泰勒级数展开讲解

数学物理方法
3.3.1泰勒级数
泰勒(Taylor)展开定理 设 f (z) 在区域 D：| z ? z0 |? R 内 解析，则在 D 内 f (z) 可展为泰勒级数
??
? f (z) ? an (z ? z0 )n , (| z ? z0 |? R) (3.3.1) n? 0
? 其中
an
?
1
2? i
数学物理方法
陈尚达 材料与光电物理学院
第三章 幂级数展开
数学物理方法
1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒级数展开 4、解析延拓 5、洛朗级数展开 6、孤立奇点的分类
3.3 泰勒级数展开
数学物理方法
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个 幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解 析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就 是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值 .
f (? )d? C (? ? z0 )n?1 ?
f (n) ( z0 ) n!
(n ? 0,1,2,
源自文库
),
且展式是唯一的。
? 特别地，当 z0 ? 0 时，级数
? f (n) (0) z n 称为麦克劳林
n?0 n!
级数。
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【证明】 设函数 f (z) 在区域 D： z ? z0 ? R 内解析，任取一点 ? ? D ，以 z0 为
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同样的方法，可求得 cos z 在 z0 ? 0 邻域上的泰勒级数
cos z ? 1? z2 ? z4 ? z6 ? 2! 4! 6!
容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。 即 Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数 就收敛。
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例3.3.3 在 z0 ? 1 的邻域把 f (z) ? ln z 展开。
? ? z0
1
1
1
1
因为
?
?
z
?
(?
?
z0 ) ?
(z ?
z0 )
?
?
?
z0
? 1?
z?
z0
? ? z0
根据
? 1
?
? zn,
(| z |? 1)
1? z n?0
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? ?
1 ?
z
?
?
1 ? z0
? ?1? ??
z?
??
z0 z0
?
?z?
? ?
?
?
z0 z0
2
? ? ?
?
?
??? ? ??
为直接展开法 .
例3.3.1 在 z0 ? 0 的邻域上把 f (z) ? ez 展开。 解：函数 f ( z) ? ez 的各阶导数 f (k ) ( z) ? ez 而
f (k) (z0 ) ? f (k) (0) ? 1
故 f (z) ? ez 在 z0 ? 0 领域上的泰勒级数写为
ez ? 1? z ? z2 ? z3 ? 1! 2! 3!
?
? f (z) ? bn (z ? z0 )n n?0
(3.3.5)
两边逐项求导，并令 z ? z0 可得到系数
bn ?
f
n (z0 ) n!
?
an ,
(n ? 0,1,2,
)
(3.3.6)
故展开式系数是唯一的。
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3.3.2 将函数展开成泰勒级数的方法
泰勒展开定理本身提供了一种展开方
法，即求出 f (n) (z0 ) 代入即可，这种方法称
中心， ? 为半径( ? ? R )作圆周 C: ? ? z0 ? ? ，如图
z?
z0
?
C
由柯西积分公式知
R
f (z)
?
1 2πi
f
?C ?
(? )d?
?z
(3.3.2 )
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其中z在C的内部,，而 ? 在C上取值, C取逆时针正方向. 故
z ? z0 ? ? ? ? z0 ? ?
从而 z ? z0 ? 1
? n? 0
(z ? z0 )n
(? ? z0 )n?1
以此代入 (3.3.2)，并把它写成
? ? f
(z)
?
? n?0
?1
??2? i
C
f (? )d? (? ? z0 )n?1
? ?( z ?
?
z0 )n
利用解析函数的高阶导数公式，上式即为
其中
?
? f ( z) ? an (z ? z0 )n n? 0
正整数）。
解：先计算展开系数
易求收敛半径无限大
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例3.3.2 在 z0 ? 0 的邻域把 f1( z) ? sin z 和 f2 (z) ? cos z 展开。
解： 函数 f1( z) ? sin z 的前四阶导数分别为 f1'( z) ? cos z
f1'' (z) ? ? sin z
f (3)
1
(z)
?
?
cos
解：多值函数 f (z) ? ln z 的支点在 z ? 0, z ? ?
现在展开中心 z0 ? 1 并非支点，在它的邻域上，各个单 值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数
f (z ) ? ln z
f (1) ? ln1 ? n2? i
f '(z) ? 1 z
f '(1)? 1
f
''(z) ?
2
3
4
可以求得上式的收敛半径为1。因此
ln z ? n2? i ? (z ? 1) ? (z ? 1)2 ? (z ? 1)3 ? ( z ? 1)
2
3
上式n＝0的那一个单值分支叫作 ln z 的主值。
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例3.3.3 在 z0 ? 0 的邻域把 f (z) ? (1? z)m 展开（m不是
?
1! z2
f ''(z) ? ? 1!
f (3) ( z) ?
2! z3
……
f (3) ( z) ? 2!
于是可写成 z0 ? 1 在邻域上的泰勒级数
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ln z ? ln1 ? 1 (z ? 1)? ? 1!(z ? 1)2 ? 2! (z ? 1)3 ?
1!
2!
3!
? n2? i ? (z ? 1) ? ( z ? 1)2 ? ( z ? 1)3 ? (z ? 1)4 ?
z
f1(4) (z) ? sin z
由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导 数是前四阶导数的重复。
且在 z0 ? 0 有 f1' (0) ? 1 f1''(0) ? 0
f (3)
1
(0)
?
?1
f (4) 1
(0)
?
0
故有
z z3 z5 z7 sin z ? ? ? ? ?
1! 3! 5! 7!
(3.3.3)
? 1
an ? 2πi
f (? )d? C (? ? z0 )n?1 ?
f (n) ( z0 ) n!
(0,1,2, )
(3.3.4)
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这样便得到了 f ( z) 在圆| z ? z0 |? R 内的幂级数展
开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一 性。
假设 f (z) 在 | z ? z0 |? R 内可展开为另一展开式