初一数学竞赛(行程问题精讲)

例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需2

1

7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)

分析 本题用方程来解简单自然。

解 设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+(2) 21720

35(1)

93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数35

1也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法：

(1)+(2)得

(x+y)(

201+351)=9+2

17 所以 x+y=21035

12012179=++ (3) (1)-(2)得 (x -y)( 201-351)=9-2

17 所以 x-y=7035

12012179=-- (4) 由(3)、(4)得 x=140270210=+ 所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。

例2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔7

24分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x 等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)

分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax 米处，它用6分钟

追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax 米处，它经过7

24分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。 解：设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，根据题意得

⎪⎩

⎪⎨⎧+⋅=-=)(724)(6b a ax b a ax 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5

评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。

例3 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A 、B 两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)

分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。 解：如图，设小镇为D ，傍晚

汽车在E 休息 A D C E B 由已知， AD 是AC 的三分之一，也就是AD =

21DC 又由已知，EB=21CE 两式相加得：AD+ EB=2

1DE 因为DE=400千米，所以AD+ EB=

21⨯400=200千米， 从而A 、B 两市相距400+200=600千米

评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。

例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v 1、v 2、v 3千米，且满足v 1> v 2> v 3> v >0，其中v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：

(1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；

(2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。

在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为

解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：

S i =(v i -v)⨯1+v ⨯1= v i ⨯1(i=1、2、3)

第i 号赛艇追上浮标的时间为：()11=⨯=-+=i

i i i i v v v v v S t (小时) 由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。

评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。

例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)

解：设甲的运动速度是甲，V 乙的运动速度是乙V ，丙的运动速度是丙V ．设环形轨道长为L 。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有甲V －乙V ＝

50L ① 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有甲V －丙V ＝

40L ② ②－①可得到乙V －丙V ＝40L －50L ＝200

L ③ 4＝丙

乙－乙甲－V V V V ④ 5＝－丙

乙丙甲－V V V V ⑤ 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离

＝（甲V －丙V ）×30－（ 甲V －乙V ）×10； 乙追上丙所用时间＝丙

乙－乙、丙之间距离V V ＝－－丙乙丙

甲－30⨯V V V V 1104015010＝－＝丙乙－乙甲－⨯V V V V 秒．所以第110秒时，乙追上丙．

评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和⨯时间；

追及问题的关系式是：追及路程=速度差⨯时间。

例6.(2007新疆省)图9表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y(千米)随时间x(分)变化的图象.根据图象回答问题；

图9

(1)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇。

(2)求这次比赛全程是多少千米。

(3)求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.

分析：本题将行程问题与正比例函数、一次函数有机地结合在一起，而其数据信息完全由图象给出，突出了数形结合的特点。解题的关键是从图象获取数据信息，建立起关于一次函数和二元一次方程组的数学模型，这种“审读获取信息——建立数学模型——解释、解决问题”的方式是信息性问题的基本解题方式。

一、

选择题

1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走。若a≠b，则( )先到达N地。

A、甲

B、乙

C、二人同时到达

D、不确定

2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )

A、24千米

B、12千米

C、48千米

D、40千米

3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地。已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )

A、2千米/时

B、4千米/时

C、5千米/时

D、6千米/时

4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( )

A、43

B、34

C、25

D、52

5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是( )

A、1.5

B、1.9

C、3.25

D、4.375