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泛函分析练习题

一•名词解释：

1.范数与线性赋范空间

2.无处稠密子集与第一纲集

3.紧集与相对紧集

4.开映射

5.共貌算子

6.内点、内部：

7.线性算子、线性范函：

8.自然嵌入算子

9.共貌算子

10.内积与内积空间：

11.弱有界集：

12.紧算子：

13.凸集

14.有界集

15.距离

16.可分

17.Cauchy 列

18.自反空间

二、定理叙述

1、压缩映射原理

2.共鸣定理

3.逆算子定理

4.闭图像定理

5.实空间上的Hahn-Banach延拓定理

6、Bai re纲定理

7、开映射定理

8、Riesz表现定理

三证明题：

1.若(x,p)是度量空间，则d = d也使X成为度量空间。

1 + Q

证明：Vx,y,zcX

显然有(1)d(x, y) > 0 ,日3,)，)= 0当且仅当x =

(2) d(x9y) = d(y,x)

(3)由/(/) = — = !一一， (/>0)关于，单调递增，得

1+，1+r

d(x, z) = PE < Q(x,.y)+Q(y,z)

' 1 + Q(x, z) 一1 + p(x, y) + Q(y, z)

匕Q（x，）'） | Q（）'，z）

一1 + Q（3）1+ /?（），, z）

= d（x,y） + d（y,z）

故』也是X上的度量。

2,设H是内积空间，天则当尤〃—尤,乂T y时"（七，月）t （寻），），即内积关于两变元连续。

证明：| （% X,）一（x, y） I2 =| （x/t - x, >; - y）\2<\\x n-x\\-\\y tt-y\\

己知即II七一尤II—0,|| 乂一>||—0。

故有I ，以）一（x, y）『—。

即Cw〃）T（x,y）。

5.设7x（r） = 若T是从心［0,1］-匕［0,1］的算子，计算||T||;若T是从

ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子再求1171。

解：（1）当T是从ZJ0,l］—匕［0,1］的算子。

取x&）=同,贝j］||x（）||2=1>||片）川=［后广出=*.

所以||T||>-^e

故有11『11=±・

（2）当T是从ZJ0,1］T ZJ0,1］的算子时

||八||2=（。誓⑴力度严=nxii2

Vn,(!--

取崩)=< n，贝MiiEly 插(J，,以)" = i。

0,0

n

1 — (1 - )5

11片,11广右(]温顿度=右[—]，/2

1—(1 -- )5]一(1 -- )5

又lim || Tx n ||2=limV^[ ------------ ]l/2 =lim[ ----------- ]IZ2 = 1

〃—8 8 5 〃T8 1

5•-

n

故有叮||=1.

6.若|| • ||是C[a,b]±的另一完备范数(原范数记为||・|L )，并且当||x z,-x|H0时必有IQ)-x(r)HO,(V/G ",b])，则||• ||与||• IL等价.

证明：定义r：(C"”],ll ll) — (C[Q/],l|・IL)，Tx = xyxeC[a.b].

因为(C[。,切,||・||)与(C[o/],|| • IL)完备，显然T是一一的到上的线性算子，故只须证明T是

连续算子.

V||x〃f ||T0,||7\riLT。

由己知\\x n一X||-> 0时，必有|Q)-xQ)|-» O,(Vre [a.b]).

II Tx n-y— 0,即%(，)一致收敛到y(z).由收敛的唯一性知x(t) = >

所以T为闭算子，又(C"/],|| • ||)与(CS,8],|| • IL)完备，由闭算子定理得,T是连续算子.

四论述题:

1、证明C[a y b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。

2、证明||x||= inaxx(r)为爪展]上范数，并论述证明范数的一般步骤。te[a.b]