第三讲 有限元分析过程及例题讲解

→
Q2
Ke 23
→
K25
注意要用累加运算！
K25
=
K25
+
Ke 23
累加前总刚要清零！
长安大学汽车学院车辆工程系 王童
⎡ K11 K12
⎢ ⎢
K21
K22
⎢ K31 K32
⎢ ⎢
K41
K42
⎢ ⎢ ⎢
K51 K61
K52 K62
⎢ ⎢ ⎣
K71 K81
K72 K82
Tel：17792594186
K13 K14 K15 K16 K17 K18 ⎤
Ve
Ve
Ve
令： {Pbe}= ∫∫∫ [N ]T {Fb}⋅ dV 称单元等效体力载荷向量 Ve
{ } { } 单元体力虚功可以表示为： Wbe = Qe T Pbe
2）表面力虚功
W
e s
=
∫∫
{u}T {Fs }⋅ dA
=
∫∫
{Q e }T
[N ]T {Fs }⋅ dA
=
{Q e }T
∫∫
[N
]T {Fs }⋅ dA
y
Q6
③
Q5
3
4
Q7
①
Q2
②
④
Q4
1
Q1
2
Q3
x
长安大学汽车学院车辆工程系 王童 Tel：17792594186 Email：wangtong@
以单元①为例
①
Qe 2
Qe 1
Qe 4
Qe 3
⎧Q1e → Q1
局部自由度与整体自由 度的对应关系为
⎪⎪⎪⎨QQ32ee
→ →
Q2 Q5
（2）选择位移插值函数
在单元内选择一个简单的位移插值函数，将单元内 任意点的位移表示为节点位移的插值形式
（3）单元分析
推导单元刚度矩阵 [K e ] 和等效节点载荷向量 [Pe ]
（4）整体分析
组装单元矩阵，形成结构总体刚度矩阵
（5）约束处理
引入边界条件，消除刚体位移，使方程具有唯一解
（6）方程求解
=1
这里我们称 i 为N1的相关节点，j 为 N 2 的相关节点，其它
点均为不相关节点。
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（3）
单元分析 目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。
[B]
=
[∇]⋅
[N
]
使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和
∏e
=
1 2
∫∫∫ {Qe}T [B]T [D]⋅[B]⋅{Qe}⋅ dV
Ve
=
1 2
{Q
e
}T
⎜⎜⎝⎛
∫∫∫
Ve
[B
]T
[D
]⋅
[B
]⋅
dV
⎟⎟⎠⎞ ⋅{Qe}
令： [K e ] = ∫∫∫ [B]T [D]⋅ [B]⋅ dV
称单元刚度矩阵，简称单刚
Ve
这样单元弹性应变能可以表示为： [ ] { } { } ∏e = 1 Qe T ⋅ K e ⋅ Qe 2
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B. 计算单元外力功
1）体力虚功
Wbe = ∫∫∫{u}T {Fb}⋅ dV = ∫∫∫{Qe}T [N ]T {Fb}⋅ dV = {Qe}T ∫∫∫ [N ]T {Fb}⋅ dV
2）按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷 向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计
算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明
在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响
分析结果。
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Email：wangtong@
n
+
P~se
e=1
+
Pi
⎟⎞ ⎠
{ } { } ∑ ∑ n
令： {P} =
P~be + n
P~se + {Pi }
——结构整体等效节点载荷向量
e=1
e=1
外力虚功可以进一步表示为： WP = {Q}T {P}
结构的外力虚功可计算的部分只有 {P}
所以我们说，结构的外力虚功可计算就归结为结构整
体等效节点载荷向量的计算。
B. 计算整个结构的外力虚功。
{ } { } { } { } ∑ ∑ ∑ ∑ { } { } { } { } WP =
n
Wbe +
n
Wse + Q T Pi
=
n
Qe T Pbe +
n
Qe T Pse
+ Q T Pi
e=1
e=1
e=1
e=1
{ } 将 {Qe}T ,{Pbe} 变换形式写成 {Q}T , P~be
Email：wangtong@
B. 位移插值函数的收敛性（完备性）要求：
1） 位移插值函数必须包含常应变状态。
2） 位移插值函数必须包含刚体位移。 C. 复杂单元形函数的构造:
对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件
求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更
多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。 形函数的性质：
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C. 计算整个结构的势能并代入最小势能原理。
将结构弹性应变能及外力虚功的表达式代入结构势能表达 式，则结构的势能可以表示为：
∏ = 1 {Q}T [K]⋅{Q}− {Q}T {P}
2
e=1 2
e=1 2
2
令： [K ] = ∑ [K~ e ] ——结构整体刚度矩阵（总刚）
此时结构的弹性应变能可以表示为：
∏ = 1 {Q}T [K]⋅{Q}
2
结构的弹性应变能可计算的部分只有 [K ]
所以我们说，结构的弹性应变能的计算就归结为总刚的 计算。
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限个节点相互连接的离散系统。 这一步要解决以下几个方面的问题: ①选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要 照顾到建立模型的方便。 ②根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能 同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的 连接处理等问题。
③根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确 定单元的尺寸和阶次。 ④根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区 间及确定最危险工况等问题。
求解方程，获得结构未知各节点位移
（7）计算应力
由节点位移计算单元应变，再由胡克定律，计算单 元应力
视频
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2. 分析过程的分步详解
（1）结构的离散化 将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有
Qe 2
→
Q2
⎢ ⎢ ⎣
K K
e 31 e 41
Ke 32
Ke 42
Ke 33
Ke 43
K K
e 34 e 44
⎥ ⎥ ⎦
Qe 3
→
Q5
Qe 4
→
Q6
Q Q e
e
1
2
Qe 3
Qe 4
↓↓ ↓ ↓
Q1 Q2 Q5 Q6
Ke 34
→
K56
Qe 3
←
Q5
Ke 34
Qe 4
↓
Qe 3
→
Q5
Q6
Ke
23
Qe 2
A1e
A1e
A1e
A1e ——单元上外力已知的表面，注意！这里只考虑结构
的边界表面
{ 令： Pse }= ∫∫ [N ]T {Fs }⋅ dA 称单元等效面力载荷向量
{ } { } A1e
单元表面力虚功可以表示为： Wse = Qe T Pse
{ } { } 3）节点力虚功 Wne = Qe T Pie
K23
K24
K25
K26
K27
K
28
⎥ ⎥
K33 K34 K35 K36 K37 K38 ⎥
{ } 将 {Qe}T ,{Pse} 变换形式写成 {Q}T , P~se
外力虚功可以表示为：
∑ { } ∑ { } ∑{ } ∑{ } { } { } { } { } { } { } Wp = n Q T P~be e=1
+ n Q T P~se
e=1
+ QT
Pi
=
Q
T ⎜⎛ n ⎝ e=1
P~be
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1. 有限元分析的一般过程概述
（1）结构离散化
将结构或零件人为地划分成有限个子域（这些子域称为 单元），假定单元之间通过有限个点相互连接（这些连 接点被称做节点）。
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（4）整体分析
目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理：
A. 计算整个结构的弹性应变能。
[ ] [ ] [ ] ( ) { } { } ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ = n ∏e = n 1 Qe T ⋅ K e ⋅ Qe = n 1 {Q}T ⋅ K~e ⋅{Q}= 1 {Q}T K~e ⋅{Q}