推理知识点及题型归纳总结

推理知识点及题型归纳总结

知识点精讲

1．合情推理

合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法．

(1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理．

(2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理．

2．演绎推理

演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理．特别是“三段论”推理，其模式为：

(1) 大前提——已知的一般结论． (2) 小前提——所研究的特殊情况． (3) 结论——根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：①若S ∈M ，则S 有性质P ；②检验，S '∈M ；

③故S '具有性质P ．

注 如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．

题型归纳及思路提示

题型1 归纳推理 思路提示

对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，好一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明．这里遵循的是由特殊到一般的推理原理．

例14.1 (2012湖北理13)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，23，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：

(1)4位回文数有＿＿＿＿个；

(2)2n ＋1(n N +∈)位回文数有＿＿＿个．

分析 本题可通过归纳推理，结合计数原理求解．

解析 解法一：由于本题是填空题，不需要严谨的推导过程，由此可以通过归纳推理获得结论．

通过分析回文数的特征，可知3位回文数与4位回文数的个数相同，9×101

个．因为1位回文数与2

位回文数的个数为9×100

个；

3位回文数与4位回文数的个数为9×101个，5位回文数与6位回文数的个数为9×102

个．

根据此规律，推测2n ＋1位回文数有9×10n

个． 解法二：利用排列组合求解． 从左右对称入手考虑．

(1)4位回文数第1，4位取相同且非零数有19C ＝9(种)不同的方法；第2，3位可取0，有1

10C ＝10(种)

不同的取法，即4位回文数有90个；

(2)由题意可知：首位与末位不能取0，故有9种方法，其余各位置关于中间数对称，每两数都有10

种方法，正中间数也有10种方法，故2n ＋1(n N +∈)位回文数有9×10n

个．

评注 本题实际上是通过归纳推理求解，即找规律． 变式1 观察下列各式： 55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011

的末四位数字为( )． A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125

变式2 n 个自然数按规律排成如图14－1所示的序列：

依次规律从2013→2015，箭头方向应为( )．

A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓

变式3 下面的倒三角形数阵满足如图14－2所示的排列．

图14－2

(1)第一行的n个数分别是1，3，5，…，2n－1；

(2)从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和；

(3)数阵共有n行，则第5行的第7个数是＿＿＿＿＿＿＿．

例14.2(2012江西理6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )．

A．28 B．76 C．123 D．199

解析从给出等式的特点可观察发现，等式左端的值，从第三项开始，后一项是前两项的和，照此规律，则有：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，

∴a10＋b10＝123．故选C．

评注本题也可通过演绎推理得出正确答案．

由a＋b＝1，a2＋b2＝3可知，2ab＝－2，即ab＝－1；

所以a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝112＋2＝123．

变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证明？

(1)2223

sin15sin75sin135

2

︒+︒+︒=，

2223

sin30sin90sin150

2

︒+︒+︒=，

2223

sin45sin105sin165

2

︒+︒+︒=，

2223

sin60sin120sin180

2

︒+︒+︒=．

(2)223

sin10sin10cos50sin50

4︒+︒︒+︒=，

223

sin15sin15cos45sin45

4︒+︒︒+︒=，

223

sin20sin20cos40sin40

4︒+︒︒+︒=，

223

sin25sin25cos35sin35

4︒+︒︒+︒=．

变式2 某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数： ①22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒； ②22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒； ③22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒； ④22sin (18)cos 48sin(18)cos 48-︒+︒--︒︒； ⑤22sin (25)cos 55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒．

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

例14.3 设函数()2

x

f x x =+(x ＞0)，观察： 1()()2

x

f x f x x ==

+， 21()(())34x

f x f f x x ==+， 32()(())78

x

f x f f x x ==

+， 43()(())1516

x

f x f f x x ==

+，

…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n N +∈且n ≥2时，1()(())n n f x f f x -=＝＿＿＿＿．

解析 由2，4，8，16，…得：2n ；1，3，5，7，15，…，即为21n -，所以()(21)2n n

n

x

f x x =

-+．

评注 在归纳猜想()n f x 的通项公式时，要认真分析每一项中的系数与对应的项数之间的关系． 变式1 0()cos f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()()n n f x f x n N +'=∈，则2015()f x ＝( )．

A ．sin x -

B ．cos x

C ．sin x

D ．cos x

变式2 已知数列{}n a 的第1项11a =，且11n

n n

a a a +=

+(n ＝1，2，…)，猜想a 2014＝＿＿＿＿＿． 例14.4 (2013湖北理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为

2(1)11

222n n n n +=+，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 N (n ，3)＝21122

n n +， 正方形数 N (n ，4)＝n 2

， 五边形数 N (n ，5)＝2312

2

n n -， 六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ，