天体表面的重力加速度

万
之一：计算天体的质量
练习一
有
引
力
定 律 在
作 业
天 之二：计算天体的密度 文 学
练习二
布
置
上
的
应
用 之三：发现未知天体
练习三
二：万有引力定律在天文学上的应用
应用之一：计算天体的质量
原理： 对于有卫星的天体，可以认为卫星绕天体中心 做匀速圆周运动，天体对卫星的万有引力提供卫星做匀 速圆周运动的向心力。
一：复习提问，引入新课
1：万有引力定律的内容是什么 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小 跟物体质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成 反比。
2：万有引力定律的适用条件是什么
①：定律适用于两质点之间； ②：“距离R”是指两质点中心之间的距离，当质点是
两均质球体时，R是指两球体球心之间的距离。
1：若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的轨道半径为r，卫
星运动的周期为T，据牛顿第二定律
G
M中m卫 r2
m卫
4 2
T2
r
M中

4 2r3
GT 2
例1
继续
例1：登月密封舱在离月球表面h处的空中沿圆形轨道运行， 周期是T，已知月球的半径是R，万有引力常数是G， 据此试计算月球的质量。 分析与解答
r R
定律
G
M中m卫 r2
m卫
2
T
v
G
M中m卫 r2
m卫
v2 r
v3T
M中 2G
4：对于没ຫໍສະໝຸດ Baidu卫星的天体（或虽有卫星，但不知道有关卫
星运动的参量），可忽略天体自转的影响，根据万有
引力等于重力的关系来计算天体的质量
mg G Mm R2
R----------------为天体的半径
M gR2 G
分析与解答
返回
解：在该星球表面，小球做平抛运动，则：
当初速度为v0时 X1= v0 t
①
h = 1/2 g t2
②
L2

X
2 1
h2
③
当初速度为2v0时 X2=2v0 t
④
(
3L)2

X
2 2
h2
⑤
又据万有引力定律 g
2 3LR 2 M 3Gt 2
GM
=
R2
⑥ 返回
练习1：两颗靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一 定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸 引在一起。已知双星的质量分别为m1和m2 ，相距为 L ，求：（1）双星转动的半径。 （2）双星转动的周期。
2：1930年3月14日人们发现了太阳系第9个行星— 冥王星
例3
例4
返回
双星问题
例3：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下 绕连线上的某点作匀速圆周运动，现测得两星中心间距 为R，其运动的角速度为ω，求两星的总质量。 分析与解答
解：设两星球质量分别为m1和m2，
都绕连线上O点作同周期转动 又令其半径分别为R1和R2，则m1
答案
其中一颗星的半径为 另一颗星的半径为
双星的转动周期为 返回
R1

m2 L m1 m2
R2

m1L m1 m2
T
L3
G(m1 m2 )
练习2：月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6， 月球半径是地球半径的1/4，试求月球与地球的密度 之比。
答案
2 ：3
练习3：在某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量为m的砝码重
g----------------天体表面的重力加速度
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黄金代换：GM＝gR 2
应用之二：计算天体的密度
原理：1 利用F引=F向，先计算天体的质量M 2 再计算天体的体积 V
3 最后利用密度公式 M中 计算天体的密度
V中
情形之一：卫星在天体上空
情形之二：物体在天体表面
例2
返回
注：m为环绕星体质量；r 为环绕星体的轨道半径；T为环绕周期。
分析
分别应用重力等于万有引力列式求m ，再运用题目 中的比例关系对密度比例化简求解。
解答
解答 设地球质量为m1 ，地球半径为R，某星球质量为m2
物体的质量为m 。
∵
F
G
m2m (bR)2

aG
m1m R2
∴ m2 ab2m1
则：某星球与地球的密度之比
1 / 2

m2
4 （bR）
/ m1 a
G
M中m卫 r2
m卫
4 2
T2
r
V中

4 3
R3

M V

3r 3
GT 2R3
返回
M gR2 G
V中

4 3
R3
M 3g V 4GR
g 为中心天体表面的重力加速度；R 为中心天体的半径
返回
例2：一物体在某行星表面受到的吸引力为地球表面吸引力 的a倍，该行星半径是地球半径的b倍，若该行星和地 的质量分布都是均匀的，试求该星球密度和地球密度 之比。
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解：登月密封舱相当于月球
的卫星，对密封舱有：
mM G r2
m( 2 )2
T
①
②
r = R +h
4 2 (R h)3
得： M GT 2
2：若已知卫星绕中心天体做圆周运动的轨道半径为r，卫星
运动的线速度为v，据牛顿第二定律
G
M中m卫 r2
m卫
v2 r
M中

rv 2 G
3：若已知卫星运动的线速度v和运行周期T，则据牛顿第二
O
m2
G
m1m2 R2
m1 2 R1
G
m1m2 R2
m2 2 R2
M总 m1 m2 2R3 / G
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例4：宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一 小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与 落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度为原来的2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3L ，已知两落 地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常数为 G ，求该星球的质量。
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3 4 R3 b
3
3
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应用之三：发现未知天体-------- 万有引力定律的贡献
背景：1781年由英国物理学家威廉．赫歇尔发现了天王 星，但人们观测到的天王星的运行轨迹与万有引 力定律推测的结果有一些误差，于是人们就推测 在天王星外面轨道上还应有其它星体……
1：1845年英国人亚当斯和法国天文学家勒威耶据计算 发现了“海王星”（第8个行星）。
为F ，乘宇宙飞船靠近该星球表面空间飞行，测得其
环绕周期是T ，根据上述各量，试求该星球的质量。
答案
T 4F3
M 16 4Gm3
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作业布置
1：p110----------------------1 2：针对训练p102 1--------10 3：复习 第一节------------第四节 4：预习--------------------第五节