[全]概率论与数理统计之二维连续型随机变量分布的知识点总结[下载全]
3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
概率论与数理统计-第五章 二维随机变量及其分布
注：满足上述性质1~4的二元函数 可作为某个二维随机变量的分布函 数。
0 x y 0 例1.1 二元函数 F ( x, y) 1 x y 0 可否为某个二维随机变量的分布函数。
解：取 1 y1 0, x2 y2 1，则 x F (0,0) 0，F (1,0) 1，F (0,1) 1，F (1,1) 1
( x2 , y1 )
x1
x2
x
3、二维随机变量的分布函数性质
性质1 F(x,y)是变量x和y的不减函数。
即x1 x2 , F ( x1 , y) F ( x2 , y) y1 y2 , F ( x, y1 ) F ( x,)
p31 P X 3, Y 1 P X 3P 1 X 3 Y
Y X 1 2 3
P{XY}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}
1
2
3
+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}
0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0
+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}
(1)当x<0或y<0时
F ( x , y)
x x
y
y
f ( s, t )dsdt
1
(3) (2)
(5)
y
0dsdt 0
(2)当0x<1, 0y<1时
F ( x , y)
x x
(1) y
(4)
y
f ( s, t )dsdt
0
x
1
x
(1)
概率论和数理统计知识点总结[超详细版]
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
二维连续型随机变量的函数分布-最新文档
二维连续型随机变量的函数分布-最新文档二维连续型随机变量的函数分布一、引言在实际问题中，有时需要研究二维连续型随机变量的函数分布.例如打靶问题中，如何计算弹落点与靶心的距离的分布.又例如已知飞机飞行时在横坐标上的飞行速度，以及飞行时在纵坐标的的飞行速度，那么如何确定此时该飞机在空中飞行的合速度呢？这些都是已知二维连续型随机变量中的联合分布或其概率密度函数，如何去求它们相互作用下的函数分布，本文将针对所给出函数的不同形式，运用不同的方法来解决上述问题.二、预备知识定义1：设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量的联合分布函数.性质：是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；对于任意固定的，当时，.，对于任意固定的，对于任意固定的对于变元和均右连续：即；对于任意下述不等式成立定义2：对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数使得对于任意有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度或称为随机变量的联合概率密度，具有以下性质：非负性：规范性：设是平面上的区域，点落在内的概率为：若在点连续，则定义3：设二维连续型随机变量的联合分布函数为，概率密度为则有：关于的边际密度为：关于的边际密度为：三、解题方法下面将分别用分布函数法、换元法、变量变换法和增补变量法来依次解决相关的问题，对不同形式的函数采用不同的方法可以使解题更加简明、容易.1.分布函数法已知二维连续型随机变量的概率密度函数为则二维随机变量函数：的概率密度函数，可先求出的分布函数：通过对分布函数求导，即可得出概率密度例1：设随机变量相互独立，其分布函数分别为求随机变量的分布函数.解：由于相互独立，则的联合概率密度为：则由于所以当时当时当时因此分布函数，密度函数分别为：当二维连续型随机变量的函数为线性函数时，均可采用分布函数法，借助图形，利用公式计算出结果.但一般要根据函数曲线与所规定的线性区域的相关位置来分多种情况讨论积分的上下限，具有一定的难度.下面将利用另一种方法，简便积分限，求出二维连续型随机变量的和，差，积，商的函数分布.2.换元法以下假设：二元函数在任意点处可微且对和的偏导数均不为零.引理1：设二维连续型随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件：关于存在唯一解；关于连续则随机变量，的函数的概率密度为引理2：设二维随机变量的概率密度为，若对任意实数，函数满足下述条件：关于存在唯一解；关于连续则随机变量，的函数的概率密度由引理1可以得出由引理1和引理2可以看出当随机变量的函数是对或单调时，可用一个变量来替换另一个变量，把二重积分化成只对或积分，因此整个积分过程变的简单，下面用此方法来求二维随机变量的和、差、积、商的函数分布：和的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为.差的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为.商的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为.积的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，则为连续型随机变量，的分布密度为：.上面是当随机变量的函数是严格单调时的情况，当函数不严格单调时，如何去求函数的分布密度函数，我们有以下定理：定理1：设二维连续型随机变量的密度函数为，若对任意实数，，若二元函数在不相叠的区域上关于或逐段单调可微，相对应反函数为且偏导数不为零，则为连续型随机变量，其分布密度为：例2：打靶问题中，弹落点是一个二维标准正态分布，所以有～，～，且相互独立，现求弹落点与靶心的距离的分布函数.解：当时可知不符合题意。
二维随机变量函数的分布
试求 U X Y , V XY 的分布律.
例2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，它们分别
服从参数为 1 和 2 的泊松分布.
二、二维连续型随机变量函数分布
随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数 f (x, y)
从公式
FZ (z) P{Z z} P{g(X ,Y ) z} P{(X ,Y ) Dz}
f (x, y)dxdy
( x, y)Dz
确定分布函数 FZ (z) 。
注：Dz 是由不等式 g(x, y) z 规定的 xOy 平面上的一个区域，且不必是连通的。
(1) Z X Y 的分布
y
x y z
x z y
y
x y z
yzx
x y z
x y z
x
x
(a)
(b)
图4-1 x y z 的区域
fX (x) fY ( y)
1
x2
e 2,
2
1
y2
e 2,
2
x y
(2) M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX (x), FY ( y)，则 M max(X ,Y ) 及 N min(X ,Y ) 的分布函数分别为什么？
的分布律为：
P{Z zk}
pij
( xi , y j )Ak
其中 Ak {( xi , y j ) | g(xi , y j ) zk}, k 1,2,3,
例1 已知随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律如下：
Y X
1
2
-1
0
1
0.07 0.28 0.15 0.09 0.22 0.19
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理2010-2011学年第一学期期末复习资料概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量XP{X x1}p,P{X x2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)，则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：P{X x1}p,P{X x2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)若一个随机变量X的概率分布由式给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：P{x k}Cnp(1p)kkn kkkn k,k0,1,...,n. P{x k}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p)kP{X k} e若一个随机变量X的概率分布为数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参P{X k} e泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X)如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数F(x)P{X x}f(x)，使得对于任意实数x，有xf(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。
2010-2011学年第一学期期末复习资料5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：1,若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b a 0,a x b其它，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)1,均匀分布的概率密度：f(x)b a0,a b2a xb 其它均匀分布的期望：（2）指数分布：E(X)；均匀分布的方差：D(X)(b a)122e xf(x)0若连续型随机变量X的概率密度为x00，则称X服从参数为的指数分布，记为X~e ()x0e xf(x)0指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：E(X)1；指数分布的方差：D(X)2f(x)(x)222x若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为和22的正态分布，记为X~N(,)(x)222f(x)正态分布的概率密度：正态分布的期望：E(X)xD(X)x22；正态分布的方差：（4）标准正态分布：0,21(x)，2(x)xet22标准正态分布表的使用：（1）x0(x)1(x)2010-2011学年第一学期期末复习资料X~N(0,1)P{a x b}P{a x b}P{a x b}P{a x b}(b)(a)X~N(,),Y2（2）X（3）P{a X b}P{a~N(0,1),F(x)P{X x}P{X故b}(b)(a)x(x) Y2Y定理1：设X~N(,),则X~N(0,1)6.随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：0F(x) 1P{x1X x2}P{X x2}P{X x1}F(x2)F(x1)x1x2F(x1)F(x2)F()1,F()0F(x)P{X x}为X的分布函数。
下面介绍2个常用二维连续型随机变量分布
下面介绍2个常用二维连续型随机变量分布常用的二维连续型随机变量分布有二维正态分布和二维均匀分布。
1. 二维正态分布（Bivariate Normal Distribution）是指两个随机变量同时服从正态分布的情况。
二维正态分布可以用于描述两个相互关联的连续随机变量之间的关系。
它的概率密度函数可以表示为：f(x,y) = (1 / (2πσ1σ2√(1-ρ^2))) * exp(-1 / (2(1-ρ^2))* ((x-μ1)/σ1)^2 + ((y-μ2)/σ2)^2 - 2ρ(x-μ1)(y-μ2)/(σ1σ2))其中，x和y是两个随机变量，μ1和μ2是两个随机变量的均值，σ1和σ2是两个随机变量的标准差，ρ是两个随机变量的相关系数。
二维正态分布的特点包括：-边缘分布：两个随机变量的边缘分布分别是正态分布。
-相关性：两个随机变量的相关性由相关系数ρ决定，当ρ=0时，两个随机变量独立；当ρ>0时，两个随机变量正相关；当ρ<0时，两个随机变量负相关。
-等高线：二维正态分布的等高线呈现椭圆形状，椭圆的形状和两个随机变量的相关系数ρ有关。
2. 二维均匀分布（Bivariate Uniform Distribution）是指两个随机变量在一个矩形区域上均匀分布的情况。
二维均匀分布可以用于描述两个随机变量在一个矩形区域上的概率分布。
它的概率密度函数可以表示为：f(x,y)=(1/(b-a)(d-c))，其中a≤x≤b，c≤y≤d其中，a、b、c、d是定义区域的边界。
二维均匀分布的特点包括：-边缘分布：两个随机变量的边缘分布分别是均匀分布。
-相互独立：两个随机变量在定义区域上相互独立。
-矩形形状：定义区域是一个矩形，概率密度函数在该矩形内的值是常数。
-概率均等：在定义区域内，任意子区域的概率均等于该子区域所占矩形的比例。
以上是关于二维正态分布和二维均匀分布的简要介绍。
这两个常用的二维连续型随机变量分布可以用于对实际问题中的两个随机变量进行建模和分析，从而帮助我们理解和解释变量之间的关系。
概率论与数理统计(第三版)第二章6二维连续性随机变量及其分布密度-文档资料
FY y
1 x arctan 2 2 1 y arctan 2 2
x ，
y ，
对任意的实数 x, y, 有F ( x, y) FX x FY y
2
所以，随机变量 X 的密度函数为
2 2 2 x x 0 x 1 f X x 3 0 其它
当 0 y 2 时，
2 1 1 1 x xy dx y fY y f x， y dx 3 3 6 0
二、
二维随机变量的分布函数
1、定义 设(X, Y)是二维随机变量, x , y R , 二元函数 F ( x, y ) P { ( X x ) (Y y ) }
P ( X x , Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数， 也称为随机变量 X 与 Y 的联合分布.
x ，
FY y lim F x， y
x
lim
1 x y arctan arctan x 2 2 2 3 2
1 y arctan 2 2
y ，
αβｅ －（ αx ＋βy） ，x ≥0 、 y ≥0 f（ x， y） ＝ 其他 0， 则称 Ｒ．Ｖ．（X ，Y） 服从二维指数分布．
为考察随机变量 X ，Y的独立性，先求边缘分布密度．
x ， y
试求X 及Y 的边缘分布函数．
解： FX x lim F x， y
y
lim
1 x y arctan arctan y 2 2 2 3 2
第三节 二维连续型随机变量
1 1 2 x2 , x > 2 , fξ ( x) = 0, x ≤ 1 . 2
#
例6 设 二 维 随 机 变 量 ( X ， Y ) 的 密 度 函 数 为
2 1 x + xy f ( x， y ) = 3 0 1， 0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2 其它
试判断随机变量 X 与Y 是否相互独立？ 不独立
例7 设(X,Y)的概率密度为
xe f ( x, y ) =
#
练习 一电子仪器由两个部件组成， 一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示 两个部件的寿命（单位：小时），已知X 两个部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的 ），已知 联合分布函数为
A − e −0.5 x − e −0.5 y + e −0.5( x + y ) F ( x, y) = 0 x ≥ 0，y ≥ 0 其它
f ( x ) g( y ), a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , 即f ( x , y ) = 0, 其他
#
1 如 f ( x , y ) = ( b − a )( d − c ) 0
a fξ (x) = b−a 0
显 然 ，两 个 边 缘分 布 都不 再 是均 匀 分布 ！
#
四、连续型随机变量的独立性 回忆： 是两个随机变量， 回忆：设 X,Y是两个随机变量，若对任意的 x ,y,有
F ( x , y ) = FX ( x ) FY ( y )
二维连续型随机变量及其概率分布
(2)ξ和η的联合分布函数和边缘分布函数； (3)P{(ξ,η) ∈G},G如右图所示； (4)P{ξ ≤ η};
+∞ −3 x ⎧ +∞ ⎪ ∫ 6e − 3 x − 2 y dy, x > 0 ⎧3e , x > 0 (1) f ξ ( x) = ∫ f ( x, y )dy = ⎨ 0 解： =⎨ x ≤ 0 ⎩ 0, x ≤ 0 −∞ ⎪ 0 , ⎩
+∞ +∞
二维随机变量(ξ,η)的每个分量也有密度函数。若ξ 的边缘分布函数为Fξ(x)，如果存在某个函数fξ(x)， x 对于任意实数x，有Fξ ( x) = ∫ f ξ (t )dt ，则称fξ(x)为ξ −∞ 的边缘密度函数。 边缘密度函数与联合密度函数的关系式：
f ξ ( x) =
+∞ −∞ +∞
P{x1 < ξ ≤ x2 , y1 < η ≤ y 2 } = F ( x2 , y 2 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y 2 ) − F ( x2 , y1 )
二维随机变量的联合函数的基本性质： (1) F(x,y)对x和y分别是单调非降的，即对任意固定 的x，任意实数y1<y2有：F(x,y1) ≤ F(x,y2)；对任 意固定的y，任意实数x1<x2有：F(x1,y) ≤ F(x2,y) (2) 0 ≤ F(x,y) ≤ 1；F(-∝, -∝)=0；F (+∝, +∝)=1 (3) F(x,y)对x和y分别右连续，即对任意的x,y有 F(x+0,y)=F(x,y)；F(x,y+0)=F(x,y)；
G 1 1− x
= 1 − 3e − 2 + 2e − 3
二维随机变量知识点总结
二维随机变量是指具有两个随机变量的概率分布。
以下是关于二维随机变量的一些重要知识点总结：1.联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，PDF）：联合概率密度函数描述了二维随机变量的联合概率分布，表示为f(x, y)。
它可以用于计算二维随机变量落在某个区域内的概率。
2.边缘概率密度函数（Marginal Probability Density Function，PDF）：边缘概率密度函数描述了二维随机变量各自的概率分布，表示为f(x)和f(y)。
通过对联合概率密度函数进行积分，可以得到边缘概率密度函数。
3.条件概率密度函数（Conditional Probability Density Function，PDF）：条件概率密度函数描述了在给定一个随机变量取特定值的条件下，另一个随机变量的概率分布。
条件概率密度函数表示为f(y|x)或f(x|y)，其中y|x表示已知x时y的条件下的概率密度函数。
4.期望值和方差：二维随机变量的期望值和方差可以通过对应的公式来计算。
例如，期望值可以表示为E(X)、E(Y)，而协方差表示为Cov(X, Y)。
协方差描述了两个随机变量之间的线性相关程度。
5.相互独立：如果二维随机变量X和Y是相互独立的，意味着它们的联合概率分布可以分解为各自的边缘概率分布的乘积，即f(x, y) = f(x) * f(y)。
6.相关系数：相关系数是用来衡量二维随机变量之间线性相关程度的统计指标。
相关系数的取值范围在-1和1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无线性相关。
7.协方差矩阵：协方差矩阵是一个对称矩阵，用于描述多元随机变量之间的协方差关系。
它的主对角线上的元素是随机变量的方差，而其他元素则表示各个随机变量之间的协方差。
以上是关于二维随机变量的一些重要知识点。
这些概念和方法可以帮助我们理解和分析两个随机变量之间的关系，并应用于概率论、统计学和数据分析等领域。
概率论与数理统计：二维随机变量
二维随机变量一、 二维随机变量及分布函数1定义:由随机变量,X Y 构成的有序数),(Y X ，称),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量.注：(),X Y 在几何上，二维随机变量可看作平面上的随机点的坐标． 2定义:设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数. 3二元分布函数的几何意义4随机点(,)X Y 落在矩形区域: 1212,x X x y Y y <≤<≤内的概率为1212{,}P x X x y Y y <≤<≤＝22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y --+ 5分布函数(,)F x y 的性质:（1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调不减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥>对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F4（）对任意的 11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<有注：上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数。
具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数．破坏之一，则不是。
二、 二维离散型随机变量及其概率分布1定义：若二维随机变量),(Y X 只取有限对或可数对值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量. 2定义：若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称 为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律).有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 3二维离散型随机变量联合分布律的性质：1)()()12i j i j =对任意的，，，，，{}0ij i j p P X x Y y ===≥，2)1ij i j p =∑，4二维离散型随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为()12ij p i j =，，，于是，(,)X Y 的联合分布函数为(,){, }F x y P X x Y y =≤≤=注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈D y x ijj i p D Y X P ),(}),{(,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:例1:从一只装有3只黑球和2只白球的口袋中取球两次，每次任取一只，不放回，令0,1, ,X ⎧=⎨⎩第一次取出白球第一次取出黑球, 0,1, ,Y ⎧=⎨⎩第二次取出白球第二次取出黑球求),(Y X 的概率分布．解 ),(Y X 的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),例2：设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量k X 定义如下：0,(1,2)1,k Y k X k Y k ≤⎧==⎨>⎩求12X X 和的联合概率分布.解：Y 的分布函数为1,0()0,0y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩ 所以12,X X 的联合概率分布为三、二维连续型随机变量及其概率密度1定义：设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有 (,)(,),yx F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数). 2概率密度函数),(y x f 的性质:(3) 设G 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入G 内的概率为(4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有 ).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 3在几何上(,)z f x y =表示空间的一个曲面，{(,)}P x y G ∈的值等于以 G 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的柱体体积四、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(G y x A y x f ，则称),(Y X 在G 上服从均匀分布. 例3：设二维随机变量),(Y X 的密度函数为()200,0x yke x y f x y --⎧>>=⎨⎩，其它⑴求常数k ；(2)分布函数(),F x y (3){}11P X Y ><， {}(4)0102P X Y <<<<求， (5) {}P X Y <解：（1）()1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，200x y k e dxdy +∞+∞--=⎰⎰ (){}(2)F x y P X x Y y =≤≤，，, ()000x y F x y ≤≤=当或时，，。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；n次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发 生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用P 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p q ，用Pn (k ) 表示n 重伯努利试验中A 出现k (0 k n)次的概率，P n (k) C ：P k q nkk 0,1,2, ,n5第二章随机变量及其分布(1)设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率， 即事件(X=X k )的概率为P(X=x k )=p k , k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
有时也用分 布列的形式给出： X | x 1,x 2, , x k ,P(X x k ) p 1, p 2,, p k ,。
显然分布律应满足下列条件：p k 1(1 )宀 0 , k1,2,, ( 2 ) k1(14)伯努利 概型散 随变 的 布(2 ) 设F (x )是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数f(x )，对任意实数X ，有XF(x) f (x)dx则称X 为连续型随机变量。
f (X )称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：分布仁 f(x) 03、P(X i X X 2) F(X 2)F(X J f (x)dxX i4、P(x=a)=O,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0连 型 机 量 续 随变 的 密度2、f(x)dx 1。
第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量 （X , Y ）的所有可能取值为至多可 列个有序对（x,y ），则称 为离散型随机量。
设=（X ，Y ）的所有可能取值为（人『）（门1,2,），且事 件｛= （X i ,y j ）｝的概率为 p ij,,称P ｛（X,Y ） （X i ,y j ）｝ P j （i,j 1,2,）为=（X ，Y ）的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。
3.3二维连续型随机变量的分布
联合概率密度函数的性质
. . .
f ( x, y ) 0
f ( x, y )dxdy 1
F ( , ) 1
f ( x, y )
F ( x, y)
2
xy
f (x, y)
几何解释
P (( x , y ) D )
D
f ( x, y )d
二维连续型随机变量的概率密度
定义： F ( x) P{ X x}
x
f (t )dt
(一维)
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
x
y
f (u, v)dudv
若上式成立,则称(X,Y)为二维连续型随机变量,并称
f(x,y)为(X,Y)的概率密度或X与Y的联合密度函数.
dy
y x
2 2 2
1 3 .
0
dx
x
e
2 x y
0
o
e
2 x 0
dx
x
e
3 x
y
x
dy
0
0
e
2 x
e
dx
二维连续型随机变量的边缘概率密度
定义: 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x, y), 则分别称
f X ( x)
y
2
),
2
24 3 y y( 2 y ), 故f Y ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
常用的二维连续型随机变量 定义：设D是平面上的有界区域，其面积为S. 若 二维随机变量（ X, Y）具有概率密度
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。
而在实际问题中，往往会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。
在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。
一、二维连续型随机变量的概念我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。
二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。
其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。
需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来得到概率。
对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 确定联合密度函数f(x, y)。
2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =∫f(x, y)dx。
3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,v)dudv。
举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。
那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。
这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。
在实际问题中，我们经常需要计算二维连续型随机变量在一个特定区域内的概率。
而对于二维连续型随机变量来说，其概率可以由其在特定区域上的积分来表示。
具体来说，如果我们需要计算二维连续型随机变量(X, Y)在区域D上的概率，可以通过以下步骤进行计算：1. 确定区域D的范围，并利用联合密度函数f(x, y)计算在该区域上的积分∫∫f(x, y)dxdy。
概率论与数理统计第四章二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的概念
联合分布函数F(x,y)有如下的性质：
1. 0 F ( x , y) 1
2. F ( x , y) 关于x、关于y单调不减；
3. F ( x , y) 关于x、关于y右连续
F ( x , y ) 0 lim F ( x , y ) 0 F ( x , y ) 0 , lim F ( x , y ) 1 ylim 4. xlim x x
f ( x, y)dx e x y dx e y
0
一、二维连续型随机变量概念
(4)
f ( x, y ) f X Y ( x y) fY ( y )
f ( x, y ) fY X ( y x ) f X ( x)
=
e x
e y
=
(5)
f ( x, y) e x y f X ( x) fY ( y)
定义8 称
f X ( x) f ( x , y)dy ( x )
为X的边缘密度函数。
称
f Y ( y) f ( x , y)dx ( y )
为Y的边缘密度函数。
一、二维连续型随机变量概念
定义9 度,称 称
f X Y ( x y) f ( x, y ) fY ( y )
的分布函数。
FZ1 ( z)
FY ( z)
三、常见的二维连续型随机变量 的联合分布
1.二维均匀分布 如果(X,Y)的联合密度函数为
1 ， （x , y ) G; f ( x , y ) G的面积 0 ， 其他，
其中G是平面上某个区域，则称二维随机变量(X,Y)服从 区域G上的均匀分布,记为 ( X , Y ) ~ U (G)
二维连 续型随机变量
（1）由于
00
0
0
A 1 1 A 1，
23 6
因此 A 6 ．
1.1 二维连续型随机变量及其概率密度
（2）设 F(x ，y) x y f (u ，v)dudv ，综合上述两种情况，可得 (X ，Y ) 的分布函数为
F
(
x
，y)
(1 e2 0 ，
x
)(1
e3
y
)
，
x 0 ，y 其他 ．
e2
，
2π
所以
fX｜Y (x |
y)
f (x ，y) fY ( y)
1
e
(x y)2 2(12 )
2π(1 2)
，
fY｜X ( y | x)
f (x ，y) fX (x)
1
e ．
( yx)2 2(12 )
2π(1 2 )
概率论与数理统计
度．
1.1 二维连续型随机变量及其概率密度
概率密度 f (x ，y) 具有如下性质：
f (x ，y) 0
f (x ，y)dxdy 1
若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有 2F(x ，y) f (x ，y) xy
随机点(X,Y)落在G内的概率为 P{( X ，Y ) G} f (x ，y)dxdy G
1 ，2 ，1 ，2 ， 的二维正态随机变量，称 (X ，Y) 服从参数为 1 ，2 ，1 ，2 ， 的二维正态
分布
，记 作 (X
，Y
)～N
(1
，2
，12
，
2 2
， )
．
1.3 条件概率密度
定义 3.12 设二维连续型随机变量 (X ，Y) 的概率密度为 f (x ，y) ，若关于 Y 的边缘概率
概率论与数理统计+二维连续性随机变量及其分布
解
E( X ) xi pi 1 p 0 (1 p) p,
i 1
E(X 2)
x2 i
pi
12
p 02
(1
p)
p,
i 1
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
概率论与数理统计
例2
解
f
联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 该用一个怎样的数去反映这种联系呢？
数 E [X E(X )][Y E(Y)]
能反映随机变量 X , Y 之间的线性关系
概率论与数理统计
定义 称 E [X E(X )][Y E(Y)]
j 1
概率论与数理统计
例5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y)
E( XY )
xi y j pij
j1 i 1
0 (1) 0.11 (1) 0.3 2 (1) 0.15
0 0 0.2 1 0 0.05 2 0 0
6.cov(C,X)=0 7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)
概率论与数理统计
为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化 后再求协方差
X * X E X , Y * Y E Y
DX
DY
为 X ,Y 的协方差. 记为
cov(X ,Y) E [X E(X )][Y E(Y)]
称