小学数学数论问题
小升初第三讲――专题训练之数论问题.(优选)
小升初专项训练---数论数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。
(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。
3．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
4、要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
小学奥数数论经典50题
优秀篇奇偶性1.（1984 年第1 届迎春杯试题）有6 个学生都面向南站成一行，每回只能有5 个学生向后转，则最少要转回就能使这6 个学生都面向北．2.是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
位值原理3.(2009 年第7 届希望杯5 年级2 试第4 题，5 分)一个十位数字是0 的三位数，等于它的各位数字之和的67 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。
4. a ，b ，c 分别是三位数中的不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几？数的整除5.（2008 年西城实验数学水平测试）一个自然数的末两位数字为17，它的数字和为17，且能被17整除．请你写出满足条件的最小五位自然数：6. 300301302303304…998999 能否被11 整除？如果不能，那么余数是多少？7. 已知一个五位回文数等于45 与一个四位回文数的乘积（即abcba = 45⨯deed ），那么这个五位回文数最大的可能值是.8. （2008 年第6 届走美杯4 年级决赛第6 题，10 分）207 ，2007 ，20007 ，等首位是2 ，个位是7 ，中间数字全部是0 的数字中，能被27 整除而不被81整除的最小数是。
9. 六位数20□□08 能被99 整除，□□是.10.在小于5000 的自然数中，能被11 整除，并且数字和为13 的数，共有个．质数、合数11.（2010 年十一学校试题）与6 互质的最小的合数是多少？12.（2010 年“数学解题能力展示”六年级初试第5 题）用0～9 这10 个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是．13.（2009 年西城实验小升初试题）若三个不同的质数ab2c +a = 2006 .求a +b +c 的值.因数与倍数14.（2010 年第8 届希望杯6 年级2 试试题）张老师带领六（1）班的学生会种树，学生恰好可平均分成5 组，已知师生每人种的树一样多，共种树527 棵，则六（1）的学生有人。
数论50题
数论50题1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。
2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？【分析】75=3×25若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8先任给一个去掉8的，17925即满足要求1）若去掉8则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数2）若去掉2则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法所以有6个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18个。
3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8□中的数字是14．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。
5．一次考试中，某班同学有考了优秀，考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是42人，因此不及格的人数为（1---）×42=1人6．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？（第14届迎春杯考题）【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）（0002，1002，2002，3002）…….(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。
【奥赛】小学数学竞赛：容斥原理之数论问题.学生版解题技巧 培优 易错 难
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例 1】在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？【巩固】在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【巩固】在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【例 2】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【例 3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【例 4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【例 5】求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
小升初数论重点考查内容————(余数问题——余数三宝)
千里之行，始于足下。
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【例】一个数除以4余2，除以5余3，则这个数最小是？
【例】一个数除以3余2，除以4余1，则这个数最小是？
(★★★)
两位天然数ab 与ba 除以7都余1，并且a ＞b ，求ab ba ⨯
小升初数论重点考查内容
朽木易折，金石可镂。
(★★★) (2005年全国小学数学奥林匹克试题)
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是________。
(★★★) (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)
试求22008＋20082除以7的余数。
(★★★)(2009年第十届中环杯五年级试题)
有一个数除以3余数是2，除以5余数是3，那么这个数除以15的余数是( )
(★★★★)(1998年小学数学奥林匹克预赛B卷)
一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是______。
(★★★★)( 1998年小学数学奥林匹克预赛)
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是______。
千里之行，始于足下。
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小学数论试题及答案
小学数论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和一定是3的倍数。
这个说法是：A. 正确B. 错误2. 以下哪个数是质数？A. 4B. 9C. 11D. 153. 两个连续的自然数相加，和一定是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数4. 一个数的因数的个数是有限的，那么这个数是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数5. 一个数的倍数的个数是无限的，那么这个数是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数6. 一个数的约数中最大的一个是它本身，那么这个数是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数7. 以下哪个数是2的倍数？A. 23B. 37C. 42D. 598. 一个数是5的倍数，那么这个数的个位数字一定是：A. 0B. 2C. 5D. 89. 一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和一定是：A. 3的倍数B. 2的倍数C. 5的倍数D. 7的倍数10. 以下哪个数是3的倍数？A. 123B. 234C. 345D. 456二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的最小倍数是______。
2. 一个数的最大因数是______。
3. 一个数的因数的个数是______的。
4. 一个数的倍数的个数是______的。
5. 一个数的约数中最大的一个是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：如果一个数是偶数，那么它的倍数也是偶数。
2. 证明：如果两个数都是质数，那么它们的和一定是偶数。
3. 证明：如果一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和也是3的倍数。
4. 证明：如果一个数是5的倍数，那么这个数的个位数字一定是0或5。
5. 证明：如果一个数是质数，那么它只有两个因数。
答案：一、选择题1. A2. C3. B4. B5. B6. A7. C8. C9. A10. A二、填空题1. 它本身2. 它本身3. 有限4. 无限5. 它本身三、解答题1. 证明：如果一个数是偶数，那么它可以表示为2n（n为整数）。
小学数学四年级初等数论
小学数学四年级初等数论一、幻方1、三阶幻方：a)中心数=幻和÷3b)经过中心数的4组数是等差数列c)九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
依次对齐，按照口诀对应填写。
2、四阶幻方：把16个数从小到大依次填入，同一对角线的数字对调即可例题1：在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21。
例题2：如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之积都是126。
标有＊的那个数位上的数字应是。
例题3：表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？例题4：在一个乘法幻方中，每一行、每一列、对角线上的数之积都相等。
如果在图中的空格中填上正整数，构成一个乘法幻方，那么x的值是多少？例题5：把10~20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都等于45。
二、数字奇偶性知识点：1、奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数=偶数2、奇数×奇数=奇数偶数×偶数（奇数）=偶数3、和差偶数，奇偶相同；和差奇数，奇偶相反4、和与差奇偶相同5、奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数A）简单的：例题1、若三个连续奇数的和是111，则其中最小的奇数是（）例题2、有一个两位数，分别在这个数的左边、中间、右边写一个1，得到三个三位数，若这三个三位数的和是1257，求原来的两位数。
例题3、用20厘米长的铜丝弯成边长是整数的长方形，这样的长方形不止一种，其中，面积最小的，长（）厘米，宽（）厘米；面积最大的，长（）厘米，宽（）厘米。
例题4、将190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是（）例题5、从1~9这9个数中任取一个奇数和一个偶数相乘，不同的乘积有（）个。
例题6、有三个连续的奇数，已知前两个数的积与后两个数的积的差是252，则这三个连续奇数中最小的数是（）例题7、已知m>1，m个连续的自然数的和是33，则m的所有可能取的值是（）例题8、如果两个整数的和与差的积是77，那么这两个数是（）和（）例题9、乘积是160的两个数的和比这两个数的差大4，则这两个数的和是（）例题10、1×2+2×3×4+3×4×5×6+4×5×6×7×8+⋯+10×11×12×13×…×20的末位数字是（）例题11、小明有一本40页的故事书，非常可惜被撕掉了一页，现在所剩的页码之和为793，小明的故事书被撕掉的这一页的页码为（）例题12、一个数除以9，商和余数是相同地不为零地自然数，这个数最小是（）例题13、一个不为零地自然数，除以3和除以5的商和余数相同，则这个数是（）例题14、求一切除以6后余2的两位数的和例题15、在1-200的自然数中，求既是3的倍数，又是4的倍数的所有自然数的和。
小学思维数学讲义：容斥原理之数论问题-带详解
容斥原理之数论问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？ A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个．所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个；B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个．依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】43例题精讲【例3】以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例4】在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．【考点】容斥原理之数论问题【难度】3星【题型】填空【关键词】西城实验【解析】1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例5】求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
数论初步例题和知识点总结
数论初步例题和知识点总结数论是数学中一个古老而重要的分支，它主要研究整数的性质和关系。
在这篇文章中，我们将通过一些例题来深入理解数论中的关键知识点。
一、整除整除是数论中的基本概念。
如果整数 a 除以整数 b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，记作 b ｜ a。
例如，15÷3 ＝ 5，没有余数，所以 3 ｜ 15。
例题：判断 28 能否被 4 整除。
解：因为 28÷4 ＝ 7，商是整数且没有余数，所以 4 ｜ 28。
整除有以下几个重要性质：1、如果 a ｜ b 且 b ｜ c，那么 a ｜ c。
2、如果 a ｜ b 且 a ｜ c，那么对于任意整数 m、n，有 a ｜（mb ＋ nc)。
二、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 是质数，而 4、6、8、9 是合数。
例题：判断 19 是质数还是合数。
解：因为 19 只能被 1 和 19 整除，所以 19 是质数。
质数有一个重要的定理——算术基本定理：任何一个大于 1 的整数都可以唯一分解成若干个质数的乘积。
三、最大公因数和最小公倍数两个或多个整数共有的因数中最大的一个称为最大公因数，记作（a, b)。
两个或多个整数公有的倍数中最小的一个称为最小公倍数，记作 a, b。
例如，12 和 18 的最大公因数是 6，最小公倍数是 36。
求最大公因数和最小公倍数的方法有质因数分解法和辗转相除法。
例题：求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。
质因数分解法：24 ＝ 2×2×2×336 ＝ 2×2×3×3最大公因数＝ 2×2×3 ＝ 12最小公倍数＝ 2×2×2×3×3 ＝ 72辗转相除法：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是 0 为止。
小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。
一、小学数论究包括的主要内容我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
（2）约数个数决定法则（小升初常考内容）整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出现，属于较难的题型。
二、数论部分在考试题型中的地位在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。
三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。
有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。
可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。
小学奥数-数论专题知识总结
小学奥数-数论专题知识总结数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。
一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。
（a、b是因数,c是倍数）一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961,442=1936,542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题I. 选择题(每题2分，共40分)1. 以下哪个数是一个奇数？A. 32B. 58C. 45D. 762. 以下哪个数是一个素数？A. 15B. 23C. 30D. 423. 若一个数的各位数字之和能够被3整除，那么该数一定能被____整除。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 以下哪个数是一个偶数？A. 27B. 14C. 35D. 415. 将以下数字按从大到小排列：17, 8, 29, 13A. 13, 17, 8, 29B. 13, 17, 29, 8C. 29, 17, 13, 8D. 29, 17, 8, 136. 依次删除下面数列中的每一个偶数，直到数列中只剩下奇数为止：10, 25, 14, 6, 9, 11A. 25, 9, 11B. 10, 25, 9, 11C. 25, 6, 9, 11D. 14, 6, 9, 117. 以下哪个数是一个完全平方数？A. 36B. 49C. 81D. 1008. 若一个数的个位数字为5，那么该数一定能被____整除。
A. 2B. 3C. 5D. 109. 以下哪个数不是质数？A. 37B. 45C. 53D. 6110. 将以下数字按从小到大排列：18, 9, 23, 7A. 9, 7, 18, 23B. 7, 9, 18, 23C. 23, 18, 9, 7D. 7, 23, 18, 9(每题3分，共30分)11. 16除以8的商是____。
12. 83是不是一个素数？答：____。
13. 23是一个奇数，61是一个偶数，那么它们的和是____。
14. 47是一个素数，72不是素数，那么它们的积是____。
15. 12的因数有____个。
III. 计算题(每题10分，共50分)16. 计算36和52的最大公约数。
17. 计算31和49的最小公倍数。
18. 一个水果摊上有30个苹果和20个橙子，想要将它们放进相同数量的袋子里，并且每个袋子内只放苹果或橙子。
精选40题：数论专题
数论专题1．老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4⋯，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是91313，擦掉的自然数是 ．2．一个千位数字是1的四位数的四个数字之和是21，这个四位数的十位数字与百位数字相同，把这个四位数的千位数字与个位数字对换，得到的新四位数比原四位数大4995原四位数是 ．3．字母A 、B 、C 、D 、E 、F 分别表示数字0，1，2，4，6，8中的一个．有3个三位数140，261，482，用字母表示分别是：ACD 、BFA 、CEB ．请仔细观察字母分别表示数字几．如果一个三数字母表示是CEF ，那么这个三位数数字表示是 ．4．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如22321=-，22532)=-，已知智慧数按照从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，⋯⋯则第100个智慧数是 ．5．在1、2、3、⋯，n中，M表示所有奇数的个数，N表示所有质数的个数，P表示所有偶数的个数，Q 表示所有合数个数．那么()()-+-=．M N P Q6．a、b、c都是质数，c是一位数，且1993+=，那么a b c++=．a b c7．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染上一个红点，然后沿所有的红点处将木棍逐段锯开，那么长度是4厘米的短木棍有条．8．图中的大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形所组成．那么图中阴影部分的面积为平方厘米．9．8个同学参加一次数学竞赛，第一名得98分，成绩最低是62分，第二名和第三名相差10分，如果8人的总分是586分，各人得分互不相同，那么第三名的同学最少得分．10．某人在商店里买两件货物，付钱时，他把其中一件货物单价个位上的“零”漏掉了，准备付20元钱取货，售货员说：“你弄错了，应该付47元．”请你算一算，两件货物的价钱分别是 元和 元．11．有6筐水果，每筐水果的质量分别是6，8，12，18，21，16千克．其中4筐是苹果，2筐是梨，苹果的质量是梨的2倍．两筐梨的质量分别是 千克、 千克．12．自然数237a =⨯⨯，它有 个因数．13．如果33、27与21分别除以同一个数，余数都是3，那么这个除数最大的是 ．14．用一个数分别去除32、47、62都余2，这个数最大是 ．15．20032与22003的和除以7的余数是 ．16．若1224A是一个完全平方数，则A最小是．17．把1到100的自然数如下表那样排列，在这个数表里，把相邻两横行的六个相邻的数用长方形框围起来（如图）．如果在该表中像这样围起来的六个数的和为336，这个长方形框里最大的数是．18．把1，2，7，8，9，10，12，13，14，15填入图中的小圆内，使每个大圆圈上的六个数的和是60．．19．一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，那么得到的新的两位数与原来两位数的和是121，求原来的两位数是多少？20．请你用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，每个只能用一次，拼凑出五个自然数．让第二个是第一个的2倍，第3个是第一个的3倍，第四个是第一个的4倍，第五个是第一个的5倍．21．有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25，已知第一个数是3，第二个数是6，第三个数是7，这串数中第77个数是．22．两个分数103和200m之间恰有9个自然数，求m的值．23．一个三位数，各位数字之和为15，百位上的数字比个位上的数字小5，如果把这个数倒过来写，所得新数比原数的三倍少39，求原数．24．如图8个顶点分别用a，b，c，d，e，f，g，h表示．每个顶点上的数是与它相邻三个顶点数和的13，求()()a b c d d e f g h+++-++++的差．25．有一些砖块，它的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米．如果把这些砖沿着墙横着铺（如图1)，可铺1275厘米长；如果横竖间隔着铺（如图2)，可铺975厘米长．你知道一共有多少块砖吗？26．如图所示的四个圆形跑道，每个跑道的长都是1千米，A、B、C、D四位运动员同时从交点O出发，分别沿四个跑道跑步，他们的速度分别是每小时4千米，每小时8千米，每小时6千米，每小时12千米．问从出发到四人再次相遇，四人共跑了多少千米？27．原有1克、3克、5克和7克的砝码各一个，丢掉一个砝码后，再也无法一次称出9克、12克的重量，丢掉的是几克的砝码？28．四年级学生参加数学竞赛，小明获得的名次、他的年龄、他得到的分数的乘积是2910，他得第几名，成绩是多少分？29．设六位数1abcde乘以3后，变成六位数1abcde．求1abcde．30．一间屋子里有100盏灯，依次编号为1100-号，每盏灯有一个拉线开关且开始时灯全部是关闭的．现有100个学生在门外排队，第1个学生进入屋子后把编号是1的倍数的灯全部拉了一下；第2个学生进入屋子后把编号是2的倍数的灯全部拉了一下⋯第100个学生进入屋子后把编号是100的倍数的灯全部拉了一下．这样做完后有多少盏灯是亮的？31．有六袋玻璃球，分别有15、16、18、19、20、3l 颗．甲拿走了若干袋．乙也拿走了若干袋，还剩一袋，甲拿走的颗数是乙的2倍．问剩下的那袋有 颗．32．若用n A 表示2n 除以5所得的余数．例如：1A 表示215÷所得的余数，即11A =；2A 表示225÷所得的余数，即24A =；3A 表示235÷所得的余数，即34A =；⋯当20n =时，则20A = ；根据以上信息，请你探究：123420112013A A A A A A ++++⋯++= ．33．王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少9，但余数恰好相同．正确的商是 ．34．有这样的两位数，交换该数数码所得到的两个位数与原数的和是一个完全平方数．例如，29就是这样的两位数，因为2299212111+==，请你找出所有这样的两位数．35．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？36．293=，2164=，212111=，像这样9、16、和121这些数叫平方数．在11999--这些自然数中共有 个平方数．37．你听说过“幸福数”吗？一个数如果能够写成两个相邻自然数的平方差，则这个自然数称为“幸福数”．例如：22532=-，所以5就是一个“幸福数”．你能找到这样的幸福数吗？， ， ， ⋯20以内所有“幸福数”的和是 ．38．从1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，⋯从中擦去一个奇数后，剩下的所有奇数之和为2008，擦去的奇数是多少？39．如图中是一个11位数，它每三个相邻数字的和都是20，求A 的数字是多少．40．在一张长36厘米的纸条上，从左端起，先每隔3厘米画一个红点，再从左端起，每隔4 厘米画一个红点．纸条的两个端点都不画．最后，纸条上共有多少个红点？。
最新小学奥数 数论综合问题(绝对经典)
最新小学奥数 数论综合问题板块一 质数合数【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=⨯=⨯=⨯，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=⨯，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=⨯、222376743=⨯=⨯、333379=⨯、4443712746=⨯=⨯、5553715=⨯、6663718749=⨯=⨯、7773721=⨯、88837247412=⨯=⨯、9993727=⨯． 把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二 余数问题【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337=⨯⨯，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个．【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是29【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．【例 10】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】 根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：11603A K r ÷= ()22939222A K r ⨯÷= ()33393424A K r ⨯÷= 这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,96951317==⨯．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？ 【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于200954014÷=，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个)， 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例 14】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和．【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=⨯=⨯所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例 15】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．板块三 完全平方数【例 16】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【例 17】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】 设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．【例 18】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．设中间数是x ，则它们的和为5x ， 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯，则25x a =，2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个， 即2a 至少是225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．板块四 位值原理【例 19】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，4b =，原来的两位数中最大的是94．【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】 设原数为abcd ，则新数为dcba ，(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ⨯-+⨯-==+．推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．【例 20】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ， 因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ⨯++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++⨯+++⨯+++=⨯++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】 a ，b ，c 分别是09中不同的数码，用a ，b ，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】 由a ，b ，c 组成的六个数的和是222()a b c ⨯++．因为223422210>⨯，所以10a b c ++>．若11a b c ++=，则所求数为222112234208⨯-=，但2081011++=≠，不合题意．若12a b c ++=，则所求数为222122234430⨯-=，但430712++=≠，不合题意．若13a b c ++=，则所求数为222132234652⨯-=，65213++=，符合题意．若14a b c ++=，则所求数为222142234874⨯-=，但8741914++=≠，不合题意．若15a b c ++≥，则所求数2221522341096≥⨯-=，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13a b c ++=时符合题意，所求的三位数为652．板块五 进制问题【例 21】 在几进制中有413100⨯=？【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以，n 只能是6．【巩固】 算式153********⨯=是几进制数的乘法？【解析】 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．【例 22】 在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】 (abc )6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba )9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16．②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0．所以c=2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5．所以(abc )6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．课后练习：练习 1． 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．【解析】 设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足7()abc a b c =++，则可知a 、b 、c 中必有一个为7，不妨记为a ，那么7bc b c =++，整理得(1)(1)8b c --=，又81824=⨯=⨯，对应的b =2、c =9(舍去)或b =3、c =5，所以这三个质数可能是3，5，7练习 2． 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14．练习 3． 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数．【解析】 以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数，但是由于1999与()1999+++被9除的余数相同，2000与()2000+++被9除的余数相同，所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同．由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同．根据等差数列求和公式，这个和为：()12008200820170362+⨯=，它被9除的余数为1． 另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，……，199920002001200220032004200520062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同．因此，此数被9除的余数为1．练习 4． 在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】 首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．月测备选：【备选1】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来．【解析】 有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47．【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415=+÷---）（）（，所以，被除数为3248479=+⨯．【备选3】1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=．【备选4】在几进制中有12512516324⨯=？【解析】 注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．。
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题1. 问题描述：小明有4个篮球和6个足球，他想将这些球分成几组，每组只能有篮球或者足球，且每组中篮球和足球的总数都一样。
请问小明最多能分成几组？解析：设每组中的篮球和足球的数量为x。
根据题目条件，可以得到以下等式：4x = 6x将等式化简后得到：2x = 6解方程得到x = 3。
因此，小明最多能分成3组，每组有3个篮球和3个足球。
2. 问题描述：有一组连续的自然数，从1开始，如果这组自然数中有一个数的平方等于某个大于1的质数的n次方（n>1），则称该质数为“关键质数”。
请问，从1到100之间共有几个关键质数？解析：首先，我们需要确定在1到100之间存在哪些质数。
通过筛除法可以得到：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
然后，我们遍历这些质数，并计算其n次方（n>1）是否存在于1到100的连续自然数中。
如果存在，就将对应的质数计数加一。
经过计算，从1到100之间共有4个关键质数，分别是：2, 3, 5, 7。
3. 问题描述：小明有1元、2元、5元三种面额的硬币各若干枚。
他寻思着用这些硬币凑出不同的金额，最多能凑出多少种不同的金额？解析：设1元、2元、5元硬币的数量分别为x、y、z。
根据题目条件，可以列出以下不等式：x + 2y + 5z ≤ 100其中，100为金额的上限。
通过遍历x、y、z的范围（分别为0到100），并满足上述不等式的情况下计数，可以得出最多能凑出的不同金额种数。
经过计算，小明最多能凑出49种不同的金额。
4. 问题描述：小华用纸币买了一只笔和一只橡皮擦，一共花了29元。
已知一只笔的价格是5元，橡皮擦的价格是2元，问小华使用了多少张纸币？解析：设小华用来买笔的纸币数量为x，用来买橡皮擦的纸币数量为y。
根据题目条件，可以得到以下方程组：5x + 2y = 29其中，x和y为整数，且都大于等于0。
小学奥数中的数论问题
小学奥数中的数论问题一、分析因数1.如何求一个数的所有因数？把这个数分解质因数，把各个质因数分别写在一起，它们中任意几个的积都是这个数的因数。
例如：求 420 的所有因数420=2×2×3×5×7则 420 的所有因数为：1、2、3、4、5、6、7、10、12、14、15、20、21、28、30、35、42、60、70、84、140、210、4202. 如果知道一个数的几个因数，如何快速求出这个数？举例说明：若某个数是 $4$ 的倍数,$4$ 就是它的因数。
那么这个数可以写成 $4k$ 的形式，其中 $k$ 是一个整数。
同理如果这个数是 $3$ 的倍数，那么这个数可以写成 $3l$ 的形式，其中$l$ 是一个整数。
所以它可以写成 $12m$ 的形式，其中 $m$ 是一个整数。
因此，若某个数是 $3$ 和 $4$ 的倍数，那么它可以写成$12n$ 的形式，则此数即为 $12$ 的倍数。
二、最大公约数和最小公倍数1. 求最大公约数（简称 GCD）辗转相除法：把小的数不断地从大数中减，直到减不下为止。
用小数去减大数，然后用余数去除小的数。
如此反复，直到余数为零。
举例说明：求最大公约数 $84$ 和 $18$。
用 $84-18=66$，$18$ 去除 $66$（注意，是 $18$ 在除），余数为 $12$。
用 $18-12=6$，$12$ 去除 $6$，余数为 $0$。
由于余数为 $0$，所以 $6$ 就是最大公约数。
2. 求最小公倍数（简称 LCM）最小公倍数等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。
举例说明：求最小公倍数 $84$ 和 $18$。
先求出它们的最大公约数 $6$。
再将它们的乘积除以最大公约数，即 $\\frac{84\\times 18}{6}=504$。
所以 $84$ 和 $18$ 的最小公倍数为 $504$。
三、质数和合数1. 质数和合数分别是什么？质数是指在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和本身，没有其他的因数的数，也就是只有 $1$ 和它本身两个约数的数。
数论 小学数学 随堂作业
一、选择题1. 已知m分解素因数为m=a×b×c，其中a，b，c是不同的素数，那么m的因数中合数有（）A．1个B．3个C．4个D．8个2. 一个正方形的边长是奇数，它的周长是偶数也是合数，面积是（）A．奇数B．偶数C．质数D．合数3. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的．这句话里有（）个数大于1，有（）个数大于2，有（）个数大于3，有（）个数大于4．A．1 B．2 C．3 D．44. 下面（）的说法是对的．A．所有的偶数都是合数B．所有的奇数都是质数C．两个质数的和不一定是偶数5. 20以内所有质数和是最小三位数的（）A．B．C．D．二、填空题6. 一个数的最大因数是36，这个数是( )，它的因数有( )．7. 有三个自然数a，b，c，已知b除以a，得商3余3；c除以a，得商9余11。
则c除以b，得到的余数是( )。
8. 甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第__________名。
9. 从354起，写出连续5个偶数．________________________________________10. 同时是2、3和5的倍数，这样的数中最小的是( )．三、解答题11. ○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.12. 有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？13. 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数。
同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为，其中，而且和都是质数（和是两个数字）。
具有这种形式的数共有多少个？14. 学校合唱队（50人以内），9人站一排或是15人站一排，都正好站完。
学校合唱队有多少人？。
小学五年级数学培优(5)：数论问题
小学五年级培优数学5-1“数论问题”之整除整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征.通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题.能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2、5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位数能被4、25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位数能被8、125整除；能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3、9整除；*能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，余类推。
*能被11整除的数的特征：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的【割尾法】处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！*能被13整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相加、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
*能被17整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述【截尾、倍大、相减、验差】的过程，直到能清楚判断为止。
{另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
}*能被19整除的数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
小学数学数论讲解及练习题整数分拆之分类与计数
整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3=1+2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】把63表示成几个连续数的和，试写出各种可能的表示法。
【例2】有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都要能够用“8”表示才好。
现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。
【例3】电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？【例4】(美国小学数学奥林匹克试题)美国硬币有1分、5分、10分和25分四种。
现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币。
问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？〖答案〗【例1】本题需要将63拆成几个连续数的和，根据拆分项数进行分类讨论如下：⑴把63拆分成两个连续自然数：63=31+32由于相邻两个数的和是奇数（单数），凡是奇数都可以拆成两个连续自然数的和。
63是奇数。
⑵把63拆分成三个连续自然数：63÷3=21，所以63=20+21+22。
根据中间数公式：如果一个数能被3，5，7，…整除，都可以求出中间数，也就可以拆分成三个、五个、七个连续自然数的和。
⑶把63拆分成四个连续自然数：四个连续自然数：2偶、2奇，和为偶数，63是奇数不能拆分⑷把63拆分成五个连续自然数：63不是5的倍数所以不可能⑸把63拆分成六个连续自然数：63=8+9+10+11+12+13⑹把63拆分成六个连续自然数：63÷7=9，所以63=6+7+8+9+10+11+12。
⑺把63拆分成九个连续自然数：63÷9=7，所以63=3+4+5+6+7+8+9+10+11。
综上共有5种拆分方法。
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小升初数论问题
概念：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。
从分解质因数中我们可以发现：两个数（或多个数）的公倍数必须具备：
①公倍数必须包含这几个数中所有的质因数，而根据这几个数质因数的关系，我们将这些质因数分为三类，一类是公有的质因数，一类是独有的质因数，一类是大家都没有的(如果大家都没有的个数为0，那么这时的公倍数就是最小公倍数)。
②而最小公倍数又必须同时满足：每组公有的质因数只取一个，这几个数独有的质因数要全部取完，除此之外，不得含有其它的质因数，将这些取出的质因数全部乘起来所得的积就是这几个数的最小公倍数。
精典例题
例1：三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于多少？（1998年小学数学奥林匹克初赛试题）
思路点拨：想一想：三个数的最小公倍数与这三个数有什么关系？友情提示：从分解质因数的角度来思考！
模仿练习：三个连续的自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和等于多少？(1998年小学数学奥林匹克初赛试题)
例2：有一个数在700到800之间，用15、18和24去除，都不能整除。
如果在
这个数上加1，就能同时被15、18和24整除，这个数是多多少？
思路点拨：想一想：如果在这个数加1，就能被15、18、24整除说明这个数加1所得到的数一定是这三个数的……
模仿练习：一个四位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，只知道十位上数字是1，个位上数字是2.如果这个数减去7就能被7整除，减去8就能被8整除，减去9就能被9整除，那么这个四位数是多少？(北京市第二届“迎春杯”刊赛试题)
例3：甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是多少？
思路点拨：想一想：两个数的最大公约数与它们的最小公倍数以及这两个数之间有什么关系？
模仿练习：甲数是60，甲乙两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，乙数应该是多少？
1、有5000多根牙签，可按六种规格分成小包。
如果10根一包，那么最后还剩9根。
如果9根一包，那么最后还剩8根。
第三、四、五、六种的规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4根。
原来一共有牙签多少根？(北京市第十届“迎春杯”决赛试题)
2、动物园的饲养员给三个群猴子分花生。
如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒。
那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？(北京市第八届“迎春杯”决赛试题)
3、2013个同学排成一列，从排头向排尾1至3报数；再从排尾向排头1至4报数，那么两次报数中都报1的人共有多少人？
4、甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？(1995年小学数学奥林匹克决赛B卷试题)
1.从运动场一端到另一端全长96米，从一端到另一端每隔4米插一面小红
旗，现在要改成每隔6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？(第一届《小数报》数学竞赛试题)
2.一个自然数被5、6、7整除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？(北京市第一届“迎春杯”刊赛试题)
3.两个数的和是112，最大公约数是16，这两个数是多少？(2010年成都嘉祥外国语学校奖学金考试题)
4.甲从A地往B地，乙、丙两人从B地往A地，三人同时出发，甲首先在途中与乙相遇，之后8分钟又与丙相遇，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米，问：A、B两地相距多少米？。