云南省三校生考试数学
云南省三校联考(四)数学-答案
数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（四）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DABAADBC【解析】1．由123n n a a +=+得132(3)n n a a ++=+，而134a +=，故{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，所以132n n a ++=，即123n n a +=-，故选D ．2．先将其余三人全排列，共有33A 种情况，再将A 和B 插空，共有24A 种情况，所以共有2343A A 12672=⨯=种情况，故选A ．3．由2(1i)(2i)z +=-，可得2(2i)(34i)(1i)17i 1i (1i)(1i)22z ---===--+-+，所以17i 22z =-+，故z 在复平面内对应的点1722⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B ．4．题意可知3060x x -⎧⎨->⎩≥，，解得36x <≤，所以*{|36}{345}A x x =∈<=N ，，≤，所以集合A 的真子集个数为3217-=，故选A ．5．根据题意，构造函数()1ln f x x x =--，则1()x f x x-'=，当1x ≥时，()f x '≥0，所以()f x 在区间[1)+∞，上单调递增，因此可得(1.3)(1)0f f >=，即(1.3) 1.31ln1.3f =--= 0.3ln1.30->，所以0.3ln1.3>，又指数函数2x y =为单调递增，可得0.3ln1.322>，即b c >．因为0.20.40.3422a b ==>=，所以c b a <<，故选A ．6．α∵为锐角，ππ2π663α<+<，ππ4sin cos 365αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππcos 22cos 36αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7125-=，故选D ．数学参考答案·第2页（共10页）7．若a 与b 的夹角为钝角，则0a b < 且a 与b 不共线，所以(1)120(1)20t t t t --⨯<⎧⎨--⨯-≠⎩，，解得12t -<<且23t ≠，所以“12t -<<”是“a 与b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选B ．8．由棱柱的定义可知①错；侧棱延伸后必须交于同一点，所以②错；由三角形两边之和大于第三边，高相同，所以③对；外接球半径为3R V a =，，所以④对，故选C ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ABDACACDAC【解析】9．对于A 选项，由sin sin A B <，根据正弦定理得22a br r<（r 为ABC △外接圆半径），即a b <，则A B <，故A 正确；对于B ，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，229a c ac =++，因为0a >，0c >，所以2293a c ac ac =++≥，3ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，因为1sin 24ABC S ac Bac ==△，所以ABC S △的最大值为4，故B 正确；对于C ，由正弦定理得sin sin a b A B=，则8sin 2sin 1105b A B a ===<，又b a <，则60B A <=︒，知满足条件的三角形只有一个，故C 错误；对于D ，tan tan[π()]tan()C A B A B =-+=-+tan tan 1tan tan A BA B+=--，所以tan tan tan (tan tan 1)A B C A B +=-，所以tan tan tan A B C ++tan (tan tan 1)tan tan tan tan 0C A B C A B C =-+=>，所以tan A ，tan B ，tan C 三个数有0个或2个为负数，又因A ，B ，C 最多一个钝角，所以tan 0A >，tan 0B >，tan 0C >，即A B C ，，都是锐角，所以ABC △一定为锐角三角形，故D 正确，故选ABD ．10．由题意，1233333442()()()3341033410334105P B P B P B =======++++++，，，1(|)P A B80%=，23(|)70%(|)75%P A B P A B ==，，则1122()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =++ 33()(|)0.75P B P A B =，故A 正确；由333()()(|)()P AB P A P A B P B ==，则33()()()P AB P A P B =，数学参考答案·第3页（共10页）所以A 与3B 相互独立，故B 错误；因为23()10P B =，所以237(11010P B =-=，所以222230.840.757()(|)()3410()0.72()()0.7|5P B A P A B P B P B P A A A P ⨯+⨯⨯+====，故C 正确；由题意这次零件抽检中，1号、2号、3号车间生产零件合格数之比为8:7:10，所以从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率为88871025=++，该零件来自2号车间的概率为77871025=++，该零件来自3号车间的概率为101028710255==++，所以该零件来自3号车间的概率最大，故D 错误，故选AC ．11．对于A 中，由2AB AD BC ===，且2CD AB =，可得4CD =，高12O O ===，则圆台轴截面ABCD 的面积为21(24)2⨯+=，所以A 正确；对于B 中，圆台的体积为31π(124)3V =++，所以B 不正确；对于C 中，设圆台的外接球的球心为O ，半径为R ，如图1，连接OA ，OD ，设1OO h =，在直角1OO D △中，可得2222114R OO O D h =+=+，在直角2OO A △中，可得222222(1R OO O A h =+=+，即22(14h h +=+，解得0h =，即O 与1O 重合，所以2R =，所以外接球的体积为3334432ππ2πcm 333R =⨯=，所以C 正确；对于D 中，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm ，底面半径为2cm ，侧面展开图的圆心角2π2π4θ== ．设AD 的中点为P ，连接CP ，如图2，可得90COP ∠=︒，4OC =，213OP =+=，则5CP ==，所以沿着该圆台表面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm ，所以D 正确，故选ACD ．图1 图2数学参考答案·第4页（共10页）12．对于A ，由()()4f x g x -=，得(2)(2)4f x g x --+=，又()(2)4f x g x +=，所以(2)()f x f x --=，则()f x 的图象关于直线1x =-对称，选项A 正确；对于B ，由于()f x 的图象关于点(02)，对称，则()()4f x f x -+=，由选项A 的结论可知，(2)()f x f x -=-，则(2)()4f x f x -+=，所以(4)(2)4f x f x -+-=，则()(4)f x f x =-，所以函数()f x 的一个周期为4，因为(2)()4f x f x -+=，所以(1)(3)4f f +=，(2)(4)4f f +=，所以20041()501[(4)(1)(2)(3)]50184008k f k f f f f ==+++=⨯=∑，选项B 错误；对于C ，由()(4)f x f x =+，及()()4f x g x -=，得()(4)g x g x -=--，则函数()g x 的一个周期为4，选项C 正确；对于D ，取π()sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，4()πsin 22g x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，满足题设要求，但16(1)(1)3g g -+=，与()g x 的图象关于点(02)，对称矛盾，则选项D 错误，故选AC ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为向量(52)a = ，，(13)b =- ，，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为：113||(13)101010||||||a b b a a b b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，，． 14．等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列前n 项和公式可知112n S n a d n-=+；可得11n n S S d n n +-=+为定值，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，又96396S S -=，即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以10-为首项，公差为1的等差数列，所以9108129S =-+⨯=-，从而918S =-． 15．根据题意，可得5b a <，即2a <，平方的2254b a <，又222a bc +=，所以2225()4c a a -<，即2259c a <，所以15c a <<．数学参考答案·第5页（共10页）16．(2)()20000000()()()()()()()()1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '=+-+-++- ，因为1()f x x=-，(1)1f -=，所以2()f x x -'=(2)3()2f x x -=-，(3)4()6f x x -=，(4)5()24f x x -=-，(5)6()120f x x -=，又(1)1!f '-=，(2)(1)2!f -=，(3)(1)63!f -==，(4)(1)244!f -==，(5)(1)1205!f -==．所以23455()1(1)(1)(1)(1)(1)T x x x x x x =++++++++++，故3x 的系数为012345C C C 15++=．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）由题意可得2A =，5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，0ω>，因为2πT ω=，所以2ω=．因为π23A ⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 的图象上，所以ππ2sin 2233f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π()6k k ϕ=-∈Z ． 因为π||2ϕ<，所以只有π6ϕ=-满足要求，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………（5分）（2）因为ππ126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以πππ2636x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，．当ππ263x -=-，即π12x =-时，()f x取得最小值，最小值为π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为存在ππ126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，使得不等式()23f x a +≤成立，所以min ()23f x a +≤，即23a +，解得a ≥， 即a的取值范围为32⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭． ……………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：2n n S na n n =+-，则211(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，2n ≥， 两式相减得1(1)121n n n a na n a n -=--+-+，2n ≥，数学参考答案·第6页（共10页）因此1(1)(1)2(1)n n n a n a n ----=-，2n ≥， 所以12n n a a --=，2n ≥，故{}n a 是以11a =-为首项，2为公差的等差数列． 12(1)23n a n n =-+-=-∴，*n ∈N ．………………………………………（6分）（2）解：当n 为奇数时，23n n b a n ==-，当n 为偶数时，2n n b n = ． 2013192420()()T b b b b b b =+++++++ ∴2310(1335)(244464204)=-++++⨯+⨯+⨯++⨯ 2310(135)10(244464204)2-+⨯=+⨯+⨯+⨯++⨯2310170(244464204)=+⨯+⨯+⨯++⨯ ，设231010244464204A =⨯+⨯+⨯++⨯ ，① 则23411104244464204A =⨯+⨯+⨯++⨯ ，② ①−②，得23410111032(44444)204A -=+++++-⨯ 101124(14)20414⨯-=-⨯-1158483-⨯-=111058489A ⨯+=∴．故112058481709T ⨯+=+，*n ∈N ．…………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设样本平均数的估计值为x ，则10(400.01500.02600.03700.024800.012900.004)x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． 解得：62x =．所以样本平均数的估计值为62． 前三组的频率和为0.10.20.30.6++=， 前四组的频率和为0.10.20.30.240.84+++=， 第四组的频率为0.24， 所以70%分位数为0.70.6254156510650.2466-+⨯=+=． …………………（4分）数学参考答案·第7页（共10页）（2）因为学生的初试成绩X 近似服从正态分布2()N μσ，，其中6214μσ=≈，． 所以26221490μσ+≈+⨯=．所以1(90)(2)(10.9545)0.022752P x P x μσ=+=-=≥≥．所以估计能参加复试的人数为0.022*********⨯=人． ……………………………（8分） （3）由该学生获一等奖的概率为18可知：218a b =．则21222313(1)C (1)2848P a b a a b a ab a a =-+-=+-=+-． 令213()0148P f a a a a ==+-<<． 322181()244a f a a a a -'=-=．当102a <<时，()0f a '<；当112a <<时，()0f a '>． 所以()f a 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数，在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数．所以min 11133()24288f a f ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭．所以P 的最小值为38．…………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：BF ⊥∵平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，BF AE ⊥∴，∵二面角D AB E --为直二面角，且交线为AB ，CB AB ⊥，CB ⊂平面ABCD ， CB ⊥∴平面ABE ，AE ⊂平面ABECB AE ⊥∴，BC BF B = ，BC ，BF ⊂平面BCE ， AE ⊥∴平面BCE ．……………………………………………………………（4分）（2）解：以线段AB 的中点为原点O ，OE ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点O 平行于AD 的直线为z 轴，建立如图3所示的空间直角坐标系， AE ⊥∵平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，AE BE ⊥∴，在Rt AEB △中，4AB =，O 为AB 的中点，2OE =∴，(020)A -，，∴，(200)E ，，，(024)C ，，，所以(220)AE = ，，，(044)AC =，，，设平面AEC 的一个法向量为()n x y z =，，，图3数学参考答案·第8页（共10页）则00AE n AC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即220440x y y z +=⎧⎨+=⎩，，取1x =，得(111)n =-，，，又平面BAC 的法向量为(100)m =，，，cos 3||||m n m n m n ==，<>=∴， 设二面角B AC E --的平面角为θ，则sin 3θ==， ∴二面角B AC E --的正弦值为3． ………………………………………（8分）（3）解：AD z ∥∵轴，4AD =，(004)AD =，，∴，∴点D 到平面ACE的距离：||3||AD n d n ===． ………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）因为1a =，所以21()e 3e 22x x f x x =-+，可得2()e 3e 2(e 1)(e 2)x x x x f x '=-+=--， 令()0e (12)x f x '<⇒∈，，即(0ln 2)x ∈，， 令()0(0)f x x '>⇒∈-∞，或(ln 2)x ∈+∞，，因此函数()f x 的单调递减区间为(0ln 2)，，单调递增区间为(0)-∞，和(ln 2)+∞，．…………………………………………………………………（5分）（2）由题意可得22()e 3e 2(e )(e 2)x x x x f x a a a a '=-+=--， 因为0a >，所以令()0e (2)x f x a a '<⇒∈，，即(ln ln 2)x a a ∈，， 令()0(ln )f x x a '>⇒∈-∞，或(ln 2)x a ∈+∞，，即函数()f x 在(ln ln 2)a a ，上单调递减，在(ln )a -∞，和(ln 2)a +∞，上单调递增， 252425(ln )2ln 0e 2e 2(ln 2)(2ln 24)0f a a a a f a a a ⎧⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⇒∈⎪⎝⎭⎨ ⎪⎪⎝⎭=-<⎩，，，，数学参考答案·第9页（共10页）当x →-∞时，2211e 3()e 3e 2022x x x af x a a x <⇒=-+<，当x →+∞时，2211e 3()e 3e 2022x x x a f x a a x >⇒=-+>，即函数()f x 存在三个零点从小到大分布在区间(ln )a -∞，，(ln ln 2)a a ，，(ln 2)a +∞，上， 故实数a 的取值范围为524e e 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）依题意得2c =，则1(20)F -，，2(20)F ，，而(2P ，于是122||||a PF PF =+==，从而a =．又222a b c =+，解得2b =， 所以椭圆1C 的方程为22184x y +=．………………………………………（4分）（2）如图，设1F A 直线交椭圆于另一点B '，2F B 直线交椭圆于另一点A '，由12F A F B λ=，故12F A F B ∥，由椭圆对称性，21||||BF B F ='，12||||AF A F ='，且四边形ABA B ''为平行四边形． （ⅰ）由题意，直线AB '的斜率不为0，设直线AB '：2x ty =-， 由22228x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 整理得22(2)440t y ty +--=， 设11()A x y ，，22()B x y '，，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+， 由121112333F A F B F A F B y y =⇒=-'⇒=-（*），带入上式，解得：1262t y t =+，2222ty t -=+， 故2222124(2)2t t t -=-++，由于3λ=，12||||F A F B > ，所以0t >， 所以1t =，故1F A 的斜率为1．（ⅱ）由22x ty y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，，消去x 整理得220y ty -+=，由2()80t ∆=--<得28t <．所以21221)|||2t AB y y t +'=-==+，数学参考答案·第10页（共10页）AB '与BA '间的距离d =（即点2F 到AB '的距离），故12222111)2222AF F BAB A B t S S t t ''+===++ ，[13)s =∈，，函数1y s s =+在区间[13)，上单调递增，所以11023y s s ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，，则12AF F BS t s s s===++⎝+， 所以四边形12AF F B的面积的取值范围为5⎛ ⎝，． ……………………（12分）。
2024届云南三校高考备考实用性联考卷(五)数学答案
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（五）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BDCBABCD【解析】1．p ：x y ∃∈R ，，333()x y x y +>+，则p ⌝为x y ∀∈R ，，333()x y x y ++≤，故选B ． 2．(3a b -= ，，||a b -= ，()cos ||||a b a a b a a b a -〈-〉==-，2=，故选D ． 3．由题意得，{|43}{31591317}{|37}A x x k k B x x ==-∈=-=-N ，，，，，，，，≤≤，故{315}A B =- ，，，即A B 中共有3个元素，故选C ． 4．当1x <时，1()111f x x =+<-，当1x ≥时，22()log log 1f x x a a a =++=≥，因为函数21()1log 1xx f x x x a x ⎧<⎪=-⎨⎪+⎩，，，≥的值域为R ，所以1a ≤，所以实数a 的取值范围是(1]-∞，，故选B ． 5．如图1，连接AC ，BD ，设1AC BD O = ，因为四边形ABCD 为矩形，所以1O 为矩形ABCD 外接圆的圆心．连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，分别取EF，AD ，BC 的中点M ，P ，Q ，根据几何体ABCDEF 的对称性可知，直线1OO 交EF 于点M ．连接PQ ，则PQAB ∥，且1O 为PQ 的中点，因为EF AB ∥，所以PQ EF ∥，连接EP ，FQ ，在ADE △与BCF △中，易知EP FQ ===形EFQP 为等腰梯形，所以1MO PQ ⊥，且1MO ==．设1OO m =，球O 的半径为R ，连接OE ，OA ，当O 在线段1O M 上时，由球的性质可知222R OE OA ==，易得1O A ==，则222)1m m -+=+，此时无解．当O 在线段1MO 的延图1长线上时，222)1m m +=++，解得2m =，所以22112R OE ==，所以球O 的表面积24π22πS R ==，故选A ．6．设事件1A 表示选到会做的题，事件2A 表示选到有思路的题，事件3A 表示选到完全没有思路的题；设事件B 表示答对该题，则123(|)1(|)(1)5|34P B A P B A P B A ===，，，设事件U 表示答对8个题，则112233521()()(|)()(|)35()(|)1888P U P A P B A P A P B A P A P B A =+++⨯+=⨯12401916⨯=，设事件C 表示将有思路的题目做对，则22()(|)8()()43P A P B A P C P U ==，故选B ．()0f x <不一定成立，故B 错；对C ，函数()0f x =的根即为y a =与函数343y x x =-的交点横坐标．作出函数343y x x =-的图象如图3，当1a ≥或1a -≤时，函数()f x 有1个零点，故C 错；对D ，函数()f x 有3个零点，则11a -<<，3143(123)2i i x x i -==，，，令cos (0π)x θθ=<<，图2图3则314(cos )3cos cos32θθθ-==，所以，π5π7π3333θ=，，，于是，11πcos cos 9x θ== 22331235π7ππ5π7π4π3πcos coscos cos cos cos cos 2cos cos 9999999x x x x x θθ====++=++=，5π4π5πcos cos cos 0999+=+=，故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案BCABDABACD【解析】12．对选项A ：如图4所示，连接12A A ，取BC 中点D ，取11B C 中点E ，连接1A E ，AD ，DE ．由等边三角形的性质得BC AD ⊥，由等腰梯形的性质得BC DE ⊥．又AD DE D = ，AD DE ⊂，平面1ADEA ，所以BC ⊥平面1ADEA ．1AA ⊂平面1ADEA ，故1BC AA ⊥，同理2BC AA ⊥，又12AA AA A = ，12AA AA ⊂，平面12A AA ，所以BC ⊥平面12A AA ，正确；对于选项B ：如图5，等腰梯形的高2==，取AB 中点O ，建立如图6所示的空间直角坐标系，设1O 是111A B C △的中心，2O 是ABC △的中心，过1A 作1A G AD ⊥，过E 作EH AD ⊥，22DH O D O H =-13326=-⨯=，3HE ==，所以几何体111ABC A B C -的高为3，所以(100)A -，，，11263A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)B ，，，(00)C，21263B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以11263AA ⎛= ⎝⎭ ，，，(1)0BC =-，21263BB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，设平面22BB C C 的法向量为111()m x y z = ，，，则112111010263m BC x m BB x y z ⎧=-+=⎪⎨=-+-=⎪⎩，，取x =1m =⎭，所以11102m AA ⎛=+=≠ ⎝⎭ ，所以1AA 与平面22BB C C 不平行，错误；对选项C：1236V =⨯⨯+=⎝⎭，正确；对选项D ：11263B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，103C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，111022B C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，(2)00AB = ，，，21263BB ⎛=-- ⎝⎭，．设平面22AA B B 的法向量为222()n y z x = ，，，图4图5图62222220102AB x n BB x n y ⎧==⎪⎨=-+-=⎪⎩，，取21z =，得到(0)1n = ，，所以直线11B C 与平面22AA B B 所成角θ的正弦值为s in θ==，tan θ=，正确，故选ACD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】图7图817．（本小题满分10分）解：（1）1cos 2()2sin cos sin 222xf x x x x x +=--=-- π2sin 23x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x ∈R ∵，()f x ∴的值域为[22---．……………………………（5分）（2）ππ2π2sin 2sin π2sin 2333A B f A B C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-，即2π2sin 03C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由(0π)C ∈，，得π2π2π333C -<-<，2π03C -=∴，即2π3C =，又222222π162cos33c a b ab a b ab ab ==+-=++≥，即163ab ≤，当且仅当a b ==取等号，1116sin 223ABC S ab C =⨯=△≤∴，max ()3ABC S =△∴． ……………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵211(21)20(2)nn n n a na a na n -----=≥， ∴1(2)(1)0(2)n n n a na a n --+=≥， 又0n a >，∴12n n a na -=，即12(2)nn a n n a -=≥． 又32112124622!(2)n n n n a a a a a n n n a a a -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ≥， 且1121!a =⨯，∴2!n n a n = ． ……………………………………………………（6分）12!n n =-． …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD DC =，在等边PCD △中，取DC 的中点E ，连接PE ，如图9， 则PE DC ⊥，且PE ⊂平面PCD ，PE ⊥∴平面ABCD ，又AD ⊂∵平面ABCD ，PE AD ⊥∴，已知AD CD ⊥，且PE CD E = ，PE ，CD ⊂平面PCD ，AD ⊥∴平面PCD ， 又AD ⊂∵平面P AD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．图……………………………………………………（6分）9（2）解：过点E 作AD 的平行线与AB 交于点F ，如图10，则DC EF ⊥，又由（1）知PE ⊥平面ABCD ， 建立如图所示的空间直角坐标系，可知：(00P ，，(210)A -，，，(230)B ，，，(010)C ，，，(21AP =- ∴，(040)AB = ，，，(220)CB = ，，，(01CP =-，， 设平面APB 的法向量为111()n x y z =，，，11112040n AP x y y n AB ⎧⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩⊥，，，⊥10y =∴，令1x =12z =，故02)n =，，设平面PBC 的法向量为222()m x y z =，，，22222200x y n CB y n CP+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪⎩⎩ ，⊥，，⊥令2y =，则2x =21z =，故(1)m =，1cos 7||||n m n m n m ===-，<>， 设二面角A PB C --的平面角为θ，则1cos 7θ=．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为100.011000=． 所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.95， 所以，一组混合血样呈阳性的概率为10.950.05-=．……………………………………………………………（4分）（2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量X ，则16X =，． 由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05，图10则X 的分布列为X 1 6 p0.950.05所以，()(1)1(66 1.25E X p X p X ==⨯+=⨯=）， 总的化验次数为1000()2505E X =； ………………………………（8分）设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量Y ，则111Y =，．10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1， 则Y 的分布列为Y 1 11 p0.90.1所以()10.9110.12E Y =⨯+⨯=，总的化验次数为1000()20010E Y =， 所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少． ……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：由椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为12，且点312⎛⎫- ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点312⎛⎫- ⎪⎝⎭，在该椭圆上，所以221914a b +=，所以2243a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………………………（4分）（2）证明：设1122()()M x y N x y ，，，，由于该直线斜率不为0，可设1MN L x my =-：， 联立方程1x my =-和22143x y +=，得22(34)690m y my +--=， 0∆>恒成立，根据韦达定理可知， 1212121222693()34342m y y y y my y y y m m -+===-+++ ，，，21122122y yk k x x ==-+，， 2121212111212122(2)(3)3(2)(1)k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++， 121211223()3233()2y y y k k y y y -+-==-++∴，2212121221103k k k k k k k k +=+= ∴．……………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由()e 1x f x x =--，得()e 1x f x =-'， 当(0)x ∈-∞，时，0()()f x x f '<，单调递减， 当(0)x ∈+∞，时，0()()f x x f '>，单调递增．……………………………………………………………（4分）（2）由32(2)4f x x ax -≥得，232e 214x x x ax ---≥，其中0x ≥， ①当0x =时，不等式为：00≥，显然成立，符合题意； ②当0x >时，分离参数a 得，232e 421x x x a x ----≥，记232322233e 4212[(1)e 21]2(1)(e 221)()()x x x x x x x x x x x g x g x x x x -----++----=-'=-=-令22()e 221(0)x h x x x x =--->，则2()2e 42x h x x '=--，2()4(e 1)0x h x "=->，故()h x '单调递增，(0(0))h x h >'='，故函数()h x 单调递增，()(0)0h x h >=， 由()0h x >可得：22e 2210x x x --->恒成立， 故当(01)x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(1)x ∈+∞，时，)0(g x '<，()g x 单调递减； 因此，2max [()](1)7e g x g ==-，综上可得，实数a 的取值范围是2[7e )-+∞，．……………………………………………………（12分）。
云南省三校2023届高三数学联考试题(八)(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知为复数单位，，则的模为（ ）A．B ．1C ．2D ．42.函数的最小正周期为，，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，下列结论中错误的是（ ）A ．函数的单调递增区间为，B．的值域是C ．是的图象的一条对称轴D ．是的图象的一个对称中心3. 老师要从6篇课文中随机抽取3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的4篇，该同学能及格的概率为（ ）A．B．C．D．4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．所有项的二项式系数和为1B ．第4项和第5项的二项式系数最大C ．所有项的系数和为128D ．第4项的系数最大6. 已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，，则的虚轴长为A ．1B ．2C．D．7. 函数在的图象大致是（ ）A． B．C． D．8. 设全集为，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．9.已知，则下列选项中能使成立的是（ ）A．B．C．D．10.在正方体中，下述正确的是（ ）云南省三校2023届高三数学联考试题（八）(高频考点版)云南省三校2023届高三数学联考试题（八）(高频考点版)三、填空题四、解答题A．平面B ．平面C．D ．平面平面11.已知正方体棱长为4，点N 是底面正方形ABCD 内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P 为MN 中点，则下列结论正确的是（ ）A ．无论M ，N 在何位置，为异面直线B ．若M 是棱中点，则点P的轨迹长度为C ．M ，N 存在唯一的位置，使平面D ．AP 与平面所成角的正弦最大值为12. 热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）.根据该走势图，下列结论不正确的是（ ）A ．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱B ．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循C ．年月份的方差小于年月份的方差D ．年月份的平均值大于年月份的平均值13.已知函数的图像关于点对称，关于直线对称，最小正周期，则______，的单调递减区间是______.14. 若为奇函数，则实数______.15. 已知向量、的夹角为，，，则的坐标为___________.16. 已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性．(3)解关于t 的不等式：．17. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面ABCD，，．(1)求证：平面PAC ；(2)求二面角的大小．18. 在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.19. 【阅读材料】2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富身体状态良好，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段．某公司负责生产的A型材料是神舟十三号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归直线方程为．根据以上阅读材料，解答以下问题：(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合效果更好的模型．回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2附：相关指数的计算公式为：，(2)当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少．附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；②③当时，，．20. 如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.(1)求证：；(2)求与平面所成角的正弦值.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，，，，，E为棱PD上一点．(1)求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有成立；(2)若在PB上存在一点H，且，求三棱锥C－ABH的体积。
2024届云南三校高考备考实用性联考卷(六)数学-答案
数学参考答案·第1页（共9页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BCACCDBA【解析】1．由题意，{|13}U A x x x =<或≥ ，(){034}U A B = ，， ∴，故选B ．2．(1)i 1i (1)i 12i2i z z z z -=+⇒--=-⇒=-⇒=+，故选C ． 3．由于1sin cos 44αα==，所以22cos sin 2αα+=54-，故选A ．4．由20217n n ->-得2n <或8.5n >，所以8n =时，n S 取得最小值，故选C ．5．由题意得πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππ66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵，∴πππ2626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，()[21]g x ∈-，∴，故选C ． 6．设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D '是变化后的传输距离，则18L L '=+，2D D '=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg20lg D F L L D F D F D F'''''=-=+--=+，则20lg1820lg 212F F '=-≈，即lg 0.6lg 4F F≈'≈，从而4F F '≈，即载波频率约增加到原来的4倍，故选D ．7．连接2NF ，设1||2NF n =，则1||3MF n =，2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF △中，22222||||||MN MF NF +=，即222(5)(23)(22)n a n a n +-=-，所以215a n =，所以12||5aMF =， 28||5a MF =，在12Rt MF F △中，2221212||||||MF MF F F +=，即222517c a =，所以5e =，故选B ．数学参考答案·第2页（共9页）8．因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，且BC AC C = ，BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，又因为BC AB ⊥，AB SB ⊥，且BC SB B = ，BC ⊂平面SBC ，SB ⊂平面SBC ，所以AB ⊥平面SBC ，所以可以将三棱锥S ABC -放入一个长方体ABFE DCSG -中，该长方体以AB SC BC ，，为长，宽，高，如图1所示，则长方体ABFE DCSG -的外接球就是三棱锥S ABC -的外接球，下面计算该长方体外接球半径R 的最小值；因为10AB BC = ，所以22220AB BC AB BC += ≥，所以22220525AB BC SC +++=≥，即2(2)25R ≥，所以52R ≥，所以该长方体外接球表面积的最小值为2254π4π25π2R ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为25π，故选A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案ACBCDABDABC【解析】9．因为()()f x f x -=-，所以A 正确；因为1()02f x x x =-=，得2x =，所以C 正确，故选AC ．10．圆M 的圆心为(01)M -，，半径12r =，圆22430N x y x -++=：，即22(2)1x y -+=的圆心为(20)N ，，半径21r =；A 选项，两圆方程作差得4260x y +-=，即23y x =-+，所以两圆公共弦AB 所在直线方程为23y x =-+，A 错误；B 选项，圆心(20)N ，到直线AB 的距离5d ==，半径21r =，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为15+，B 正确；C 选项，||AB==，C 正确；D 选项，圆心(01)M -，到直线43130x y --=的距离112d r ===，圆心(20)N ，到直线43130x y --=的距离221d r ===，所以直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线，D 正确，故选BCD ．图1数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A ，连接11AD A D ，，则11A D AD AB ⊥⊥，平面1111ADD A A D AB AB AD A ⊥= ，，，∴AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ⊥∴平面11ABC D ，1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，AB ∥∴平面11CDD C ，点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，所以B 正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P点的轨迹的长度为π2；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ．对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角．设AC BD O = ，则AC BD ⊥．因为P 是ABC △内（包括边界）的动点，所以当P 与O重合时，22DB DP ==最小，此时11sin 1DPD D P =∠，当P 与B重合时，DP DB ==最大，此时11sin 13DPD D P ==∠，所以13si 3n DPD ∈⎢⎣∠⎦，，故选ABD ．12．由题意知()ln 12(0)f x x mx x '=++>，令()0f x '=得，ln 120(0)x mx x ++=>有两个解12x x ，，令()ln 120g x x mx =++=，即等价于()g x 有且仅有两个零点，也即()g x 在(0)+∞，上有唯一的极值点且不等于零，又12()mx g x x +'=且0m <，所以当102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当12x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以12x m =-是函数()g x 的极大值点，则102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 1222m m m ⎛⎫⎛⎫-++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ln(2)0m =-->，解得102m -<<，且有12102x x m <<-<，111()ln 12f x x mx '=++∵11222220ln 12()ln 120ln 12x mx f x x mx x mx '=⇒=--=++=⇒=--，，111()ln f x x x =+∴22111111(12)(1)0mx x mx mx x mx =--+=-+<．因为12x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，2()0g x =，所以()f x 在212x m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则有21()2f x f m ⎛⎫>- ⎪⎝⎭数学参考答案·第4页（共9页）111111ln ln 224222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为110122m m -<<⇒->，令()h x = 1ln 12x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，，则11()ln 1ln 022h x x x '=+-=+>，所以函数()h x 在(1)+∞，上单调递增，则1()(1)2h x h >=-，所以21()2f x >-，故选ABC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．因为每组小矩形的面积之和为1，所以(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，所以0.03a =，测评得分落在[4080)，内的频率为(0.010.01520.03)100.7+⨯+⨯=，落在[4090)，内的频率为(0.010.01520.030.025)100.95+⨯++⨯=，设第75百分位数为x ，由0.7(80)0.0250.75x +-⨯=，解得82x =，故第75百分位数为82．14．a b λ+ 与c 垂直，则()(3)0a b a b λ+-= ，即2233a a b a b b λλ+-- (13)a b λλ=+-30-=，其中π11||||cos 11322a b a b ==⨯⨯= ，代入可解得5λ=-．15．因为()cos cos (1)(sin )(1)sin f x x x x x x x '=--+-=+．所以当(0π)x ∈，时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(π2π)x ∈，时，()0f x '<，()f x 为减函数；所以()f x 在[02π]，上的最大值(π)π1b f ==+．又因为(0)1(2π)2π1f f =-=--，，所以()f x 在[02π]，上的最小值(2π)2π1a f ==--，所以πa b +=-．16．如图2，因为21||||F P F H b ==，所以||2PH a =．因为1sin F PO ∠=，所以1tan 2FPO ∠=，在1Rt PHF△中，1tan 2bF PH a ∠=，所以22b a =，所以b a=，又因为a=所以b =，所以双曲线方程为22136x y -=．因为tan MON ∠=-，所以sin 3MON ∠=．设00()Q x y ，到两渐近线的距离为12d d ，，则图2数学参考答案·第5页（共9页）220012|2|3x y d d -== ．又因为220026x y -=，所以122d d = ，所以12||||sin sin OMQN d d S QM QN MON MON =∠==∠ ．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）选条件①：因为3sin cos tan 4B B B =，所以sin 3sin cos cos 4B B B B =，即23sin 4B =， 又因为ABC △为锐角三角形，所以π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以sin 2B =，所以π3B =．12=，所以cos )cos B B B B -=+，3cos B B =，又因为π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以cos 0B ≠，所以tan B =，所以π3B =． 选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B B A A B -=， 即2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=， 又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =， 因为π02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以π3B =．…………………………………………（5分）（2）由BD 平分ABC ∠，得ABC ABD BCD S S S =+△△△，则1π1π1πsin sin sin 232626ac c a =+，即ac a c =+． 在△ABC 中，由余弦定理可得222π2cos 3b ac ac =+-，又b =2218a c ac +-=，联立2218ac a c a c ac =+⎧⎨+-=⎩，，可得223180a c ac --=， 解得6ac =（3ac =-舍去）．故1π1sin 6232ABC S ac ==⨯=△ ………………………………（10分）数学参考答案·第6页（共9页）18．（本小题满分12分）（1）证明：∵点E 在 AB 上且AB 为直径，AE EB ⊥∴，又ABCD ABE AD AB AD ABCD ⊥⊥⊂平面平面，，且平面∵，AD ABE ⊥平面∴， BE ABE ⊂平面∵，AD BE ⊥∴，又DA AE A = ∵，BE ADE ⊥平面∴． ………………………………（6分）（2）解：当四棱锥E ABCD -体积最大时，E 是 AB 的中点， 此时AE BE =，OE AB ⊥， 取CD 中点F ，连接OF ，如图3， 则OF AD ∥，即OF ABE ⊥平面， 又OE AB ⊥∵，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(000)(010)(010)(011)(100)O A B C E -，，，，，，，，，，，，，，∴， (021)(110)AC AE ==，，，，，∴，设平面ACE 的一个法向量为()n x y z = ，，，则200n AC y z n AE x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取1x =，可得(112)n =-，，，平面ADE 的一个法向量为(110)BE =-，，，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos 3||||n BE n BE θ=== ，即平面ADE 与平面ACE所成夹角的余弦值为3． …………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由题知，当1n =时，113S a ==， 当2n ≥时，2214(1)(1)422n n n n n n n a S S n -++-+-+=-=-=，因为13a =，所以*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨⎩N ，，，≥． 因为1112n n n b b --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由累加法得1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，图3数学参考答案·第7页（共9页）综上，*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨⎩N ，，，≥，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………………………（6分）（2）由（1）知(1)n n n c a b =-*131()122n n n n n -=⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩N ，，，，≥所以{}n c 的前n 项和123123123432222n n n n nT c c c c c --=+++++=++++⋅⋅⋅+ ①， 23413234222222n n nT =++++⋅⋅⋅+②， ①−②得23412151111511122222222222n n n n n n nT --⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2111266222n n n n n nT ---+=--=-． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：01p =，212211C 22p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，424413C 28p ⎛⎫== ⎪⎝⎭． ………………………（6分）（2）证明：法一：设2()k n n =∈N ，则22221(2)!1C 2!!2nnn k n nn p p n n ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，同理22221222221(22)!1C2(1)!(1)!2n n n k n n n p p n n +++++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以222+2(22)!1!!21121(1)!(1)!2(2)!2222n n k k p n n n n p n n n n n +++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 因为n ∈N ，所以11222n +≤，所以+212k kp p ，即220k k p p +-≥． 法二：当0k =时，由（1）知022p p =，即2020p p -=；当0k ≠时，设*2()k n n =∈N ，则2221C 2n n k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1111112221212222222C C C C C C C C 2C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-+++=+=+++=++，所以22221111222222222111(C 2C C)(C C )222n n n n n n n k n nn nn n n p p p +++-+-++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112211(C C )22n n n k n n p ++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，数学参考答案·第8页（共9页）因为2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2102k k p p +->，即220k k p p +->； 综上，220k k p p +-≥． ……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB 的方程为x my b =+．联立24y x x my b ⎧=⎨=+⎩，得2440y my b --=，则124y y m +=，124y y b =-①， 因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，即12120x x y y +=，所以1212()()0my b my b y y +++=②，由①②得：240b b -=，因为0b ≠，所以4b =，直线AB 恒过定点(40)，， 设点()D x y ，，则1CD AB k k =- ，即14y y x x =-- ，整理得22(2)4x y -+=， 所以点D 的运动轨迹为以(20)，为圆心，半径为2的圆（原点除外）． …………（5分） （2）由（1）因为CA CB ⊥，所以0CA CB = ，11(12)CA x y =-- ，，22(12)CB x y =--，， 则12121212()12()4CA CB x x x x y y y y =-+++-++21212121()(2)()2516y y y y m y y b =+-++-+③， 将①代入③得：2264850b b m m ---+=，22(3)4(1)b m -=+得，32(1)b m -=+或者32(1)b m -=-+．当32(1)b m -=+时，直线AB 过(52)P -，．当32(1)b m -=-+时，直线AB 过(12)，，此时C 在AB 上，不合题意． 所以直线AB 恒过(52)P -，． 因为C 为定点，所以CP 为定值，在Rt CPD △中取CP 中点Q ，连接DQ ，1||||2DQ CP =， 所以||DQ 为定值． 此时Q 的坐标为(30)，，故存在点(30)Q ，，使得||DQ 为定值．………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）22．（本小题满分12分）解：（1）3()1f x x x =-+，则2()31f x x '=-，曲线()f x 在01x =-处的切线为112(1) 1.5y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥， 曲线()f x 在1 1.5x =-处的切线为272333184223y x x ⎛⎫+=+⇒=- ⎪⎝⎭，且21||0.5x x -<， 故，用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.35-． …………（5分） （2）将2()365e 0xf x x x a ++++≤整理得到：32356e xx x x a ----， 令32356()e x x x x g x ----=，31()()e e x x x x f x g x -+'==， 因为2()31x f x '=-，()f x的极小值为0f =>⎝⎭， 因此，()f x 有且仅有一个零点0x ，所以()g x 有且仅有一个极小值点0x ，即0()()g x g x ≥， 所以有0()a g x ≤，方法一：由（1）有0 1.35x ≈-，所以320 1.351.353 1.355 1.356()( 1.35)(2.46 5.46 6.756) 3.86e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-+-⨯≤ 8.685=-．方法二：3201131516()(1)3 2.728.16e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-⨯=-≤．320 1.51.53 1.55 1.56272715()( 1.5)6 4.48e 842a g x g --⨯+⨯-⎛⎫<-=≈-+-⨯ ⎪⎝⎭方法三：≤8.4=-，所以，a 能取到的最大整数值为9-．…………………………………………（12分）。
云南省2022年数学三校生期末考试
云南省2022年数学三校生期末考试一、填空题。
(共23分)1、4∶()===24÷()=()%2、如果a×=b×=c×=d×(a、b、c、d都大于0)，那么a、b、c、d中，()最大，()最小。
3、六(1)班女生人数是男生的45，男生人数是女生人数的()%，女生比男生人数少()%。
4、一项工程，甲每月完成它的512，2个月完成这项工程的()，还剩下这项工程的()。
5、一种大豆的出油率是10%，300千克大豆可出油()千克，要榨300千克豆油需大豆()千克。
6、()乘6的倒数等于1;20吨比()吨少;()平方米比15平方米多13平方米。
7、冰化成水后，体积减少了112，水结成冰后，体积增加()。
8、一种电扇300元，先后两次降价，第一次按八折售出，第二次降价10%。
这种电扇最后售价()元。
9、一根绳子长8米，对折再对折，每段绳长是()，每段绳长是这根绳子的()。
10、一个长方体棱长总和是120厘米，长、宽、高的比是5：3：2。
这个长方体的体积是()立方厘米。
11、化简比，并求比值。
5.4：18;20分钟：2小时;3吨：600千克.化简比是：()()()比值是：()()()二、判断。
(共5分)1、两个长方体体积相等，表面积就一定相等。
()2、男生人数比女生多，女生人数则比男生少。
()3、一千克糖用去25千克后，还剩下它的60%。
()4、一件商品先涨价10%，再降价10%，现价与原价相同()5、如果a∶b=30，那么∶=5。
()三、选择题。
(共5分)1、一个长方体有4个面的面积相等，其余两个面一定是()。
A.长方形B.正方形C.无法确定2、甲数的17等于乙数的18，甲数、乙数不为0，那么甲数()乙数。
A.大于B.小于C.等于D.无法确定3、一年前王老师把3000元钱存入了银行，定期2年。
年利息按2.25%计算，到期可得本金和税后利息一共()元。
A.3000B.3108C.108D.31354、男生占全班人数的13，这个班的男女生人数比是()。
2023-2024学年云南省三校高三(上)联考数学试卷(一)+答案解析(附后)
2023-2024学年云南省三校高三（上）联考数学试卷（一）1.已知集合，，则集合( )A. B. 或C. D. 或2.已知复数，则z的虚部是( )A. B. C. D.3.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于( )A. B. 8 C. 或8 D. 64.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v与时间月近似地满足关系其中a，b为正常数，经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过个月参考数据：( )A. 20B. 27C. 32D. 405.某调查机构对某地区互联网行业进行了调查统计，得到如下该地区的互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计知该地区互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为，现从该地区互联网行业从业人员中选出1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为( )注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生A. B. C. D.6.已知函数的图象关于直线对称，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是( )A. 的图象关于直线对称B. 是奇函数C. 在上单调递减D. 的图象关于点对称7.已知，则( )A. B. C. D.8.已知函数，则单调递增的一个充分不必要条件可以是( )A. B. C. D.9.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是( )A.B. 直线为函数图象的一条对称轴C. 函数在区间上存在3个零点D. 若在区间上的根为，，则10.点P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则( )A. 存在点P，使得B. 弦长AB的最小值为C. 点A，B在以OP为直径的圆上D. 线段AB经过一个定点11.在数列中，为非零常数，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A. 是等方差数列B. 若正项等方差数列的首项，且，，是等比数列，则C. 等比数列不可能为等方差数列D. 存在数列既是等差数列，又是等方差数列12.如图，正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，则下列结论正确的是( )A. 直线可能与平面相交B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为C. 的周长的最小值为D. 当点M是的中点时，CM与平面所成角最大13.重庆八中某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是______.14.已知，设，则函数的最大值为______ .15.曲线过坐标原点的切线方程为______ .16.双曲线的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为______ .17.已知数列是等比数列，满足，且是与的等差中项.求数列的通项公式；设，为数列的前n项和，记，求的取值范围. 18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A；若，求周长的取值范围.19.如图，在四棱锥中，已知，证明：平面AOP；若，求平面POC与平面PAB所成夹角的余弦值.20.某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸单位：得到如表统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品.生产线甲49232824102乙214151716151完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？一等品非一等品合计甲乙合计将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这2个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附，其中；21.已知椭圆的左、右顶点分别为、，T为椭圆上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、，且求椭圆C的标准方程；设动直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，若，的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.22.已知当时，求函数的单调区间；当时，证明：函数有且仅有一个零点.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由，得或，则或，又，所以或故选：解一元二次不等式化简B，再根据并集的定义可求出结果．本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，集合的描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的乘除法法则，对z化简，再结合虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意可得，解得，再由可得，故选由求出的值，进而得到的值，再由运算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求出，是解题的关键，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：依题意列方程组得，解得，，所以，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以故选：根据v和t的两组值求出a，b，再根据求出t，即可得解．本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，由统计图可知，，所以，所以若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为故选：记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，根据统计图求得，，再根据条件概率的定义即可求解．本题考查条件概率相关知识，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，，所以，又，所以，所以，所以，所以的图象不关于直线对称，故A错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，所以不是奇函数，故B错误；令，得，当时，得函数在上单调递增，所以函数在上不单调递增，故C错误；令，得，当时，可得函数的图象关于点对称，故D正确．故选：先根据函数的图象关于直线对称，由，，求得，从而得到，然后再逐项判断．本题考查了三角函数的图象性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：，，，所以，，所以故选：，，作商，利用基本不等式可得，得，根据对数函数的单调性可得本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由且，令，要使单调递增，即恒成立，当时满足题设；当，可得，则，满足题设；综上，使单调递增，则，A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件．故选：对函数求导，根据单调递增有在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围，最后由充分必要性定义，即可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为，所以，所以周期，故A正确；对于B，因为为偶函数，所以，又，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，又在区间上的根为，，所以，故D错误．故选：根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误．本题考查了抽象函数的奇偶生、单调性及周期性，属于中档题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A，设，则，当且仅当时，等号成立，因为，，，，所以，所以，所以，故不存在点P，使得，故A不正确；对于B，根据圆的对称性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以故B正确；对于C，因为，，所以OP既是直角三角形OAP的外接圆的直径，又是直角三角形OBP的外接圆的直径，所以点A，B在以OP为直径的圆上，故C正确；对于D，设，则OP的中点为，所以以OP为直径的圆的方程为，即，因为AB是圆与圆的公共弦，所以直线AB的方程为：，当时，，所以直线AB：过定点，因为定点在圆内，所以线段AB经过定点，故D正确．故选：对于A，设，根据得，，得，可得A不正确；对于B，根据四边形面积关系列式求出，根据可求出，可得B正确；对于C，用以OP为直径的圆的方程和圆相减得公共弦所在直线方程，可得定点坐标，可得D正确．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于难题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，因为，，，，所以不是等方差数列，故A错误；对于B，因为，，，所以，，因为，，是等比数列，所以，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，故B正确；对于D，假设存在数列既是等差数列，又是等方差数列，则当时，且，若，则，则，不合题意，若，则，得，又，所以为常数，必有，与假设矛盾，故存在数列既是等差数列，又是等方差数列．故D错误；对于C，设等比数列的公比为q，则，则当时，，若为常数，则必有，此时，则数列不可能是等方差数列，故C正确．故选：根据等方差数列的定义依次分析、运算四个选项可得答案．本题考查数列中的新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.【答案】BD【解析】解：对于A，连，AC，，，，因为，平面，平面，所以平面，同理得平面，又，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A错误；对于B，过点M作，垂足为E，作，垂足为F，易得，因为平面ACD，所以平面ACD，，因为平面，所以平面，因为，，所以，所以故B正确；对于C，的周长为，，则最小时，的周长最小，将平面与平面展成同一平面，如图：当点A，M，C共线时，最小，作，交AB的延长线于N，则，，则，所以，即的周长的最小值为，故C错误；对于D，当点M是的中点时，，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以CM与平面所成角为，为最大角，故D正确．故选：对于A，根据线面平行和面面平行推出平面，故A错误；对于B，根据等体积法求出两个三棱锥的体积之和可得B正确；对于C，将平面与平面展成同一平面，根据点A，M，C共线时，最小，计算可得C错误；对于D，当点M是的中点时，可证平面，从而可得D正确．本题考查了空间点线面位置关系、空间角的求解，考查了空间想象能力、转化思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为故答案为：结合正态分布特点先求出，再结合独立重复试验的概率公式，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：，由，得，即的定义域为，令，因为，所以，所以在上为增函数，所以时，故答案为：由，求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值．本题考查了对数函数的性质、二次函数的性质，属于中档题15.【答案】【解析】解：由，得，设切点为，则，则过切点的切线的斜率为，切线方程为，又切线过原点，，即，解得，切线方程为故答案为：求出原函数的导函数，设切点坐标，利用导数得到过切点的切线方程，代入原点坐标求解切点横坐标，即可求得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，设切点是关键，是中档题．16.【答案】2【解析】解：双曲线的左焦点为，渐近线方程为，设F关于的对称点为，由题意可得，且，可得，代入可得，，则离心率故答案为：设双曲线的左焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．17.【答案】解：设公比为q，依题意得，得，解得或，当时，，，，不合题意，当时，，，满足，故由得，则，所以，所以，由于，得，所以，故的取值范围是【解析】根据等比数列的通项公式和等差中项列式求出和q可得结果；由等差数列求和公式求出，再根据裂项求和法求出，可得的取值范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以，因为，所以，得，即由知，，由正弦定理得，，所以，，所以，因为，所以，所以故【解析】利用正弦定理化边为角，并结合诱导公式与二倍角公式，化简可得，再根据A的取值范围，得解；由正弦定理得，，再利用三角恒等变换公式，推出，然后根据B的取值范围，并结合正弦函数的值域，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：在中，，所以所以，所以，所以又，所以又，OP，平面AOP，所以平面由知平面AOP，又平面OABC，所以平面平面AOP，又，所以，以OC为x轴，OA为y轴，过O且垂直于平面OABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．在直角三角形AOC中，，所以，在中，，则，所以，所以，又，所以又设平面POC的法向量，由，得，令，则，所以，设平面PAB的法向量，由，得，令，则，所以，所以，所以平面POC与平面PAB所成角的余弦值为【解析】计算可得，又，由线面垂直的判定可得平面以OC为x轴，OA为y轴，过O且垂直于平面OABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果．本题考查了线面垂直的证明和利用空间向量求两平面所成角的余弦值，考查了转化思想，属中档题．20.【答案】解：由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180，，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：012P；由已知零件为三等品的频率为，设余下的40个零件中三等品个数为X，则，，设检验费用与赔偿费用之和为Y，若不对余下的所有零件进行检验，则，所以若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为元，，应对剩下零件进行检验．【解析】作出列联表，求出，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和由二项分布可知，求出，分别求出对剩下的所有零件检测和不检测的费用，比较大小即可求解．本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：不妨设T的坐标为，则，则，又、，则故可得，可得，故可得椭圆C的方程为解：因为，且、均为非零向量，则当点A、B均为椭圆C的顶点时，则；若直线OA、OB的斜率都存在时，设直线OA的方程为，则直线OB的方程为，联立可得，所以，，同理可得，此时，，当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故当时，的面积存在最小值，且最小值为【解析】设T的坐标为，可得出，利用斜率公式结合可求出的值，即可得出椭圆C的标准方程；分析可知，分两种情况讨论：①当点A、B均为椭圆C的顶点时，直接求出的面积；②直线OA、OB的斜率都存在时，设直线OA的方程为，则直线OB的方程为，求出、关于k的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，综合可得出结论．本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆相交的位置关系，联立方程，利用三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．22.【答案】解：当时，，函数定义域为R，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；证明：当时，，函数定义域为，可得，不妨设，可得，所以函数在上单调递增，又，所以存在唯一一点，使，此时，即，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以当时，函数取得极大值，极大值，不妨设，可得，所以函数在上单调递减，此时，则函数在内无零点，又，所以在内有且只有一个零点，综上，有且只有一个零点．【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；将代入函数的解析式中，利用导数判断单调性，求出极值，再结合零点存在性定理进行求证即可．本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．。
2024届云南省三校高三下学期高考备考联考(七)数学试卷及答案
数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A BCD C A C【解析】1．由{|1}A x x =-≤≤0，得{|1U A x x =<- 或0}x >，而{1134}B =-，，，，依题意，阴影部分表示的集合(){134}U A B = ，， ，故选B ． 2．设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故1i z =-，故1i 1i 2++-=，故选A ．3．由题知，222||1()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++= ，，所以1π2cos 1cos 23θθθ===，，，故选B ．4．由题意可知A ：两人都没选择篮球，即4416(5525P A =⨯=，所以9()1(25P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则428()5525P AB ⨯==⨯，所以8()825(|)9()925P AB P B A P A ===，故选C．5．如图1所示，高线为MN，由方斗的容积为28升，可得128(4163MN =++ ，解得3MN =．由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB ==，AB =，侧面积为，所以方斗的表面积为2(20s =+，故选D ． 6．设a ，b ，c 分别为角A，B ，C 所对的边，在ABC △中，由正弦定理可得，22sinsin sin a b c R A B C ====，所以sin 2c C =，11sin 22244ABC c abc S ab C ab ==== △ =，故选C ．图1数学参考答案·第2页（共10页）7．根据已知条件有11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，1n n a a n --=，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以1234n a n =+++++(1)(2)2n n n +=≥，经检验11a =符合上式，所以(1)()2*n n n a n ∈+=N ，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则11121223n S ⎡⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣ 1111223411n n n ⎤⎛⎫⎛⎫+-++-=- ⎪ ⎪⎥++⎝⎭⎝⎭⎦，所以3026023131S =-=，故选A ． 8．根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()e ln x g x x x x =--，(0e)x ∈，，则函数e (n )l xf x x x a x =---在(0e)，上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点．111(1)(e 1)()e e 1e (1)(1)e x x xx x x x x g x x x x x x x x ++-⎛⎫=+--=+-=+-= ⎪⎝⎭'，令()e x h x x = 1-，(0e)x ∈，，则()e e 0x x h x x ='+>，故()h x 在(0e)，上单调递增，因为(0)10h =-<，(1)e 10h =->，所以存在唯一的0(01)x ∈，，使得0()0h x =，即00 e 10x x -=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，0()0h x <， ()0g x '<，()g x 单调递减，当0e x x <<时，0()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0min 000000()()e ln 11x g x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x →+∞，故(0e)x ∈，，()[1)g x ∈+∞，，所以1a ≥，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号9 10 11 答案AB AD ABD【解析】 9．对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A正确；对于B ，根据方差公式2222121[(()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，可知若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0，则12n x x x === ，B 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于D ，2χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB ．数学参考答案·第3页（共10页）10．对A ，由(0)1f =-，1ϕ=-，即sin 2ϕ=，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ=-∴，又()f x 的图象过点π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω-=∴，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，2ω=∴，所以π5π()2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，则5π5π23π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ2k +，k ∈Z ，方程()1f x =在(0)m ，上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π424242，，，，，，而第7个根为13π4，所以5π13π24m <≤，故D 正确，故选AD ． 11．对A 选项：当αβ⊥时，因为l αβ= ，AC l ⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为BD l ⊥，AC AB BD ==，所以AD ==，所以sin 3AC CDA CD ∠===，故A 正确；对B 选项：如图2，过A 作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB DE ∥，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE BD ∥，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠=︒，由AC l ⊥、AE l ⊥、AC AE A = ，且AC ，AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE l ∥，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥．由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠=︒，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠=︒，即直线AB 与CD 所成角为45︒，故B 正确；对于D ，如图3，作AE BD ∥，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC △中，易得CE =，在ACE △中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，图2 图3数学参考答案·第4页（共10页）120CAE ∠=︒，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得2CO =，1HO =，2CH =，所以cos 7OH CHO CH∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠=︒，如图4，分别取线段AD ，AE 的中点G ，M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE △的外接圆半径112sin120r =⨯=︒，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π3R =C 错误，故选ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】 12．含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x -+-=- ，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，23458a a a a +++=∴．13．()f x 定义域为210x b +>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-．14．如图5，伞的伞沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C ，O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由OF BC ⊥,||||OF OB ==，得||a c BF +==45FBC∠=︒，||2AB a =，||BC =，在ABC △中，60BAC ∠=︒，则75ACB ∠=︒，1sin 75sin(4530)2︒=︒+︒=+ 图5 图4数学参考答案·第5页（共10页）4+=，由正弦定理得，2sin 75sin 60a =︒︒，解得2a =，则2c -=，所以该椭圆的离心率2ce a== 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）圆1C ：22(3)1x y ++=的圆心为1(30)C -，，半径为1， 圆2C ：22(3)1x y -+=的圆心为2(30)C ，，半径为1， 设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则12||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（2分）可得21||||2CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则21||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（4分）可得12||||2CC CC -=； 综上所述：12||||||2CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1a =，3c =， 可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=．……………………………（6分）（2）联立方程22180y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 消去y 得227280x mx m ---=， ………………………………………（8分）则222428(8)32(7)0m m m ∆=++=+>，可知直线与双曲线相交，………………………………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共10页）如图6，设1122()()A x y B x y ，，，，线段AB 的中点为00()M x y ，， 可得12027x x m x +==，0087m y x m =+=，即877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，， ………………………………………………………（11分）且877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±， 又0m >，所以实数m 的值为7． ………………………………………（13分）16．（本小题满分15分） 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，21()2a f x x x -'=+， ……………………………………………………（1分）又曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线12y x =-垂直，所以(1)122f a -+'==，即1a =． ………………………………………（3分）1()ln 2f x x x x =++∴，2(1)(21)()(0)x x f x x x +-=>'， 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，， 由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．………………………………………………………（6分）（2）由（1）知不等式()22mf x x x+≥恒成立， 可化为1ln 222m x x x x x+++≥恒成立，即ln 12m x x + ≤恒成立．………………………………………………………（8分）令()ln 1g x x x =+ ，……………………………………（10分）当1e 0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．………………………………………………………（12分）图6数学参考答案·第7页（共10页）所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-． ……………………………………（13分）由ln 12mx x + ≤恒成立， 得22e m -≤，即实数m 的取值范围是22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，． ………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接MB MC ，，由已知可得12AM MF MD BM CM ====，，，……………………………………………………………（2分）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD FM =⊂，平面ADEF ， FM AD FM ⊥⊥，∴平面ABCD ， ……………………………………………………………（4分）MB MC ⊂，∵平面ABCD FM MB FM MC ⊥⊥，，∴，BF CF ==∴ 222BF CF BC +=，∴BF CF ⊥∴．…………………………………………………（6分） （2）解：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， 则(130)(021)(011)C E F ，，，，，，，，，……………………………………………………………（8分）(011)(111)(010)AF CE EF ==--=- ，，，，，，，，∴，……………………（9分） 设平面CEF 的法向量为()n x y z = ，，，则00n EF y n CE x y z ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩，，令1x =得(101)n =，，， …………………………………（12分） 设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，||1sin |cos |2||||AF n AF n AF n θ=〈〉===，．………………………（14分）ππ026θθ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，∵∴，即直线AF 与平面CEF． ……………………………（15分）图7数学参考答案·第8页（共10页）18．（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==． …………………………………………………………（3分）（2）由题可知ξ可取123，，，221123222222224444C C C C C 7(1)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（4分）221123222222224444C C C C C 7(3)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（5分） 11(2)1(1)(3)18P P P ξξξ==-=-==， ………………………………………（6分）所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为………………………………………（8分）（3）记1n a -为第(2)n n ≥号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，……………………………………………………………（9分）1n b -为第(2)n n ≥号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211318b b ==，…………………………………………………………（10分）则第(2)n n ≥号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----， 且12222211(1)(3)322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，………………………………………（12分）得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，， 而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，数学参考答案·第9页（共10页）所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ………………………（15分）因此111111()123(1)322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）①解：因为(021)A ，，，(132)B -，，， 则021402032(112)132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- ，，．……………………………………………………………（3分）②证明：设111()A x y z ，，，222()B x y z ，，，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i z ⨯=++--- 122112211221()z z x z x x y x y y z y --=-，，， 将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换， 可得211221122112()OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---，，， 故(000)0OA OB OB OA ⨯+⨯== ，，．………………………………………（7分）（2）证明：因为sin AOB ∠==OA OB =，故1||||sin 2AOBS OA OB AOB =∠=△， 故要证1||2AOBS OA OB =⨯△，只需证||OA OB ⨯= 即证2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=- ．数学参考答案·第10页（共10页）由（1）111()OA x y z = ，，，222()OB x y z =，，，122112211221()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，，， 故2222122112211221||()()()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又2222111||OA x y z =++ ，2222222||OB x y z =++ ，22121212()()OA OB x x y y z z =++ ，则2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-成立， 故1||2AOB S OA OB =⨯△． ………………………………………（13分）（3）解：由（2）1||2AOB S OA OB =⨯△， 得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1||2|2||2|AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⨯=⨯△， 故21()||63AOB OA OB S OA OB ⨯=⨯⨯△，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB △为底面、||OA OB ⨯为高的三棱锥体积的6倍． ………………………………………（17分）。
2023-2024学年云南省三校高三高考实用性联考卷(八)数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2023-2024学年云南省三校高三高考备考实用性联考卷（八）数学试题已知，是方程的两个复根，则A. 2B. 4C. 2iD. 4i 2.已知集合，，若，则( )A. 0或1B. 1或2C. 0或2D. 0或1或23.有7个人排成前后两排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同学站在前排，乙同学站在后排的概率为( )A. B. C.D. 4.平面向量与的夹角为，已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )A.B.C.D.5.已知椭圆E ：的左、右焦点分别为，如图，过的直线交E 于P ，Q 两点，且轴，，则E 的离心率为( )A. B. C. D.6.已知正四棱锥的高为h ，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高h 的值为( )A. 2B.C. 4D.7.定义方程的实数根x叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为m，n，则m，n的大小关系为( )A. B. C. D.8.若，则的最小值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，都是定义在R上且不恒为0的函数，则( )A. 为偶函数B. 为奇函数C. 若为奇函数，为偶函数，则为奇函数D. 若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数10.已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则11.在如图所示的平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于A，B两点.则( )A. 若A点的横坐标为，B点的纵坐标为，则B.C.D. 以，，为三边构成的三角形的外接圆的面积为12.已知在长方体中，，，点P是四边形内包含边界的一动点，设二面角的大小为，直线PB与平面ABCD所成的角为，若，则( )A. 点P的轨迹为一条抛物线B. 直线与直线CD所成角的最大值为C. 线段PB长的最小值为3D. 三棱锥体积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省三校2024届高三下学期3月高考备考实用性联考卷(七) 数学及答案
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{}{}10,1,1,3,4A xx B =-=-∣ ，那么如图阴影部分表示的集合为（）A.{}1,4-B.{}1,3,4C.{}1,4D.{}1,3,4-2.若1i +是一元二次方程20,x ax a a -+=∈R 的根，则该方程的两根之和为（）A.2B.1i -C.22i- D.13.已知(1,0),||1,||a b a b ==+=a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件A ：“两人至少有一人选择篮球”，事件B ：“两人选择的兴趣班不同”，则概率()P BA =∣（）A.49B.59C.89D.455.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（）A.(220dm+ B.(220dm+ C.256dm D.(220dm+6.已知圆的半径为1,,,a b c 分别为该圆的内接ABC 的三边，若abc =ABC 的面积为（）B. C. D.7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n 层有n a 个球，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前30项和为（）A.6031B.382C.2031D.19318.已知函数()e ln xf x x x x a =---，若()0f x =在()0,e x ∈有实数解，则实数a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.[)e,∞+二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设随机变量X 的均值为,a μ是不等于μ的常数，则X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度（偏离程度用差的平方表示）B.若一组数据12,,,n x x x 的方差为0，则所有数据()1,2,,i x i n = 都相同C.用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好D.在对两个分类变量进行2χ独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线5π8x =对称C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,,C AC l D BD l αβ∈⊥∈⊥，且AC AB BD ==，则（）A.当αβ⊥时，直线CD 与平面β所成角的正弦值为33B.当二面角l αβ--的大小为60 时，直线AB 与CD 所成角为45C.若22CD AB ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为55π3D.若2CD AB =，则二面角C BD A --的余弦值为277三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=__________.13.若()2ln 1f x x b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则b =__________.14.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为__________.四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设圆C 与两圆222212:(3)1,:(3)1C x y C x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2265x y +=上，求实数m 的值.16.（本小题满分15分）已知函数()1ln 2f x a x x x =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()22mf x x x+ 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在几何体ABCDEF 中，ADEF 为等腰梯形，ABCD 为矩形，AD ∥,1EF AB =，3,2,1AD DE EF ===，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明：BF CF ⊥；（2）求直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）现有标号依次为1,2,,n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个黑球和2个白球，其余盒子里都是1个黑球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子， ，依次进行到从1n -号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止.（1）当2n =时，求2号盒子里有3个黑球的概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中黑球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X .19.（本小题满分17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a a b b b a b c a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---.若111222i j ka b x y z x y z ⨯=，则称a b⨯ 为空间向量a 与b的叉乘，其中()()111111222222,,,,,a x i y j z k x y z b x i y j z k x y z =++∈=++∈R R ，{},,i j k 为单位正交基底.以O 为坐标原点，分别以,,i j k的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,A B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.（1）①若()()0,2,1,1,3,2A B -，求OA OB ⨯；②证明：0OA OB OB OA ⨯+⨯=.（2）记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯；（3）问：2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的多少倍？2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.由{}10A x x =-∣ ，得U {1A x x =<-∣ð或0}x >，而{}1,1,3,4B =-，依题意，阴影部分表示的集合(){}U1,3,4A B ⋂=ð，故选B.2.设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故z 1i =-，故1i 1i 2++-=，故选A.3.由题知，222||1,()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++=，所以1π2cos 1,cos ,23θθθ===，故选B.4.由题意可知A ：两人都没选择篮球，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则()4285525P AB⨯==⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===∣，故选C.5.如图所示，高线为MN ，由方斗的容积为28升，可得(1284163MN =++⋅，解得3MN=.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB AB ===，侧面积为面积为(220dm s =+，故选 D.6.设,,a bc 分别为角,,A B C 所对的边，在ABC 中，由正弦定理可得，22sin sin sin a b c R A B C====，所以11162sin ,sin 222244ABC c c abc C S ab C ab ===⋅=== ，故选C.7.根据已知条件有11a =，当2n 时，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以()()1123422n n n a n n +=+++++=，经检验11a =符合上式，所以()()*12n n n a n +=∈N ，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则111111122122233411n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以3026023131S =-=，故选A.8.根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()()e ln ,0,e xg x x x x x =--∈，则函数()e ln x f x x x x a =---在()0,e 上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点.()()()()()1e 1111e e 1e 11e xx x x xx x x g x x x x x x x x +-+⎛⎫=+--=+-=+'-=⎪⎝⎭，令()()e 1,0,e x h x x x =-∈，则()e e 0x x h x x =+>'，故()h x 在()0,e 上单调递增，因为()010h =-<，()1e 10h =->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x =，即00e 10x x -=，即001e xx =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()()()00,0,h x g x g x <'<单调递减，当0e x x <<时，()()()00,0,h x g x g x >'>单调递增，所以()0min 000000()e ln 11xg x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x ∞→+，故()()[)0,e ,1,x g x ∞∈∈+，所以1a ，故选C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABADABD【解析】9.对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A 正确；对于B ，根据方差公式()()()2222121s n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，可知若一组数据1x ，2,,n x x 的方差为0，则12,B n x x x === 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于2D,χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB.10.对A ，由()01f =-1ϕ=-，即2sin 2ϕ=-，又πππ,224ϕϕ-<<∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππππsin 0,π8484k ωω⎛⎫-=∴-= ⎪⎝⎭，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02,2ωω<∴= ，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5π2cos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，方程()1f x =在()0,m 上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个根为13π4，所以5π13π24m < ，故D 正确，故选AD.11.对A 选项：当αβ⊥时，因为,l AC l αβ⋂=⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为,BD l AC AB BD ⊥==，所以AD ==，所以sin 3ACCDA CD∠===，故A正确；对B 选项：如图，过A 作AE ∥BD ，且AE BD =，连接,ED EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB ∥DE ，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE ∥BD ，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠= ，由AC l AE l AC AE A ⊥⊥⋂=､､，且,AC AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE ∥l ，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥.由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠= ，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠= ，即直线AB 与CD 所成角为45 ，故B 正确；对于D ，如图，作AE ∥BD ，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC中，易得CE =，在ACE 中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，120CAE ∠= ，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得37,1,22CO HO CH ===，所以27cos 7OH CHO CH ∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠= ，如图，分别取线段,AD AE 的中点,G M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE 的外接圆半径1312sin120r =⨯= ，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π36R =，故C 错误，故选AB D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x ⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即01234523450,8a a a a a a a a a a =+++++∴+++=.13.()f x 定义域为210x b+>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-.14.如图，伞的企沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为,C O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由,OF BC OF OB ⊥==，得45,2,a c BF FBC AB a BC ∠+===== ABC 中，60BAC ∠= ，则()175,sin75sin 453022224ACB ∠==+=⨯+⨯= ，由正弦定理得，2sin75sin60a =，解得2a =，则2c =，所以该椭圆的离心率2c e a ==-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）圆221:(3)1C x y ++=的圆心为()13,0C -，半径为1，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以12C C ､为焦点的双曲线，且1,3a c ==，可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=.（2）联立方程221,80,y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得227280x mx m ---=，则()()222Δ42883270m m m =++=+>，可知直线与双曲线相交，如图6，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，可得120008,277x x m m x y x m +===+=，即8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±，又0m >，所以实数m 的值为7.16.（本小题满分15分）解：（1）函数()f x 的定义域为()21{0},2a xx f x x x >=-'+∣，又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直，所以()1122f a =-+='，即1a =.()()()()21211ln 2,(0)x x f x x x f x x x x +-+'∴=+=>，由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知不等式()22m f x x x + 恒成立，可化为1ln 222m x x x x x +++ 恒成立，即ln 12m x x ⋅+ 恒成立.令()ln 1g x x x =⋅+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-.由ln 12m x x ⋅+ 恒成立，得22e m - ，即实数m 的取值范围是2,2e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.17.（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接,MB MC ，由已知可得1,2,2,5AM MF MD BM CM =====，平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,ABCD AD FM =⊂平面ADEF ，,FM AD FM ⊥∴⊥平面ABCD ，,MB MC ⊂ 平面,,ABCD FM MB FM MC ∴⊥⊥，3,6BF CF ∴==，222BF CF BC ∴+=，BF CF ∴⊥.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系,A xyz -则()()()1,3,0,0,2,1,0,1,1C E F ，()()()0,1,1,1,1,1,0,1,0AF CE EF ∴==--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF y n CE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令1x =得()1,0,1n = ，设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，1sin cos ,2AF n AF n AF nθ⋅==== .ππ0,,26θθ⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦ ，即直线AF 与平面CEF所成角的余弦值为2.18.（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==.（2）由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为ξ123P 7361118736（3）记1n a -为第()2n n 号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n 号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211,318b b ==，则第()2n n 号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++-- ，化解得121162n n b b --=+，得12131331,565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=.19.（本小题满分17分）（1）①解：因为()()0,2,1,1,3,2A B -，则()0214020321,1,2132i j k OA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- .②证明：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k z x j y z i⨯=++--- ()122112211221,,y z y z z x z x x y x y =---，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得()211221122112,,OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，故()0,0,00OA OB OB OA ⨯+⨯== .（2）证明：因为sin AOB ∠===.故1sin 2AOB S OA OB AOB ∠=⋅= ，故要证12AOB S OA OB =⨯ ，只需证OA OB ⨯= ，即证2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ .由（1）()()()111222122112211221,,,,,,,,OA x y z OB x y z OA OB y z y z z x z x x y x y ==⨯=--- ，故()()()2222122112211221||OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又()2222222222111222121212|,|,()OA x y z OB x y z OA OB x x y y z z =++=++⋅=++ ，则2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅ 成立，故12AOBS OA OB =⨯ .（3）解：由（2）12AOB S OA OB =⨯ ，得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1222AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⋅⨯=⋅⨯ ，故21()63AOB OA OB S OA OB ⨯=⋅⨯⨯ ，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯ 为高的三棱锥体积的6倍.。
三校生数学考试题及答案
三校生数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程2x+3=7的解？A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B2. 函数y=x^2-4x+4的最小值是多少？A. 0B. 1C. 4D. 7答案：A3. 已知一个等差数列的首项为3，公差为2，那么它的第五项是多少？A. 11B. 13C. 15D. 17答案：C4. 一个圆的半径为5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C5. 以下哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^5答案：B6. 计算下列极限：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\]A. 0B. 1C. πD. 2答案：B7. 一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边的夹角为60度，那么这个三角形的面积是多少？A. 3√3B. 4√3C. 6√3D. 8√3答案：A8. 以下哪个不等式是正确的？A. |x| > xB. |x| ≥ xC. |x| < xD. |x| ≤ x答案：B9. 计算下列定积分：\[\int_0^1 x^2 dx\]A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A10. 以下哪个选项是不等式x^2 - 4x + 4 ≤ 0的解集？A. (-∞, 2]B. [2, ∞)C. (-∞, 2) ∪ (2, ∞)D. {2}答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算等比数列的前三项和，首项为2，公比为3，和为______。
答案：1412. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值，结果为______。
答案：513. 一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么斜边的长度为______。
答案：1014. 计算下列极限：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\]结果为______。
云南省三校2025届高三高考备考实用性联考卷(二)数学试题+答案
2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，()()1i 2i −+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．“a b >”是“ln ln a b >”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin 2sin A B =，则2222b a a−的值为（ ） A ．19−B ．13C ．1D ．724．已知()2,X N µσ∼，且()()330.2P X t P X t >+=<−=，则()33P t X −<<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.85．在ABC △中，点D 是线段BC 上的一点，且满足3BC BD =，点P 是线段AD 的中点，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则m n +=（ ） A ．13B ．13−C ．12D ．12−6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a 值为（ ）A ．1−B ．C ．D ． 7．已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，体积为7π，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B C ．D ．68．1x ，2x 为函数()log 3a f x x =−的两个零点，其中12x x <，则下列说法错误的是（ ）A ．121x x =B ．122x x +>C ．124x x +的最小值为4D ．124x x +的最小值为4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列；{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221n n S n n =−+−，*n ∈N ，则（ ）A ．12a =−B ．11b =C ．4d q +=D ．1d =10．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2c B b C c +=，且2sin sin sin B A C =，则（ ）A ．a ，b ，c 成等比数列B ．ABC △为钝角三角形C ．A ，B ，C 成等差数列D ．若2c =，则ABC S =△11．现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）A ．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为14B ．第二次抽到蓝色球的概率为316C ．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子D ．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．()1012x −的展开式中x 项的系数为______． 13．已知()f x ′是定义域为π0,2的函数()f x 的导函数，且()()sin cos 0f x x f x x +<′，则不等式()1πsin 26f x x f>的解集为______． 14．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n−=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e −=______，12e e 的取值范围是______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：不少于5本少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计95105200（1）依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用； （2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数X 的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：α0.10.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.841 6.635 7.879 10.82816．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥S ABCD −中，SA ⊥平面ABCD ，90CDA DCB ∠=∠=°，224BC AD CD ===．（1）求证：平面SAC ⊥平面SAB ；（2）若平面SAB 与平面SCD ，求线段SA 的长． 17．（本小题满分15分） 已知函数()()31ln 3f x x x ax x a =−−∈R ． （1）()f x 在1x =处的切线与直线y x =垂直，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围． 18．（本小题满分17分）抛物线()2Γ:20y px p =>的图象经过点()1,2M −，焦点为F ，过点F 且倾斜角为θ的直线l 与抛物线Γ交于点A ，B ，如图．（1）求抛物线Γ的标准方程； （2）当π3θ=时，求弦AB 的长； （3）已知点()2,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线Γ交于点C ，D ．证明：直线CD 过定点． 19．（本小题满分17分） 如图，已知点列2,n n nP x x与(),0n n A a 满足1n n x x +>，11n n n n P P A P ++⊥ 且11n n n n P P A P ++= ，其中n +∈N ，11x =．（1）求2x ；（2）求1n x +与n x 的关系式；（3）证明：22222123141n x x x x n +++++≤+ ．2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBDBDABC【解析】1．()()21i 2i 2i 2i i 3i −+=+−−=− ，∴其对应的点坐标为()3,1−，位于第四象限，故选D ． 2．由题意，利用对数函数性质可知：ln ln 0a b a b a b >⇒>>⇒>，故必要性成立；而ln ln a b a b >⇒>，但不能确定a ，b 是否都大于0，若a ，b 小于0时函数无意义，故a b >不能推出ln ln a b >，故充分性不成立，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要而不充分条件，故选B ．3．因为3sin 2sin A B =由正弦定理得32a b =，所以32b a =，22222237212122b a b a a −=×−=×−=，故选D ． 4．根据正态曲线的对称性，由()()33P X t P X t >+=<−，得3332t tµ++−==，再由总体密度曲线，数形结合知：()330.3P t X −<<=，故选B ．5．由题意，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，而1112123636BP AP AB AD AB AB AC AB AB AB =−=−=+−=−+ ，由已知，2,31,6m n=− =则12m n +=−，选项D 正确，故选D ．6．由()max 2f x =得2A =，()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后图象关于原点对称，得函数()f x 的图象过点π,012，所以7ππ12122T −=，所以2ππT ω==，故2ω=，又π012ωϕ+=，得π6ϕ=−，所以()π2sin 26f x x =−，π2sin 16a=−=− ，故选A ． 7．圆台的高为h ，则圆台的体积()221π12127π3V h =++××=，解得3h =，如图，取上下底面圆心M 、N ，连接MN 、MC 、NC ，由圆台性质可知MN NC ⊥，且3MN =，又2NC =，故MC MC 为ABC △以AB 为底的高时，ABC △面积最大，且其最大值为122×B ．8．函数()log 3a f x x =−的定义域为()0,+∞，0a >且1a ≠，由()0f x =，得log 3a x =，因此直线y 3=与函数log a y x =的图象有两个公共点，其横坐标为1x ，2x ，a 比1大还是小对log a y x =的图象没有影响，可令1a >，而当01x <<时，log a y x =−递减，当1x >时，log a y x =递增，于是1201x x <<<，对于A ，由12log log a a x x =，得12log log a a x x −=，即121x x =，A 正确；对于B，12221x x x x +=+，而函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此122212x x x x +=+>，B 正确；对于C ，1222144x x x x +=+，函数14y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此12221445x x x x +=+>，C 错误；对于D ，1222444x x x x +=+≥，当且仅当22x =时取等号，D 正确，故选C ． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案BCABDACD【解析】 9．()()12111111212211nn n b q n n b b d d S na d n a n q qq q −−=++=+−+−+ −−−， 221n n S n n =−+− ，11112121111dd a b q bq=−=−∴ −=− − ，10a ∴=，2d =，11b =，2q =，故选BC ．10．2sin sin sin B A C = ，由正弦定理可得2b ac =，且,,0a b c >，则a ，b ，c 成等比数列，故A 正确；将cos cos 2c B b C c +=，利用正弦定理化简得：sin cos sin cos2sin C B BC C +=，即()sin 2sin C B C +=，sin 2sin A C ∴=，利用正弦定理化简得：2c a =，222b ac c ∴==，b ∴，::2:2a bc c c ∴==，所以A 角最大，由222cos 02c b a A cb +−==<得A 角为钝角，故B 正确；若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，且πA B C ++=，可得π3B =，则由余弦定理可得2222224231cos 22242a cbc c cB ac c c +−+−===≠×，故C 错误；若2c =，可得b =，4a =，则b c >，由3cos 4B =，()0,πB ∈，可得sin B =，所以1sin 2ABC S ac B==△D 正确，故选ABD ．11．对于选项A ，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内，此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球，因此第二次抽到蓝色球的概率为14，故A 选项正确；对于选项B 、C ，记1A =“第一次抽到红色球”，2A =“第一次抽到黄色球”，3A =“第一次抽到蓝色球”，1B =“第二次在红色箱子中抽到蓝色球”2B =“第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”，3B =“第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”，B =“第二次抽到蓝球”，易知1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()112P A =，()()2314P A P A ==，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A == ===×+×+×= ∑∑，故B 选项错误；第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同，所以()()()()111111624111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()222211344111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()333311246111148P A P B A P A B P B ×===，所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，故C 选项正确；对于D ，将5个不同的小球分成3组（每组至少一个）（按1:1:3分或按2:2:1分）再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有2223535322C C C A 150A +=种，故D 选项正确，故选ACD ． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．展开式中x 的系数为()1110C 220−=−． 13．设()()sin g x f x x =，()()()sin cos 0g x f x x f x x +′=<′，所以函数()g x 单调递减，()()1πππsin sin sin 2666f x x f f x x f >⇔> ，即()π6g x g > ，得π6π02x x <<<，所以π06x <<，所以不等式的解集为π0,6． 14．由已知可得()23c a m =−，所以23a mc c=−，即121123e e −=；所以，()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a −−+=⋅====+−．令a t m =，则129124e e t t =+−．因为a m >，所以1at m =>．又1212MF MF F F +>，所以有()223a c a m >=−，所以有3a m <；1212MF MF F F −<，所以有()223m c a m <=−，所以有35a m >，所以5,33a t m =∈ ．设函数12y t t =+−，则2110y t =−>′，函数12y t t=+−在区间5,33上单调递增，所以44153y <<，所以12335e e <<． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）零假设0H ：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；由表中数据可知，()2220035406560500012.5310.82810595100100399χ×−×==≈>×××， 故可推断0H 不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．（2）由题意可知，X 的可能取值为0、1、2，()3436C 10C 5P X ===；()214236C C 31C 5P X ===；()124236C C 12C 5P X ===，所以X 的数学期望为：()1310121555E X =×+×+×=． 16．（本小题满分15分）（1）证明：设BC 中点为E ，连接AE ，如图，因为90CDA DCB °∠=∠=，且AD CD =， 故四边形ADCE 为正方形，而AC 2AE =，AB所以222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥， 因为SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以SA AC ⊥，又,SA AB ⊂平面SAB ，SA AB A = ， 所以AC ⊥平面SAB ， 因为AC ⊂平面SAC ， 所以平面SAC ⊥平面SAB ．（2）解：以A 为坐标原点，AE 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，设()0SA a a =>，则()2,2,0C ，()0,2,0D ，()2,2,0B −，()0,0,S a ， 所以()0,2,SDa =−，()2,0,0DC =，设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n SD n DC ⋅=⋅=，即2020y az x −= = ，令2z =，所以()0,,2n a =，由（1）知，平面SAB 的法向量为()2,2,0AC =，设平面SAB 与平面SCD 所成角为θ，则cos θ=cos,AC nAC nAC n⋅==，解得a=a=，所以AS=．17．（本小题满分15分）解：（1）易知()22ln11lnf x x ax x ax′=+−−=−，又()f x在1x=处的切线与y x=垂直，所以()11f′=−，即1a−=−，所以1a=．（2）因为()2lnf x x ax=−′，且()f x有两个极值点，所以方程()0f x′=在()0,+∞上有两个不同的根，即方程2ln0x ax−=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()2ln xg xx=与函数y a=的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，则()()4312ln12lnx x xg xx x−−==′，令()312lnxg xx−==′，解得x=当x>()0g x′<，()g x单调递减，当0x<<时，()0g x′>，()g x单调递增，且当1x>时，()0g x>，且x+∞，()0g x→，()10g=，故作出()g x的图象如图所示：由图象可知10,2ea∈满足题意，即a的取值范围为10,2e．18．（本小题满分17分）（1）解：曲线22y px=图象经过点()1,2M−，所以()222p−=，所以2p=，所以抛物线Γ的标准方程为24y x=．（2）解：由（1）知()1,0F ，当π3θ=时，l的方程为)1y x −，联立)214y x y x=− = ，得231030x x −+=，则12103x x +=， 由12163AB x x p =++=，所以弦163AB =． （3）证明：由（1）知()1,0F ，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立214x my y x=+ = 得2440y my −−=，2Δ16160m =+>， 因此124y y m +=，124y y =−．设直线AC 的方程为2x ny =+，联立224x ny y x=+ = 得2480y ny −−=， 则2Δ16320n =+>′，因此134y y n +=，138y y =−，得318y y −=， 同理可得428y y −=． 所以()343412223434341212441882244CD y y y yy y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−． 因此直线CD 的方程为()332x m y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上，令0y =得，2233331181822244y x my x my m y y −−=−+=−+=−+ ()122122222111111144161616444444y y y y y m y y y y y y y + +=+=+=++=+⋅=， 所以，直线CD 过定点()4,0．19．（本小题满分17分）解：（1）因为1212PP A P ⊥ ，1212PPA P = ，所以()()21221222221212124222x a x x x x x a x x x −=−+−=−+，得2122x x x −=，所以22x =． （2）由11122,n n n n n n P P x x x x +++ =−−，1112,n n n n n A P x a x +++ =− ，1112140n n n n n n n nP P A P x a x x ++++⋅=⇒−= ①， 又11n n n n P P A P ++= ，则()()22221111222n n n n n n n x x x a x x x ++++ −+−=−+②，将①代入②得()()22111222222111114444211n n n n n n n n n n n n n X X X X x X X X X X x X X ++++++++ −+=+⇒−=⇒−=． （3）要证22222123141n x x x x n +++++≤+ 等价于证明22222314n x x x n ++++≤ ，当2n ≥时，()12122212n n n n i i i i i i x x x x x ++===+−=−=<∑∑ ()2221111122211112212n n n n n n n n n n i i n i x x x x x x x x x x n x ++++++++= −=⇒=−<− ⇒−=−>⇒> ∑，<−，所以12n x x +−≤12n x +⇒≤−2188484n x n n +⇒≤++−≤−()()2222231413214n x x x n n +⇒+++≤+++−= ， 22222314n x x x n +∴+++≤ ，22222123141n x x x x n +∴++++≤+ ．。
2024年云南省三校高考备考联考卷(一)数学试题及答案
２０２５届云南三校高考备考实用性联考卷(一)数㊀学注意事项:１ 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２ 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.３ 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回.满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟.一㊁单项选择题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的)１.已知集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ－３>０}ꎬＢ＝{ｘ０<ｘ<４}ꎬ则(∁ＲＡ)ɘＢ＝Ａ.(３ꎬ４)Ｂ.(０ꎬ３]Ｃ.(－ɕꎬ３)ɣ(１ꎬ４)Ｄ.(－ɕꎬ－１)２.已知复数ｚ＝２ｉ１＋ｉꎬ则下列说法正确的是Ａ.ｚ＝１－ｉＢ.ｚ＝２Ｃ.ｚ－＝１＋ｉＤ.ｚ的虚部为ｉ㊀图１３.如图１ꎬαꎬβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角ꎬ则ｔａｎ(α＋β)＝Ａ.－３Ｂ.３３Ｃ.３Ｄ.１４.假设ＡꎬＢ是两个事件ꎬ且Ｐ(Ａ)>０ꎬＰ(Ｂ)>０ꎬ则下列结论一定成立的是Ａ.Ｐ(ＡＢ)ɤＰ(ＢＡ)Ｂ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｃ.Ｐ(ＢＡ)＝Ｐ(ＡＢ)Ｄ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(ＢＡ)５.已知ａ＝ｌｏｇ５２ꎬｂ＝ｌｏｇ７３ꎬｃ＝１２ꎬ则下列判断正确的是Ａ.ｃ<ｂ<ａＢ.ｂ<ａ<ｃＣ.ａ<ｂ<ｃＤ.ａ<ｃ<ｂ６.在前ｎ项和为Ｓｎ的正项等比数列{ａｎ}中ꎬ设公比为ｑꎬ{ａｎ}满足ａ１ａ４＝８ꎬａ３＝ａ２＋２ꎬｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎＳｎ＋１ꎬ则Ａ.ｑ＝１２Ｂ.Ｓｎ＝２ａｎ＋１Ｃ.ｂｎ＝ｎ－１２ｎＤ.数列{ｂｎ}的最大项为ｂ３７.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＭ是线段Ｃ１Ｄ１(不含端点)上的动点ꎬＮ为ＢＣ的中点ꎬ则Ａ.ＣＭʊ平面Ａ１ＢＤＢ.ＢＤʅＡＭＣ.ＭＮʊ平面Ａ１ＢＤＤ.平面Ａ１ＢＤʅ平面ＡＤ１Ｍ８.已知Ｆ为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左焦点ꎬＡ是Ｃ的右顶点ꎬ点Ｐ在过点Ｆ且斜率为２－３的直线上ꎬøＯＡＰ＝２π３且线段ＯＰ的垂直平分线经过点Ａꎬ则Ｃ的离心率为Ａ.３－２Ｂ.３－１Ｃ.３Ｄ.６二㊁多项选择题(本大题共３小题ꎬ每小题６分ꎬ共１８分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得６分ꎬ部分选对的得部分分ꎬ有选错的得０分)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ＋２ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.点(０ꎬ２)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｃ.ｆ(ｘ)有三个零点Ｄ.直线ｙ＝０是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的一条切线１０.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｃｏｓ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬφɤπ２æèçöø÷的最小正周期为πꎬ且过点(０ꎬ２)ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的一条对称轴为ｘ＝π２Ｃ.ｆ(ｘ)的周期为π２Ｄ.把函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个长度单位得到函数ｇ(ｘ)的解析式为ｇ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋π３æèçöø÷１１.已知ａｎ＝２ｎ和ｂｎ＝３ｎ－１ꎬ数列{ａｎ}和{ｂｎ}的公共项由小到大组成数列{Ｃｎ}ꎬ则Ａ.Ｃ３＝３２Ｂ.{Ｃｎ}不是等比数列Ｃ.数列１ｂｎｂｎ＋１{}的前ｎ项和Ｔｎ＝１２－１３ｎ＋２Ｄ.数列ｂｎａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎɪ[１ꎬ５)三㊁填空题(本大题共３小题ꎬ每小题５分ꎬ共１５分)１２.若函数ｆ(ｘ)＝(２ｘ＋ａ)ｌｎ３ｘ－１３ｘ＋１为偶函数ꎬ则ａ＝㊀㊀㊀㊀.１３.正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为２ꎬ底面边长为１ꎬ则该球的表面积为㊀㊀㊀㊀.１４.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘꎬ焦点为Ｆꎬ不过点Ｆ的直线ｌ交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬＤ为ＡＢ的中点ꎬＤ到抛物线Ｃ的准线的距离为ｄꎬøＡＦＢ＝１２０ʎꎬ则ＡＢｄ的最小值为㊀㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(共７７分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１５.(本小题满分１３分)已知在әＡＢＣ中ꎬ三边ａꎬｂꎬｃ所对的角分别为ＡꎬＢꎬＣꎬａ(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ)＝３ｂｓｉｎＡｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若ａ＋ｂ＝２ｃꎬәＡＢＣ外接圆的直径为４ꎬ求әＡＢＣ的面积.１６.(本小题满分１５分)如图２ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＤʅ底面ＡＢＣＤꎬＣＤʊＡＢꎬＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ＝２ꎬＡＢ＝４ꎬＤＰ＝３.(１)证明:ＢＤʅＰＡꎻ㊀图２(２)求平面ＡＢＤ与平面ＰＡＢ的夹角.１７.(本小题满分１５分)已知椭圆Ｃ１:ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)左右焦点Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ２:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点ꎬ过点Ｆ１且斜率不为零的直线与椭圆Ｃ１相交于ＡꎬＢ两点ꎬ交椭圆Ｃ２于点Ｍꎬ且әＡＢＦ２与әＢＦ１Ｆ２的周长之差为４－２２.(１)求椭圆Ｃ１与椭圆Ｃ２的方程ꎻ(２)若直线ＭＦ２与椭圆Ｃ１相交于ＤꎬＥ两点ꎬ记直线ＭＦ１的斜率为ｋ１ꎬ直线ＭＦ２的斜率为ｋ２ꎬ求证:ｋ１ｋ２为定值.１８.(本小题满分１７分)绿色已成为当今世界主题ꎬ绿色动力已成为时代的驱动力ꎬ绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流ꎬ最新研发了一款新能源汽车ꎬ并在出厂前对该批次汽车随机抽取１００辆进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析ꎬ得到如图３所示的频率分布直方图.㊀图３(１)估计这１００辆汽车的单次最大续航里程的平均值ｘ－(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)ꎻ(２)若单次最大续航里程在３３０ｋｍ到４３０ｋｍ的汽车为 Ａ类汽车 ꎬ以抽样检测的频率作为实际情况的概率ꎬ从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取１０辆ꎬ设这１０辆汽车中为 Ａ类汽车 的数量为Ｙꎬ求Ｅ(Ｙ).(３)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车ꎬ现面向意向客户推出 玩游戏ꎬ送大奖 活动ꎬ客户可根据抛掷硬币的结果ꎬ操控微型遥控车在方格图上行进ꎬ若遥控车最终停在 胜利大本营 ꎬ则可获得购车优惠券.已知硬币出现正㊁反面的概率都是１２ꎬ方格图上标有第０格㊁第１格㊁第２格㊁ ㊁第３０格.遥控车开始在第０格ꎬ客户每掷一次硬币ꎬ遥控车向前移动一次ꎬ若掷出正面ꎬ遥控车向前移动一格(从ｋ到ｋ＋１)ꎬ若掷出反面ꎬ遥控车向前移动两格(从ｋ到ｋ＋２)ꎬ直到遥控车移到第２９格(胜利大本营)或第３０格(失败大本营)时ꎬ游戏结束.已知遥控车在第０格的概率为Ｐ０＝１ꎬ设遥控车移到第ｎ格的概率为Ｐｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ３０)ꎬ试证明:数列{Ｐｎ－Ｐｎ－１}(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ２９)是等比数列ꎬ并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车?１９.(本小题满分１７分)(１)证明:当０<ｘ<１时ꎬｘ－ｘ２<ｓｉｎｘ<ｘꎻ(２)已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓａｘ－ｌｎ(１－ｘ２)ꎬ若ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ求ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共11页）2025届云南三校高考备考实用性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C D C 【解析】1．2230x x -->，(3)(1)0x x -+>，得x >3或x <−1，∴{|31}A x x x =><-或，{|04}B x x =<<， ∴{|13}A x x =-R ≤≤ ，∴(03]A B =R ， ，故选B.3．由题意及图得，1tan 3α=，1tan 2β=，∴11tan tan 23tan()11tan tan 11123αβαβαβ+++==⨯=-+-，∵π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴π4αβ+=，∴tan()1αβ+=，故选D.5．55771log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<，故选D. 6．A ．∵148a a =，322a a =+，23223332824422a a a a a a a a ===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==--=⎩⎩⎩或（舍去）∴，∴322.aq a ==11a =∴； B. 1112n n n a a q --== ，112112n n n a a q a S q --==-- ，∴12n n S a -=-，∴21n n S a =-；C ．1221log log 21112222n n n n n n n a n n b S a ----====+ ；D ．1122n nn nb b ++--=，∵12345b b b b b <=>>…， ∴2314b b ==，∴23{}n b b b 的最大项为和，故选C. 7．如图1，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，所在直线为x 轴，y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，则B (2，2，0)，A 1 (2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，N (1，2，0)，设M (0，y ，2)(02y <<)，则(220)DB = ，，，1(202)DA =，，，设平面1A BD 的法向量为图1数学参考答案·第2页（共11页）111()n x y z = ，，，则11111220220n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取11x =，得(111)n =-- ，，， (022)CM y =- ，，∵，∴ (111)(022)0n CM y y =---=-≠ ，，，，，故A 不正确； (22)AM y =- ，，∵，∴(220)(22)240DB AM y y =-=-≠，，，，，故B 不正确；(122)MN y =-- ，，∵，∴(111)(122)10n MN y y =----=+≠，，，，，故C 不正确；∵11A D AD ⊥，111A D C D ⊥，111 AD C D D = ，1AD ，111C D AD M ⊂平面，∴11 A D AD M ⊥平面.又11A D A BD ⊂平面，∴平面11A BD AD M ⊥平面，故D 正确，故选D.8．因为2π3OAP ∠=且OP 的垂直平分线经过点A ，所以OPA △为等腰三角形且OA PA a ==，所以在三角形FPA △中tan tan(60)1FPA PFA ∠=-∠== ，∴45FPA ∠= ，从而在三角形FPA △由正弦定理可知：sin sin AF AP FPA PFA =∠∠，即：sin sin a c aFPA PFA+=∠∠，24=，解得e =，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ABD BD AD【解析】9．由题，2()33f x x '=-，令()0f x '>得1x >或1x <-，令()0f x '<得11x -<<，所以()f x 在(1)-∞-，，(1)+∞，上单调递增，(11)-，上单调递减，所以1x =±是极值点，故A 正确；令3()3h x x x =-，该函数的定义域为R ，33()()(3)3()h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(00)，是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动两个单位得到()f x 的图象，所以点(02)，是曲线()y f x =的对称中心，故B 正确；因为(1)40f -=>，(1)0f =，(2)0f -=，所以，函数()f x 在(1)-∞-，上有一个零点，当1x >时，()(1)0x f f >=，即函数()f x 在数学参考答案·第3页（共11页）(1+)∞，上无零点，综上所述，函数()f x 有两个零点，故C 错误；令2()330f x x '=-=，可得1x =±，又(1)0(1)4f f =-=，，当切点为(10)，时，切线方程为0y =，当切点为(14)-，时，切线方程为4y =，故D 正确，故选ABD.10．根据辅助角公式得πsin()cos()n 4)i (x f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，0ω>， 2π2π2πT ω===∴，即π()24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵函数()f x过点(0，π||2ϕ≤，(0)πin 4f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，则ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，．当0k =时π4ϕ=．即π()222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令2(2ππ2π)x k k k ∈+∈Z ，，，则πππ2x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，当0k =时，()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，故A 错误；令2πx k k =∈Z ，，则π2k x k =∈Z ，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；因为()2f x x =为偶函数，所以(||)2|)2f x x x ==，则(||)f x 的周期为πk k ∈Z ，且0k ≠，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移π6个长度单位得到函数()g x 的解析式为ππ()2263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选BD ．11．∵2n n a =，31n b n =-，∴C n 是以2为首领，4为公比的等比数列，∴12n n C q -==1222124222n n n ---== ，∴61532232C -===， A 正确B 不正确；311(31)22n n n n b n n a -==- ；35552n nn S +=-<， 而1 1n S S =≥，∴15n S <≤，D 正确；C. 1111(31)(32)3n n b b n n +==-+ (32)(31)(31)(32)n n n n +----+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴13n T =111111125588113132n n ⎛⎫-+-+-+- ⎪-+⎝⎭1…1113232n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11696n =-+，∴C 选项错误，正确选项为AD ，故选AD.数学参考答案·第4页（共11页）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(2)ln (2)ln 22f f a a =-+=-+，∴，解得0a =，当0a =时，31ln31()2f x x x x =-+，(31)(31)0x x -+>，解得13x >或13x <-，则其定义域为1|3x x ⎧>⎨⎩或13x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.13()13131ln ln ln 3()13()(2)(2)(1)132x x f x x x x x x x x ---+-⎛⎫== ⎪-+-+⎝--⎭=-- 312ln31()x x x f x -==+，故此时()f x 为偶函数. 13．正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO1上，记为O ，如图2，则 PO =AO =R ， 12PO =，12OO R =-， 在Rt △AOO 1中，1 2AO =， 由勾股定理：222 (2)2R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 得98R =， 所以球的表面积 281π4π16S R ==. 14．过点AB ，作抛物线C ：24y x =的准线的垂线，垂足为M N ，，设AM λ=，BNμ=，则由梯形的中位线可知2d λμ+=，在AFB △中由余弦定理可知：||AB =所以||AB d =又因||AB d====，当且仅当λμ=时，等号成立，所以||AB d 图2数学参考答案·第5页（共11页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为(cos cos cos )sin cos a A B C A C +=，由正弦定理得，sin (cos cos cos )sin cos A A B C B A C +=， 因为(0π)sin 0A A ∈≠，，，所以cos cos cos cos A B C B C +，……………………………………（2分）因为cos cos()A B C =-+sin sin cos cos B C B C =-．……………………………………（4分）所以sin sin cos B C B C =， 又sin 0B ≠，则tan C =， 因为(0π)C ∈，，所以π3C =． ……………………………………（6分）（2）由正弦定理，4sin cC=，则4sin c C ==，………………………………（8分）由余弦定理：22222121cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2()212a b ab ab +--=， 2()123a b ab +-=，∴a b +=∵， ………………………………（11分）12ab =，∴1sin 2ABC S ab C ==故△的面积 ………………………………（13分）16．（本小题满分15分） （1）证明：在四边形ABCD 中作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图3， ∵CD AB ，2CD AD CB ===，4AB =， ∴四边形ABCD 为等腰梯形，1AE BF ==∴，故 DE BD ==.……………………（2分）数学参考答案·第6页（共11页）∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面， ∴PD BD ⊥， 又∵PD AD D = , ∴BD ⊥平面P AD. ……………………（5分）又 PA PAD ⊂平面， ∴BD PA ⊥．……………………………（7分）（2）解：如图4，以D 为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得BD =，则A (2，0，0)，B (0，，0)， P (0，0)，则(20AP =- ，，(0BP =-，， ……………………………（9分）设平面P AB 的法向量()n x y z =，，，则有20n AP x n BP ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取12)n = ，， …………………（12分）又平面ABD 的一个法向量 (001)m = ，，，……………………（13分）∴||cos 2||||m n m n m n 〈〉==，，…………………（14分）即平面ABD 与平面P AB所成夹角的余弦值为2， 所以，平面ABD 与平面P AB 的夹角为π4. …………………（15分）17．（本小题满分15分） （1）解：设椭圆1C 的半焦距为c ，由椭圆的定义可知2ABF △的周长为，12BF F △的周长为2c +，又2ABF △与12BF F △的周长之差为4-……………………………………（2分）所以24c -=-，图3图4数学参考答案·第7页（共11页）又因椭圆1C 左右焦点12F F ，分别为椭圆2C 的左右顶点.c a =∴，……………………………………（4分）联立解得，a =从而有c a == ……………………………………（5分）所以222222a b c -==，解得21b =，所以所求椭圆1C 的方程为22142x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=．……………………………………（6分）（2）①证明：由（1）可知椭圆1C 的方程为22142x y +=，12(0)0)F F ，，设000()(0)M x y y ≠，，则有220012x y +=，于是12kk 2020122y x ===--.……………………………………（10分）②解：因为1212k k =-，所以21k =-，所以直线DE的方程为：y x =-联立y x =-与22142x y +=，消去y得：230x -=,……………………………………（11分）则有：1203x x ==，所以(033D E ⎛- ⎝⎭，，……………………………………（14分）83DE ==． ……………………………………（15分） 附注：本题也可由椭圆的焦半径公式可知：122()DE a e x x =-+22224412k k =-+． 也可以利用弦长公式直接求. 18．（本小题满分17分）解：（1）x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405 =300(km)．……………………………………（3分）数学参考答案·第8页（共11页）（2）由题意可知任取一辆汽车为“A 类汽车”的概率为(0.0040.001)500.25+⨯=，……………………………………（4分） 经分析Y ~(100.25)B ，，……………………………………（6分） ()100.25 2.5E Y =⨯=．……………………………………（8分）（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(229)n n ≤≤格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为212n P -；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+， ……………………………………（10分） 所以1121()2n n n n P P P P ----=--，……………………………………（11分）因为1012P P -=-， 所以129n ≤≤时，数列{P n −P n −1}是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列.所以1112P -=-，22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯+-+=1111...1222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ⎪⎝⎭， 01P =也满足上式，故1211(0129)32n n P n +⎡⎤⎛⎫=--=⋯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，，，……………………………………（14分）所以获胜的概率302921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，数学参考答案·第9页（共11页）失败的概率2929302811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………………………（16分）所以30292829302111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以获胜的概率大.所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．……………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）证明：构建()sin (01)F x x x x =-∈，，， ……………………………………（1分） 则()1cos 0F x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（2分）则()F x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0F x F >=， 所以sin (01)x x x >∈，，； ……………………………………（3分）构建22()sin ()sin (01)G x x x x x x x x =--=-+∈，，，………………………………（4分） 则()21cos (01)G x x x x '=-+∈，，， ……………………………………（5分）构建()()(01)g x G x x '=∈，，，则()2sin 0g x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立，……………………………………（6分）则()g x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0g x g >=， 即()0G x '>对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（7分）则()G x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0G x G >=， 所以2sin (01)x x x x >-∈，，； 综上所述：sin x x x x 2-<<． ……………………………………（8分）（2）解：令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(11)-，， 若0a =，则21ln(1)(11)()f x x x =--∈-，，，令21u x =-， 因为1ln y u =-在定义域内单调递减，21u x =-在(10)-，上单调递增，在(01)，上单调递减，则21ln(1)()x x f =--在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递增，数学参考答案·第10页（共11页）故0x =是()f x 的极小值点，符合题意. ……………………………………（10分）当0a ≠时，令||0b a =>，因为222()cos ln(1)cos(||)ln(1)cos ln(1)x ax x a x x bx f x =--=--=--， 且22()cos()ln[1()]cos ln(1)()x f f x bx x bx x -=----=--=， 所以函数()f x 在定义域内为偶函数，…………………………………………………………（11分）由题意可得：22()sin (11)1xf x b bx x x '=--∈--，， （i ）当202b <≤时，取1min 1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，(0)x m ∈，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得222222222(2)()sin()111x x x b x b f x b bx b x x x x +-'=-->--=---， 且222202010b x b x >-->，≥，， 所以2222(2)()01x b x b f x x +-'>>-， ……………………………………（13分）即当(0)(01)x m ∈⊆，，时，()0f x '>，则()f x 在(0)m ，上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)m -，上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，符合题意； ……………………………………（14分）（ⅱ）当22b >时，取10(01)x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得2233223222222()sin ()(2)111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----， 构建3322321()20h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，，， …………………………………（15分）则32231()320h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，，，且331(0)00h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，，则()0h x '>对10x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，恒成立，可知()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，且21(0)2020h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，，数学参考答案·第11页（共11页）所以()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在唯一的零点10n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当(0)x n ∈，时，则()0h x <，且2010x x >->，， 则3322322()(2)01xf x b x b x b x b x'<-+++-<-，……………………………………（16分）即当(0)(01)x n ∈⊆，，时，()0f x '<，则()f x 在(0)n ，上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)n -，上单调递增， 所以0x =是()f x 的极大值点，不符合题意； 综上所述：22b ≤，即22a ≤，解得a ， 故a的取值范围为a .……………………………………（17分）。
云南三校生数学试题
三校生数学模拟测试时间：120分钟 满分：150分姓名： 学号： 得分：1.=-)613sin(π（ ） A ．23- B ． 21- C ．21 D ．23 2.的圆心坐标为圆 y x y x 061022=-++（ ）A ．（0，4）B ．（5，－3）C ．（－5，3）D ．（4，0）3.向量a =（4，3）与b =（－2，6）的数量积ab =（ ）A ．310B ．18C ．11D ．104.的是 x x 392==（ ）A ．充分条件而非必要条件B ．必要条件而非充分条件C ．充分条件且是必要条件D ．非充分条件也非必要条件5.函数)123cos(2π+=x y 的最小正周期为（ ） A ．32π B ．43π C ．2π D ．3π 6．若x 是第四象限角，则=-x 2sin 1（ ） A ．－sinx －cosx B ．sinx+cosx C ．sinx －cosx D ．－sinx+cosx 7．椭圆171622=+y x 的离心率e=（ ） A ．169 B ．2316 C ．47 D ．43 8．某剧场共有18排座位，第一排有16个座位，往后每排都比前一排多了2个座位，那么该剧场座位的总数为（ ） A ．594 B ．549 C ．528 D ．495 9．已知a>b ，那么ba 11>的充要条件是（ ） A ．022≠+b a B ．a>oC ．b<0D ．ab<010．函数c bx x x f ++=2)(，若f(3)=f(5)，则b=( )A ．－8B ．－4C ．4D ．8 11.若|a |=2, |b |=5, a ·b =53则a ,b 的夹角θ=（ ）A.300B. 450C. 600D. 120012．如果方程114222=++-a y a x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么a 的取值范围是（ ） ----------------------------------装---------------------------订------------------------线--------------------------------------------A ．（－2，2）B ．（－1，2）C ．（0，2）D ．（1，2）13．函数2)(3++=bx ax x f ，若f(2)=8，则f(－2)=（ ）A ．－8B ．－6C ．－4D ．－214．直线ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0平行，那么（ ）A.a=3,c=-2B.a=3,c ≠-2C. a ≠3,c=-2D. a ≠3,c ≠-215．设f(x)是偶函数,且在区间[0,)+∞上是减函数,则有（ ）A.f (-2)<f (3)<f (1)B. f (-3)<f (2)<f (-1)C. f (2)<f (1)<f (-3)D. f (-1)<f (3)<f (-2)16．函数4y x =-的定义域是（ ） A.{x x ≥3且x ≠4} B.{x x>3且x ≠4} C. {x x ≥9且x ≠5} D. {x x>3且x ≠5}17．已知函数2()23f x x bx =-++(b 为实数)的图像以x=2为对称轴，则f(x)的最大值为（ ）A.3B.5C.7D.1118．等比数列的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为（ ）A ．75B ．68C ．63D ．54二、 填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
2025届云南三校高考备考实用性联考卷(一)数学试题解析
数学参考答案·第1页（共11页）2025届云南三校高考备考实用性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C D C 【解析】1．2230x x -->，(3)(1)0x x -+>，得x >3或x <−1，∴{|31}A x x x =><-或，{|04}B x x =<<， ∴{|13}A x x =-R ≤≤ ，∴(03]A B =R ， ，故选B.3．由题意及图得，1tan 3α=，1tan 2β=，∴11tan tan 23tan()11tan tan 11123αβαβαβ+++==⨯=-+-，∵π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴π4αβ+=，∴tan()1αβ+=，故选D.5．55771log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<，故选D. 6．A ．∵148a a =，322a a =+，23223332824422a a a a a a a a ===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==--=⎩⎩⎩或（舍去）∴，∴322.aq a ==11a =∴； B. 1112n n n a a q --== ，112112n n n a a q a S q --==-- ，∴12n n S a -=-，∴21n n S a =-；C ．1221log log 21112222n n n n n n n a n n b S a ----====+ ；D ．1122n nn nb b ++--=，∵12345b b b b b <=>>…， ∴2314b b ==，∴23{}n b b b 的最大项为和，故选C. 7．如图1，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，所在直线为x 轴，y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，则B (2，2，0)，A 1 (2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，N (1，2，0)，设M (0，y ，2)(02y <<)，则(220)DB = ，，，1(202)DA =，，，设平面1A BD 的法向量为图1数学参考答案·第2页（共11页）111()n x y z = ，，，则11111220220n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取11x =，得(111)n =-- ，，， (022)CM y =- ，，∵，∴ (111)(022)0n CM y y =---=-≠ ，，，，，故A 不正确； (22)AM y =- ，，∵，∴(220)(22)240DB AM y y =-=-≠，，，，，故B 不正确；(122)MN y =-- ，，∵，∴(111)(122)10n MN y y =----=+≠，，，，，故C 不正确；∵11A D AD ⊥，111A D C D ⊥，111 AD C D D = ，1AD ，111C D AD M ⊂平面，∴11 A D AD M ⊥平面.又11A D A BD ⊂平面，∴平面11A BD AD M ⊥平面，故D 正确，故选D.8．因为2π3OAP ∠=且OP 的垂直平分线经过点A ，所以OPA △为等腰三角形且OA PA a ==，所以在三角形FPA △中tan tan(60)1FPA PFA ∠=-∠== ，∴45FPA ∠= ，从而在三角形FPA △由正弦定理可知：sin sin AF AP FPA PFA =∠∠，即：sin sin a c aFPA PFA+=∠∠，24=，解得e =，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ABD BD AD【解析】9．由题，2()33f x x '=-，令()0f x '>得1x >或1x <-，令()0f x '<得11x -<<，所以()f x 在(1)-∞-，，(1)+∞，上单调递增，(11)-，上单调递减，所以1x =±是极值点，故A 正确；令3()3h x x x =-，该函数的定义域为R ，33()()(3)3()h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(00)，是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动两个单位得到()f x 的图象，所以点(02)，是曲线()y f x =的对称中心，故B 正确；因为(1)40f -=>，(1)0f =，(2)0f -=，所以，函数()f x 在(1)-∞-，上有一个零点，当1x >时，()(1)0x f f >=，即函数()f x 在数学参考答案·第3页（共11页）(1+)∞，上无零点，综上所述，函数()f x 有两个零点，故C 错误；令2()330f x x '=-=，可得1x =±，又(1)0(1)4f f =-=，，当切点为(10)，时，切线方程为0y =，当切点为(14)-，时，切线方程为4y =，故D 正确，故选ABD.10．根据辅助角公式得πsin()cos()n 4)i (x f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，0ω>， 2π2π2πT ω===∴，即π()24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵函数()f x过点(0，π||2ϕ≤，(0)πin 4f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，则ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，．当0k =时π4ϕ=．即π()222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令2(2ππ2π)x k k k ∈+∈Z ，，，则πππ2x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，当0k =时，()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，故A 错误；令2πx k k =∈Z ，，则π2k x k =∈Z ，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；因为()2f x x =为偶函数，所以(||)2|)2f x x x ==，则(||)f x 的周期为πk k ∈Z ，且0k ≠，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移π6个长度单位得到函数()g x 的解析式为ππ()2263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选BD ．11．∵2n n a =，31n b n =-，∴C n 是以2为首领，4为公比的等比数列，∴12n n C q -==1222124222n n n ---== ，∴61532232C -===， A 正确B 不正确；311(31)22n n n n b n n a -==- ；35552n nn S +=-<， 而1 1n S S =≥，∴15n S <≤，D 正确；C. 1111(31)(32)3n n b b n n +==-+ (32)(31)(31)(32)n n n n +----+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴13n T =111111125588113132n n ⎛⎫-+-+-+- ⎪-+⎝⎭1…1113232n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11696n =-+，∴C 选项错误，正确选项为AD ，故选AD.数学参考答案·第4页（共11页）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(2)ln (2)ln 22f f a a =-+=-+，∴，解得0a =，当0a =时，31ln31()2f x x x x =-+，(31)(31)0x x -+>，解得13x >或13x <-，则其定义域为1|3x x ⎧>⎨⎩或13x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.13()13131ln ln ln 3()13()(2)(2)(1)132x x f x x x x x x x x ---+-⎛⎫== ⎪-+-+⎝--⎭=-- 312ln31()x x x f x -==+，故此时()f x 为偶函数. 13．正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO1上，记为O ，如图2，则 PO =AO =R ， 12PO =，12OO R =-， 在Rt △AOO 1中，1 2AO =， 由勾股定理：222 (2)2R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 得98R =， 所以球的表面积 281π4π16S R ==. 14．过点A B，作抛物线C ：24y x =的准线的垂线，垂足为M N ，，设AM λ=，BN μ=，则由梯形的中位线可知2d λμ+=，在AFB △中由余弦定理可知：||AB =所以||AB d =又因||AB d====，当且仅当λμ=时，等号成立，所以||AB d 图2数学参考答案·第5页（共11页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为(cos cos cos )sin cos a A B C A C +=，由正弦定理得，sin (cos cos cos )sin cos A A B C B A C +=， 因为(0π)sin 0A A ∈≠，，，所以cos cos cos cos A B C B C +，……………………………………（2分）因为cos cos()A B C =-+sin sin cos cos B C B C =-．……………………………………（4分）所以sin sin cos B C B C =， 又sin 0B ≠，则tan C =， 因为(0π)C ∈，，所以π3C =． ……………………………………（6分）（2）由正弦定理，4sin cC=，则4sin c C ==，………………………………（8分）由余弦定理：22222121cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2()212a b ab ab +--=， 2()123a b ab +-=，∴a b +=∵， ………………………………（11分）12ab =，∴1sin 2ABC S ab C ==故△的面积 ………………………………（13分）16．（本小题满分15分） （1）证明：在四边形ABCD 中作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图3， ∵CD AB ，2CD AD CB ===，4AB =， ∴四边形ABCD 为等腰梯形，1AE BF ==∴，故 DE BD ==.……………………（2分）数学参考答案·第6页（共11页）∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面， ∴PD BD ⊥， 又∵PD AD D = , ∴BD ⊥平面P AD. ……………………（5分）又 PA PAD ⊂平面， ∴BD PA ⊥．……………………………（7分）（2）解：如图4，以D 为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得BD =，则A (2，0，0)，B (0，，0)， P (0，0)，则(20AP =- ，，(0BP =-，， ……………………………（9分）设平面P AB 的法向量()n x y z =，，，则有20n AP x n BP ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取12)n = ，， …………………（12分）又平面ABD 的一个法向量 (001)m = ，，，……………………（13分）∴||cos 2||||m n m n m n 〈〉==，，…………………（14分）即平面ABD 与平面P AB所成夹角的余弦值为2， 所以，平面ABD 与平面P AB 的夹角为π4. …………………（15分）17．（本小题满分15分） （1）解：设椭圆1C 的半焦距为c ，由椭圆的定义可知2ABF △的周长为，12BF F △的周长为2c +，又2ABF △与12BF F △的周长之差为4-……………………………………（2分）所以24c -=-，图3图4数学参考答案·第7页（共11页）又因椭圆1C 左右焦点12F F ，分别为椭圆2C 的左右顶点.c a =∴，……………………………………（4分）联立解得，a =从而有c a == ……………………………………（5分）所以222222a b c -==，解得21b =，所以所求椭圆1C 的方程为22142x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=．……………………………………（6分）（2）①证明：由（1）可知椭圆1C 的方程为22142x y +=，12(0)0)F F ，，设000()(0)M x y y ≠，，则有220012x y +=，于是12kk 2020122y x ===--.……………………………………（10分）②解：因为1212k k =-，所以21k =-，所以直线DE的方程为：y x =-联立y x =-与22142x y +=，消去y得：230x -=,……………………………………（11分）则有：1203x x ==，所以(033D E ⎛- ⎝⎭，，……………………………………（14分）83DE ==． ……………………………………（15分） 附注：本题也可由椭圆的焦半径公式可知：122()DE a e x x =-+22224412k k =-+． 也可以利用弦长公式直接求. 18．（本小题满分17分）解：（1）x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405 =300(km)．……………………………………（3分）数学参考答案·第8页（共11页）（2）由题意可知任取一辆汽车为“A 类汽车”的概率为(0.0040.001)500.25+⨯=，……………………………………（4分） 经分析Y ~(100.25)B ，，……………………………………（6分） ()100.25 2.5E Y =⨯=．……………………………………（8分）（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(229)n n ≤≤格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为212n P -；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+， ……………………………………（10分） 所以1121()2n n n n P P P P ----=--，……………………………………（11分）因为1012P P -=-， 所以129n ≤≤时，数列{P n −P n −1}是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列.所以1112P -=-，22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯+-+=1111...1222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ⎪⎝⎭， 01P =也满足上式，故1211(0129)32n n P n +⎡⎤⎛⎫=--=⋯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，，，……………………………………（14分）所以获胜的概率302921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，数学参考答案·第9页（共11页）失败的概率2929302811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………………………（16分）所以30292829302111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以获胜的概率大.所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．……………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）证明：构建()sin (01)F x x x x =-∈，，， ……………………………………（1分） 则()1cos 0F x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（2分）则()F x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0F x F >=， 所以sin (01)x x x >∈，，； ……………………………………（3分）构建22()sin ()sin (01)G x x x x x x x x =--=-+∈，，，………………………………（4分） 则()21cos (01)G x x x x '=-+∈，，， ……………………………………（5分）构建()()(01)g x G x x '=∈，，，则()2sin 0g x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立，……………………………………（6分）则()g x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0g x g >=， 即()0G x '>对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（7分）则()G x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0G x G >=， 所以2sin (01)x x x x >-∈，，； 综上所述：sin x x x x 2-<<． ……………………………………（8分）（2）解：令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(11)-，， 若0a =，则21ln(1)(11)()f x x x =--∈-，，，令21u x =-， 因为1ln y u =-在定义域内单调递减，21u x =-在(10)-，上单调递增，在(01)，上单调递减，则21ln(1)()x x f =--在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递增，数学参考答案·第10页（共11页）故0x =是()f x 的极小值点，符合题意. ……………………………………（10分）当0a ≠时，令||0b a =>，因为222()cos ln(1)cos(||)ln(1)cos ln(1)x ax x a x x bx f x =--=--=--， 且22()cos()ln[1()]cos ln(1)()x f f x bx x bx x -=----=--=， 所以函数()f x 在定义域内为偶函数，…………………………………………………………（11分）由题意可得：22()sin (11)1xf x b bx x x '=--∈--，， （i ）当202b <≤时，取1min 1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，(0)x m ∈，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得222222222(2)()sin()111x x x b x b f x b bx b x x x x +-'=-->--=---， 且222202010b x b x >-->，≥，， 所以2222(2)()01x b x b f x x +-'>>-， ……………………………………（13分）即当(0)(01)x m ∈⊆，，时，()0f x '>，则()f x 在(0)m ，上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)m -，上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，符合题意； ……………………………………（14分）（ⅱ）当22b >时，取10(01)x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得2233223222222()sin ()(2)111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----， 构建3322321()20h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，，， …………………………………（15分）则32231()320h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，，，且331(0)00h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，，则()0h x '>对10x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，恒成立，可知()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，且21(0)2020h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，，数学参考答案·第11页（共11页） 所以()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在唯一的零点10n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 当(0)x n ∈，时，则()0h x <，且2010x x >->，， 则3322322()(2)01x f x b x b x b x b x '<-+++-<-， ……………………………………（16分）即当(0)(01)x n ∈⊆，，时，()0f x '<，则()f x 在(0)n ，上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)n -，上单调递增， 所以0x =是()f x 的极大值点，不符合题意； 综上所述：22b ≤，即22a ≤，解得a ， 故a的取值范围为a . ……………………………………（17分）。
云南省三校2023届高三数学联考试题(八) (2)
一、单选题二、多选题 1. “”是“”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩近似服从正态分布（试卷满分150分），且，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（ ）A ．2800B ．4200C ．5600D ．70003. 已知点在角的终边上，则的值为（ ）A．B．C．D．4. 设集合，，则（ ）A ．B．C．D．5.圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（）A．B．C．D．6. 设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d ＜0”是“∀n ∈N *，S n +1＜S n ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若，则的外接圆面积为（ ）.A．B．C．D．9.若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）A．B．C．D．10.已知数列满足，，前n 项和为，则（ ）A．B．C．D．11. 小李经营的个体店在2020年各月份的收入和支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的有（ ）云南省三校2023届高三数学联考试题（八） (2)云南省三校2023届高三数学联考试题（八） (2)三、填空题四、解答题A ．月支出最高值与月支出最低值的比是6:1B ．1至2月份的支出的变化率与3至4月份的收入的变化率相同C ．利润最大的月份是2月份和9月份D ．第三季度平均月利润为2000元12. 如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（）A ．异面直线AC 与BD 所成的角为定值B ．三棱锥的外接球的表面积为C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．三棱锥体积的最大值为13.已知四边形中，，，，点E是的中点，则______.14. 定义在上的函数的反函数为，则________.15.二项式的展开式的常数项是____ ．16.如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．(1)过点作，垂足为点，求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．17. 已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列与数学期望．18. 在平面四边形中，，，，.(1)若，求的面积.(2)求的最大值.19. 为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰雪运动文化氛围，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全校学生参与“激情冰雪，相约冬奥”冰雪运动知识竞赛.为了了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，，，，已知成绩在内的有60人.(1)求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩的中位数.(2)将成绩在内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在内的学生定义为“非冰雪达人”.请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关？男生女生合计冰雪达人40非冰雪达人3060合计60(3)根据（2）中的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取2人，记被抽取的2人中“冰雪达人”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.附：0.050.010.0013.841 6.63510.828，.20. 已知函数.（1）求函数的最值；（2）已知函数，设函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别为、的中点．（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离．。
云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷(六)数学试题含答案
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}13A x x =≤<，{}0,1,2,3,4B =，则()RA B ⋂=ð（）A.{}0,1,3,4 B.{}0,3,4 C.{}0,4 D.{}0,1,4【答案】B 【解析】【分析】根据补集和交集求出答案.【详解】{R 1A x x =<ð或}3x ≥，故(){}R 0,3,4A B = ð.故选：B.2.已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则z =（）A.2i-- B.2i-+ C.2i- D.2i+【答案】D 【解析】【分析】应用复数除法及加法运算求z ，结合共轭复数的定义写出其共轭复数.【详解】由题意知：1i12i iz +=+=-，则2i z =+.故选：D3.已知角α的终边经过点115,44P ⎛- ⎪⎝⎭，则22cos sin 2αα+=（）A.54- B.54C.54+ D.54-【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1sin cos 4αα==所以2152cos sin 1cos sin 12444αααα+=++=-+=.故选：A.4.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.5.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位后得到()g x 的图象，则ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为（）A.[]22-,B.[]1,2- C.[]2,1- D.[]1,1-【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数的图象变换求出()g x ，再利用整体法求解函数值域即可.【详解】由题意得πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]π2sin 22,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.故选：C6.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg 20lg L D F =++，其中D 为传输距离，单位是km ，F 为载波频率，单位是MHz ，L 为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB ，则载波频率约增加到原来的（参考数据：lg 20.3≈）（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【答案】D 【解析】【分析】设出变化后的相关量，根据已知等式结合对数运算，列出等式化简，即可得答案.【详解】设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D ¢是变化后的传输距离，则18L L '=+，2D D '=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg 20lg D F L L D F D F D F'''''=-=+--=+，则20lg1820lg 212F F '=-≈，即12lg 0.62lg 2lg 420F F ≈='=≈，从而4F F '≈，即载波频率约增加到原来的4倍，故选：D.7.已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且1123MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A.53B.175C.23D.135【答案】B 【解析】【分析】设1||2NF n =，结合椭圆定义得2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF 中由勾股定理得215an =，再结合12Rt MF F △求解.【详解】连接2NF ，设1||2NF n =，则1||3MF n =，2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF 中，22222||||||MN MF NF +=，即222(5)(23)(22)n a n a n +-=-，所以215a n =，所以12||5a MF =，28||5a MF =，在12Rt MF F △中，2221212||||||MF MF F F +=，即222517c a =，所以5e =.故选:B.8.如图所示的三棱锥S ABC -中，SC BC ⊥，SC AC ⊥，BC AB ⊥，AB SB ⊥，且10AB BC ⋅=，SC =则其外接球表面积的最小值为（）A.25πB.20πC.125π6D.65π3【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，将三棱锥S ABC -放入长方体中，再利用基本不等式即可求其外接球表面积的最小值.【详解】因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，且BC AC C ⋂=，,BC AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，又因为BC AB ⊥，AB SB ⊥，且BC SB B = ，,BC SB ⊂平面SBC ，所以AB ⊥平面SBC ，所以可以将三棱锥S ABC -放入一个长方体ABFE DCSG -中，该长方体以AB SC BC ，，为长，宽，高，如图所示，则长方体ABFE DCSG -的外接球就是三棱锥S ABC -的外接球，设所求外接球的半径为R ，因为10AB BC ⋅=，所以22220AB BC AB BC +≥⋅=，当且仅当AB BC ==时等号成立，所以22220525AB BC SC ++≥+=，即()2225R ≥，解得52R ≥，所以该长方体外接球表面积的最小值为2254π4π25π2R ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为25π，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()12f x x x=-，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 在定义域内单调递增C.()f x 有2个零点D.()f x【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由函数()12f x x x=-，可得定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，又由()()11()22f x x x f x x x-=-+=--=-，所以函数()f x 为奇函数，所以A 正确；对于B 中，由()21102f x x'=+>，所以()f x 为单调递增函数，所以函数()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，所以B 错误；对于C 中，令()0f x =，即102x x -=，解得2x =±，所以C 正确；对于D 中，例如：当12x =时，111()1222f =-=-<，所以D 不正确.故选：AC.10.已知圆M ：()2214x y ++=和圆N ：22430x y x +-+=相交于A ，B 两点，下列结论正确的是（）A.直线AB 的方程为22y x =-+ B.若点P 为圆N 上的一个动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为515+ C.线段AB 的长为455D.直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两圆作差求出相交弦方程；B 选项，求出圆心(20)N ，到直线AB 的距离，从而得到点P 到直线AB 的距离的最大值；C 选项，根据垂径定理求出弦长；D 选项，利用圆心到直线的距离等于半径得到直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线.【详解】A 选项，两圆方程作差得4260x y +-=，即23y x =-+，所以两圆公共弦AB 所在直线方程为23y x =-+，A 错误；B 选项，圆M 的圆心为()0,1M -，半径12r =，圆22430N x y x -++=：，即22(2)1x y -+=的圆心为()2,0N ，半径21r =；圆心()2,0N 到直线AB 的距离55d ==，半径21r =，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为15+，B 正确；C 选项，5AB ==，C 正确；D 选项，圆心()0,1M -到直线43130x y --=的距离112d r ===，圆心(20)N ，到直线43130x y --=的距离221d r ===，所以直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线，D 正确.故选：BCD.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的是（）A.若P 在棱AB 上运动，则直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒B.若P 在棱AB 上运动，则三棱锥11C D PC -的体积为16C.若P 在底面ABCD 内（包含边界）运动，且满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为πD.若P 在ABC 内（包含边界）运动，则直线1D P 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为,33⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】证明1A D ⊥平面11ABC D ，再根据线面垂直的性质即可判断A ；根据1111C D PC P D C C V V --=即可判断B ；易得动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C ；1DD ⊥平面ABCD ，可得1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，再进行分析即可判断D .【详解】对于A ，连接11,AD A D ，则11A D AD AB ⊥⊥，平面11ADD A ，又1A D ⊂平面11ADD A ，1A D AB ∴⊥，又1AB AD A = ，AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面11ABC D ，又1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒，故A 正确；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，//AB 平面11CDD C ，∴点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，故B正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P 点的轨迹的长度为π2，故C 错误；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，设AC BD O = ，则AC BD ⊥，因为P 是ABC 内（包括边界）的动点，所以当P 与O 重合时，22DB DP ==最小，此时11sin 1DPD D P ==∠当P 与B 重合时，DP DB ==11sin 1DPD D P ==∠，所以1sin ,33DPD ∠∈⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数()()2ln 0f x x x mxm =+<有两个极值点1x ，2x （21x x >），则下列正确的是（）A.102m -<< B.()10<f x C.()212f x >-D.()112f x >【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数有两个极值点得m 的范围判断A,，并判断出12102x x m<<-<，结合11ln 12x mx =--，和22ln 12x mx =--代换，结合函数()f x 的单调性判断BCD.【详解】由题意知()ln 12(0)f x x mx x '=++>，令()0f x '=得，ln 120(0)x mx x ++=>有两个解12x x ，，令()ln 120g x x mx =++=，即等价于()g x 有且仅有两个零点，也即()g x 在(0,)+∞上有唯一的极值点且不等于零，又12()mxg x x+'=且0m <，所以当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当1,2x m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以12x m =-是函数()g x 的极大值点，则102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 1222m m m ⎛⎫⎛⎫-++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln(2)0m =-->，解得102m -<<，故A 正确；且有12102x x m <<-<，111()ln 12=0f x x mx '=++∵11ln 12x mx ⇒=--，22222()ln 120ln 12f x x mx x mx '=++=⇒=--111()ln f x x x =+∴22111111(12)(1)0mx x mx mx x mx =--+=-+<.故B 正确,D 错误;因为1,2x m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，又102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，2()0g x =，所以()f x 在21,2x m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有21()2f x f m ⎛⎫>-⎪⎝⎭111111ln ln 224222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为110122m m -<<⇒->，令()h x =1ln 12x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，，则11()ln 1ln 022h x x x =+-=+>'，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则1()(1)2h x h >=-，所以21()2f x >-,故C 正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，关键是求出m 的范围，并利用单调性判断CD 选项.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为______.【答案】82【解析】【分析】由百分位数的定义和频率分布直方图求解即可.【详解】因为所有小矩形的面积之和为1，所以(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，所以0.03a =，测评得分落在[4080)，内的频率为(0.010.01520.03)100.7+⨯+⨯=，落在[4090)，内的频率为(0.010.01520.030.025)100.95+⨯++⨯=，设第75百分位数为x ，由0.7(80)0.0250.75x +-⨯=，解得82x =，故第75百分位数为82.故答案为：8214.已知单位向量a ，b的夹角为π3，3c a b =-r r r，若a b λ+ 与c 垂直，则λ=______.【答案】5-【解析】【分析】根据题意，结合()(3)0a b a b λ+⋅-=，列出方程，即可求解.【详解】因为单位向量a ，b 的夹角为π3，可得11,2a b a b ==⋅= ，又因为a b λ+ 与c垂直，可得()(3)0a b a b λ+⋅-= ，即2233a a b a b b λλ+-- 1(13)302λλ=+-⨯-=，解得5λ=-.故答案为：5-.15.若函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π的最小值为a ，最大值为b ，则a b +=______.【答案】π-【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()cos cos (1)(sin )(1)sin f x x x x x x x '=--+-=+，当π()0,x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，当(π,2π)x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以()f x 在[]0,2π上的最大值(π)π1b f ==+.，又因为(0)1(2π)2π1f f =-=--，，所以()f x 在[]0,2π上的最小值(2π)2π1a f ==--，所以πa b +=-.故答案为：π-.16.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222103x y b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，过2F 作渐近线y x =的垂线，垂足为P ，且1sin 3F PO ∠=，过双曲线C 上一点Q 作两渐近线的平行线分别交渐近线于M ，N 两点，则四边形OMQN 的面积为______.【答案】2【解析】【分析】先求得双曲线方程为22136x y -=，设()00,Q x y 到两渐近线的距离之积22001223x y d d -=，结合双曲线的方程，求得122d d =，结合面积公式，即可求解.【详解】过1F作渐近线y x =的垂线，垂足为H ，如图所示，因为21F P F H b ==，OP a =，所以2PH a =，因为1sin 3F PO ∠=，所以1tan 2F PO ∠=，在直角在1PHF 中，1tan 2b F PH a ∠=，所以22b a =，所以b a=又因为a =b =，所以双曲线方程为22136x y -=，因为()222tan tan 221MON NOF ∠=∠==--，所以sin 3MON ∠=，设()00,Q x y 到两渐近线的距离为12,d d，则22001223x y d d -==，又因为22026x y -=，所以122d d =，所以12·sin sin 2OMQN d d S QM QN MON MON =∠==∠.故答案为：322.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .从条件①：3sin cos tan 4B B B =；条件②：12=；条件③：2cos cos cos c B b A a B -=这三个条件中选择一个作为已知条件.（注：若选择多个条件作答，则只按第一个解答计分）（1）求角B 的大小；（2）若b =，B ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且BD =，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）332【解析】【分析】（1）选①，求出23sin 4B =，结合π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到π3B =3cos B B =，tan B =，得到答案；选③，由正弦定理得到1cos 2B =，求出答案；（2）由ABC ABD BCD S S S =+△△△和三角形面积公式，得到ac a c =+，由余弦定理得到2218a c ac +-=，求出6ac =，得到三角形面积.【小问1详解】选条件①：因为3sin cos tan 4B B B =，所以sin 3sin cos cos 4B B BB =，即23sin 4B =，又因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =，所以π3B =.12=，所以cos )cos B B B B -=+，3cos B B =，又因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0B ≠，所以tan B =，所以π3B =.选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B B A A B -=，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=，又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =.【小问2详解】由BD 平分ABC ∠，得ABC ABD BCD S S S =+△△△，则1π1π1πsin sin sin 232626ac =+，即ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理可得222π2cos 3b ac ac =+-，又b =2218a c ac +-=，联立2218ac a c a c ac =+⎧⎨+-=⎩，，可得223180a c ac --=，解得6ac =（3ac =-舍去）.故1π1333sin 623222ABC S ac ==⨯⨯=△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，点E 在以AB 为直径的半圆O 上运动（不包括端点），底面ABCD 为矩形，112AD BC AB ===.（1）求证：BE ⊥平面ADE ；（2）当四棱锥E ABCD -体积最大时，求平面ADE 与平面ACE 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由面面垂直得AD ⊥平面ABE ，再结合圆的性质得AE EB ⊥即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解.【小问1详解】点E 在 AB 上且AB 为直径，AE BE ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，AD AB ⊥且AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，BE ⊂ 平面ABE ，AD BE ∴⊥，又,,DA AE A DA AE =⊂ 平面ADE ，故BE ⊥平面ADE .【小问2详解】当四棱锥E ABCD -体积最大时，E 是 AB 的中点，此时AE BE =，OE AB ⊥，取CD 中点F ，连接OF ，则//OF AD ，即OF ⊥平面ABE ，又OE AB ⊥ ，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)O A B C E -∴，()0,2,1AC ∴= ，()1,1,0AE =，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则·20·0n AC y z n AE x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，，取1x =，可得(1,1,2)n =-，平面ADE 的一个法向量为(1,1,0)BE =-，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos 3||||n BE n BE θ⋅=== ，即平面ADE 与平面ACE所成夹角的余弦值为3.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S ++=.在数列{}n b 中，10b =，1112n n n b b --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()1n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*3,1,2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1262n n n T -+=-【解析】【分析】（1）直接利用n S 与n a 的关系求解n a ，利用累加法求解n b ；（2）利用错位相减法求和.【小问1详解】由题知，当1n =时，113S a ==，当2n ≥时，2214(1)(1)422n n n n n n n a S S n -++-+-+=-=-=，因为13a =，所以*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，，，.因为1112n n n b b --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()()1122112,n n n n n n b b b b b b b b ---≥=-+-+-+ 11211111221111011222212n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，1n =时符合，故1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，综上，()*3,1,2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知(1)n n n c a b =-()*13,1,1,22n n n n n -=⎧⎪=∈⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩N 所以{}n c 的前n 项和123123123432222n n n n nT c c c c c --=+++++=++++⋅⋅⋅+ ,2n ≥,①，23413234222222n n nT =++++⋅⋅⋅+②，①−②得23412151111511122222222222n n n n n n n T --⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2111266222n n n n n nT ---+=--=-.()2n ≥,当1n =,满足题意，故1262nn n T -+=-20.数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，记移动k 次后质点回到原点位置的概率为k p ，其中k 为偶数.（1）求0p ，2p ，4p ；（2）证明：220k k p p +-≥.【答案】（1）01p =，212p =，438p =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到质点向左或向右的均为概率为12，进而求得024,,p p p 的值；（2）法一：设2(N )k n n *=∈，则22(2)!1!!2nk n n p p n n ⎛⎫==⋅ ⎪⋅⎝⎭，222(22)!1(1)!(1)!2n k n p n n +++⎛⎫=⋅ ⎪+⋅+⎝⎭，求得+21122k k p p n =-+，进而得到+212k k p p ≥，即可得到220k k p p +-≥.法二：设*2()k n n =∈N ，求得2221C 2nn k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，化简得到22112222211(C C )22n n n k n k n n p p p ++-++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，结合2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，即可得证.【小问1详解】解：由题意，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，可得质点向左或向右的均为概率为12，可得01p =，122111C ()222p =-=，22244113C ()(1)228p =⋅⋅-=.【小问2详解】证明：法一：设2(N )k n n *=∈，则22221(2)!1C 2!!2n nnk n nn p p n n ⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，同理22221222221(22)!1C 2(1)!(1)!2n n n k n n n p p n n +++++++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ +⋅+⎝⎭⎝⎭，所以222+2(22)!1!!21121(1)!(1)!2(2)!2222n n k k p n n n n p n n n n n ++⋅+⎛⎫=⋅⋅⋅==- ⎪+⋅+++⎝⎭，因为n N ∈，所以11222n +≤，所以+212k k p p ，即220k k p p +-≥.法二：当0k =时，由（1）知022p p =，即2020p p -=；当0k ≠时，设*2()k n n =∈N ，则2221C 2nn k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1111112221212222222C C C C C C C C 2C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-+++=+=+++=++，所以22221111222222222111(C 2C C)(C C )222n n n n n n n k n nn nn n n p p p +++-+-++⎛⎫⎛⎫==++⋅=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112211(C C )22n n n k n n p ++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，所以2102k k p p +->，即220k k p p +->，综上，220k k p p +-≥.21.已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上三点，且CA CB ⊥，CD AB ⊥，垂足为D .（1）当C 的坐标为()0,0时，求点D 的轨迹方程；（2）当C 的坐标为()1,2时，是否存在点Q ，使得DQ 为定值，若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(2)4x y -+=（除去原点）（2）存在，(3,0)Q 【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my b =+，与抛物线联立，由CA CB ⊥得直线过定点，再利用CD AB ⊥求出轨迹方程；（2）同（1）的方法，先求出直线AB 恒过()5,2P -，再利用直角三角形和圆的意义，求出定点和定值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()0x my b b =+≠.联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩，得2440y my b --=，则124y y m +=，124y y b =-①，因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，即12120x x y y +=，所以1212()()0my b my b y y +++=②，由①②得：()()22121210m y y mb y y b ++++=,整理得240b b -=，因为0b ≠，所以4b =，直线AB 恒过定点()4,0，设点(),D x y ，则1CD AB k k =- ，即14y y x x =-- ，整理得22(2)4x y -+=，所以点D 的运动轨迹为以()2,0为圆心，半径为2的圆（原点除外）.【小问2详解】由（1）因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，()111,2CA x y =-- ，()221,2CB x y =-- ，则12121212()12()4CA CB x x x x y y y y =-+++-++()()()21212121225016y y y y m y y b =+-++-+=③，将①代入③得：2264850b b m m ---+=，22(3)4(1)b m -=+得，32(1)b m -=+或者32(1)b m -=-+.当32(1)b m -=+时，直线AB 过()5,2P -.当32(1)b m -=-+时，直线AB 过()1,2，此时C 在AB 上，不合题意.所以直线AB 恒过()5,2P -.因为C 为定点，所以CP 为定值，在Rt CPD 中取CP 中点Q ，连接DQ ，1||||2DQ CP =，所以||DQ 为定值.此时Q 的坐标为()3,0，故存在点()3,0Q ，使得||DQ 为定值.22.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程()0f x =的其中一个根r 在0x x =的附近，如图6所示，然后在点()()00,x f x 处作()f x 的切线，切线与x 轴交点的横坐标就是1x ，用1x 代替0x 重复上面的过程得到2x ；一直继续下去，得到0x ，1x ，2x ，…，n x .从图形上我们可以看到1x 较0x 接近r ，2x 较1x 接近r ，等等.显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求n x ，若设精度为ε，则把首次满足1n n x x ε--<的n x 称为r 的近似解.已知函数()31f x x x =-+，R a ∈.（1）试用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解（取01x =-，且结果保留小数点后第二位）；（2）若()2365e 0xf x x x a ++++≤对任意x ∈R 都成立，求整数a 的最大值.（计算参考数值：e 2.72≈，1.35e 3.86≈， 1.5e 4.48≈，31.352.46≈，21.35 1.82≈）【答案】（1） 1.35-（2）9-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及牛顿迭代法可得结果；（2）根据已知通过分离变量，构造函数()g x ，利用导数得出()g x 的最小值，由（1）的结论可得结果.【小问1详解】第21页/共21页解：因为3()1f x x x =-+，则2()31x f x '=-，()1(1)2,11k f f '=-=-=，曲线()f x 在01x =-处的切线为112(1) 1.5y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥，()2237(1.5), 1.548k f f =-==-'-，曲线()f x 在1 1.5x =-处的切线为2723331 1.3584223y x x ⎛⎫+=+⇒=-≈- ⎪⎝⎭，且21||0.5x x -<，故用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.35-.【小问2详解】将2()365e 0xf x x x a ++++≤整理得到：32356e xx x x a ----≥，令32356()e x x x x g x ----=，31()()e e x x x x f x g x -+'==，因为2()31x f x '=-，令()0f x '>，即2310x ->，得3x >或3x <-，令()0f x '<，即2310x -<，得3333x -<<，所以()f x在,,,33∞∞⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为增函数，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，所以()f x的极小值为9039f ⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭，因此()f x 有且仅有一个零点0x ，所以()g x 有且仅有一个极小值点0x ，即0()()g x g x ≥，所以有0()a g x ≤，方法一：由（1）有031 1.3523x =-≈-，则320 1.351.353 1.355 1.356()(1.35)(2.46 5.46 6.756)3.86e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-+-⨯≤8.685=-.方法二：3201131516()(1)3 2.728.16ea g x g --⨯+⨯-<-=≈-⨯=-≤.320 1.51.531.551.56272715()(1.5)6 4.48e 842a g x g --⨯+⨯-⎛⎫≤<-=≈-+-⨯ ⎪⎝⎭方法三：8.4=-，所以，a 能取到的最大整数值为9-.【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数()g x 的性质，得出最值.。
云南省三校2023届高三下学期高考备考实用性联考卷(五)(开学考)数学试题
云南省三校2023届高三下学期高考备考实用性联考卷（五）（开学考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题A ．1AC AP ⊥C ．PC ⊥平面1BDC 为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知抛物线2:8C y x =的焦点为k 的直线l 与抛物线相交于A A ．12124y y x x =B ．k 的取值范围是(1,1)-C ．22k =时，以AB 为直径的圆经过点D ．若ABF △的面积为1612．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则（）A ．函数()f x 的周期为4C ．()g x 是偶函数三、填空题13．2022年10月16日至10月22日，党的二十大在北京顺利召开，为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某单位随机抽取了部分党员，对他们一周的“二十大”学习时间进五、解答题(1)求证：四边形BEFC 是矩形；(2)若32,2AE EF BE ===，求平面20．在抗击新冠肺炎疫情期间，作为重要防控物资之一的防护服是医务人员抗击疫情的保障，我国企业依靠自身强大的科研能力，自行研制新型防护服的生产．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．前三道工序的次品率分别为1211,3534p p ==格率为92%，求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下，品的概率（百分号前保留两位小数）；(2)①已知某批次成品防护服的次品率为(0p 件不合格品的最大概率为0p ，在多次改善生产线后批次J 09%p p =⨯，请从次品率的角度比较（1）中的批次②某医院获得批次I ，J 的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，完善下面的22⨯列联表，并依据小概率值α的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？核酸检测结果防护服批次合计(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，动直线:(0)l y kx m m =+≠M 关于O 的对称点，N e 的半径为|NO 于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．22．已知函数()(0x f x a ax a a =->且(1)当e a =时，求函数()f x 的极值；(2)讨论()f x 在区间(0,1)上的水平切线的条数．。
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2018年云南省高等职业技术教育招生考试试题
数 学
一．选择题（每小题2分，共40分）
1．若0a b <<，则2()b a a b -+-可化简为（ ） A ．0 B ． 22b a - C ．22b a + D ．22a b -
2．若31,31a b =+=-，则b a a b
+=（ ） A ． 4 B ．3 C ．2 D ．1
3．设842,3,4,a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ． a b c <<
B ． b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
4．已知命题p ：{22,}2k k k z π
απαππ+<<+∈；q ： {tan 0}αα<，那么p 是q 的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．即充分而不必要条件
5．集合{05,}x x x ≤≤且为奇数的的真子集个数是（ ）
A ． 9
B ．8
C ．7
D ．6
6．集合A=2{2430},x x ax a -+-= B={},x x R ∈若A B φ⋂=,则a 为（ ）
A ． 13a a <>或
B ． 13a ≤≤
C ．13a <<
D ．13a a ≤≥或
7．23x -<的解集在数轴上表示为
8．已知函数23(1)3y x =-+的图象是由函数23y x =的图象移动得到，其方法是（ ?）。
A ．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
9．以下函数中， 是奇函数（ ）
A ． 2()cos f x x x =+
B ．()sin f x x x =+
C ．1()sin f x x x
=⋅ D ． 2()sin f x x x e =++
10．已知角α的终边过点（5,12），则2cos 32
α-= （ ） A ． 3013- B ．3013 C ．169482 D ．169482
- 11．已知1tan 42tan 2
αα
+=，则cos()2πα-= A ． 1 B ．
12
C
D
13
．已知4,8,a b a b ==⋅=r r r r 且 则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ） A ． 6π B ． 4π C ．3π D ． 2
π 14．设直线1l 经过点（4,1），并与直线2:240l x y +-=平行，则直线1l 的方程为（ ）
A ． 132y x =+
B ．3y x =+
C ．33y x =+
D ． 132
y x =-+ 15若两条直线(88)20256(412)30m x y m x m y ++=---+--=与重合，则m =（ ）
A ． 43
B ． 0
C ．32
D ． 12
16．圆：22440x x y y ++-=与y 轴的位置关系是（ ）
A ． 相交不过原点
B ．相交过原点
C ．相离
D ． 相切不过原点
17．若椭圆的短轴是长轴的13
，则椭圆的离心率是（ ） A ． 35 B ．
C ．12
D ．
18．在直径为6cm 的圆柱体杯中，放入一个半径为2cm 的钢球并完全沉于水中，此时圆柱体杯中水位上升的高度是（ ）
A ． 3227cm
B ．1627cm
C ．827cm
D ．427
cm 19．已知等差数列{}n a 中，101925,3s a a =+=，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ． 1722n -
B ．722n -
C ．2n
D ．2217n + 20．25(12)(13)i i -++的共轭复数是（ ）
A ．-2
B ．27i -+
C ．2i -+
D ．i -
二．填空题（每小题2分，共20分）。
21．已知集合A=2
1025}y x x =-+-{函数的单调区间，B={51}x x ->，则A B ⋂=
22．不等式组6025lg(23)1
x x x -⎧≥⎪-⎨⎪-<⎩的解集为
23函数3(3)3
x y x x =≠-的反函数是 ． 24
．函数lg(21)y x =++的定义域为 ． 25．若函数21y x bx =++顶点的横坐标为
12
，则函数最小值为 ． 26．已知12lg3,lg 2,lg5lg 5
a b c ====，则 ． 27．设函数2211()3f x x x x -=++，则(2)f = ． 28
．函数sin 3y x x =+的周期是 ．
29．已知圆锥体与半径为2的圆柱体底面积，高相同，母线比为5:4则圆锥体的体积为 ．
30．数列3，27，53，81，111，⋅⋅⋅的一个通项公式为 ．
三．解答题
31．在-2和7之间插入m 个数之后，构成与首项为-2的等差数列{}n a ，且13m s =，求m 的值和从第几项开始0m s >．
32．A 、B 两个桶里都放有液体，第一次把A 里桶的液体往B 桶里倒，使B 桶里的液体加倍，第二次把B 里桶的液体往A 桶里倒，使A 桶里所剩的液体加倍，第三又次把A 里桶的液体往B 桶里倒，使B 桶里所剩的液体加倍，这样一来，两桶里各有液体48升，问A 、B 两桶里原有液体各是多少升？
33．已知1sin()cos()1,sin(
)cos(),,224
πππαπββααβ---=-+-=，是第一象限的角，求：（1）sin cos αβ和的值；
（2）证明：sin(2)sin αββ+=．
34．在△ABC 中最大角C 是最小角B 的二倍，三边长,,c a b 成等差数列，求,,a b c ．
35．已知顶点在原点，焦点在x 轴上开口向右的抛物线被直线:1l y x =+，求抛物线的方程．。