第9章管内流体流动

量流量相等。
微元体的受力按Z轴正方向投影相加，则有：
rz
2
rdz
( rz
rz
r
dr)2
(r
dr)dz
p2
rdr
( p p dz)2 rdr g cos 2 rdrdz
z
管内层流流动
切应力方程：
(r rz
r
)
r
p z
g
cos
r
p z
其中： p p gz cos
对于Z方向充分发展的一维流动有： p const z
9.1.2 湍流基本特征
稳态层流： 速度不随时间变化，只随空间位置变化。 湍流： 流体质点在随主流流动过程中还有随机脉动.
在稳态湍流流场中，虽然速度u的瞬时变化无规律可循，但 瞬时速度的时间平均值 u是常量。 u u u
在非稳态湍流流场中，时均 速度u也随时间变化但这种变化
是因为非稳态流场中主体流动本身是随时间变化的，与随机 脉动无关。
充分发展的层流流动： u x 0
管内层流流动
圆管内的层流流动
r P0 z R
g
β
u
L
pl
p
rz
rz r
dr
u
rz
dr
gβ dz
r p p dz z
u
圆管内的层流流动分析
管内层流流动
输入微元体的动量流量： u2 2 rdr 输出微元体的动量流量： u2 2 rdr
注：对充分发展的 一维层流流动，输 入输出微元体的动
基本思想：湍流中流体微团的不规则运动与气体分子的 热运动相似，因此可借用分子运动论中建立粘性应力与 速度梯度之间关系的方法来研究湍流中雷诺应力与时均 速度之间的关系。
r0 R
1 k2 2ln(1/ k)
umax
R2
4
p L
1
1 k2 2ln(1/ k)
1
ln
1 k 2
2
ln(1/
k)
平均速度：
1
um z R2 (1 k 2 )
R kR
ug2
rdr
p L
R2
8
(1
k
2
)
1 k2 ln(1/ k)
体积流量：
qV
R2 (1 k 2 )um
p R4 L 8
切应力 分布方程：
rz
p L
r 2
C1 r
应用条件：圆管与圆形套管；牛 顿流体和非牛顿流体均适用。
rz
du dr
du p r C1
dr L 2 r
速度 分布方程：
u p r2
L 4
C1
ln
r
C2
应用条件：圆管与圆形套管； 牛顿流体均适用
管内层流流动
边界条件：
du 0,u 0
流体在管道中流动要克服管壁的摩擦阻力，因管壁摩擦阻力 产生的压降称为流动阻力损失，用hf表示。
hf
p
g
8 LqV R4g
λ
用平均速度表示：
hf
8 Lum R2 g
64 Dum
L um2 D 2g
阻力系数：
达西－怀斯巴赫公式：
（Darcy-Weisbach)
hf
L um2
D 2g
D 2R
阻力系数： 64
(1 k4 )
(1 k 2 )2
ln(1/
k)
应用条件：对于套管，层流流动的条件是雷诺数
Re um D(1 k) / 2000
9.3 湍流的半经验理论
9.3.1 湍流假说－－普朗特混合长度理论
雷诺应力：
流体作湍流流动时，流体层之间除了存在着由于流体粘性作用引起的 切应力外，还存在着由于湍流脉动引起的附加切应力，这种附加的切 应力称为湍流切应力或雷诺应力。
时均 速度 u为：
1 tt
u(x, y, z,t)
u(x, y, z,t)dt
t t
u
u
u
u
u
u
u
t 稳态层流流动
t 稳态湍流流动
t 非稳态湍流流动
湍流强度： I u2
相对湍流强度：
Ir
u2 u
9.2 圆管内充分发展层流流动
管内流动 管内流动包括圆管和圆形套管内的流动。
管内流动简化
不可压缩流体在圆管内作层流流动时，在距管道入口相 对远处，流体的速度分布将不再随流动距离发生变化，这种 流动称为充分发展的层流流动。
湍流流动时流体内部的切应力可表示为：
yx e yx yx T
有效切应力
粘性切应力
雷诺应力
将湍流瞬时速度代入N－S方程并作简化处理有：
yx T uv 其中： u, v 分别为x、y方向脉动速度
粘性切应力是由流体层间分子扩散产生动量横向传递引起的。
对牛顿流体：粘性应力可通过牛顿剪切定理与速度联系起来。
雷诺应力是由流体微团的脉动产生动量横向传递引起的。
雷诺应力因影响因素较多，目前只能通过假设将其与时均速度联系起来。
布辛聂斯克涡粘性假设：
流体作一维稳态湍流流动时，雷诺应力仿牛顿切应力可表示为：
yx
T
T
du dy
du dy
其中：μT为涡粘系数（湍流粘性系数）；
定义： T
ε为运动涡粘系数
普朗特混合长度理论(1952)
Re
套管内层流流动
圆形套管内的层流流动
微元体的选取及受力和圆管相同
切应力分布方程：
yx
p L
r 2
C1 r
kR r0
R
速度分布方程：
u
p L
r2 4
C1
ln
r
C2
z
r
圆形管套内的层流流动
边界条件： u 0,u 0
rkR
rR
将边界条件代入方程有：
套管内层流流动
C1
p L
R2 4
(1
um
1
z R2
R
ug2 rdr
p
R2
umax
0
L 8 2
层流平均速度等于管轴上最大流速的一半。
体积流量：
qV
R2um
R4 8
p L
哈根－泊谡叶方程(Hagen-Poiseuille)
阻力系数：
64 64 um D / Re
应用条件：
圆管； 牛顿流体； 层流流动。
管内层流流动
阻力损失：
dr r0
rR
切应力与速度分布：
将边界条件代入方程有：
rz
p L
r 2
应用条件：圆管； 牛顿流体；层流流 动。
u
R2 4
p L
1
r R
2
r zR
u
rz
圆管层流速度分布 和切应力分布
•速度为抛物线分布； •切应力为线性分布；
管内层流流动
最大速度：
umax
R2 4
p L
平均速度：
k2)
1 ln k
切应力与速度分布：
C2
p L
R2 4
1
(1
k2)
ln R ln k
rz
p L
R 2
r R
1k2 2ln(1/ k)
R r
u
R2
4
p L
1 Biblioteka r2R 1 k2 ln(1/ k)
ln
r R
套管内层流流动
最大速度： 对于套管内流动，在套管间某一半径r0处速度取得最大值。
雷诺实验 Reynolds (1883)
染料示踪剂
染料示踪 剂喷头
层流
水 阀门
过渡状态
湍流
流态判定：
流动从层流型态过渡到湍流型态的过程是一个流动失稳的过 程，称为流动型态的转换，其判定指标为雷诺数Re. （Re=ρuD/μ）
通常：
•Re<2300, 层流； •Re>4000, 湍流； •Re＝2300~4000, 过渡区，与流动环境有关