14.2.1.2正比例函数图像
正比例函数 (课件)
y=kx
经过的象限 从左向右 y随x的增大而
k＞0
y
x
第一、三象限
上升
增大
k＜0
y
第二、四象限
x
下降
减小
新知应用
口答：看谁反应快
12.由.由正正比比例例函函数数解解析析式式，，判请断你其说函出数下图 列象函经数过y随哪x些的象变限化？情况？
(1) y 2 x y一随、x的三增象大而限增大 3
(2) y 2x y一随、x的三增象大而限增大
根据正比例函数的性质，k>0可得
该图像经过一、三象限。
6.正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A （x1,x2）和B（y1，y2），且该图像经过第 二、四象限. (1)求m的取值范围
(2)当x1>x2时，比较 y1与y2的大小,并说明 理由.
梳理小结
本节课所学知识. 本节课出现的数学思想方法.
三象限,那么y = ax 的图像经
过 二、四象限
.
(4)已知 ab 0 , 则函数y b x 的图
像经过哪些象限?
a
二、四象限
5.已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的图像经
过第几象限？
解： ∵该函数是正比例函数
{ m1 0 m2=1
{ m 1 m=±1，
m 1
比例系数k=m+1=2>0
布置作业
同步相应练习
谢谢大家！
夯实基础
用简便的方法画出下列函数的图象:
(1)
y=
3 2
x
(2) y = -3x
x 02 y 03
y
y= 23x
4
3
2
1421正比例函数的图象
B. m> 1 2
C. m<2
D. m 0
巩固训练4 探究
• （和１ｙ）＝在 同1一ｘ直的角图坐像标，系请中你，用画量出角正器比度例量函一数下ｙ这＝两２条ｘ直 线的交角，2你会发现什么现象？
• （２）在另一个坐标系中，画出正比例函数ｙ＝３ｘ和 ｙ＝ 1 ｘ的图像，你发现同样存在（１）中的现象 吗？ 3
y=2x
3
2
1
-4 -3 -2 -10 -1 -2
1234
-3
第三步：把这些点依次连接起-4来，得到y=2x的图象.
函数的图象的概念：
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系 内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫 做该函数的图象.
分组活动：
作函数y=-2x，y=
14.2正比例函数的图像及 性质
上网的费用为2元/小时， 则上网x小时，费用y是多少元？
y=2x
它是什么函数？
例：画出正比例函数y=2x 的图像
解：第一步：列表
x … -2 -1 0 1 y … -4 -2 0 2
2… 4…
第二步：描点（以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标中
描出相应的点）
4
限，从左向右上升，即ｙ随ｘ的增大而___减；小
巩固训练１
• １正比例函数ｙ＝－４ｘ必定经过第＿二 和
•
第＿四 象限，且ｙ随ｘ的增大而＿减＿小＿．
• ２当ｍ＿＜＿2 ＿ 时，正比例函数 • ｙ＝（2ｍ－４）ｘ中ｙ随ｘ的增大而增大．
• ３图像经过点（１，２）的正比例函数的 • 表达式为＿ｙ＿＝＿2ｘ
Hale Waihona Puke 巩固训练２（2）y= 3x
正比例函数课件
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
THANKS
感谢观看
日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
正比例函数图像及性质
WORD 格式整理版正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数， k 0）的图像是经过原点 O(0,0) 和点 M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数 y=kx 的图像叫做直线 y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题x m 3例 1. 若函数 y=(m-1)是正比例函数，则m=,函数的图像经过象限。
解:m=4, 图像经过第一、三象限。
例 2. 已知 y-1 与 2x 成正比例，当 x=-1 时， y=5, 求 y 与 x 的函数解析式。
解：∵ y-1 与 2x 成正比例∴设y-1=k ·2x （k0 ）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴ y-1=-2·2x∴y=-4x+1例 3. 已知 y 与 x 的正比例函数，且当x=6 时 y=-2WORD 格式整理版(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点 P（a， 4）在这个函数的图像上，求 a 的值；(4)试问，点 A（-6 ， 2）关于原点对称的点 B 是否也在这个图像上？解： (1)设 y=k·x （ k 0）当 x=6 时， y=-2 ∴-2=6k ∴k 1∴这个函数的解析式为 y1x 33(2)y 1x 的定义域是一切实数，图像如图所示：3(3)如果点 P（a， 4）在这个函数的图像上，∴41a ，∴a=-12 3(4)点 A（-6 ，2）关于原点对称的点 B 的坐标（ 6，-2 ），当 x=6 时， y=162因此，点 B 也在直线y 1x 上33例 4. 已知点 ( x1, y1 ) ，( x2, y2 ) 在正比例函数 y=(k-2)x的图像上，当x1x2时， y1y2，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随 x 的值增大而减小，∴k-2<0, ∴k<2例 5. （1）已知 y=ax 是经过第二、四象限的直线，且 a 3 在实数范围内有意义，求 a 的取值范围。
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
《正比例函数》课件
欢迎来到正比例函数的世界！这个PPT将会带你深入探索正比例函数，了解它 的定义、性质和应用。
定义与特点
定义
正比例函数是一种函数，其定义域和值域都是正实数，且函数的值与自变量成正比例关系。
特点
自变量为0时函数值为0。自变量每增加1，函数值增加k。函数图像为一条经过原点的直线。
公式
y=kx (k 为比例常数)
2
方法二
已知函数图像斜率为 k，取图像上两点 (x1,y1) 和 (x2,y2)，代入公式 (y2-y1)/(x2x1)=k，求解比例常数 k。
3
方法三
已知函数经过点 (x,y)，代入公式 y=kx，求解比例常数 k。
应用：直接比例与反比例
直接比例
两个量的比例关系为直接比例， 如果一个量增大，另一个量也相 应地增大。
3 问题三
如何通过函数图像求解正比例函数的比例常数？请列出步骤。
结论与思考
结论
正比例函数是数学中重要的函数类型之一，概念简 单易懂，应用广泛。
思考
正比例函数可以用来描述哪些现象和问题？你能设 计一道有趣的应用题吗？
结束语
感谢观看这个PPT，我们希望通过本次分享，让大家更加深入地了解正比例函数，并能够在实际问题中灵活运 用。谢谢！
反比例
两个量的比例关系为反比例，如 果一个量增大，另一个量相应地 减小。
反比例的应用
例如在物理学中，波长和频率呈 反比例关系。
小试牛刀
1 问题一
已知正比例函数 y=kx (k>0)，当 x=2 时，y=6，求比例常数 k。
2 问题二
已知正比例函数 y=kx (k>0)，当 x=2 时，y=6，当 x=4 时，y=12，验证斜率为常数 k。
正比例函数图像课件ppt
正比例函数的应用场景
总结词
正比例函数在现实生活中有许多应用场景，如速度-时间关系 、加速度-时间关系等。
详细描写
在物理学中，速度和时间是成正比的，可以用正比例函数表 示。同样地，加速度和时间的关系也可以用正比例函数表示 。此外，在经济学、统计学等领域中也有许多应用场景，如 收入与工作时间的关系等。
k值变化时
当k的值产生变化时，图像的斜率也 会相应变化，但始终保持垂直于x轴 。
03 正比例函数图像的性质
函数的单调性
单调递增
当比例系数大于0时，随着x的增大 ，y的值也增大。
单调递减
当比例系数小于0时，随着x的增大，y 的值减小。
函数的对称性
关于原点对称
正比例函数的图像总是经过原点，并且关于原点对称。
正比例函数的基本性质
总结词
正比例函数具有一些基本性质，包括斜率固定、过原点、y 随 x 增大而增大或 减小等。
详细描写
正比例函数的斜率为 k，即当 x 增加时，y 会以 k 的比例增加或减少。如果 k>0，则函数图像为增函数；如果 k<0，则函数图像为减函数。由于图像过原 点，因此当 x=0 时，y=0。
解决代数问题
正比例函数是线性函数的一种特殊情势，通过正比例函数图像可以直观地表示函数的增减性、交点等性质，有助 于解决代数方程、不等式等问题。
在物理中的应用
描写光强与距离的关系
在光学中，光强与光源的距离成正比。通过正比例函数图像，可以表示光强与距离之间的关系，进而 分析光学现象。
描写声音强度与距离的关系
续的学习打下坚实的基础。
提高练习题
总结词：深化理解
详细描写：提高练习题是在学生掌握正比例函数的基本概念后，进一步深化对正 比例函数的理解。这些练习题将涉及更复杂的函数情势、参数变化对函数图像的 影响等内容，有助于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
(完整版)正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
§14.2.1 正比例函数.ppt
（5）ykx(k为常数) (6y)2x5
2021/2/7
练习
2、已知函数 y(m1)x是正比例函数，求m的取值范围。
3、已知函数 y 5xm1是正比例函数，求m的值。
4、若 y(m2)xm23是正比例函数，m= -2 。
2021/2/7
你能举出几个具体的正比 例函数的解析式吗？
2021/2/7
画出下列正比例函数的图象
☆函数 y 1 x 的图象从左向右 下降 ，经过第 二、四 象 限2，021y/2随/7 x的增2大而 减小 。
y=3x y=2x 8
6
y=x
4 2
y=- x
y= - 3x 8
6 4 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-2
-2
-4
y 1x
-6
（1）y=2x （2）y=－2x
画图步 骤：
１、列表； ２、描点； ３、连线。
2021/2/7
走组互助：比较两个函数图象的相同点与不同点
y 2 x y 2x
k＞0
k＜0
两图象都是经过原点的 直线 ，
函数y=2x的图象从左向右 上升-2x的图象从左向右 下降 ，经过第
正比例函数
边城高级中学 张秀洲
1、理解正比例函数的概念， 2、能在用描点法画正比例函数图象并发现正比例函数图象性质 4、能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图像 4、能够利用正比例函数解决简单的数学问题
函数的定义：一般的，在一个变化过程中有两个变量x与y，并 且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那 么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2021/2/7
数学：14.2《正比例函数》(第1课时)课件(人教新课标八年级上)
３．两个图象的共同点：都是经过原 点的直线． 不同点：函数y=2x的图象从左向 右呈上升状态，即随着x的增大y也增 大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y反而减小； 经过第二、四象 限．
练习： 在同一坐标系中，画出下列函数的 图象，并对它们进行比较． １．y=x ２．y=-x
x
1 y=0 。5 2 1 2
-6 -4 -2 0 2 4
x
6 3
-3 -2 -1 0 1 2
y= -0。 5X
3
2
1
0 -1 -2 -3
y=
总结归纳正比例函数解析式与图象特征 之间的规律： 正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的 图象是一条经过原点的直线． 当x>0时， 图象经过三、一象限，从左向右上升， 即随x的增大y也增大；当k<0时， 图象 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y反而减小． 正是由于正比例函数y=kx（k是常数， k≠0）的图象是一条直线， 我们可以称
14．2．1 正比例函数
问题: 一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕 鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人 们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它． １．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞 行多少千米（精确到10千米）？ ２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时 间x（天）之间有什么关系？ ３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是 多少千米？
正比例函数的概念 一般地， 形如y=• kx• （k• 是常数， k ≠0 ）的函数， 叫做正比例函数 （proportional func-tion），其中k 叫做比例系数．
二。正比例函数的图象的性质及特 点 画出下列正比例函数的图象， 并进行比较，寻找两个函数图象的 相同点与不同点，考虑两个函数的 变化规律． １．y=2x ２．y=-2x
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(2)如果函数 y= - kx 的图象在三,一象 限,那么y = kx 的图象经过 二,四象限。 (3)如果 y (1 m)xm22 是正比例函数, 且y随x的增大而减小,那么m= 3 。
2:根据下列图象,写出函数关系式:
y
3
0
x
2
y 6 x 3
1、正比例的解析式是什么？
y=kx（k≠0）
2、已知y与x成正比例，且当x =-1时， y =-2，求y与x之间的函数关系式。
y=2x
例1:画正比例函数 y=2x 的图象
画图步骤： １、列表； ２、描点； ３、连线。
y=2x 的图象为： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
y 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
y=2x
1 2 3 4 5x
y=-2x
正比例
函数y= kx (k≠0) 的图 象是经过 原点(0,0)点 和(1,k)点 的一条直 线。
例2:画函数 y= x 的图象
画函数 y 1 x 的图象
2
解:选取两点(0,0) ,(1,1) 图象为
小结
一般地，正比例函数y=kx（k是常数， k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我 们称它为直线y=kx。当k＞0时，直线 y=kx经过第三、一象限，从左向右上升， 即随x的增大y也增大；当k＜0时，直线 y=kx经过第二、四象限，从左向右下降， 即随着x的增大y反而减少。
练习:1、填空 (1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图象是
②当k＞0时，从左向右上升，即随x的增大 y而增大；
当k＜0时，从左向右下降，即随着x的增大 y而减少。
③当 |k| 越大时，图象越靠近y轴
y
y 3x
y x
y 1 x 3
1
01
y 2x yx
y1x 3
x
当 |k| 越大时，图象越靠近y轴
小结 正比例函数
解析式： y=kx（k是常数，k≠0） 图象：一条经过原点和(1,k)的直线
性质：①当k＞0时，直线y=kx经过第三、一象限； 当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，
y
5
y1x 2
4 3
yx
2
1
●
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
●
-2
-3 -4
-5
y
性质
y=x
1
01
x
y
y= -x
1
01
x
y
1
01
xy
y1x 3
x
y 1 x 3
y
1
01
xy
x
当k>0时,图象(除原点外)在一,三象限; x增大时,y的值也增大 当k<0时,图象(除原点外)在二,四象限; x增大时,y的值反而减小
y 5
y=2x
4
3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3 -4
-5
练习:画出正比例函数y=-2x的图象？y 5y2x4比较两个
3
函数图象
2 1
的相同点。
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4
-5
1 2 3 4 5x
y=-2x
练习:画出正比例函数y=-2x的图象？