0667F ==，在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==，0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==，由122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.§同步自测题及参考答案一、选择题1、关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是【】()A α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题. ()B 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动.()C α即为检验结果犯第一类错误的最大概率. ()D 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正.2、关于检验的拒绝域W,置信水平a ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是【】()A a 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述. ()B 事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件.()C 设W 是样本空间的某个子集，指事件}|),,,{(021为真H W X X X n ∈ . ()D 确定恰当的W 是任何检验的本质问题.3、设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为【】()A }C >. ()B }/100{C n S X <-. ()C }10/100{C S X >- . ()D }{C X >.4、设n X X X ,,,21 为来自总体2(,)N μσ的样本,若μ未知, 100:20≤σH ,21:100,H 0.05a ,关于此检验问题,下列不正确的是【】()A 检验统计量为100)(12∑=-ni iX X. ()B 在0H 成立时,)1(~100)1(22--n x S n . ()C 拒绝域不是双边的. ()D 拒绝域可以形如})({12∑=>-ni i k X X .5、设总体服从正态分布2(,3)XN μ，12,,,n x x x 是X 的一组样本，在显著性水平0.05α=下，假设“总体均值等于75”拒绝域为12{,,,:74.0275.98}n w x x x x x =<⋃>，则样本容量n = 【】()A 36. ()B 64. ()C 25. ()D 81.二、填空题1、为了校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H为 .2、设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知，对于检验0010::H H μμμμ=↔= 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .3、设12,,,n x x x 是正态总体2(,)XN μσ的一组样本.现在需要在显著性水平0.05α=下检验假设2200:H σσ=.如果已知常数u ，则0H 的拒绝域1w =______________；如果未知常数u ，则0H 的拒绝域2w =______________.4、在一个假设检验问题中令0H 是原假设，1H 时备择假设，则犯第一类错误的概率{______________}P ，犯第二类错误的概率{______________}P .三、解答题1、某批矿砂的5个样本中的镍含量，经测定为（%）3.25，3.27，3.24，3.26，3.24设测定值总体服从正态分布，问在0.01α=下，能否接受假设：这批矿砂的含量的均值为3.25.2、已知精料养鸡时，经若干天鸡的平均重量为4公斤.今对一批鸡改用粗料饲养，同时改善饲养方法，经同样长的饲养期后随机抽取10只，的其数据如下：3.7，3.8，4.1，3.9，4.6，4.7，5.0，4.5，4.3，3.8已知同一批鸡的重量X 服从正态分布，试推断：这一批鸡的平均重量是否显著性提高.试就0.01α=和0.05α=分别推断.3、测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出0.037%S =，设测定值总体为正态分布，2σ为总体方差，试在水平0.05α=下检验假设01:0.04%:0.04%H H σσ=↔<.4、在70年代后期，人们发现在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ）.到了80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了在新老两种干燥过程中形成的NDMA 的含量（以10亿份中的份数计）老过程 6，4，5，5，6，5，5，6，4，6，7，4 新过程2，1，2，2，1，0，3，2，1，0，1，3设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，两样本独立，分别以12,u u 记对应于老、新过程的总体均值，试检验假设（0.05α=）0111:2:2H u u H u u -=↔->.5、检验了26匹马，测得每100毫升的血清中，所含的无机磷平均为3.29毫升，标准差为0.27毫升；又检验了18头羊，每100毫升血清中汗无机磷平均值为3.96毫升，标准差为0.40毫升.设马和羊的血清中含无机磷的量均服从正态分布，试问在显著性水平0.05α=条件下，马和羊的血清中无机磷的含量有无显著性差异？6、某种产品的次品率原为0.1，对这种产品进行新工艺试验，抽取200件发现了13件次品，能否认为这项新工艺显著性地降低了产品的次品率（0.05α=）？7、设n X X X ,,,21 为总体(,4)XN a 的样本，已知对假设01:1: 2.5H a H a =↔=，0H 的拒绝域为{2}w X =>.（1）当9u =时，求犯两类错误的概率α和β；（2）证明：当n →∞时，0α→，0β→.同步自测题参考答案一、选择题1.()D .2. ()C .3. ()C .4. ()B .5. ()A . 二、填空题1.100=μ.2. 1.176.3. 222210.0250.97522110011{()()()()}nniii i w x u n x u n χχσσ===->⋃-<∑∑；222220.0250.975220(1)(1){(1)(1)}n S n S w n n χχσσ--=>-⋃<- .4.10{|}P H H 接受成立，01{|}P H H 接受成立.三、解答题 1、接受0H .2、0.01α=时，显著性提高；0.05α=时，没有显著性提高 .3、接受0H .4、拒绝0H ，接受1H .5、方差无显著性差异，均值有显著性差异，故有显著性差异.6、拒绝0H .7、（1）0.0668α=，0.2266β=，（2）102α=-Φ→，(04β=Φ-→()n →∞.。

假设检验的习题及详解包括典型考研真题

§假设检验基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型【例8.1】u 检验、t 检验都是关于的假设检验.当已知时，用u 检验；当未知时，用t 检验.【分析】由u 检验、t 检验的概念可知，u 检验、t 检验都是关于均值的假设检验，当方差2σ为已知时，用u 检验；当方差2σ为未知时，用t 检验. 【例8.2】设总体2(,)XN u σ，2,u σ未知，12,,,n x x x 是来自该总体的样本，记11ni i x x n ==∑，21()ni i Q x x ==-∑，则对假设检验0010::H u u H u u =↔≠使用的t 统计量t = （用,x Q 表示）；其拒绝域w = . 【分析】2σ未知，对u 的检验使用t 检验，检验统计量为(1)x t t n ==-对双边检验0010::H u u H u u =↔≠，其拒绝域为2{||(1)}w t t n α=>-.【例8.3】设总体211(,)XN u σ，总体222(,)Y N u σ，其中2212,σσ未知，设112,,,n x x x 是来自总体X 的样本，212,,,n y y y 是来自总体Y 的样本，两样本独立，则对于假设检验012112::H u u H u u =↔≠，使用的统计量为，它服从的分布为 .【分析】记1111n i i x x n ==∑，2121n i i y y n ==∑,因两样本独立，故,x y 相互独立，从而在0H 成立下，()0E x y -=，221212()()()D x y D x D y n n σσ+=+=+，故构造检验统计量(0,1)x yu N =.【例8.4】设总体2(,)XN u σ，u 未知，12,,,n x x x 是来自该总体的样本，样本方差为2S ，对2201:16:16H H σσ≥↔<，其检验统计量为，拒绝域为 .【分析】u 未知，对2σ的检验使用2χ检验，又由题设知，假设为单边检验，故统计量为222(1)(1)16n S n χχ-=-，从而拒绝域为221{(1)}n αχχ-<-.【例8.5】某青工以往的记录是：平均每加工100个零件，由60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取100件，发现有70个是一等品，这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高（取0.05α=）？对此问题，假设检验问题应设为【】()A 01:0.6:0.6H p H p ≥↔<. ()B 01:0.6:0.6H p H p ≤↔>. ()C 01:0.6:0.6H p H p =↔≠. ()D 01:0.6:0.6H p H p ≠↔=.【分析】一般地，选取问题的对立事件为原假设.在本题中，需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为0:0.6H p ≤，相应的，对立假设为1:0.6H p >，故选()B .【例8.6】某厂生产一种螺钉，标准要求长度是68mm ，实际生产的产品，其长度服从2(,3.6)N u ，考察假设检验问题01:68:68H u H u =↔≠.设x 为样本均值，按下列方式进行假设检验：当|68|1x ->时，拒绝原假设0H ；当|68|1x -≤时，接受原假设0H . （1）当样本容量36n =时，求犯第一类错误的概率α；（2）当样本容量64n =时，求犯第一类错误的概率α；（3）当0H 不成立时（设70u =），又64n =时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）当36n =时，223.6(,)(,0.6)36xN u N u =，000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]( 1.67)[1(1.67)]0.60.6--=Φ+-Φ=Φ-+-Φ 2[1(1.67)]2[10.99575]0.095=-Φ=-=.（2）当64n =时，223.6(,)(,0.45)64xN u N u =000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]0.450.45--=Φ+-Φ 2[1(2.22)]2[10.9868]0.0264=-Φ=-=.（3）当64n =，又70u =时，2(70,0.45)xN ，这时犯第二类错误的概率(70){|68|1|70}{6769|70}P x u P x u β=-≤==≤≤=69706770()()( 2.22)( 6.67)0.450.45--=Φ-Φ=Φ--Φ- (6.67)(2.22)10.98680.0132=Φ-Φ=-=.【评注】01（1）（2）的计算结果表明：当n 增大时，可减小犯第一类错误的概率α；02 当64n =，66u =时，同样可计算得到(66)0.0132β=.03 当64n =，68.5u =时，2(68.5,0.45)xN ，则(68.5){6769|68.5}P x u β=≤≤= 6968.56768.5()()(1.11)( 3.33)0.450.45--=Φ-Φ=Φ-Φ-0.8665[10.9995]0.8660=--=.这表明：当原假设0H 不成立时，参数真值越接近于原假设下的值时，β的值就越大. 【例8.7】设总体2(,)XN u σ，12,,,n x x x 是来自该总体的样本，对于检验01:0:0H u H u ≤↔>，取显著性水平α，拒绝域为：{}w u u α=>，其中u =，求：（1）当0H 成立时，求犯第一类错误的概率()u α；（2）当0H 不成立时，求犯第二类错误的概率()u β. 【解】（1）当0H 成立时，0u ≤，则(){|0}|0}u P u u u P u u ααα=>≤=>≤()|0}1()(0)P x u u u u u αα=->≤=-Φ≤因0u ≤，故()()1u u αααΦ≥Φ=-，从而()1()1(1)u u αααα≤-Φ=--=，即犯第一类错误的概率不大于α.（2）(){|0}()|0}u P u u u P x u u u ααβ=≤>=-≤>()(0)u u α=Φ>因0u >，故当u →+∞时，()0u β→，即u 与假设0H 偏离越大，犯第二类错误的概率越小；而当0u +→时，()1u βα→-，即当u 为正值且接近0时，犯第二类错误的概率接近1α-.基本题型Ⅱ 单个正态总体的假设检验【例8.8】某天开工时，需检验自动包装机工作是否正常，根据以往的经验，其包装的质量在正常情况下服从正态分布2(100,1.5)N （单位：kg ），先抽测了9包，其质量为： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.0，100.5 问这天包装机工作是否正常？【分析】关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常，化为数学问题应为双边检验01:100:100H u H u =↔≠.【解】由题意，提出假设检验问题：01:100:100H u H u =↔≠，选取检验统计量(0,1)x u N =当0.05α=时，0.02521.96u u α==，又20.04 1.96u u α==<=，即接受原假设0H ，认为包装机工作正常.【例8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000h ，现从这批元件中随机抽取25知，测得平均寿命980X h =，标准差65S h =，试在水平0.05α=下，确定这批元件是否合格.【解】由题意，2σ未知，在水平0.05α=下检验假设0010:1000:1000H u u H u u ==↔<=属于单边（左边）t 检验.构造检验统计量 (1)x t t n =-，其中25,65,980n S X h ===，查t 分布表可得：0.05(1)(251) 1.7109t n t α-=-=，又0.05|| 1.538(24) 1.7109x t t ===<=.即接受原假设0H ，认为这批元件是合格的.【例8.10】某厂生产的一中电池，其寿命长期以来服从方差225000()σ=小时的正态分布，现有一批这种电池，从生产的情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机地抽取26只电池，测得寿命的样本方差229200()S =小时，问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化（取0.02α=）.【解】检验假设2201:5000:5000H H σσ=↔≠，选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-，由0.02α=，26n =，查2χ分布表可得220.012(1)(25)44.314n αχχ-==，220.0912(1)(25)11.524n αχχ--==，又统计量2220.012(1)46(25)44.314n S χχσ-==>=，故拒绝原假设0H ，即认为这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化.【例8.11】某种导线，要求其电阻的标准不得超过0.005（欧姆），今在生产的一批导线中取样品9根，测得0.007S =（欧姆），设总体为正态分布，问在水平0.05α=下，能否认为这批导线的标准差显著性地偏大？【解】本题属于总体均值未知，正态总体方差的单边检验问题0010:0.005:0.005H H σσσσ==↔>=选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-当0.05α=，9n =时，查2χ分布表可得：220.05(1)(8)15.507n αχχ-==，又题设0.007S =，则统计量22220.0522(1)80.00715.68(8)15.5070.005n S χχσ-⨯===>=. 故拒绝原假设0H ，认为这批导线的标准差显著性地偏大.【例8.12】机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不超过10克.某天开工以后，为了检查机器工作是否正常，从已包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其重量（克）为：497，507，510，475，484，488，524，491，515问这天自动包装机工作是否正常（显著性水平0.05α=）？【解】设每袋盐重量为随机变量X ，则2(,)XN u σ，为了检查机器是否工作正常，需检验假设：01:500H u =及202:100H σ≤.下面现检验假设0111:500:500H u H u =↔≠ 由于2σ未知，故构造统计量(1)x t t n =-由于0.05α=，查t 分布表可得0.0252(1)(8) 2.306t n t α-==，又由题设计算可得499,16.03X S ==，故统计量取值0.025||0.187(8) 2.306x t t ===<=即接受原假设01H ，认为机器包装食盐的均值为500克，没产生系统误差.下面在检验假设220212:100:100H H σσ≤↔>选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-，由于0.05α=，查2χ分布表可得220.05(1)(8)15.5n αχχ-==，而统计量2220.052(1)20.56(8)15.5n S χχσ-==>=，故拒绝原假设02H ，接受12H ，即认为其标准差超过了10克.由上可知，这天机器自动包装食盐，虽没有产生系统误差，但生产不够稳定（方差偏大），从而认为这天自动包装机工作不正常.基本题型Ⅲ 两个正态总体的假设检验【例8.13】下表给出了两个文学家马克·吐温（Mark Twain ）的8偏小品文以及斯诺·特格拉斯（Snodgrass ）的10偏小品文中由3格字母组成的词比例.马克·吐温： 0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217斯诺·特格拉斯：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201 设两组数据分别来自正态分布，且两总体方差相等，两样本相互独立，问两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例是否有显著性的差异（0.05α=）？【分析】首先应注意题中的“比例”即“均值”的含义，因而本题应属于未知方差，却知其相等的两正态母体，考虑它们的均值是否相等的问题.【解】设题中两正态母体分别记为,X Y ，其均值分别为12,u u ,因而检验问题如下：012112::H u u H u u =↔≠选取统计量(2)X Y T t n m =+-，其中8,10n m ==，()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-，在0.05α=时，查t 分布表可得()()/20.025216 2.1199t n m t α+-==由题设样本数据计算可得22120.2319,0.2097,0.00021,0.00009X Y S S ====，0.119w S ===.从而t统计量值为()0.025|| 3.964316 2.1199X Y T t ===>=，因而拒绝原假设0H ，认为两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例有显著性的差异.【例8.14】据专家推测：矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些，下面给出了美国31个自然死亡的总统的寿命.矮个子（身高小于5英尺8英寸）总统 Modison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams 身高 5’4” 5’6” 5’6” 5’7” 5’7” 寿命 85 79 67 90 80高个子（身高大于5英尺8英寸）总统 W.Harrison Plok Tayler Crant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson 身高 5’8” 5’8” 5’8”5’8.5” 5’8.5” 5’9” 5’9” 5’10” 5’10” 寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66 总统 T.Roosevelt Coolidge Eisenhower Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler 身高 5’10” 5’10” 5’10” 5’11” 5’11” 5’11” 6’ 6’ 寿命 60 60 78 71 67 90 73 71 总统 Buchanan Taft Harding Jaskon Washington Arthur F.Roosevelt 身高 6’ 6’ 6’ 6’1” 6’2” 6’2” 6’2” 寿命77 72 57 78 67 56 63设两个寿命总体均为正态分布且方差相等，试问以上数据是否符合上述推测（0.05α=）？【解】设矮个子总统寿命为X ，高个子总统寿命为Y ，需检验012112::H u u H u u =↔>.由于22212σσσ==未知，故选用统计量(2)X Y T t n m =+-，其中5,26n m ==，()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-.由题设样本数据可得80.2,69.15,X Y ==22124294.8,252183.215S S ==，故()()221221185.4492wn S m S Sn m -+-==+-，从而统计量|| 2.448X Y T ==，又当0.05α=时，查t 分布表可得()()0.05229 1.6991t n m t α+-==，即()0.05|| 2.44829 1.6991T t =>=，故拒绝原假设0H ，即推测是正确的，认为矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些【例8.15】总体21(,)XN u σ，22(,)Y N u σ，112,,,n x x x 与212,,,n y y y 分别时来自总体,X Y 的样本，试讨论检验问题012112::H u u H u u δδ-≤↔->.【解】取统计量12(2)X Y T t n n =+-，其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-，则检验统计量为X Y T =，当1H 成立时，t 有偏大的趋势，故取拒绝域为12{(2)}w t t n n α=>+-.【例8.16】甲乙相邻地段各取了50块和25块岩心进行磁化率测定，算出两样本标准差分别是210.0139S =，220.0053S =，问甲乙两段的标准差是否有显著性差异（0.05α=）？【解】作假设001:H σσ=，由题设有250211501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑， 252221521520.0053()0.00545215151ii S Y Y =⨯⨯-===-∑ 从而统计量21112222(1)0.01422.630.0054(1)n S n F n S n -===-，当0.05α=，查F 分布表可得0.0252(501,521)(501,521) 1.7494F F α--=--=，0.97512(501,521)(501,521)0.5698FF α---=--=，因为0.0252.63(49,51) 1.7494F F =>=，故拒绝原假设0H ，即认为甲乙两段的标准差有显著性差异.【例8.17】在集中教育开课前对学员进行了测试，过来一段时间后，又对学员进行了与前一次同样程度的考查，目的是了解上次的学员与这次学员的考试分类是否有显著性差别（0.05α=），从上次与这次学员的考试中随机抽取12份考试成绩，如下表考试次数考分合计平均分（1） 80.5，91.0，81.0，85.0，70.0，86.0，69.5，74.0，72.5，83.0，69.0，78.5940 78.5 （2）76.0，90.0，91.5，73.0，64.5，77.5，81.0，83.5，86.0，78.5，85.0，96080.073.5【解】此为双正态总体的假设检验，两总体均值未知，先检验假设2222012112::H H σσσσ=↔≠.选取统计量211222(1,1)S F F n n S =--，由题设可计算得221253.15,60.23S S ==，则统计量212253.150.882560.23S F S ===，取0.05α=，查F 分布表可得0.0252(11,11)(11,11) 3.43F F α==,0.97510.02521(11,11)(11,11)0.2915(11,11)FF F α-===.由于122(11,11)0.8825(11,11) 3.43FF F αα-<=<=，故在0.05α=下，接受0H ，即认为两次考试中学员的成绩的方差相等. 再假设012112::H u u H u u =↔≠.构造统计量12(2)X YT t n n =+-，其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-，1212,12n n ==.由样本数据可得78.5,80.0,X Y ==221253.1515,60.2273S S ==，故()()2211222121156.68942wn S n S Sn n -+-==+-，从而统计量||0.488X Y T ==，在0.05α=下，查t 分布表可得()()120.0252222 2.0739t n n t α+-==.由于()0.025||0.48822 2.0739T t =<=，即认为两次考试中学员的平均成绩相等，从而认为两次考试中学员的成绩无显著性差异.基本题型Ⅳ 非正态总体参数假设检验【例8.18】某产品的次品率为0.17，现对此产品进行了新工艺试验，从中抽取400件检查，发现次品56间，能否认为这项新工艺显著性地影响产品质量（0.05α=）？【解】检验问题01:0.17:0.17H p H p =↔≠由题设可知56ˆ0.14400m pn ===，构造统计量 1.597u ===-，当0.05α=时，查正态分布表可得0.025 1.96u =，因为0.025|| 1.96u u <=，故接受原假设0H ，认为新工艺显著性地影响产品质量.【评注】本题的理论依据时中心极限定理：当n 充分大时，在0H 成立时，u =(0,1)N 分布.【例8.19】已知某种电子元件的使用寿命X 服从指数分布()E λ，现抽查100个元件，得样本均值950()x h =，能否认为参数0.01λ=（0.05α=）？【解】由题设()XE λ，故211,EX DX λλ==，当n 充分大时，1((0,1)1x u x N λλ-==-，现在检验问题01:0.001:0.001H H λλ=↔≠，则((0.0019501)0.5u x λ=-=⨯-=，当0.05α=时，查正态分布表可得0.025 1.96u =，因为0.025|| 1.96u u <=，故接受原假设0H ，认为参数0.01λ=.【评注】总体()X F x ，2,EX u DX σ==，则当n充分大时，u =从(0,1)N 分布.【例8.20】对某干洗公司去除污点的比例做下列假设检验01:0.7:0.9H p H p =↔=，选出100个污点，设其中去除的污点数为x ，拒绝域为{82}w x =>. （1）当0.7p =时，求犯第一类错误的概率α；（2）当0.9p =时，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）由题设有{82|0.7}1P x p α=>==-Φ1(2.62)10.99560.0044=-Φ=-=.（2）{82|0.9}P x p β=≤==Φ( 2.67)1(2.67)10.99620.0038=Φ-=-Φ=-=.【评注】从计算分析，这一检验法的α，β皆很小，是较好的检验.§历年考研真题评析1、【98.1.4】设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，计算得到平均成绩为66.5，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分？并给出检验过程.【解】设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)XN ，设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值，S 为样本标准差，根据题意建立假设001:70;:70H H .选取统计量 07036X X TnSS在70时，2(70,),(35)X T t .选取拒绝域{||}R T ，其中满足{||}0.05P T ，即{||}0.95P T .即0.975(35) 2.0301t . 由036,66.5,70,15n xs 可以计算得统计量T 的值|66.570|||361.42.030115T .因此不能拒绝0H ，即在显著性水平0.05下可以认为全体考生的平均成绩为70分.§习题全解1、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)XN σ.一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 【解】设铁水含碳量作为总体X ，则2(4.55,)XN σ，从中选取容量为5的样本，测得24.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u = 构造检验统计量 ||(4)X u t t S -=，则7.051t ==在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<，拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.2、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）【解】设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)XN u σ，从中选取容量为15的样本，测得1511 3.215i i X x ===∑，22221111()()0.1911n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.构造检验统计量(14)X t t =，则 1.777t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.3、某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ， 5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？【解】设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)XN u ，从中选取容量为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N σ-=，则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..4、某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？【解】设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==， 1.6σ==，从中选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠. 构造检验统计量(0,1)X U N =，则 1.4142U ==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>，即接受原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.5、某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）【解】设每箱重量为总体X ，则2(100,)XN σ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t S -=，则0.5423t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>，即接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.6、某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到51124ii x==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）【解】设这批套筒直径为总体X ，则2(,)XN u σ，从中选取容量为5的样本，测得151124.815i i X x ===∑，22221111()()15.9511n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 由题意，设原假设为20:7H σ=，备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=，则2415.959.11437χ⨯==，在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==，220.0052(4)(4)0.2070αχχ==，从而222122(4)(4)ααχχχ-<<. 即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7、甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑，91370.8i i y ==∑，92115280.2i i y ==∑.问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？【解】设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则211(,)XN μσ、222(,)YN μσ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得61134.16i i X x ===∑222211111()()0.40811n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 从总体Y 中选取容量为9的样本，测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511n ni i i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S =，则0.4081.0070.405F ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==，0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8、某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？【解】设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)XN u ，从中选取容量为5的样本，测得511 1.4145i i X x ===∑，2211()0.00781n i i S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=，则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<.即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9、某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（显著性水平α=0.05）? 【解】设考试成绩为总体X ，则2(,12)XN u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠. 构造检验统计量2222(1)(14)n S χχσ-=，则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==，220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==，从而222122(14)(14)ααχχχ-<<.即接受原假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.10、某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？【解】设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ、222(,)Y N μσ，从中均选取容量为6的样本，测得61125.56i i X x ===∑，22111()7.51n i i S x x n ==-=-∑， 61125.66676i i Y y ===∑，22211()11.06671n i i S y y n ==-=-∑，由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.构造检验统计量12(2)X Y t t n n =+-,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S S n n -+-==+-.则0.0948t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>.即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意，在方差待定时，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S =，则7.50.677711.0667F ==，在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==，0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==，由122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.§同步自测题及参考答案一、选择题1、关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是【】()A α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题. ()B 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动.()C α即为检验结果犯第一类错误的最大概率. ()D 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正.2、关于检验的拒绝域W,置信水平a ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是【】()A a 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述. ()B 事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件.()C 设W 是样本空间的某个子集，指事件}|),,,{(021为真H W X X X n ∈ . ()D 确定恰当的W 是任何检验的本质问题.3、设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为【】()A }C >. ()B }/100{C n S X <-. ()C }10/100{C S X >- . ()D }{C X >.4、设n X X X ,,,21 为来自总体2(,)N μσ的样本,若μ未知, 100:20≤σH ,21:100,H 0.05a ,关于此检验问题,下列不正确的是【】()A 检验统计量为100)(12∑=-ni iX X. ()B 在0H 成立时,)1(~100)1(22--n x S n . ()C 拒绝域不是双边的. ()D 拒绝域可以形如})({12∑=>-ni i k X X .5、设总体服从正态分布2(,3)XN μ，12,,,n x x x 是X 的一组样本，在显著性水平0.05α=下，假设“总体均值等于75”拒绝域为12{,,,:74.0275.98}n w x x x x x =<⋃>，则样本容量n = 【】()A 36. ()B 64. ()C 25. ()D 81.二、填空题1、为了校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H为 .2、设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知，对于检验0010::H H μμμμ=↔= 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .3、设12,,,n x x x 是正态总体2(,)XN μσ的一组样本.现在需要在显著性水平0.05α=下检验假设2200:H σσ=.如果已知常数u ，则0H 的拒绝域1w =______________；如果未知常数u ，则0H 的拒绝域2w =______________.4、在一个假设检验问题中令0H 是原假设，1H 时备择假设，则犯第一类错误的概率{______________}P ，犯第二类错误的概率{______________}P .三、解答题1、某批矿砂的5个样本中的镍含量，经测定为（%）3.25，3.27，3.24，3.26，3.24设测定值总体服从正态分布，问在0.01α=下，能否接受假设：这批矿砂的含量的均值为3.25.2、已知精料养鸡时，经若干天鸡的平均重量为4公斤.今对一批鸡改用粗料饲养，同时改善饲养方法，经同样长的饲养期后随机抽取10只，的其数据如下：3.7，3.8，4.1，3.9，4.6，4.7，5.0，4.5，4.3，3.8已知同一批鸡的重量X 服从正态分布，试推断：这一批鸡的平均重量是否显著性提高.试就0.01α=和0.05α=分别推断.3、测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出0.037%S =，设测定值总体为正态分布，2σ为总体方差，试在水平0.05α=下检验假设01:0.04%:0.04%H H σσ=↔<.4、在70年代后期，人们发现在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺（NDMA ）.到了80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面给出了在新老两种干燥过程中形成的NDMA 的含量（以10亿份中的份数计）老过程 6，4，5，5，6，5，5，6，4，6，7，4 新过程2，1，2，2，1，0，3，2，1，0，1，3设两样本分别来自正态总体，且两总体的方差相等，两样本独立，分别以12,u u 记对应于老、新过程的总体均值，试检验假设（0.05α=）0111:2:2H u u H u u -=↔->.5、检验了26匹马，测得每100毫升的血清中，所含的无机磷平均为3.29毫升，标准差为0.27毫升；又检验了18头羊，每100毫升血清中汗无机磷平均值为3.96毫升，标准差为0.40毫升.设马和羊的血清中含无机磷的量均服从正态分布，试问在显著性水平0.05α=条件下，马和羊的血清中无机磷的含量有无显著性差异？6、某种产品的次品率原为0.1，对这种产品进行新工艺试验，抽取200件发现了13件次品，能否认为这项新工艺显著性地降低了产品的次品率（0.05α=）？7、设n X X X ,,,21 为总体(,4)XN a 的样本，已知对假设01:1: 2.5H a H a =↔=，0H 的拒绝域为{2}w X =>.（1）当9u =时，求犯两类错误的概率α和β；（2）证明：当n →∞时，0α→，0β→.同步自测题参考答案一、选择题1.()D .2. ()C .3. ()C .4. ()B .5. ()A . 二、填空题1.100=μ.2. 1.176.3. 222210.0250.97522110011{()()()()}nniii i w x u n x u n χχσσ===->⋃-<∑∑；222220.0250.975220(1)(1){(1)(1)}n S n S w n n χχσσ--=>-⋃<- .4.10{|}P H H 接受成立，01{|}P H H 接受成立.三、解答题 1、接受0H .2、0.01α=时，显著性提高；0.05α=时，没有显著性提高 .3、接受0H .4、拒绝0H ，接受1H .5、方差无显著性差异，均值有显著性差异，故有显著性差异.6、拒绝0H .7、（1）0.0668α=，0.2266β=，（2）102α=-Φ→，(04β=Φ-→()n →∞.。

第五讲假设检验问题(PPT 35)

假如另一位专家B先生宣称说 = 15，你会作何反应呢？根据B先生的说法，所观察到的 x(= 17)开始显得有点极端，因为它现在偏离有两个标准误差了。
13
14
15
16
17

假如第三位专家C先生宣称说 = 14又如何呢？当然，假如 =14，那么观察到的 x(= 17)的确非常极
32
H 0 : 30 H 1 : 30 x 30 拒绝域： z0.01 s n 29 .5 30 1.96 z0.01 2.33 1 .8 50 结论：不拒绝原假设。即没有证据说明厂家说谎。
33

一个快餐店决定计划实施一次特殊供应，使顾客能购买到专门印有著名卡通人物的杯装饮料。如果有超过15%的消费者购买这种饮料，则认为可以推行这种特殊供应。在某些地方已经进行的初步试验表明，500名消费者有88名购买了这种杯装饮料。是否应推行这种特殊杯装饮料？当显著性水平为0.01时，得出你的建议。
现有一样本，n=100, x 29 .44 s 20 .42
x 35 2.72 1.96 所以拒绝H 0 . s n 或者： P (| Y | 2.72 ) 0.006 0.05 p 其中Y是标准正态随机变量。
16
n

是否对Hilltop咖啡投诉？

联邦贸易委员会（FTC）意欲对大瓶 Hilltop牌咖啡进行检查，以确定是否符合其标签上注明的“容量至少是3磅”的说法，并由此决定是否因为包装重量的不足而对其提出投诉。 H0: 3 H1:<3. 显著水平=0.05，
H0: 3 H1: < 3
拒绝域
0

假设检验例题讲解

假设检验例题讲解引言假设检验是统计学中一种重要的推断方法，用于根据样本数据对总体参数进行推断。

在实际应用中，我们经常需要对某个总体参数是否满足某个假设进行检验，以此来判断某种情况的发生是否是偶然的还是具有统计学意义的。

在本文中，我们将通过一个具体的例子来详细讲解假设检验的步骤和方法。

例题描述某公司通过市场调研，推出了一种新的产品，并声称该产品的平均寿命超过了现有市场上的同类产品。

为了验证这一声称，该公司随机选取了30台该产品进行了测试，并记录了它们的寿命（以小时为单位）。

假设该产品的寿命服从正态分布，现在我们想要对该声称进行检验。

步骤1：建立假设在进行假设检验之前，首先需要明确我们的原假设和备择假设。

原假设（H0）：该产品的平均寿命不超过现有市场上同类产品的平均寿命，即μ ≤ μ0（μ0为现有产品的平均寿命）。

备择假设（H1）：该产品的平均寿命超过现有市场上同类产品的平均寿命，即μ> μ0。

在本例中，我们要采用单侧检验，因为我们关心的是新产品平均寿命是否超过现有产品的平均寿命。

步骤2：选择显著性水平显著性水平（α）是在进行假设检验时事先设定的一个值，它规定了我们对收集到的样本数据作出判断的临界点。

常用的显著性水平有0.05和0.01两种。

在本例中，我们选择α = 0.05作为显著性水平。

步骤3：计算样本统计量根据收集到的样本数据，我们需要计算出一个样本统计量，用来对总体参数进行估计。

在本例中，我们要计算平均寿命的样本均值和样本标准差。

假设样本的平均寿命为x̄，样本标准差为s。

步骤4：计算检验统计量在假设检验中，我们需要计算一个检验统计量来判断样本数据和原假设是否一致。

在本例中，我们要计算t检验统计量，其公式为： t统计量其中，x̄为样本均值，μ0为原假设的参数值，s为样本标准差，n为样本容量。

步骤5：计算P值在假设检验中，P值是一个重要的指标，用于评估样本数据在原假设为真时出现的概率。

在本例中，我们要计算P值，即检验统计量大于等于观察到的t检验统计量的概率。

假设检验-例题讲解

假设检验一、单样本总体均值的假设检验 .................................................... 1 二、独立样本两总体均值差的检验 ................................................ 2 三、两匹配样本均值差的检验 ........................................................ 4 四、单一总体比率的检验 ................................................................ 5 五、两总体比率差的假设检验 .. (7)一、单样本总体均值的假设检验例题：某公司生产化妆品，需要严格控制装瓶重量。

标准规格为每瓶250 克，标准差为1 克，企业的质检部门每日对此进行抽样检验。

某日从生产线上随机抽取16 瓶测重，以95%的保证程度进行总体均值的假设检验。

x t μ-=data6_01 样本化妆品重量 SPSS 操作：（1）打开数据文件，依次选择Analyze （分析）→Compare Means （比较均值）→One Sample T Test （单样本t 检验），将要检验的变量置入Test Variable(s)（检验变量）；（2）在Test Value （检验值）框中输入250；点击Options （选项）按钮，在Confidence Interval（置信区间百分比）后面的框中，输入置信度（系统默认为95%，对应的显著性水平设定为5%，即0.05，若需要改变显著性水平如改为0.01，则在框中输入99 即可）；（3）点击Continue（继续）→OK（确定），即可得到如图所示的输出结果。

图中的第2~5 列分别为：计算的检验统计量t 、自由度、双尾检验p-值和样本均值与待检验总体均值的差值。

使用SPSS 软件做假设检验的判断规则是：p-值小于设定的显著性水平Ɑ时，要拒绝原假设（与教材不同，教材的判断标准是p<Ɑ/2）。

假设检验例题与习题课件

比例
方差
Z 检验
t 检验
Z 检验
（单尾和双尾）（单尾和双尾）（单尾和双尾）
2检验
（单尾和双尾）
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10
总体均值检验
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11
•【例】某机床厂加工一种零件，根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度近似服从正态分布，其总体均值为 0=0.081mm ，总体标准差为 = 0.025 。今换一种新机床进行加工，
第 7章假设检验例题与习题
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1
假设检验在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
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2
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 对实际问题作假设检验 4. 利用置信区间进行假设检验
5. 利用P - 值进行假设检验
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3
拒绝 H0
.025
-1.96 0 1.96 Z
检验统计量:
z=x0 =0.0760.08=12.83 n 0.025200
决策:
在 = 0.05的水平上拒绝H0
结论:
有证据表明新机床加工的零件的椭圆度与以前有显著差异
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13
2 已知均值的检验
(P 值的计算与应用)
•第1步：进入Excel表格界面，选择“插入”下拉菜单
显著地高于1200小时
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18
•【例】某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取 10 块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试以0.05的显著性水平检验机器性能良好的假设。

《假设检验习题答案》课件

论语（节选）（一）颜渊问仁。

子曰："克己复礼为仁。

一日克己复礼，天下归仁焉。

为仁由己，而由人乎哉？"颜渊曰："请问其目？"子曰："非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动。

"颜渊曰："回虽不敏，请事斯语矣。

" ——《论语·颜渊》翻译：颜渊问什么是仁。

孔子告诉他："严格要求自己按照礼的要求去做就是仁。

一旦做到克己复礼，天下就回到仁上了。

修养仁德靠自己，难道还能依靠别人吗？"颜渊接着问："请问实践仁德的具体途径？"孔子告诉他说："不符合礼制的东西不看，不符合礼制的信息不听，不符合礼制的话不说，不符合礼制的事情不做。

"颜渊说："我虽然不聪明，但我一定照着您的话去做。

（二）仲弓问仁。

子曰："出门如见大宾，使民如承大祭。

己所不欲，勿施于人。

在邦无怨，在家无怨。

"仲弓曰："雍虽不敏，请事斯语矣。

" ——《论语·颜渊》翻译：仲弓问什么是仁。

孔子告诉他："出门在外要像接见贵宾那样敬慎，治理百姓要像承担重大祭祀那样严肃谨慎。

自己不喜欢做的事情，不要强加给别人。

这样在朝廷和家族中都不会招致怨恨。

"仲弓说："我虽然不聪明，但我一定照着您的话做。

"（三）子贡问曰：“有一言而可以终身行之者乎？”子曰：“其恕乎！己所不欲，勿施于人。

”——《论语·卫灵公》翻译：子贡问孔子：“有没有一个字可以终身奉行的呢？”孔子回答说：“那就是‘恕’吧！自己不愿意的，不要强加给别人。

”（四）有子曰：“其为人也孝弟，而好犯上者，鲜矣；不好犯上，而好作乱者，未之有也。

君子务本，本立而道生。

孝弟也者，其为仁之本与？”——《论语·学而》翻译：有子说：”孝顺父母，顺从兄长，而喜好触犯上层统治者，这样的人是很少见的。

假设检验例题与习题40页PPT

H0: 2% H1: < 2%
8 -6
统计学
(第二版)
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
某灯泡制造商声称，该企业所生产的灯泡的平均使用寿命在1000小时以上。如果你准备进一批货，怎样进行检验
▪ 检验权在销售商一方
▪ 作为销售商，你总是想收集证据证明生产商的说法(寿命在1000小时以上)是不是正确的
统计学假设检验在统计方法中的地位
(第二版)
统计方法
描述统计
பைடு நூலகம்推断统计
参数估计
假设检验
8 -1
统计学
(第二版)
学习目标
1. 了解假设检验的基本思想 2. 掌握假设检验的步骤 3. 对实际问题作假设检验 4. 利用置信区间进行假设检验 5. 利用P - 值进行假设检验
8 -2
统计学
(第二版)
双侧检验
H0: 1500 H1: 1500
8 -5
统计学
(第二版)
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
一项研究表明，改进生产工艺后，会使产品的废品率降低到2%以下。检验这一结论是否成立
研究者总是想证明自己的研究结论(废品率降低)是正确的
备择假设的方向为“<”(废品率降低) 建立的原假设与备择假设应为
3. 先确立备择假设H1
8 -4
统计学
(第二版)
单侧检验
(原假设与备择假设的确定)
一项研究表明，采用新技术生产后，将会使产品的使用寿命明显延长到1500小时以上。检验这一结论是否成立
研究者总是想证明自己的研究结论(寿命延长)是正确的
备择假设的方向为“>”(寿命延长) 建立的原假设与备择假设应为

第六讲假设检验演示文稿

第34页，共39页。
选择哪个公司的校车服务？
Dullus县学校要更新明年的校车服务合同，需要从Milbank和Gulf Park两家公司中选择一个。选择校车运送或者到达时间的方差作为衡量公司服务质量的指标。学校需要了解这两家公司的服务质量是否相同，如果相同，他们就会选择价格较低的一家。他们调查了M公司的25个到达时间以及G公司的16个到达时间，分别得到样本的方差是48和20。他们是否有充分的理由认为两家公司的服务质量不同？
例
一个超级市场连锁店在商场员工接受了一项客户关系培训项目的前后进行了消费者对服务意见的
抽样调查。在培训课程的前后分别调查了40位消费者，每人都要为商场的服务评级打分，分值从1（非常差）到10（非常好）。得到结果为
培训前：
培试训判后断：该培xx训12 是68否..61提825高s了1s2消1费.007者.60服7务评级。
H0 : p1 p2 拒绝域：
H1 : p1 p2
p1 p2
z
p(1
p)(
1 n1
1 n2
)
计算得p1 0.037, p2 0.034
p1 p2
0.44
p(1
p
)(
1 n1
1 n2
)
z0.05 1.645
不拒绝原假设。即没有足够证据说明拖欠医院
帐单超过90天的比率有所上升。
第31页，共39页。
第6页，共39页。
均值差的检验
H0 : 1 2 c H1 : 1 2 c
拒绝域：| x1 x2 s12
c s22
|
z
/2
n1 n2
(大样本）
| x1 x2 c | ( 1 1 )s2

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假设检验的习题及详解包括典型考研真题

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第五讲 假设检验问题(PPT 35)

假设检验例题讲解

假设检验-例题讲解

假设检验例题与习题课件

《假设检验习题答案》课件

假设检验例题与习题40页PPT

第六讲假设检验演示文稿

第五讲假设检验问题(PPT 35)