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有限差分法（ Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较

早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分

为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上

述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后

差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。

1.基本思想

有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点

构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即

所谓的有限差分法。

2.技术要点

如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分

方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保

证计算过程的可行性和计算结果的正确性，还需从理论上分析差

分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、

收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了

有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就

是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方

程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因

为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n+1 层的近似值时要用到第 n 层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入

误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，

以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有

在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差

分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下 3 种方法。最

常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫

积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上

的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用

待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

3.基本步骤

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：

① 区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个

格点组成的网格；

② 近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；

③ 逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项

式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。网络线划分的交点称为节点。若与某个节点 P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则 P 点称为正则节点；反之，若节点 P 有处在定义域外的相邻节点，则 P 点称为非正则节点。在第三步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上

的离散近似值。

差分方程，又叫做差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式；从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式；考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的

组合，不同的组合构成不同的差分格式。

向前差分 (forword difference）：

i 1i

x x i 1 x i

向后差分 (backword difference)：

i i 1

x x i x i 1

中心差分 (cential difference)：

i 1i 1

x x i 1 x i 1

下面以一个例子解释其他差分格式：

设求解区域内一个节点A，坐标x j, t n。根据微商定义和中值定理，把偏微分方程写成差分格式。

对流方程：

u

a u

0(2-1)

t x

或

u t a u x0 可以将其化为三种不同的差分方程：

1）时间前差、空间中心差

u n j 1 u n j u n j 1 u n j 1

a

2 0

t x