声波的辐射
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1.已知脉动球源半径为m 01.0,向空气中辐射频率为Hz 1000的声波,设表面振速幅值为s m 05.0,求距球心m 50处的声压及声压级为多少?该处质点位移幅值、速度幅值为多少?辐射声功率为多少?
解:球面波声压表达式为)(kx t j e r A p -=
ω, 其中θρj a e A j kr u kr kr c A =++=)()(10202
000,
a u kr kr c A 202
000)(1+=ρ,)1arctan(0kr =θ。 代入数值计算得)(037.0m Pa A ⋅=, 65.79=θ
求距球心m 50处的声压Pa r A
p a 4104.7-⨯== 声压级)(35.2810
22104.7lg 20lg 2024
dB p p SPL ref e =⨯⨯⨯==-- 速度幅值)(1078.1)(16200s m kr
kr c p v a
a -⨯=+=ρ 位移幅值)(1083.210m v a
a -⨯==ωε 辐射声功率)(1010.2)
(1)(21215202020002W u S kr kr c u R W a a r r -⨯=+==ρ
2.证明如图所示的绝对软分界面前偶极子的远场辐射声压为
wt kr e kD e r
kAD p j j )cos cos(cos 2j θθ-⋅=.
p
软
解:由镜像原理知,绝对软边界对声源的影响等效于一个反相的的虚声源. 由声压叠加原理得远场任意p 点得声压表达式为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+---+---+)(j ')(j ')(j )(j ''kr wt kr wt kr wt kr wt e r A e r A e r A e r A p 其中,θcos 23D r r -≈+,θcos 2
D r r -≈-,θcos 2'D r r +≈+,θcos 23'D r r +≈-. 考虑远场的声压时,即假设r >>D ,则由四个小球源辐射的声波达到观察点p 时,振幅差别甚小,可用r 代替r +,r -,r +',r -',但是它们对相位的差异不能忽略.
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----+-+-)cos 23(j )cos 2(j )cos 2(j )cos 23(j θθθθkD kr wt kD kr wt kD kr wt kD kr wt e r A e r A e r A e r A p ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos 23j -cos 2j -cos 2j cos 23j )(j kD kD kD kD kr wt e e e e e r A ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθθθcos 2j -cos 2j cos D j -cos 2j -cos 2j cos D j )(j kD kD k kD kD k kr wt e e e e e e e r A ()
θθθθcos D j -cos D j cos 2j -cos 2j )(j k k kD kD kr wt e e e e e r A +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- )cos D cos(2)cos 2
sin(j 2)(j θθk kD e r A kr wt ⋅⋅=
- 由于kD <<1,可将)cos 2sin(θkD 近似为θcos 2
kD ,由此 上式)cos D cos(2cos j )(j θθk kD e r
A kr wt ⋅⋅=- wt kr e k e r kAD j j -)cos D cos(cos 2j θθ=由此结论得证.
3.由声柱指向特性(6-3-23)式出发,证明长度为L 的均匀直线声源的指向特性为
θλ
πθλπθsin )sin sin(
)(L L D =。 证明:由n 个体积速度相等,相位相同,两两相距l 的小脉动球源组成的声柱的指向特性为
∆
∆=k n kn D sin sin )(θ
长度为L 的均匀直线声源,利用极限将直线声源等效为n (∞→n )个小脉动球源。
∆∆=∞→k n kn D n sin sin lim )(θ]sin )1(22sin[]sin )1(22sin[lim θλπθλπ--=∞→n L n n L n n θλπλθπsin )1(1lim sin sin -⋅=∞→n l n l n θλ
πθλπsin )sin sin(
L L =证毕。
4.有一直径为30㎝纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波,假设它可以看作是活塞振动,试分别画出它们在100Hz 与1000Hz 时的指向性图。当f=1000Hz 时,主声束角宽度为多少?此扬声器临界距离g z 为多少? 解:10()2(sin )()()sin A A p J k D p ka θθαθθθ
=== 0
20.0183f k f c π==,半径0.152d a m == 1100f Hz =,1 1.83k =,10.271k a =<
21000f Hz =,218.3k =,2 2.73k a =≈
2arcsin 0.16
a λθ=02arcsin 0.16c fa =03442arcsin 0.164310000.15==⨯ 2g a z λ=2200.1510000.065344
a f m c ⨯==≈