第九章 线性代数

定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作
A 或A, 简称为数乘. 即
A

A


a11
a21

am1
a12
a22

am2

a1n
a2n

.
amn
注意： A 与 | A | 不同！
数乘矩阵具有以下运算律(设A，B都是m×n矩阵，k，l是任意 常数)：
【例1】解方程组
x1+2x2+x3=2
-2x1+ x2-x3=-1
x1+3x2-x3=-2. 【解】方程组的系数行列式为 D=1 2 1
-2 1 -1
1 3 -1 =-11≠0,
又计算得 D1=2 2 1
-1 1 -1
-2 3 -1 =5， D2=1 2 1
-2 -1 -1
1 -2 -1 =-2，
A


a11 a21
am1
a12 a22
am 2

a1n a2n
amn

简记为: A = Amn = ( aij )mn = ( aij ).
这mn个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素.
横的各排称为矩阵的行，纵的各排称为矩阵 的列，aij称为此矩阵的第i行第j列的元素.通常用 大写黑体字母A，B，C等表示矩阵，有时为了标 明一个矩阵的行数和列数，用Am×n或 A=(aij)m×n表示一个m行n列的矩阵.其中有以下7 种特例：
12
1
2
3
= 12
4 2
6 3

例3: 求AB, 其中
A



1 1 0
0 1 5
1 3
1
402,
B



0 1 3 1
3 2 1 2
4111.
C

AB



1 1 0
0 1 5
1 3
1
402

-A=-a11-a12…-a1n
-a21-a22…-a2n
…………
-am1-am2…-amn
定义6设A=(aij)，B=(bij)，且A，B为同型矩阵，则 A-B=A+(-B)=a11a12…a1n a21a22…a2n am1am2…amn+ -b11-b12…-b1n -b21-b22…-b2n ………… -bm1-bm2…-bmn =a11-b11a12-b12…a1n-b1n a21-b21a22-b22…a2n-b2n ………… am1-bm1am2-bm2…amn-bmn

a11
a21
am1
a12
a22 am2
a1n a2n amn
b1
b2

bm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义: 由mn个数 aij ( i =1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n ) 排成的 m 行 n 列的数表:
称为m行n列的矩阵. 简称 mn 矩阵. 记作
(1)结合律: (AB)C = A(BC); (2)分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA;
(3) (AB) = (A)B = A(B), 其中为数;
注意: （1）矩阵乘法一般不满足交换律, 即: AB BA， 因此要注意矩阵相乘的次序.
(a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1 如果未知量x1，x2的系数a11a22-a12a21≠0，那么，这个线性
方程组(9-1)有唯一解： x1=a22b1-a12b2a11a22-a12a21， x2=a11b2-a21b1a11a22-
a12a21 为了便于使用与记忆，我们引进二阶行列式的概念.
D3=1 2 2
-2 1 -1
1 3 -2 =-23, 所以方程组的解是 x1=D1/D=-5/11， x2=D2/D=2/11， x3=D3/D=23/11.
显然，对于未知数个数等于方程个数的二元、三元线 性方程组，当它们的系数行列式不等于零时，利用行列式 这一工具求解十分简便，结果也容易记忆.因此我们想到： 对于未知数的个数等于方程的个数的n(n>3)元线性方程组 ，是否也有类似的结果?这就需要引入n(n>3)阶行列式的定 义.
定义 在n阶行列式D中,划去元素aij所在第i行、第j列的元
素，剩余元素按原顺序组成的一个n-1阶行列式，称为aij 的余子式，记为Mij.在Mij前乘上（-1）i+j,称为aij的代数 余子式，记为Aij=(-1)i+jMij.
定理行列式D等于它的任意一行（列）所有元素与其对应代 数余子式的乘积之和.设D的第i行元素ai1,ai2,…,ain对应的 代数余子式分别是Ai1，Ai2，…，Ain,则
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=∑nk=1aikAik.(i=1,2,…,n).(9-6)
(9-6）式称为行列式D按第i行展开的展开式.若按第j列展开， 则展开式为
D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=∑nk=1akjAkj.(j=1,2,…,n).(9-7)
三、行列式的性质
(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2
同理，也可以从方程组(9-1)里消去x1而求得x2，这只要将方 程组(9-1)的第1、第2两个式子分别乘以-a21与a11，然后再 相加，得到
(a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1即
(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2
推论2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行 列式符号的外面.
推论3行列式中若有两行(列)元素成正比例，则此行列式为 零.
性质4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则D等 于下列两个行列式之和.
性质5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加 到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
（5） n阶矩阵中，主对角线（从左上角到右下角） 以外元素皆为零的方阵：
A=a1 0… 0
0 a2… 0
…………
0 0… an 称为n阶对角矩阵.
(6) 主对角线上元素皆为1的n阶对角矩阵： E= 1 0… 0
0 1… 0
…………
0 0… 1 称为n阶单位矩阵，简记为E或En.
(7) 主对角线下（上）方元素皆为零的矩阵： A=a11 a12 …a1n 0 a22 …a2n ………… 0 0 …ann
五、利用“三角化”计算行列式
计算行列式时，常用行列式的性质，把它转化为三角 形行列式来计算.例如，化为上三角形行列式的步骤是：
如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其他行交 换，使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘 以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外其 余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列 后余下的低一阶行列式；如此继续下去，直至使它成为上 三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列 式的值.
mn 矩阵, 其中
( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作 C=AB.
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
cij 是 A 中的第 i 行元素与 B 中第 j 列的对应元素
相乘再相加.
例1:
将D的行列互换就得到 DT
行列式DT称为行列式D的转置行列式. 性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT. 性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号. 交换i，j两行(列)记为ri rj(ci cj). 推论1若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零
. 证明互换D中相同的两行(列)，有D=-D，故D=0. 性质3用数k乘行列式的某一行(列)，等于用数k乘此行列式.
第9章 线性代数
第一节
行列式
第二节
矩阵及其运算
第三节 矩阵的秩和矩阵初等变换
第四节 高斯消元法和相容性定理 第五节 线性方程组解的结构
第一节 行列式
一、二阶和三阶行列式
在初等代数中，用加、减消元法求解一个二元一次方 程组
a11x1+a12x2=b1
a21x1+a22x2=b2 (9-1)的具体步骤是：先从方程组(9-1)里消去x2而求得x1， 这只要将方程组(9 1)的第1、第2两个式子分别乘以a22与 -a12，然后再相加，就得到
(1) 当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或（n阶方阵）；
(2) 当m=1时，矩阵A称为行矩阵，此时
A=(a11,a12,…,a1n)；
(3) 当n=1时，矩阵A称为列矩阵，此时 A=a11
a21
…
am1 (4) 当所有的aij=0(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)
时，称A为零矩阵，一般记为Om×n或O.
二、n阶行列式的定义
前面，我们首先定义了二阶行列式，并指出了三阶行 列式可通过转化为二阶行列式来计算.下面,按照这种思路 给出n阶行列式的一种归纳定义.
需要指出的是:当n=1,2,3时,可以利用上述规定求行列式的值, 但是当n＞3时,如何求解呢?为了寻求普遍有效的展开方法, 下面介绍行列式元素的余子式与代数余子式的概念.
C


2 1

4 2

22


2 3

4 6

22


16 8

?
32 16
22
例2:
1 2 3

123

1
3

2

2

3

1
= 10 = 10.
当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数 等同看待！
3
3 6 9

0 1 3 1
3 2 1 2
41 11


5 10
2
6 2 17
7 6
.
10
注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时, 两个矩阵才能相乘.
例如:

1 3 5
2 2 8
193
1 6
6 0
18 不存在.
矩阵乘法的运算规律
第二节 矩阵及其运算
一、矩阵的概念
矩阵这一概念亦如行列式一样，是从研究线 性方程组的问题中引出来的.不过行列式是从未知 数个数与方程个数相同这种特殊的线性方程组引 出的，而矩阵则是从线性方程组的一般形式引出 的，所以矩阵比行列式的应用广泛得多.线性方程 组的一般形式为：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 aam211xx11 aam222xx22aa2mnnxxnn bb2m
B=a11 0 …0 a21 a22 …0
………… an1 an2 …ann
称为上（下）三角矩阵.
定义2 若矩阵A和矩阵B的行数、列数分别相等，则称A，
B为同型矩阵.
定义3 若矩阵A=(aij)和矩阵B=(bij)为同型矩阵，并且对应
的元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称矩阵A与 矩阵B相等，记为A=B.
如果把线性方程组(9-1)中未知量x1，x2的系数按原来的位置写 成两行两列的数表，并用两根竖线加以标出，那么，便得到 一个二阶行列式，对此除引入字母D作为记号外，还规定：
D=a11 a12
a21 a22
=a11a22-a12a21
(9-2) 式(9-2)最右边的式子称为二阶行列式D的展开式. 于是，线性方程组(9-1)的解可以表示为x1=b1a12 b2 a22 a11 a12 a21 a22， x2=a11b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法 定义4设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n为同型矩阵，把矩阵A，B对应元素相加得到新
的矩阵C，则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为C=A+B ，即
C=A+B=a11a12…a1n
a21a22…a2n
这样就引进了矩阵的加法运算.由定义知，只有同型矩 阵才可以相加，不难验证，矩阵加法具有和实数加法相同 的性质. 矩阵的加法具有以下运算律(设A，B，C都是m×n矩阵)： (1)交换律:A+B=B+A; (2)结合律： A+(B+C)=(A+B)+C. 其特例为：O+A=A+O=A 定义5 设A=(aij)，则(-aij)称做A的负矩阵，记为-A，即
(1) 分配律： k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA; (2) 结合律： (kl)A=k(lA)=l(kA); (3) 0·A=O,1·A=A，(-1)A=-A. 3.矩阵的乘法
定义: 设A = ( aij )是一个 ms 矩阵, B = ( bij )是一个
sn 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积 C = ( cij )是一个