材料力学-第十一章
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开始轴线为直线,接着必被压弯,发生较大的弯曲变形; 最后被折断;
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时,压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯,致使结构丧失承载力;
狭长截面梁在横向力的作用下:
线弹性范围 铅锤面内的弯曲;
P Pcr
弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环:
p pcr
圆对称的平衡
非线性稳定理论已经证明:对于细长压杆,临界平衡是稳定的。
压杆的极限承载能力 压杆失稳后,压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大,杆件丧失了继续增大荷载的能力。
且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。
为了保证压杆安全可靠的工作,必须使压杆处于 直线平衡形式,因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
3、理想压杆
(轴线为直线,压力与轴线重合,材料均匀)
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的,为非理想受压直杆。
4、Euler解、精确解、实验结果的比较:
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
Fcr
2 EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端固定
Fcr
D
L
C
Fcr
2 EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
一端固定、一端铰支
利用杆的边界条件,
x0 w0
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数:
w Asin Kx
利用边界条件
xl w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形;
kl n
n 1 ,2,3,.....
Fcr
n2 2 EI
l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值,即 n 1
.
§11-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下:
塑性材料:工作应力达到屈服极限时出现屈服失效; 脆性材料: 工作应力达到强度极限时断裂;
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁; 铸铁短圆柱 脆断;
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全Biblioteka Baidu同的失效形式;
细长竹片受压时
长为L的一端固定、另端铰支的压杆,约与长为0.7L 的两端铰支压杆相当。
长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论:
(2)横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同(球形铰等),则 I 应取最小的形心主惯性矩。
杆端的约束愈强,则µ值愈小,压杆的临界力愈高; 杆端的约束愈弱,则值µ愈大,压杆的临界力愈低。
讨论:
(1)相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时,挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l 。
l 是各种支承条件下,细长压杆失稳时,挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的 两端铰支的细长杆相当。
非圆对称
当压力超过一定数值时,圆环将 不能保持圆对称的平衡形式,而 突然变为非圆对称的平衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化,统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
工程中的压杆
工程中的压杆
柱、桁架的压杆、薄壳结构及薄壁容器等、在有 压力存在时,都可能发生失稳。
提升 油缸
3、稳定平衡、临界平衡(随遇平衡)、不稳定平衡
Fcr
(
2 EI
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 (弯曲平衡)
屈曲: 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程;
屈曲位移:由于屈曲,压杆产生的侧向位移;
通常,屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性,常常带来灾难性后果。
2EI
Fcr l 2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度( EI )成正比。
压杆失稳时,总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。 因此,对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
Fcr
2EI
l2
适用范围:
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性,小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程,因 此公式只适用于弹性稳定问题。
§11-2 支细长压杆的临界压力 欧拉公式 =Fcr
M FN=Fcr
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
此方程的通解为 w Asin kx Bcos kx
稳定平衡 当球受到微小干扰,偏离其平 衡位置后,经过几次摆动,它 会重新回到原来的平衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体,当球受到 微小干扰,它将偏离其平衡 位置,而不再恢复原位;
临界平衡
物体处于平衡状态,受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置,也 不进一步离开;
而是停留在一个新的位置上平衡;
5临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线
平衡形式时所受的轴向压力; Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态:
即:屈曲位移ω =0的直线状态; 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为:
压杆保持直线形态平衡的最大载荷;
或压杆处于微弯状态(丧失稳定)的最小载荷。
§11-3其他支座条件下细长压杆的临界压力
类比法:
根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。 对于其它约束情况的压杆,将挠曲线形状与两端铰支 压杆的挠曲线形状加以比较,用几何类比的方法,求 它们的临界力。
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时,压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯,致使结构丧失承载力;
狭长截面梁在横向力的作用下:
线弹性范围 铅锤面内的弯曲;
P Pcr
弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环:
p pcr
圆对称的平衡
非线性稳定理论已经证明:对于细长压杆,临界平衡是稳定的。
压杆的极限承载能力 压杆失稳后,压力的微小增量会引起屈服变形的显 著增大,杆件丧失了继续增大荷载的能力。
且由失稳造成的失效可以导致整个结构的坍塌。
为了保证压杆安全可靠的工作,必须使压杆处于 直线平衡形式,因而压杆是以临界力为其极限承 载能力。
3、理想压杆
(轴线为直线,压力与轴线重合,材料均匀)
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的,为非理想受压直杆。
4、Euler解、精确解、实验结果的比较:
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
Fcr
2 EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
C
Fcr
2 EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr
2 EI
(1.0 l )2
两端固定
Fcr
D
L
C
Fcr
2 EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
一端固定、一端铰支
利用杆的边界条件,
x0 w0
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数:
w Asin Kx
利用边界条件
xl w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形;
kl n
n 1 ,2,3,.....
Fcr
n2 2 EI
l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值,即 n 1
.
§11-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下:
塑性材料:工作应力达到屈服极限时出现屈服失效; 脆性材料: 工作应力达到强度极限时断裂;
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁; 铸铁短圆柱 脆断;
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全Biblioteka Baidu同的失效形式;
细长竹片受压时
长为L的一端固定、另端铰支的压杆,约与长为0.7L 的两端铰支压杆相当。
长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
讨论:
(2)横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同(球形铰等),则 I 应取最小的形心主惯性矩。
杆端的约束愈强,则µ值愈小,压杆的临界力愈高; 杆端的约束愈弱,则值µ愈大,压杆的临界力愈低。
讨论:
(1)相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时,挠曲线上两拐点间的长度就是压杆相当长度 l 。
l 是各种支承条件下,细长压杆失稳时,挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的 两端铰支的细长杆相当。
非圆对称
当压力超过一定数值时,圆环将 不能保持圆对称的平衡形式,而 突然变为非圆对称的平衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化,统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
工程中的压杆
工程中的压杆
柱、桁架的压杆、薄壳结构及薄壁容器等、在有 压力存在时,都可能发生失稳。
提升 油缸
3、稳定平衡、临界平衡(随遇平衡)、不稳定平衡
Fcr
(
2 EI
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
4、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 (弯曲平衡)
屈曲: 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程;
屈曲位移:由于屈曲,压杆产生的侧向位移;
通常,屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性,常常带来灾难性后果。
2EI
Fcr l 2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度( EI )成正比。
压杆失稳时,总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。 因此,对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
Fcr
2EI
l2
适用范围:
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性,小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程,因 此公式只适用于弹性稳定问题。
§11-2 支细长压杆的临界压力 欧拉公式 =Fcr
M FN=Fcr
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
此方程的通解为 w Asin kx Bcos kx
稳定平衡 当球受到微小干扰,偏离其平 衡位置后,经过几次摆动,它 会重新回到原来的平衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体,当球受到 微小干扰,它将偏离其平衡 位置,而不再恢复原位;
临界平衡
物体处于平衡状态,受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置,也 不进一步离开;
而是停留在一个新的位置上平衡;
5临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线
平衡形式时所受的轴向压力; Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态:
即:屈曲位移ω =0的直线状态; 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为:
压杆保持直线形态平衡的最大载荷;
或压杆处于微弯状态(丧失稳定)的最小载荷。
§11-3其他支座条件下细长压杆的临界压力
类比法:
根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。 对于其它约束情况的压杆,将挠曲线形状与两端铰支 压杆的挠曲线形状加以比较,用几何类比的方法,求 它们的临界力。
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr
2 EI
(1.0 l )2