第九章 线性代数
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数
10.1 行列式
10.1.4 行列式的计算 （1）对二阶、三阶行列式按定义展开，直接计算． 【例10-1】 计算三阶行列式
例
解
（2）对特殊的行列式，如上（下）三角行列式，其值为主对角线元素的乘积． （3）按照性质10.6，将行列式按某一行（或列）的展开式展开，把行列式转化为低一阶
的行列式，如此继续下去，直至降到三阶或二阶行列式，然后直接计算．
（10-6）
10.1 行列式
10.1.2 n阶行列式 1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将三阶行列式转化为二阶行列式来计算，一般地， 可用递归法来定义n阶行列式. 定义10.1 将n2个数排列成n行n列，并在左、右两边各加一竖线的算式，即
称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所得到的数.
当n=2时， 当n>2时，
其中数aij称为第i行第j列的元素，Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式;Mij为由Dn划去第i
行和第j列后余下的元素构成的n-1阶行列式，
10.1 行列式
Mij称为aij的余子式.
2. 几种特殊的n阶行列式 （1）对角行列式：只有在对角线上有非零元素的行列 式. （10-7） （2）下（上）三角行列式：主对角线以上 （下）的元素都为零的行列式.
例
其中cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j（i=1,2,3,4;j=1,2）,即矩阵C中第i行第j列的元素等于矩阵A 中第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和.这就是矩阵的乘法.
10.2 矩阵的概念及运算
定义10.8 设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,则矩阵C=(cij)m×n称为矩阵A左乘B的乘积,其中 记作C=AB=（cij）m×n 该定义说明,只有当第一个矩阵A（左矩阵）的列数等于第二个矩阵B（右矩阵）的行数时, 乘积AB才有意义;A与B的乘积C中第i行第j列的元素等于矩阵A中第i行元素与矩阵B的第j列 对应元素的乘积之和;并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数,矩阵C的列数等于矩阵B的列数.
线性代数 课件ppt
例6：
a11 A a21
a12 a22
a13
1
a23 , E 0
0 1
0 0 ,
求AE和EA.
a31 a32 a33
0 0 1
解：
a11
AE a21
a31
a12 a22 a32
a13 1 a23 0 a33 0
0 1 0
0 0
a11 a21
1 a31
a12 a22 a32
a13 a23 A; a33
1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13 EA 0 1 0 a21 a22 a23 a21 a22 a23 A.
0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33
单位矩阵E在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似．
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为m行n列矩阵，简称mXn矩阵。记作
主对角线
a11 a12
A
a21
a22
副对角线 am1 am2
a1n
a2n
amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2n xn
b1
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
所以方程组可以用矩阵的乘法来表示．方程组中 系数组成的矩阵A称为系数矩阵，
方程组中系数与常数组成的矩阵
a11 a21
线性代数-拉普拉斯变换
上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了 重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它 仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号 分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东 西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们 针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这 些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的 刻画能力；其二是扩大它本身的适用范围．本章介 绍的是后面这种情况．
在s某一域内收敛，则称 F (s) f (t)estdt 为函数f (t)的拉普拉斯变换式， 0 记为：F (s) L[ f (t)]. F(s)称为函数f (t)的拉氏变换，f (t)称为函数F(s)的拉氏逆变换， 记为：f (t) L1[F (s)]. 函数f (t)，(t 0)的拉氏变换 就是 f (t)u(t)et，( 0)的傅氏变换.
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
(2)L[sgn t]
(sgn
t )e st dt
0
estdt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s)
0
即：L[sgn t] 1 , Re(s) 0； s
(3)L[1]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[1] 1 , Re(s) 0. s
2024/3/3
3
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1 的拉氏变换.
t t
0，符号函数 sgn 0
t
1,
0,
1,
t0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt
0
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
线性代数知识点全面总结PPT课件
量 组 的
维 向 量 线性相关
判定 概念 判定
充要条件
线
概念
充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件 充分条件
关 性
概念
向
极大无关组 求法
量
概念
空
向量空间的基
间
线 Ax = b
解
有解判定R(A)≠R(B)无解 的
性 方 程 组
初行变换等阶梯形
R(A)=R(B)有解 结
构
R(A)=n仅有零解 基
Ax = 0
2、矩阵的乘法
(1)(AB)C = A ( BC ) ;
(2) A ( B + C ) =
(3) (kA)(lB) = (kl)AB;
(4) AO =OA = O.
3、矩阵的转置
(1)(AT)T = A; (3)(kA)T =kAT;
(2) (A+B)T = AT+BT; (4) (AB)T = BTAT.
A
A12
A22
An1
An2
A1n A2n
Ann
概 如果AB=BA=E,则A可逆， 念 B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩求
用伴随矩阵 A1 1 A
A
阵
法
分块对 A
角矩阵
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
|A| ≠ 0 , A
证 法
可|A逆| =.0 , A不可 逆AB .= E , A与B互逆.
总 有 解R(A)<n有非零解
A+B = ( aij + biAj与) B同型
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是一门研究向量、向量空间、线性变换以及有限维线性方程组的数学分支。
它广泛应用于各个领域，如物理、计算机科学、工程学等。
线性代数的核心概念和工具包括行列式、矩阵、向量组以及线性方程组等。
下面将详细介绍线性代数的相关知识点。
一、行列式1.1 行列式的概念：行列式是一个函数，它从n×n阶方阵到实数（或复数）的映射。
行列式记作|A|，其中A是一个n×n的方阵。
1.2 逆序数：在n×n阶方阵A中，将行列式中元素a_ij与a_ji互换，所得到的新的行列式称为原行列式的逆序数。
1.3 余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij删去，剩下的(n-1)×(n-1)阶方阵的行列式称为原行列式的余子式，记作M_ij。
1.4 代数余子式：在n×n阶方阵A中，将第i行第j列的元素a_ij替换为它的相反数，然后计算得到的新的行列式，称为原行列式的代数余子式，记作A_ij。
1.5 行列式的性质：行列式具有以下性质：（1）交换行列式中任意两个元素的位置，行列式的值变号。
（2）行列式中某一行（列）的元素乘以常数k，行列式的值也乘以k。
（3）行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相加，行列式的值不变。
（4）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的元素相减，行列式的值变号。
1.6 行列式的计算方法：行列式的计算方法有：降阶法、按行（列）展开法、克拉默法则等。
二、矩阵2.1 矩阵的概念：矩阵是一个由数组元素构成的矩形阵列，矩阵中的元素称为矩阵的项。
矩阵记作A，其中A是一个m×n的矩阵，A_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2.2 矩阵的线性运算：矩阵的线性运算包括加法、减法、数乘等。
2.3 矩阵的乘法：两个矩阵A和B的乘法，记作A×B，要求A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵。
矩阵的乘法满足交换律、结合律和分配律。
第九章 线性代数 9-6
例2 (数字加密)在计算机中,每个汉字都可以用唯一的 一个二进制数码表示,称为二进制码,这样的编码很难 记忆,因而在日常生活中不常用.比如,用一本新华字典 就可以对汉字进行编码,每个汉字在新华字典的页码 以及它是这一页的第几个字就可以表示这个汉字了. 如果字典有99页,每页有99个字,那么每个汉字都可以
用4位数码表示.前两位是页码(不足两位前面补0),后两 位是所在位置(不足两位前面补0).如,啊是字典中第一 页中的第一个字,编码为0101. 如果把字典看成99×99的矩阵,则矩阵的每个元素都是 汉字,而其所在的行和列构成了它的编码. 如果甲乙俩人手中各有一本这样的字典,那么他们就可
以用数码通讯了.例如,甲把一串数码”803312049834”
设汉字的编码为x1 x2 x3 x4,A是一个4×4的可逆矩阵,计算
y1 x1
y2
A
x2
y3 x3
y4
x4
y1
甲把y1
y2
y3
y4
发给乙,乙计算
A1
y2 y3
得到x1
x2
x3
x4.
y4
例如，
0 0 1 0 A 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0
对x1 x2 x3 x4加密得到x3 x4 x1 x2 .
例3(交通网络流量分析)某城市单行线如图所示,数字表 示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位辆), 假设每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. (1)试建立道路流量的线性方程组； (2)当x4=200时,单行线应该如何改动才合理.
2 500
当x4=200时,
x1 100
x2
400
x3 100
由于x3<0,说明 此时单向行驶不合理,应把路口4到路口
线性代数ppt课件
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4（第7页例5） 证明对角行列式
1 2
12 n;
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
1 2
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
n
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2，，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
说明 1、行列式是一种特定的算式;
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
4、 a1 p1a2 p2 anpn 的符号为 1t .
5、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
（补充例题）例1 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
线性代数(简明版)
线性代数（简明版）线性代数简明版线性代数是数学中的一个分支，研究的是线性方程组、矩阵及其运算以及向量空间等结构和性质。
它是数学的一门基础学科，被广泛应用于科学和工程领域。
向量和向量空间线性代数的基本对象是向量，向量可以看作是一组有序数值的集合。
向量的加法可以用几何意义来理解，即将两个向量首尾相接形成一个新的向量。
例如下图中的 a 和 b 向量相加，得到的就是 c 向量。
向量的数乘是指将向量的每个分量乘以一个标量。
这个标量可以是任意实数或复数。
例如，3a 就是把向量 a 的长度扩大了 3 倍。
向量空间是指有限个向量构成的集合，这些向量必须满足以下几个性质：1. 集合中的任意两个元素都可以进行加法。
2. 加法满足交换律、结合律和存在一个零向量的性质。
3. 集合中的任意一个向量都可以进行数乘。
4. 数乘满足分配律和结合律。
线性方程组和矩阵线性方程组是一组线性方程的集合，其中所有未知量的指数都为 1。
例如，下面的一组方程就是线性方程组。
x + 2y = 33x - 4y = 5线性方程组可以用矩阵表示，如下所示。
其中，左边的矩阵 A 就是系数矩阵，右边的矩阵 b 就是常数矩阵。
线性方程组的解就是向量 x，满足 Ax=b。
矩阵是一个有限的二维数组，它可以表示一组数值或者矢量。
例如，下面的矩阵就是一个 2 行 3 列的矩阵。
矩阵的加法和数乘也可以与向量类似地定义。
两个矩阵相加就是将对应元素相加形成一个新的矩阵；矩阵与一个标量相乘，就是将矩阵的每个元素分别乘以该标量。
矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，通常表示为 A × B。
其中，A 必须是一个 m 行 n 列的矩阵，B 必须是一个 n 行 p列的矩阵。
线性代数课件(完整版)同济大学
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
aa
11
12
0 D
a22
a 1n
a
2n
a a11 22 ann
0 0a nn
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
0 0 0 a14
p1 p2 L pn
线性代数行列式的概念和性质
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
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1 3
例
设
A
2
4
3 7
a11 解 det A
an1
7 3 , 计算 det A 的值. 2
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个代数余子
式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
cnk bn1
bnn
a1k
b11
, D2 det(bij )
akk
bn1
b1n ,
bnn
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内容总结
线性代数课件行列式的概念和性质。对 n = 2, 3,。项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.。个不同项的代数和，其中的每一项都是处于行 列式不同行又不同列的n 个元之乘积.。说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.。性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式的值不变．
AC
det U
det A det B
OB
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A =-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数ppt
问题：
向量组的秩
对于一般的n维向量组，是否能从中选出 线性无关的部分向量组，使得其余向量 可由这部分向量组线性表出？
一、向量组等价 定义1. 给定两个向量组
A : 1,2 ,,s
B : 1, 2 ,, t
如果 B中的每个向量 i (i 1, 2,, t ) 都可由向量组 A 线性表示，即存在 k1i ,, ksi，使得
是两个等价的线性无关的向量组， 由推论1知 r s且s r.
所以r s.
推论3 在一个向量组中，它的任意两个最大无关 组所含向量个数相同. 证 因向量组与它的最大无关组等价，由等价的传 递性，向量组的任意两个最大无关组等价。 由推论2，向量组的任意两个最大无关组所含
向量个数相同.
推论3 表明，向量组的极大无关组所含向量个数与 极大无关组的选择无关，是由向量组本身所确定的。
A 的一个极大无关组 A1 , B 的一个极大无关组B1
显然 A 与 A1 等价， B 与 B1 等价.而 A 与 B 等价，
由等价的传递性： A1 与 B1 等价，再由推论2知：
A1 与 B1 所含向量个数相同，即向量组 A 与向量组
B 的秩相同.
命题3： 若一个向量组的秩r>0,则向量组中任意r 个线性无关的向量都是其极大无关组. 证 设1 ,, m的秩为r , 且i1 ,, ir为一组线性无关的
由假设，
（2）传递性：若向量组B可由向量组A线性表出, C 可由向量组B 线性表出，则C可由A线性表出。 设A {1,,s }, B {1,, t }, C { 1,, p }.
1 j k1i i (1 ,, s ) , i 1,, t且 j ( 1 ,, t ) , j 1,, p. k si tj 于是
线性代数_课件精华版
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
n
0 0 12 ...n ...
1 2 ... ( n 2) ( n 1) n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入
的，但在线性代数和其它数学领域以及工
程技术中，行列式是一个很重要的工具。
本章主要介绍行列式的定义、性质及其计
算方法。
§1.1 二阶、三阶行列式， 全排列及其逆序数 §1.2 n 阶行列式的定义
§1.3 行列式的性质（1）
§1.4 行列式性质（2） §1.5 克莱姆法则
a b a1...al ab1...bm
把上述对换分解成为： (1)a1...al bb1...bm (2)a1...al bab1...bm (3)a1...al ab1...bm 把 (1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相
同时，就称这两个元素构成了一个逆序。
3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为 这个排列的逆序数。 4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为 奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
5.计算排列逆序数的方法：
不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规
定由小到大为标准次序。设 p1 p2 …pn为这 n 个
列有相同的奇偶性。
四、行列式的等价定义
a11 a21 D ... an1 a12 a22 ... an 2 ... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
(q1q2 L qn )
(完整word版)线性代数
1线性方程组1. 三种行初等变换倍加变换（某一行的倍数加到另一行）对换变换（两行交换)倍乘变换（某一行所有元素乘以同一个非零数)2. 行等价一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。
行变换可逆。
3。
若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。
4. 简化行阶梯矩阵a）非零行的先导元素为0b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。
5。
对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。
6。
向量的平行四边形法则若R2中的向量u，v用平面上的点表示,则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。
[思考:即使u，v不是R2而是R3甚至R n中的向量，上述结论是否仍然成立?]7。
向量方程x1a1+x2a2+。
.。
+x n a n=b和增广矩阵如下的线性方程组[a1a2.。
. a n b]和矩阵方程Ax=b有相同的解集。
8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。
9。
设A为mxn矩阵，以下命题等价：a) 对R m中每个b，Ax=b有解b) R m中的每个b都是A的列的一个线性组合c) A的各列生成R m（R m= Span{A各列｝）d) A在每一行都有一个主元位置(注意是A的每一行，＊不*是A的增广矩阵的每一行）10。
方程Ax=0有非平凡解的条件：至少有一个自由变量。
11. 如果非齐次方程有多个解，其解可表示为一个向量（这个向量也是非齐次方程的特解）加上相应的齐次方程的解。
或者说：非齐次方程解＝该方程特解＋对应的齐次方程的通解12. 若一组向量v1，v2，。
..，v n组成的向量方程x1v1+x2v2+.。
+x n v n= 0仅有平凡解，则这些向量线性无关；否则这些向量线性相关。
同样，仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解,A的各列线性无关。
13. 单个的零向量线性相关，因为0x=0有非平凡解；同理,单个的非零向量线性无关.含有零向量的向量组必定线性相关。
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定义 在n阶行列式D中,划去元素aij所在第i行、第j列的元
素，剩余元素按原顺序组成的一个n-1阶行列式，称为aij 的余子式，记为Mij.在Mij前乘上（-1）i+j,称为aij的代数 余子式，记为Aij=(-1)i+jMij.
定理行列式D等于它的任意一行（列）所有元素与其对应代 数余子式的乘积之和.设D的第i行元素ai1,ai2,…,ain对应的 代数余子式分别是Ai1，Ai2，…，Ain,则
mn 矩阵, 其中
( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作 C=AB.
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
cij 是 A 中的第 i 行元素与 B 中第 j 列的对应元素
相乘再相加.
例1:
C
2 1
4 2
22
2 3
4 6
22
16 8
?
32 16
22
例2:
1 2 3
123
1
3
2
2
3
1
= 10 = 10.
当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数 等同看待！
3
3 6 9
-A=-a11-a12…-a1n
-a21-a22…-a2n
…………
-am1-am2…-amn
定义6设A=(aij)，B=(bij)，且A，B为同型矩阵，则 A-B=A+(-B)=a11a12…a1n a21a22…a2n am1am2…amn+ -b11-b12…-b1n -b21-b22…-b2nபைடு நூலகம்………… -bm1-bm2…-bmn =a11-b11a12-b12…a1n-b1n a21-b21a22-b22…a2n-b2n ………… am1-bm1am2-bm2…amn-bmn
（5） n阶矩阵中，主对角线（从左上角到右下角） 以外元素皆为零的方阵：
A=a1 0… 0
0 a2… 0
…………
0 0… an 称为n阶对角矩阵.
(6) 主对角线上元素皆为1的n阶对角矩阵： E= 1 0… 0
0 1… 0
…………
0 0… 1 称为n阶单位矩阵，简记为E或En.
(7) 主对角线下（上）方元素皆为零的矩阵： A=a11 a12 …a1n 0 a22 …a2n ………… 0 0 …ann
(1)结合律: (AB)C = A(BC); (2)分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA;
(3) (AB) = (A)B = A(B), 其中为数;
注意: （1）矩阵乘法一般不满足交换律, 即: AB BA， 因此要注意矩阵相乘的次序.
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法 定义4设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n为同型矩阵，把矩阵A，B对应元素相加得到新
的矩阵C，则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的和，记为C=A+B ，即
C=A+B=a11a12…a1n
a21a22…a2n
这样就引进了矩阵的加法运算.由定义知，只有同型矩 阵才可以相加，不难验证，矩阵加法具有和实数加法相同 的性质. 矩阵的加法具有以下运算律(设A，B，C都是m×n矩阵)： (1)交换律:A+B=B+A; (2)结合律： A+(B+C)=(A+B)+C. 其特例为：O+A=A+O=A 定义5 设A=(aij)，则(-aij)称做A的负矩阵，记为-A，即
二、n阶行列式的定义
前面，我们首先定义了二阶行列式，并指出了三阶行 列式可通过转化为二阶行列式来计算.下面,按照这种思路 给出n阶行列式的一种归纳定义.
需要指出的是:当n=1,2,3时,可以利用上述规定求行列式的值, 但是当n＞3时,如何求解呢?为了寻求普遍有效的展开方法, 下面介绍行列式元素的余子式与代数余子式的概念.
如果把线性方程组(9-1)中未知量x1，x2的系数按原来的位置写 成两行两列的数表，并用两根竖线加以标出，那么，便得到 一个二阶行列式，对此除引入字母D作为记号外，还规定：
D=a11 a12
a21 a22
=a11a22-a12a21
(9-2) 式(9-2)最右边的式子称为二阶行列式D的展开式. 于是，线性方程组(9-1)的解可以表示为x1=b1a12 b2 a22 a11 a12 a21 a22， x2=a11b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
B=a11 0 …0 a21 a22 …0
………… an1 an2 …ann
称为上（下）三角矩阵.
定义2 若矩阵A和矩阵B的行数、列数分别相等，则称A，
B为同型矩阵.
定义3 若矩阵A=(aij)和矩阵B=(bij)为同型矩阵，并且对应
的元素相等，即aij=bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则称矩阵A与 矩阵B相等，记为A=B.
(1) 当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或（n阶方阵）；
(2) 当m=1时，矩阵A称为行矩阵，此时
A=(a11,a12,…,a1n)；
(3) 当n=1时，矩阵A称为列矩阵，此时 A=a11
a21
…
am1 (4) 当所有的aij=0(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)
时，称A为零矩阵，一般记为Om×n或O.
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作
A 或A, 简称为数乘. 即
A
A
a11
a21
am1
a12
a22
am2
a1n
a2n
.
amn
注意： A 与 | A | 不同！
数乘矩阵具有以下运算律(设A，B都是m×n矩阵，k，l是任意 常数)：
(1) 分配律： k(A+B)=kA+kB，(k+l)A=kA+lA; (2) 结合律： (kl)A=k(lA)=l(kA); (3) 0·A=O,1·A=A，(-1)A=-A. 3.矩阵的乘法
定义: 设A = ( aij )是一个 ms 矩阵, B = ( bij )是一个
sn 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积 C = ( cij )是一个
第二节 矩阵及其运算
一、矩阵的概念
矩阵这一概念亦如行列式一样，是从研究线 性方程组的问题中引出来的.不过行列式是从未知 数个数与方程个数相同这种特殊的线性方程组引 出的，而矩阵则是从线性方程组的一般形式引出 的，所以矩阵比行列式的应用广泛得多.线性方程 组的一般形式为：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 aam211xx11 aam222xx22aa2mnnxxnn bb2m
a11
a21
am1
a12
a22 am2
a1n a2n amn
b1
b2
bm
定义: 由mn个数 aij ( i =1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n ) 排成的 m 行 n 列的数表:
称为m行n列的矩阵. 简称 mn 矩阵. 记作
将D的行列互换就得到 DT
行列式DT称为行列式D的转置行列式. 性质1行列式与它的转置行列式相等，即D=DT. 性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号. 交换i，j两行(列)记为ri rj(ci cj). 推论1若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零
. 证明互换D中相同的两行(列)，有D=-D，故D=0. 性质3用数k乘行列式的某一行(列)，等于用数k乘此行列式.
(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2
同理，也可以从方程组(9-1)里消去x1而求得x2，这只要将方 程组(9-1)的第1、第2两个式子分别乘以-a21与a11，然后再 相加，得到
(a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1即
(a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2
12
1
2
3
= 12
4 2
6 3
例3: 求AB, 其中
A
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402,
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4111.
C
AB
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402
(a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1 如果未知量x1，x2的系数a11a22-a12a21≠0，那么，这个线性
方程组(9-1)有唯一解： x1=a22b1-a12b2a11a22-a12a21， x2=a11b2-a21b1a11a22-
a12a21 为了便于使用与记忆，我们引进二阶行列式的概念.
推论2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行 列式符号的外面.
推论3行列式中若有两行(列)元素成正比例，则此行列式为 零.
性质4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则D等 于下列两个行列式之和.
性质5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加 到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.
D3=1 2 2
-2 1 -1
1 3 -2 =-23, 所以方程组的解是 x1=D1/D=-5/11， x2=D2/D=2/11， x3=D3/D=23/11.