声波的辐射

1.已知脉动球源半径为m 01.0，向空气中辐射频率为Hz 1000的声波，设表面振速幅值为s m 05.0，求距球心m 50处的声压及声压级为多少？该处质点位移幅值、速度幅值为多少？辐射声功率为多少？

解：球面波声压表达式为)(kx t j e r A p -=

ω， 其中θρj a e A j kr u kr kr c A =++=)()(10202

000，

a u kr kr c A 202

000)(1+=ρ，)1arctan(0kr =θ。 代入数值计算得)(037.0m Pa A ⋅=， 65.79=θ

求距球心m 50处的声压Pa r A

p a 4104.7-⨯== 声压级)(35.2810

22104.7lg 20lg 2024

dB p p SPL ref e =⨯⨯⨯==-- 速度幅值)(1078.1)(16200s m kr

kr c p v a

a -⨯=+=ρ 位移幅值)(1083.210m v a

a -⨯==ωε 辐射声功率)(1010.2)

(1)(21215202020002W u S kr kr c u R W a a r r -⨯=+==ρ

2.证明如图所示的绝对软分界面前偶极子的远场辐射声压为

wt kr e kD e r

kAD p j j )cos cos(cos 2j θθ-⋅=.

p

软

解：由镜像原理知，绝对软边界对声源的影响等效于一个反相的的虚声源. 由声压叠加原理得远场任意p 点得声压表达式为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+---+---+)(j ')(j ')(j )(j ''kr wt kr wt kr wt kr wt e r A e r A e r A e r A p 其中，θcos 23D r r -≈+，θcos 2

D r r -≈-，θcos 2'D r r +≈+，θcos 23'D r r +≈-. 考虑远场的声压时，即假设r >>D ，则由四个小球源辐射的声波达到观察点p 时，振幅差别甚小，可用r 代替r +，r -，r +'，r -'，但是它们对相位的差异不能忽略.

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----+-+-)cos 23(j )cos 2(j )cos 2(j )cos 23(j θθθθkD kr wt kD kr wt kD kr wt kD kr wt e r A e r A e r A e r A p ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos 23j -cos 2j -cos 2j cos 23j )(j kD kD kD kD kr wt e e e e e r A ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθθθcos 2j -cos 2j cos D j -cos 2j -cos 2j cos D j )(j kD kD k kD kD k kr wt e e e e e e e r A ()

θθθθcos D j -cos D j cos 2j -cos 2j )(j k k kD kD kr wt e e e e e r A +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- )cos D cos(2)cos 2

sin(j 2)(j θθk kD e r A kr wt ⋅⋅=

- 由于kD <<1，可将)cos 2sin(θkD 近似为θcos 2

kD ，由此 上式)cos D cos(2cos j )(j θθk kD e r

A kr wt ⋅⋅=- wt kr e k e r kAD j j -)cos D cos(cos 2j θθ=由此结论得证.

3.由声柱指向特性（6-3-23）式出发，证明长度为L 的均匀直线声源的指向特性为

θλ

πθλπθsin )sin sin(

)(L L D =。 证明：由n 个体积速度相等，相位相同，两两相距l 的小脉动球源组成的声柱的指向特性为

∆

∆=k n kn D sin sin )(θ

长度为L 的均匀直线声源，利用极限将直线声源等效为n （∞→n ）个小脉动球源。

∆∆=∞→k n kn D n sin sin lim )(θ]sin )1(22sin[]sin )1(22sin[lim θλπθλπ--=∞→n L n n L n n θλπλθπsin )1(1lim sin sin -⋅=∞→n l n l n θλ

πθλπsin )sin sin(

L L =证毕。

4.有一直径为30㎝纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，假设它可以看作是活塞振动，试分别画出它们在100Hz 与1000Hz 时的指向性图。当f=1000Hz 时，主声束角宽度为多少？此扬声器临界距离g z 为多少？ 解：10()2(sin )()()sin A A p J k D p ka θθαθθθ

=== 0

20.0183f k f c π==，半径0.152d a m == 1100f Hz =，1 1.83k =，10.271k a =<

21000f Hz =，218.3k =，2 2.73k a =≈

2arcsin 0.16

a λθ=02arcsin 0.16c fa =03442arcsin 0.164310000.15==⨯ 2g a z λ=2200.1510000.065344

a f m c ⨯==≈