自动控制原理简明教程 第六章离散系统理论 习题答案
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第六章 习题课
一 . 离 散 系 统 的 结 构 图 如 图 所 示 ， K=10 ， T=0.2，r(t)=t；
1. 判断系统的稳定性；
2. 如系统稳定，求系统的稳态误差；
附：
Z
1 s
z
z 1
Z
1 s2
Tz (z 1)2
解：
G开 (z)
1
z z
z
1
Z
K s2
1 z
Z
0.5K s
T 而r(t)=t输入时系统的稳态误差为 kv
kv
lim (z
z 1
1)G( z )
lim
z1
0.12 z 0.9
0.1
ess
T kv
0.1 1 0.1
五. 某离散系统结构如图所示，试求在单位阶跃输 入时，系统输出的Z变换y(z)和输出y(2)、y(∞)。
x(t)
1 eTs
1
y(t)
T＝1秒
0.368 z2 0.264 z 2z2 1.632 z 0.632
y()
lim (1
z1
z1)Y (z)
lim
z1
z
1 z
0.368z 0.264 z2 z 0.632
z
z 1
1
长除法
Y (z)
z3
0.368 z2 0.264 z 2z2 1.632 z 0.632
0.368 z1 z2
0.5)
＝
K
(z 1)(z 0.5) K
(z 1)(z 0.5)
特征方程：z2 1.5z 0.5 K 0
令 z w 1 代入上式，得：Kw2 (1 2K )w 3 K 0 w 1
列劳斯表： w2 K 3 K
w1 1 2K 0
w0 3 K
K 0
欲使系统稳定: 1 2K 0 得：0 K 0.5
四．离散系统结构如图所示，T为采样周期，试 判断系统的稳定性，若稳定，计算r(t)=t时稳态误
差。
R(s)
1 eTs
1
C(s)
T＝0.1秒
s
s(s 1)
解：G(
z)
(1
z
1
)
Z
s
2
1 (s 1)
Z
s
2
(
1 s
1)
Z
1 s2
1 s
1 s 1
Tz (z 1)2
z
z 1
z
z eT
(Tz TeT zeT eT z 1)z
s s(s 1)
G(z)
(1
z
1
)
Z
s
2
1 (s
1)
0.368z 0.264 z2 1.368z 0.368
(z)
G(z) 1 G(z)
0.368 z 0.264 z2 z 0.632
Y
(z)
(z)
R(z)
0.368z 0.264 z2 z 0.632
z
z 1
终值定理
z3
(z 1)2 (z eT )
G(z)
z
1 (Tz TeT
z
(z
zeT eT 1)2 (z eT )
z
1) z
T 1 eT
0.12
z 1 z eT
(z 1)(z 0.9)
Ι型系统
特征方程为：1+G(z)=0 。解得：
z1,2 0.95 j0.0866
z1 z2 0.954 1 系统稳定
，得：C ( z )
T (z) G2 (z)
RG1(z) G2 (z) 1 G1G2 (z)
即得证。
3. 若离散系统特征方程如下，
Z3 Z2 Z 1 0
解方程：Z 2 (1 Z ) Z 1 0 (1 Z )(1 Z 2 ) 0 解得： z1 1, z2 j, z3 j
根均在单位圆上，所以系统临界稳定。
C(Z ) RG1 (Z ) G2 (Z ) 1 G1G2 (Z )
3. 若离散系统特征方程如下，试判断系统的稳
定性。 Z 3 Z 2 Z 1 0
4. 若 E(Z ) Z ，求e(3T)和e(∞)。
Z 2 0.25
R(s)
(s)
G1 ( s )
T (s)
T
T *(s) G2 (s)
Baidu Nhomakorabea
kv
lim ( z
z1
1)G开 ( z)
1 3
则系统的稳态误差=3T=0.6
二. 设系统结构如下图所示，其中
Z[G(s)] G(z)
K
(z 1)( z 0.5)
试确定K值，使系统稳定，且在r(t) t 时稳态误
差 e() 0.5 。
K
(
z)
G(z) 1＋G ( z )
＝ (z 1＋
1)(z K
4.使用长除法
E(Z )
Z
2
Z 0.25
Z
1
0.25Z
3
0.0625Z
5
则 e*(t) 1 (t T ) 0.25 (t 3T ) 0.0625 (t 5T )
则e(3T)=-0.25
终值定理
e()
lim (1
z1
z 1 ) E ( z )
lim
z1
z
1 z
z2
z 0.25
0
3 K 0
又：Z[G(s)] G(z)
K
(z 1)( z 0.5)
Ι型系统 T
而r(t)=t输入时系统的稳态误差为 kv
kv
lim (z
z1
1)Z[G(s)]
lim
z1
z
K 0.5
2K
ess
T kv
0.5
得： K 0.4
K的取值范围为：0.4 K 0.5
三. 共4小题 1. 请写出零阶保持器的传递函数 Gh (s)。 2. 证明下图所示离散系统的C(Z)为：
z
z
1
K
(
z
Tz 1)
2
1 z 1 0.5K z
z
z 1
KT
21
(z 1)(1 0.5K ) 6(z 1) 3(z 1)
Ι型系统
1
(
z)
G开 (z) 1＋G开 (z
)
＝ 3( 1＋
z
1) 1
＝1 3z 2
3(z 1)
特征方程： 3z 2 0
解得： z 2 1 则系统稳定。
3
T
而r(t)=t输入时系统的稳态误差为 kv
将（4）式两边离散化，有：
T *(s) RG1*(s) T *(s)G1G2*(s)
令 s ln z ，得：T (z) RG1(z) T (z)G1G2 (z) T
则 T (z) RG1(z)
1 G1G2 (z)
将（3）式两边离散化，有：C*(s) T *(s) G2*(s)
令
s ln z T
y(2) 1
六.
离散系统如图所示,采样周期T＝1秒，G(s)
K s(s
1)
1.求闭环脉冲传递函数，并判断K＝5时系统的稳 定性。 2.若K＝1，求单位速度输入时的稳态误差。
C(s)
1 eTs 1.零阶保持器的传递函数 Gh (s) s
(s) R(s) C(s) (1) 2.列系统的基本方程： T (s) (s) G1(s) (2)
C(s) T *(s) G2 (s) (3)
把（1）（3）式代入（2）式，得：
T (s) [R(s) T *(s) G2 (s)] G1(s) R(s)G1(s) T *(s)G2 (s)G1(s) (4)
一 . 离 散 系 统 的 结 构 图 如 图 所 示 ， K=10 ， T=0.2，r(t)=t；
1. 判断系统的稳定性；
2. 如系统稳定，求系统的稳态误差；
附：
Z
1 s
z
z 1
Z
1 s2
Tz (z 1)2
解：
G开 (z)
1
z z
z
1
Z
K s2
1 z
Z
0.5K s
T 而r(t)=t输入时系统的稳态误差为 kv
kv
lim (z
z 1
1)G( z )
lim
z1
0.12 z 0.9
0.1
ess
T kv
0.1 1 0.1
五. 某离散系统结构如图所示，试求在单位阶跃输 入时，系统输出的Z变换y(z)和输出y(2)、y(∞)。
x(t)
1 eTs
1
y(t)
T＝1秒
0.368 z2 0.264 z 2z2 1.632 z 0.632
y()
lim (1
z1
z1)Y (z)
lim
z1
z
1 z
0.368z 0.264 z2 z 0.632
z
z 1
1
长除法
Y (z)
z3
0.368 z2 0.264 z 2z2 1.632 z 0.632
0.368 z1 z2
0.5)
＝
K
(z 1)(z 0.5) K
(z 1)(z 0.5)
特征方程：z2 1.5z 0.5 K 0
令 z w 1 代入上式，得：Kw2 (1 2K )w 3 K 0 w 1
列劳斯表： w2 K 3 K
w1 1 2K 0
w0 3 K
K 0
欲使系统稳定: 1 2K 0 得：0 K 0.5
四．离散系统结构如图所示，T为采样周期，试 判断系统的稳定性，若稳定，计算r(t)=t时稳态误
差。
R(s)
1 eTs
1
C(s)
T＝0.1秒
s
s(s 1)
解：G(
z)
(1
z
1
)
Z
s
2
1 (s 1)
Z
s
2
(
1 s
1)
Z
1 s2
1 s
1 s 1
Tz (z 1)2
z
z 1
z
z eT
(Tz TeT zeT eT z 1)z
s s(s 1)
G(z)
(1
z
1
)
Z
s
2
1 (s
1)
0.368z 0.264 z2 1.368z 0.368
(z)
G(z) 1 G(z)
0.368 z 0.264 z2 z 0.632
Y
(z)
(z)
R(z)
0.368z 0.264 z2 z 0.632
z
z 1
终值定理
z3
(z 1)2 (z eT )
G(z)
z
1 (Tz TeT
z
(z
zeT eT 1)2 (z eT )
z
1) z
T 1 eT
0.12
z 1 z eT
(z 1)(z 0.9)
Ι型系统
特征方程为：1+G(z)=0 。解得：
z1,2 0.95 j0.0866
z1 z2 0.954 1 系统稳定
，得：C ( z )
T (z) G2 (z)
RG1(z) G2 (z) 1 G1G2 (z)
即得证。
3. 若离散系统特征方程如下，
Z3 Z2 Z 1 0
解方程：Z 2 (1 Z ) Z 1 0 (1 Z )(1 Z 2 ) 0 解得： z1 1, z2 j, z3 j
根均在单位圆上，所以系统临界稳定。
C(Z ) RG1 (Z ) G2 (Z ) 1 G1G2 (Z )
3. 若离散系统特征方程如下，试判断系统的稳
定性。 Z 3 Z 2 Z 1 0
4. 若 E(Z ) Z ，求e(3T)和e(∞)。
Z 2 0.25
R(s)
(s)
G1 ( s )
T (s)
T
T *(s) G2 (s)
Baidu Nhomakorabea
kv
lim ( z
z1
1)G开 ( z)
1 3
则系统的稳态误差=3T=0.6
二. 设系统结构如下图所示，其中
Z[G(s)] G(z)
K
(z 1)( z 0.5)
试确定K值，使系统稳定，且在r(t) t 时稳态误
差 e() 0.5 。
K
(
z)
G(z) 1＋G ( z )
＝ (z 1＋
1)(z K
4.使用长除法
E(Z )
Z
2
Z 0.25
Z
1
0.25Z
3
0.0625Z
5
则 e*(t) 1 (t T ) 0.25 (t 3T ) 0.0625 (t 5T )
则e(3T)=-0.25
终值定理
e()
lim (1
z1
z 1 ) E ( z )
lim
z1
z
1 z
z2
z 0.25
0
3 K 0
又：Z[G(s)] G(z)
K
(z 1)( z 0.5)
Ι型系统 T
而r(t)=t输入时系统的稳态误差为 kv
kv
lim (z
z1
1)Z[G(s)]
lim
z1
z
K 0.5
2K
ess
T kv
0.5
得： K 0.4
K的取值范围为：0.4 K 0.5
三. 共4小题 1. 请写出零阶保持器的传递函数 Gh (s)。 2. 证明下图所示离散系统的C(Z)为：
z
z
1
K
(
z
Tz 1)
2
1 z 1 0.5K z
z
z 1
KT
21
(z 1)(1 0.5K ) 6(z 1) 3(z 1)
Ι型系统
1
(
z)
G开 (z) 1＋G开 (z
)
＝ 3( 1＋
z
1) 1
＝1 3z 2
3(z 1)
特征方程： 3z 2 0
解得： z 2 1 则系统稳定。
3
T
而r(t)=t输入时系统的稳态误差为 kv
将（4）式两边离散化，有：
T *(s) RG1*(s) T *(s)G1G2*(s)
令 s ln z ，得：T (z) RG1(z) T (z)G1G2 (z) T
则 T (z) RG1(z)
1 G1G2 (z)
将（3）式两边离散化，有：C*(s) T *(s) G2*(s)
令
s ln z T
y(2) 1
六.
离散系统如图所示,采样周期T＝1秒，G(s)
K s(s
1)
1.求闭环脉冲传递函数，并判断K＝5时系统的稳 定性。 2.若K＝1，求单位速度输入时的稳态误差。
C(s)
1 eTs 1.零阶保持器的传递函数 Gh (s) s
(s) R(s) C(s) (1) 2.列系统的基本方程： T (s) (s) G1(s) (2)
C(s) T *(s) G2 (s) (3)
把（1）（3）式代入（2）式，得：
T (s) [R(s) T *(s) G2 (s)] G1(s) R(s)G1(s) T *(s)G2 (s)G1(s) (4)