2019届广东省六校联考高三第一次联考理科数学试题(word版)

广东省2019届高三六校第一次联考试题

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）

A. B. C. D.

【答案】C

3.记为等差数列的前项和，若，，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

5.已知直线l的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且都垂直于x轴（其中分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

【答案】D

6.在△中，为的中点，点满足，则

A. B.

C. D.

【答案】A

7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）

A. B. C. D.

【答案】C

8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有

成立，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，

则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.

【答案】D

12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常

数），，则的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．

【答案】25

14.若，则的展开式中常数项为______________．

【答案】240

15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则

的值为______________．

【答案】

16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．【答案】(-1,3)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）若，，求△的面积．

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理和正弦定理的边化角，化简已知等式；再根据两角和的正弦公式、诱导公式和三角形内角和定理，化简即可求出结果.

（2）根据同角三角关系，确定和，利用两角和的正弦公式、三角形内角和定理和诱导公式，确定

；再利用正弦定理确定，进而由即可求得答案.

【详解】解：（1）因为，由余弦定理，得

，所以，

由正弦定理，得，

又，，

所以，，

所以．

（2）由，，得，，

所以，

由正弦定理，得

，

所以△的面积为．

【点睛】三角形中角的求值问题，需要结合已知条件选取正、余弦定理，灵活转化边和角之间的关系，达到解决问题的目的．其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；

第三步：求结果，即根据已知条件计算并判定结果.

18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．

【答案】(1)见解析（2）

【解析】

试题分析：⑴证明：在图甲中，易知,从而在图乙中有，

因为平面，平面，所以平面

⑵解法1、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，

由于平面，则，

所以平面，则，

所以平面与平面所成二面角的平面角，

图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，，；又由，得，

于是，，

在中，，即所求二面角的余弦值为．

解法2、

如图,在图乙中作，垂足为，连接，由于平面，则，

所以平面，则，图甲中有，又，则三点共线，

设的中点为，则，易证，所以，则；

又由，得，

于是，，

在中，

作交于点，则，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则、、、，则

显然，是平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，则，即，不防取，则

，

设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角，所以，

，所以，

平面与平面, 所成二面角的余弦值为．

考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于

中档题．

19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：

2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：

（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；

（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：

（同一组数据用该区间的中点值作代表）

2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．

该企业现有两种购置方案：