得旋转曲面的方程
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
常用的二次曲面方程及其图形
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
旋转曲面公式
旋转曲面公式旋转曲面公式是数学中常见的一类曲面方程。
在平面上，旋转曲面是通过绕着直线或点旋转形成的曲面。
旋转曲面公式是表达这类曲面的数学方程形式，非常有用且广泛应用于工程、物理和计算机图形学领域。
本文将介绍旋转曲面公式的定义、种类、基本特性和应用。
一、定义旋转曲面是指在平面上绕一个直线或一个点旋转所形成的曲面。
旋转曲面通常是由一条曲线绕着一定的轴或点旋转而生成。
旋转曲面公式是表达这类曲面的方程形式。
二、种类1. 绕x轴旋转当曲线绕x轴旋转时，生成的曲面被称为“圆锥面”或“圆锥体”（如果包含了内部）。
2. 绕y轴旋转当曲线绕y轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转椭球面”或“旋转椭球体”（如果包含了内部）。
3. 绕z轴旋转当曲线绕z轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转双曲面”，“旋转抛物面”或“旋转超球面”等。
三、基本特性1. 参数化形式旋转曲面可以用参数化的形式表示。
考虑曲线在xy平面上的表示形式r(t)。
为了将曲线绕z轴旋转，定义参数u表示绕z轴旋转的角度，曲面上每个点的坐标可以用下列参数化方程表示：x(u,t) = r(t)cos(u)y(u,t) = r(t)sin(u)z(u,t) = h(u)其中，r(t) 和 h(u) 是曲线在xy平面上和在z轴上的函数表示。
2. 等距线和平行线旋转曲面上的等距线是该曲面上的一条线，该线上的所有点到轴线（旋转轴）的距离相等。
相比之下，平行线是该曲面上的两条直线，它们不相交且距离相等。
对于圆锥面和旋转椭球面，等距线是从顶点或焦点到曲面上各点所在直线；对于旋转双曲面和旋转抛物面，等距线是与两极相切的曲面上的一条曲线。
3. 对称性旋转曲面具有一些特殊的对称性质。
根据对称平面或对称点的位置，旋转曲面可以被分为各种对称类型。
例如，对于绕x轴旋转的圆锥体，它有一个顶点和一条中心轴，因此它具有中心对称性；对于绕y轴旋转的旋转椭球体，它具有两个焦点和一条中心轴，具有反演和中心对称性。
旋转抛物面的曲面方程
旋转抛物面的曲面方程
旋转抛物面是一种曲面，它由将一个抛物线绕着它的对称轴旋转一周得到。
抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c ，对称轴为 x 轴，旋转角度为 360°。
要求求出旋转抛物面的曲面方程，可以使用以下步骤：
1、将抛物线绕着 x 轴旋转一周，得到的曲面方程为：
x^2 + y^2 = 4px
其中 p 为抛物线的焦距。
2、将抛物线的方程 y = ax^2 + bx + c 代入曲面方程中，得到： x^2 + (ax^2 + bx + c)^2 = 4px
3、将式子化简，得到旋转抛物面的曲面方程：
x^2 + (a^2)x^4 + (2ab)x^3 + [(b^2) + (2ac)]x^2 + (2bc)x + (c^2) = 4px
这就是旋转抛物面的曲面方程。
通过这个方程，我们可以计算出旋转抛物面上任意一点的坐标，进而研究它的性质和应用。
- 1 -。
点向式方程绕坐标轴旋转所得曲面方程
点向式方程是描述三维空间中曲面的一种常用形式。
当我们希望将一个曲面绕坐标轴进行旋转时，我们可以利用点向式方程来推导出旋转后得到的曲面方程。
本文将从点向式方程的基本概念开始介绍，然后详细讨论如何将曲面绕坐标轴旋转，并给出相应的数学推导和例题演练。
一、点向式方程的基本概念1.1 点向式方程的定义点向式方程是描述三维空间中曲面的一种常用形式，通常表示为：\[F(x, y, z) = 0\]其中F(x, y, z)为一个关于x、y、z的函数。
1.2 点向式方程的特点点向式方程的特点是可以直观地解释曲面的形状和性质，便于进行几何分析和计算。
二、绕坐标轴旋转得到曲面方程的推导2.1 绕x轴旋转的推导当我们希望将一个曲面绕x轴进行旋转时，可以利用以下公式来推导旋转后得到的曲面方程：\[x = x\]\[y' = ycos\theta - zsin\theta\]\[z' = ysin\theta + zcos\theta\]其中，x、y、z为原始坐标系中的坐标，x、y'、z'为旋转后坐标系中的坐标，θ为旋转的角度。
2.2 绕y轴和z轴旋转的推导类似地，当我们希望将一个曲面绕y轴或z轴进行旋转时，可以利用类似的公式来进行推导，只需将公式中的坐标轴和旋转角度进行相应的替换即可。
三、数学推导和例题演练3.1 绕x轴旋转的数学推导接下来，我们将以一个具体的例子来演示如何利用点向式方程进行绕x 轴旋转的数学推导。
设曲面的点向式方程为：\[z = f(x, y)\]我们将该曲面绕x轴旋转θ角度，根据之前的推导公式，可以得到旋转后的曲面方程：\[z' = ysin\theta + f(x, y)cos\theta\]3.2 绕y轴和z轴旋转的数学推导类似地，我们也可以以具体的例子来演示如何利用点向式方程进行绕y 轴或z轴旋转的数学推导，使读者能够更好地理解和掌握该知识点。
四、总结通过本文的介绍和讨论，我们可以看到点向式方程是描述三维空间中曲面的一种常用形式，而绕坐标轴旋转得到曲面方程是点向式方程的一种应用。
利用坐标变换求解旋转曲面的方程
：
推 广到空 间直 角坐 标系 中 ， 有结 论 如下 ： ２１空间直 角坐标 系下 ， ． 一点 绕坐 标轴 旋 转 后 ， 旧坐 标 的关 系 ： 新 程为 ＋ ＝ ２ ５ １ 点 ｐｘ ｖ ｚ 绕 ｘ 正 向旋 转 ｄ角 而 成 ） （， ，） 轴 实 际上 ，直 线 Ｌ 平 行 于 ｚ 且与 Ｚ 是 辅 轴 的角 Ｐ（ ， ， ） ， ， 则 ｘｖｚ 距 离 为 ５的直线 ，易知 Ｌ绕 Ｚ 轴旋 转一 周 所 成 旋转 曲面是 圆柱 面 十 ＝ ２ ，这与 上 ５ ＺＳ ｉ Ｏ ￣ｌ 述 方法 结果 一致 ： …
：
兰
Ｃｈｉ ｗ ｅ ｎｏ ｏ ｉ ｓ ａ ｄ Ｐｒ ｄｕ ｔ ｎａ Ｎｅ Ｔ ｃｈ ｌ ｇ ｅ ｎ ｏ ｃ ｓ
文化 与教 育技 术
利用 坐 标变换 求解旋 转 曲面 的方程
牛 春 霞
ｆ 化 工 职业 技 术 学院基 础 部 ， 苏 南京 ２ ０４ ） 南京 江 １０ ８
摘 要 ： 统教材 上 的定 义一般 都 是 指旋 转轴 和母 线在 同一 个 平 面上 ， 传 这种 描 述具 有 局 限性 ， 形 成旋 转 曲面 的一 种特 殊 形式 ， 是 文
１ ： ０
贝 ｛ ：Ｏ－ｉ ；Ｘｄｓ ＋。 Ｓ Ｃ ｙ￣ ｎ ｏ Ｏ
Ｉ． ，
… ｒ ： ＋ 五２ ３
—
因为点 Ｐｘｙｚ在直线 ｈ ｚ ｙ Ｊ ，，） （ １３：－
其他 情况 同理 。 因为点 Ｐ ｘ， ｖ， ）在 曲线 Ｃ上 ， ｚ 以上方 法 只适 合 曲线 与旋转 轴 在一 个平 ｘｎ ￣ ．ａ ｃｓ ＝ｉ ２。 ， 面 ， 曲线 在坐 标平 面 的情 形 ， 有 很大 的局 所 以有 ｒ （ ｉ ｙｏ 且 它 Ｉ ＸＯＯ ｙ ｉ ＝ ０ Ｃ Ｓ ｓ ￣ Ｉ ｎ
椭圆绕x轴旋转的曲面方程
椭圆绕x轴旋转的曲面方程【椭圆绕x轴旋转的曲面方程】1. 定义椭圆绕x轴旋转的曲面，又称为旋转椭球面，是一种特殊的曲面。
它的形状类似于椭圆，但是它绕着x轴旋转，使得它的形状在立体空间中发生了变化。
2. 曲面方程椭圆绕x轴旋转的曲面方程可以用以下公式表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别表示椭圆在x轴、y轴、z轴方向上的轴长。
这个公式实际上是一个椭圆在三维空间中的方程。
3. 曲面特征椭圆绕x轴旋转的曲面有以下几个特征：（1）椭圆绕x轴旋转的曲面是一个二次曲面。
（2）当a=b=c时，椭圆绕x轴旋转的曲面变成了一个球体。
（3）当a和b相等，但c不等于它们时，椭圆绕x轴旋转的曲面称为旋转椭球面。
（4）当a和b不等时，椭圆绕x轴旋转的曲面称为椭球面。
4. 参数方程我们可以利用参数方程来表示椭圆绕x轴旋转的曲面：x = a*cos(u)*sin(v)y = b*sin(u)*sin(v)z = c*cos(v)其中，u和v分别是参数，u的取值范围为[0, π]，v的取值范围为[0,2π]。
可以看出，这个参数方程的几何意义是在二维平面的椭圆上取点，然后将这个椭圆绕x轴旋转，通过这个参数方程随着旋转角度的改变不断生成曲面。
5. 应用椭圆绕x轴旋转的曲面在物理学和工程学中有很广泛的应用，例如在天体物理学研究中，椭圆绕x轴旋转的曲面被用来描述天体的形状；在工程学中，椭圆绕x轴旋转的曲面则被用来表示旋转零件的形状。
6. 总结椭圆绕x轴旋转的曲面是一种二次曲面，其方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1，通过参数方程可以将它表示为一个旋转椭球面或椭球面。
它在物理学和工程学中有很重要的应用价值。
空间直线绕z轴旋转的曲面方程
旋转是将物体从其原本的方向移到新方向的过程。
在数学中，旋转有
着重要的应用，比如在多维空间中给出一条直线绕z轴旋转的曲面方程。
首先，我们需要明确一些概念。
空间是指三维空间，它有三个坐标，
分别是x，y，z。
z轴是一个特殊的坐标轴，它是垂直于x，y轴的线段。
旋转是面对某个特定轴的持续运动。
此外，一条直线在二维空间上也
可以用直线方程表示，即y=kx+b，k表示斜率，b表示截距。
当一条直线绕着z轴旋转时，就产生了一条曲线，这也就定义了一个
三维曲面方程，即通过旋转变换可以构建的三维曲面的方程。
该曲面
的方程为：
z=Ak³+Bk²+Ck+D，
其中 A,B,C,D 为常量
K是原来直线的斜率，由此可以看出，当K增大时，曲面也会随之增高，从而形成一个新的曲面，其三维坐标也会受到同样的影响，即被
旋转了K度。
因此，可以知道，一条直线绕着z轴旋转的曲面可以表示为：
z=Ak³+Bk²+Ck+D，其中 A,B,C,D 为常量，K为原来直线的斜率。
经过这样的旋转变换，原来平面上的一条直线便变成了一个立体的曲面，它打破了平面的界限，从而将原先的概念扩展到三维空间。
“旋转” 不仅大大拓宽了数学表达能力，而且解开了许多问题，从而极大地促进了数学发展。
平面曲线绕x轴旋转的曲面方程
平面曲线绕x轴旋转的曲面方程平面曲线绕x轴旋转的曲面方程是数学中的一个基础知识点，它是描述曲线与曲面之间的关系，也是很多应用问题的基础。
本文将详细讲解平面曲线绕x轴旋转的曲面方程的定义、求解方法、性质及实际应用。
一、定义平面曲线绕x轴旋转的曲面方程是指，将一条平面曲线绕x轴旋转一周所形成的曲面方程。
一条平面曲线的方程可以用一元多项式表示，而曲面方程的表示则需要使用更高级的数学工具和方法。
绕x轴旋转的曲面方程可以用数学的形式加以定义。
假设有一条平面曲线y = f(x)，将其绕x轴旋转一周，得到的曲面方程可以表示为y^2 + z^2 = f^2(x)，其中x、y、z分别表示三维坐标系中的横坐标、纵坐标和深度。
二、求解方法平面曲线绕x轴旋转的曲面方程可以通过以下步骤求解：1.将平面曲线y = f(x)沿着x轴方向旋转一周，得到一个圆锥形的曲面。
2.由于旋转后，平面曲线上每个点到x轴的距离是不变的，因此在圆锥形的曲面上，任意一点(x,y,z)到x轴的距离始终等于f(x)。
所以，可以得到一个方程y^2 + z^2 = f^2(x)，表示旋转后的曲面方程。
3.得到旋转后的曲面方程后，就可以根据需要进行参数化表示，或者使用其他数学工具和方法进行分析。
三、性质平面曲线绕x轴旋转的曲面方程具有以下性质：1.对于任意给定的一条平面曲线，绕x轴旋转所得的曲面都是旋转对称的，即曲面在旋转中不改变其旋转角度。
2.当平面曲线在x轴的正半轴上时，绕x轴旋转所得的曲面在z轴的负半轴上，即曲面在旋转后位于x轴正半轴、y轴正半轴和z轴负半轴的八分之一空间中。
3.绕x轴旋转的曲面方程是一个方程组，可以通过求解的方法得到曲面的具体参数。
四、实际应用平面曲线绕x轴旋转的曲面方程在实际应用中有着广泛的应用。
其中，最为常见的应用是在工程领域中。
例如，在机械工程领域中，很多零部件都是通过平面曲线绕x 轴旋转的方式进行加工和制造的。
在物理学领域中，平面曲线绕x轴旋转的曲面方程也可以用来描述质点在旋转中所受到的力，进而研究物理问题。
空间曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程
空间曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程
空间曲面是数学中重要的概念之一，它包括空间曲线和空间曲面。
空间曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程能够用来表明空间曲面，它可以表达出一系列的函数特征。
首先，要理解空间曲线的概念，就必须熟悉空间曲面的定义。
空间曲面是一种三维曲线，它由多个二维曲线组成，此时根据x轴的位置变换，二维曲线的参数也随之变化。
因此，可以用传统的画图思维描述空间曲线，将其绕x轴旋转一周，就可以表达出空间曲面的变形特征。
其次，空间曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程可以用三维参数来表达：x=sin(θ)*cos(φ)，y=sin(θ)*sin(φ)，z=cos(θ)。
其中θ为x轴所围绕的角度，φ为y轴角度，变换参数θ和φ使关于空间曲面的方程变化，从而可以根据具体的需求计算出空间曲面的高程形态。
最后，简单的理解空间曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程可以帮助我们了解空间曲面的基本特征，同时也能够帮助我们更好的完成复杂的生活和工作的计算任务。
因此，空间曲面方程一直是研究空间曲面的重要手段之一。
旋转曲面概述
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
z
解: 在yOz面上直线L 的方程为
L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
Oy
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例4. 求坐标面 xOz 上的双曲线
分别绕 x
z
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解: 绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
z Oy
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
xO y
z
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
O
y
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z) O
x
M1(0, y1, z1)
f ( x2 y2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0
O
y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yOz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
xoy面的曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面方程
xoy面的曲线绕x轴旋转而成的旋转
曲面方程
曲面是几何学术语，又称曲面几何学，是指任何比平面更高的物体的表面的结构，即任何
具有三维形状的物体表面的形状。
曲线和曲面都是椭圆函数方程的解，而圆形和椭圆形曲线都是旋转曲面的特例。
它们描述了一个曲线绕x轴旋转而成的曲面，这无疑是一种非常复杂的曲面。
旋转曲面方程描述了一个特殊类型的曲面，它将曲线沿x轴旋转某一固定角度而成，而曲线的形状决定了曲面的形状。
具体来说，旋转曲面是由一个椭圆或者椭圆的方程组成的。
椭圆方程是一种比较特殊的曲线方程，它具有两个复变量，标准形式为:(x/A)2+(y/B)2=1，其中A，B为椭圆的长短轴，当A=B时，即可得到圆形的方程，标准形式
为:(x/A)2+(y/A)2=1。
而当A≠B时，旋转曲面方程便可以表示出来了。
旋转曲面有以下几个特征：
1、它可以以曲线、抛物线、双曲线等不同的曲线旋转而成；
2、它可以被用来表示各种三维的形状，如滑雪场的山坡、水坝、导航船只等；
3、因为具有一定的折叠性和灵活性，所以它常被用于工程和空间运动的机械设计中；
4、它拥有非凡的数学特点，可以用于数学解析技术，如非线性最小二乘法，概率函数及
复杂代数函数等。
旋转曲面方程通常被用于航空、地质、化学、生物学及工程等学科的模型分析。
比如水准仪可以用其方程确定水平面的分布情况，地质学中可以用其方程描述岩石层序，地形图上也可以用其来描述山脊等各种曲面形状。
因此，旋转曲面方程在各种应用领域中非常重要，几何学研究者们也常常用其来探究各种复杂的几何规律。
参数方程求旋转曲面
参数方程求旋转曲面旋转曲面是指一个二维曲线绕着一个定轴旋转形成的立体图形。
在数学中，我们可以通过一个参数方程来描述旋转曲面的形状。
本文将介绍旋转曲面的基本概念以及使用参数方程求解旋转曲面的方法。
首先，我们来说明一下什么是旋转曲面。
旋转曲面是指一个平面上的曲线沿着一个固定轴线旋转一周所形成的曲面。
比如，当我们把一个二维平面上的圆绕着垂直于平面的轴线旋转一周，就可以得到一个球体，这就是一个旋转曲面的例子。
旋转曲面的参数方程形式可以通过以下步骤得到。
第一步，我们需要选择一个平面上的曲线作为旋转曲面的基础曲线。
这个曲线可以是任意形状的，比如直线、圆、抛物线等。
在本文中，我们以一个简单的圆为例来讲解。
第二步，我们需要选择一个轴线作为旋转曲面的旋转轴。
这个轴线可以是平面内的一条直线，也可以是垂直于平面的直线。
在本文中，我们选择垂直于平面的直线作为旋转轴。
第三步，我们需要引入一个参数来描述旋转曲面的旋转角度。
这个参数可以取任意实数值，表示旋转曲面沿着旋转轴旋转的角度。
在本文中，我们用θ来表示这个角度。
有了上述三个步骤，我们就可以得到旋转曲面的参数方程了。
以一个圆绕着垂直于平面的轴线旋转为例，我们可以得到以下参数方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)z = h其中，r是圆的半径，h是轴线到圆心的距离。
使用这个参数方程，我们可以得到圆绕着轴线旋转一周所形成的旋转曲面。
当θ取值从0到2π时，曲线就完成了一周旋转，同时生成了一个完整的球体。
我们可以通过改变r和h的值，来控制生成的球体的大小和位置。
例如，当r和h都为正数时，球体将位于轴线的正方向，当r和h都为负数时，球体将位于轴线的负方向。
除了圆，我们还可以选择其他形状的曲线，如椭圆、抛物线、或者自定义的曲线作为旋转曲面的基础曲线。
只要我们能够得到基础曲线在平面上的参数方程，就可以通过类似的方法来求解旋转曲面的参数方程。
需要注意的是，以上介绍的是一个基础的旋转曲面的参数方程求解方法。
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且有
x12 y12 z12 1, （4）
2x12 2 y12 z12 2, (5)
再设
x x1 y y1 z z1 t
1 0 1
那么
x1 x t, y1 y, z1 z t， （6）
通过曲线 且母线垂直于坐标面的柱面称为 曲线 对坐标面射影的射影柱面，该柱面与坐标 面的交线叫做曲线 在坐标面上的射影曲线.
实例：设空间曲线为
{ :
F (x,y,z)0, G( x, y,z)0,
如果我们从上式中依次消去一个元，可得
F1 ( x , y ) 0 , F2 (x, z) 0, F3 ( y, z) 0,
柱面
定义 在空间,由平行于定方向且与一定曲 线相交的一族平行直线所生成的曲面称为柱面
定方向叫做柱面
母线
的方向,定曲线叫
柱面的准线，那
族平行直线中的
每条直线都叫柱
面的母线.
观察柱面的形
准
成过程:
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
x2 (y 1)2 (z 1)2 14,
(10)
x 2y 2z 3 0.
再设(x1, y1, z1)为准线圆（10）上的点，那么过(x1, y1, z1)的母线为
x x1 y y1 z z1 1 2 2
且有
x12 （y1 1)2 (z1 1)2 14,
若为准线上的任意一点，则过的母线方程为：
x x1 y y1 z z1
X
Yபைடு நூலகம்
Z
且：
F1(x1,y1, z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
例1 柱面的准线方程为
{x2 y2z21, 2x22 y2z22,
而母线的方向数是 1，01，求这柱面的方程.
解 设M1(x1, y1, z1)是准线上的点，那么M1(x1, y1, z1)的母线为
反之，以原
z
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
准线
锥面是直纹面
锥面的准线不
唯一，和一切母线
顶点 0
y
都相交的每一条曲
x
线都可以作为它的
母线.
例1、求顶点在原点，准线为
x2
y2
a
2
b2
1
z c
的锥面的方程。
解 设M1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，那么过M1的母线为
从柱面方程看柱面的特征：
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面， 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
,
母线// z
轴
x2 2 pz 抛物柱面, 母线// y轴
1. 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
2. 双曲柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
o
y
O
y
x
x
空间曲线的射影柱面
例2 已知圆柱面的轴为 x y 1 z 1，点（1，-2，1）在此圆柱面上， 1 2 2
求这个圆柱面的方程.
解 因为圆柱面的母线平行于其轴，所以母线的方向数即为轴的 方向数1，-2，-2.如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用例1的解 法，问题就解决了.
因为空间的圆，总可以看成是某一球面与某一平面的交线，这里的圆柱面的 准线圆，可以看成是以轴上的点（0，1，1）为球心,点（0，1，1）到已知点（1，-2，1） 的距离d= 14为半径的球面x2 (y 1)2 (z 1)2 14与过已知点（1，-2，1）且垂直于 轴的平面x 2y 2z 3 0的交线，即准线圆的方程为
(6)代入（4）及（5）得
(x t)2 y2 (z t)2 1, (7)
2(x t)2 2y2 (z t)2 2, (8)
以（2）乘以（7）再减去（8）得
(z t)2 0,
所以 t z， （9） （9）代入（7）或（8），即得所求柱面方程为
(x z)2 y2 1.
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与 二次曲面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
消去x1,y1,z1得到三元一次方程 F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (tx, ty, tz) t nF ( x, y, z).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
xyz
(4)
x1 y1 z1
x1 2y1 2z1 3 0,
由以上四式消去参数x1，y1, z1即得所求的圆柱面的方程为
8x2 5y2 5z2 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 0.
定理 在空间直角坐标系中,只含两个元(坐标)的三 元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于 所缺元(坐标)的同名坐标轴.
锥面及其方程
定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面叫做锥面
定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线
设锥面的准线：
F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0
顶点为A(x0,y0,z0)
如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点则锥面过M1的母线是
x x0 y y0 z z0 且 x1 x0 y1 y0 z1 z0
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
y x
柱面及其方程
定义：由平行于定方向且与一条定直线相交的一族平 行直线所产生的曲面叫做柱面
定曲线叫做柱面的准线，平行直线中的每一条直线叫 柱面的母线
下面我们来推导柱面的方程。
设准线方程为：
F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0 母线的方向数为：X，Y，Z