相似三角形知识点讲解及专项练习

相似三角形知识点讲解及专项练习

相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)

4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.

示意图

结论

E D C

B A

反A 型：

如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·

AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D

C

B

A

反X 型：

如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .

“类射影”与射影模型

示意图

结论

相似三角形证明方法

模块一

相似三角形6大证明技巧

专题

类射影

如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：

BD AB

BC AC

= A B

C

D

射影定理

已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换

比例式的证明方法 模块二

技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算

【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC

CF AE AD

=． A

B

C

F

D

E

【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：

2AM MD ME =⋅

C

B

A

E

D

M

【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：

BF AB

BE BC

=．

技巧一：三点定型

D

B

A

C

F E

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，

交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅ A

B

C

D E

F

【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求证：

AC BE CE AD ⋅=⋅．

C

B

A D E

F

技巧二：等线段代换

【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2AB BE CD =⋅

A

B

C

D

E

【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF

于F ．求证：2BP PE PF =⋅．

C

B

A

D

P

E

F

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线于F ，求证：2OB OE OF =⋅．

O

F

E

D

C B

A

技巧三：等比代换

【例9】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=︒时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的

延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．

E

F

C

A

B

D

【例10】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC

的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD

⋅=⋅

E C

D B

A

P

【例11】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线于M ．求证：2HE HG MH =⋅．

技巧四：等积代换

P

M

N

D A

B

C

【例14】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅

【例15】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF 分别交AC 于M 、N .，求证：

AM =CN.

F

M

N

E

D

C

B

A

【例16】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A 点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .

D

C

B

A

E

M N

技巧五：证等量先证等比