历届东南数学奥林匹克试题
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目录
2004年东南数学奥林匹克 (2)
2005年东南数学奥林匹克 (4)
2006年东南数学奥林匹克 (6)
2007年东南数学奥林匹克 (9)
2008年东南数学奥林匹克 (11)
2009年东南数学奥林匹克 (14)
2010年东南数学奥林匹克 (16)
2011年东南数学奥林匹克 (18)
2012年东南数学奥林匹克 (20)
2004年东南数学奥林匹克
1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.
2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作
一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.
3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有
a n+12≥2a n a n+2.
(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有
a n+12≥2a n a n+2.
4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.
5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.
6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的
圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.
7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有
一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进
行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.
8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.
2005年东南数学奥林匹克
1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.
(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.
（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.
（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.
（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).
（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.
（冷岗松司林供题）
6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.
（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程
|x+1|+|x+2|+|x+3|=a
的根的个数；
(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且
|a1|+|a2|+⋯+|a n|
=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|
=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.
求项数n的最大值.
（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）
2006年东南数学奥林匹克
1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .
证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3
. （李胜宏 供题）
2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .
图1
3. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.
（陶平生 供题）
4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;