得旋转曲面的方程

xyz

(4)
x1 y1 z1
若为准线上的任意一点，则过的母线方程为：
x x1 y y1 z z1
X
Y
Z
且：
F1(x1,y1, z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
例1 柱面的准线方程为
{x2 y2z21, 2x22 y2z22,
而母线的方向数是 1，01，求这柱面的方程.
解 设M1(x1, y1, z1)是准线上的点，那么M1(x1, y1, z1)的母线为
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与 二次曲面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
柱面
定义 在空间,由平行于定方向且与一定曲 线相交的一族平行直线所生成的曲面称为柱面
定方向叫做柱面
母线
的方向,定曲线叫
柱面的准线，那
族平行直线中的
每条直线都叫柱
面的母线.
观察柱面的形
准
成过程:
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
Байду номын сангаас
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
x2 (y 1)2 (z 1)2 14,

(10)
x 2y 2z 3 0.
再设(x1, y1, z1)为准线圆（10）上的点，那么过(x1, y1, z1)的母线为
x x1 y y1 z z1 1 2 2
且有
x12 （y1 1)2 (z1 1)2 14,
通过曲线 且母线垂直于坐标面的柱面称为 曲线 对坐标面射影的射影柱面，该柱面与坐标 面的交线叫做曲线 在坐标面上的射影曲线.
实例：设空间曲线为
{ :
F (x,y,z)0, G( x, y,z)0,
如果我们从上式中依次消去一个元，可得
F1 ( x , y ) 0 , F2 (x, z) 0, F3 ( y, z) 0,
反之，以原
z
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
准线
锥面是直纹面
锥面的准线不
唯一，和一切母线
顶点 0
y
都相交的每一条曲
x
线都可以作为它的
母线.
例1、求顶点在原点，准线为
x2
y2

a
2
b2
1
z c
的锥面的方程。
解 设M1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，那么过M1的母线为
(6)代入（4）及（5）得
(x t)2 y2 (z t)2 1, (7)
2(x t)2 2y2 (z t)2 2, (8)
以（2）乘以（7）再减去（8）得
(z t)2 0,
所以 t z， （9） （9）代入（7）或（8），即得所求柱面方程为
(x z)2 y2 1.
F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
消去x1,y1,z1得到三元一次方程 F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (tx, ty, tz) t nF ( x, y, z).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
x x1 y y1 z z1 1 0 1
且有
x12 y12 z12 1, （4）
2x12 2 y12 z12 2, (5)
再设
x x1 y y1 z z1 t
1 0 1
那么
x1 x t, y1 y, z1 z t， （6）
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
y x
柱面及其方程
定义：由平行于定方向且与一条定直线相交的一族平 行直线所产生的曲面叫做柱面
定曲线叫做柱面的准线，平行直线中的每一条直线叫 柱面的母线
下面我们来推导柱面的方程。
设准线方程为：
F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0 母线的方向数为：X，Y，Z
x1 2y1 2z1 3 0,
由以上四式消去参数x1，y1, z1即得所求的圆柱面的方程为
8x2 5y2 5z2 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 0.
定理 在空间直角坐标系中,只含两个元(坐标)的三 元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于 所缺元(坐标)的同名坐标轴.
例2 已知圆柱面的轴为 x y 1 z 1，点（1，-2，1）在此圆柱面上， 1 2 2
求这个圆柱面的方程.
解 因为圆柱面的母线平行于其轴，所以母线的方向数即为轴的 方向数1，-2，-2.如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用例1的解 法，问题就解决了.
因为空间的圆，总可以看成是某一球面与某一平面的交线，这里的圆柱面的 准线圆，可以看成是以轴上的点（0，1，1）为球心,点（0，1，1）到已知点（1，-2，1） 的距离d= 14为半径的球面x2 (y 1)2 (z 1)2 14与过已知点（1，-2，1）且垂直于 轴的平面x 2y 2z 3 0的交线，即准线圆的方程为
锥面及其方程
定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面叫做锥面
定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线
设锥面的准线：
F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0
顶点为A(x0,y0,z0)
如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点则锥面过M1的母线是
x x0 y y0 z z0 且 x1 x0 y1 y0 z1 z0
从柱面方程看柱面的特征：
实 例
y2 b2

z2 c2
1
椭圆柱面， 母线// x轴
x2 a2

y2 b2

1
双曲柱面
,
母线// z
轴
x2 2 pz 抛物柱面, 母线// y轴
1. 椭圆柱面
x2 a2

y2 b2
1
z
2. 双曲柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
o
y
O
y
x
x
空间曲线的射影柱面