第七章 时间序列分析

二次季节差分：
2 yt (yt ) ( yt yt s ) yt yt s ( yt yt s ) ( yt s yt 2 s ) yt 2 yt s yt 2 s
如：数据为季度数据，则s＝4；数据为月度数据，则s＝12； 若为年度数据，则一般不受季节因素影响。
若一个过程yt可表示为:
Hale Waihona Puke Baidu
yt ut 1ut 1 2ut 2 qut q
[1]
其中 i , i 1,2,, q是回归参数， t是白噪声过程； 为移动平均阶数。 u q 则这个过程称为 阶移动平均模型，记为 A(q). q M
yt [1 1l 2l 2 q l q ]ut ( L)ut
6.随机时间序列
随机过程的一次观测结果称为随机时间序列，简称随机 时序或时序。记为xt或x(t).
7.平稳随机时间序列
对随机时间序列xt ，若满足：E[xt]=u(常数)， Cov(Xt, Xt+k)= E［Xt-μ (Xt+k-μ)］＝rk，t=1,2,…，k=0,1, 2,…,则 称为平稳时间序列，简称平稳时序。
（二）平稳随机过程
强平稳S.P（狭义平稳） 平稳S.P
S.P
非平稳S.P
宽平稳S.P（广义平稳） 白噪声S.P 正态过程
强非平稳S.P
宽非平稳S.P
S.P的统计特性是否随时间t而变化；如果是，则为非 平稳S.P；如果否，则为平稳S.P。
1.强平稳S.P 对时间t的任何子集（t1，t2，…，tn）以及实数k，（ti+k） N（i=1，2，…，n），若某随机过程x(t)的概率分布满足 F（t1，t2，…，tn）=F(t1+k,t2+k,…,tn+k),则称x(t)为强平稳 随机过程（概率分别与时间无关），也称狭义的S.P。
随机变量与随机过程的区别： 1.随机变量是定义在样本空间的单值实函数；随机过程是 一组时间t的函数。 2.对应一定的试验和样本空间S，随机变量与t无关；随机 过程与t有关。 3.随机变量描述的是某一特定时点的静态值，随机过程描 述的是事物发展过程。 联系： 1.随机过程具有随机变量的特性，而且有普通函数的特性。 2.随机变量是随机过程的特例或子集。 3.当随机过程固定于某一时间t时，就得到了相应时点的随 机变量。
二、非平稳时序的平稳化
实际生活中，多数经济中的时间序列都是非平稳的。 但建随机模型的前提是时序平稳，因此可以利用差分的 方法使非平稳时序转化为平稳时序。
设时序yt，其一阶差分为：
yt yt yt 1 (1 l ) yt yt lyt 1
式中，为一阶差分算子；L为一阶滞后算子；Lyt＝yt-1
第二节 伯克斯－詹金斯模型与平稳可逆条件
时间序列模型一般可分为四种类型。
一、自回归模型（Autoregressive Models，AR(p)）
若一个过程yt可表示为:
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p ut
[1]
其中i , i 1,2,, p是回归参数， t是白噪声过程； 为自回归阶数。 u p 则这个过程称为 阶自回归模型，记为 (p). p AR
图7.1 某国私人消费和个人可支配收入，1960—1995年度数据 单位：百万美元（1970年不变价）
CP PDI
4.随机漫步(随机游走过程）（Random walk）
随机漫步是一个简单随机过程，Xt由下式确定： Xt = Xt－1+εt （7.5） 其中εt为白噪声。则称该过程为随机游走过程。 Xt的均值： E(Xt）= E(Xt-1+εt）= E(Xt－1）+E(εt）= E(Xt－1） 这表明Xt的均值不随时间而变。 为求Xt的方差，对（7.5）式进行一系列置换： Xt = Xt－1+εt = Xt－2+εt-1+εt = Xt－3+εt-2+εt-1+εt =…… = X0+ε1+ε2+……+εt = X0+∑εt
0, k0
例如，在图7.1中，某国的私人消费（CP）和个人可支 配收入（PDI）这两个时间序列都有一种向上的趋势， 几乎可以断定它们不满足平稳性条件（7.1），因而是非 平稳的。
600000 500000 400000 300000 200000 100000 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
E[ut yt i ] cov( t yt i ) 0, (i 1,2,, p) u
即ut与yt的滞后值不相关。
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p ut yt 1lyt 2l 2 yt p l p yt ut (1 1l 2l 2 p l p ) yt (l ) yt ut [2]
K阶滞后算子：Lkyt＝yt-k
二次一阶差分：
2 yt (yt ) ( yt yt 1 ) yt yt 1 ( yt yt 1 ) ( yt 1 yt 2 ) yt 2 yt 1 yt 2 2 yt (1 l ) 2 yt (1 2l l 2 ) yt yt 2lyt l 2 yt yt 2 yt 1 yt 2
注意：1.通常说的时间序列模型就是B－J模型；通常说 的时间序列分析方法就是指B－J模型的分析方法。 2. B－J模型不考虑以经济理论为依据的解释变量的作用， 只是根据变量本身的变化规律来建立B－J模型。它通过 反复搜索迭代，力求建立方差最小的时序模型，并利用 外推机制进行预测。 3. B－J模型是一组精度较高的短期预测模型。 4.对同一个样本， B－J模型不是唯一的，但有一个最好 的，关键在于模型的识别和经验。 5. B－J模型只适用于平稳序列，对非平稳序列建模前必 须平稳化处理。 6. B－J方法不能建立多变量之间的时序模型。
一阶自回归模型可改写为：
(1 1l ) yt ut yt (1 1l ) 1 ut [1 1l (1l ) 2 (1l ) 3 ]ut ( l )ut
i 0 i i 1
ut 1ut 1 1 ut 2 u
2
3 1 t 3

注：对于模型 yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p ut
其平稳的充要条件是特征方程(L)=0的所有特征根的绝对值 p 都大于1(即全在单位圆之外)；其必要条件是 i 1 。
i 1
二、移动平均模型（Moving Average Models，MA(q)）
由定义知任何一个q阶移动平均模型都是由q+1个白噪声变 量的加权和组成，所以任何一个移动平均模型都是平稳的。 与移动平均模型常联系在一起的是可逆性问题。对于移动 平均模型MA（q）具有可逆性的条件是特征方程
(L) 1 1l 2l 2 ql q 0
的所有根的绝对值都大于1(即全在单位圆之外)或i<1 。 以MA（1）模型为例，模型可转换为：
2. 弱平稳性（宽平稳 S.P）
由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用 随机变量Xt （t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替之。 一个时间序列是“弱平稳的”，如果： (1) 均值 E(Xt) =μ ，t=1,2,… （7.1） (2)方差 Var(Xt) = E(Xt－μ )2 =ζ 2，t =1,2,… （7.2） (3）协方差 Cov（Xt, Xt+k）= E［〔Xt－μ 〕（Xt+k－μ ）］＝rk， t=1,2,…，k≠0 （7.3） 协方差与t，t+k的位置无关，只与k有关。 rk为自协 方差函数。
注：1.对实际经济序列，为消除序列不平稳，在方差之前常 对观测值取对数（ln），从而消除时序中的异方差。
2.对实际经济时序，一般进行一次或两次差分就可使其变为 平稳时序。如果一个时序存在受季节因素的影响，则应消除 季节因素，进行季节差分。 设季节周期为s，则一次季节差分为：yt yt yt s
其中X0是Xt的初始值，可假定为任何常数或取初值为0， 则 Var(Xt）= Var｛X0+ t ｝= Var (εt)= tσ2
t 1
t 1
t
t
这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件不 满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。可 是，若将（7.5）式写成一阶差分形式： ΔXt=εt （7.6）
强、宽平稳之间的联系： 1.强平稳 宽平稳 2. 宽平稳 强平稳 3.强平稳+二阶矩存在 宽平稳 4.对于正态过程，强平稳宽平稳，正态过程是平稳的。
3.白噪声S.P（二阶宽平稳）
对于某随机过程x(t), 若满足：E[x(t)] = 0 , Var [x(t)] = σ2 = 常数， Cov(xt,xt+k)=0, tN,t+k N(k0),则称此过 程为白噪声过程。 σ2,k=0 Cov(xt,xt+k)=
其中， (l ) 1 1l 2l 2 pl p称为自回归算子。
与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归问 题AR（p），如果特征方程：
(L)=0
的所有根的绝对值都大于1(即全在单位圆之外)，则AR(p)是一 个平稳的随机过程。
对于一阶自回归模型yt=1yt-1+ut,保持其平稳的条件是特 征方程(L)=(1- 1L)=0的根的绝对值必须大于1。即当 L>1时，满足 1/ 1>1 或 1<1
这个一阶差分新变量Δ Xt是平稳的，因为它就等于白燥 声ε t，而后者是平稳时间序列。
5. 带漂移项的随机漫步(Random walk with drift)
Xt=μ+Xt－1+εt （7.7）
其中μ是一非0常数，εt为白燥声。
μ之所以被称为“漂移项”，是因为（7.7）式的一 阶差分 ΔXt = Xt－Xt-1 =μ+εt 这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ 的符 号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序 列也是非平稳时间序列。
在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一 些术语和定义。
一、 随机过程与平稳时间序列（平稳随机时间序列）
（一）随机过程（Stochastic Process，简称S.P）
由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，简称为 过程。记为{x(s,t),sS,tN}（简记x(t)或xt）。S为样本空间， N为样本容量。对于每一个t，t N，x（，t）是样本空间S 中的一个随机变量；对于每一个s，s S，x（s， ）是随机 过程在有序数集N中的一次实现。
第一节 时间序列分析的基本概念
经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及 的变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定， 在估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉 及的变量的均值和方差是常数，不随时间而变。 然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间序 列变量并不满足这一假设。因此，以这种假定为 基础的估计方法所给出的经典t检验和F检验，会 给出产生误导作用的结果。这就是所谓的“伪回 归”问题。为解决这类问题，研究人员提出了不 少对传统估计方法的改进建议，其中最重要的两 项是对变量的非平稳性的系统性检验和协整。
第七章 时间序列分析
时间序列分析方法是伯克斯－詹金斯（Box－ Jenkins）1970年提出的。建立时间序列模型主要 包括三个步骤： 第一，时间序列的识别及模型形式的选择； 第二，模型参数的估计； 第三，模型的诊断检验。 上述三个步骤中最重要的是第一步。通过对相 关图及偏相关图的分析，确定模型的形式。对于 给定的时间序列，模型形式的选择确定并不是唯 一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式 的选择就越准确合理。