合肥工业大学《理论力学》第十一章动量定理

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理论力学-第11章动量定理及其应用

采用质心运动定理。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar，
由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a
故，四棱柱体的加速度a 极易由牛顿定律求出。根据质心运动定理，并注意到
miaix macx
得到四棱柱体对于地面凸起部分的水平作用力
macx m1acos m2a F
第8章动量定理及其应用
(A) A盘质心运动得快 (B) B盘质心运动得快 (C) 两盘质心运动相同 (D) 无法判断
四种答案中哪一个是正确的？
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
质心运动定理
质心运动定理的守恒形式
m aC Fie
i
根据上述方程，如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，则
有
FRe Fie 0
i
动量定理及其守恒形式
质点系的动量定理
d dt
(mi
vi )
Fi
Fii Fie
对于由n个质点所组成的质点系可列出n个这样的方程，将方程两侧的项分别相加，得到
d (
dt i
mi vi )
i
Fii
i
Fie
注意到质点系内质点间的相互作用力总是成对出，因此质点系的内力的矢量和等于零，于是上式变为
myC
i
Fiye
i
mzC
i
Fize
xC , yC ,zC －为质心加速度在直角坐标轴上的投影。
质心运动定理
质心运动定理
A F′ B F
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？
体相对地面的位移。

11动量定理

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第十一章动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg，面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。甲乙尾首【解】 x 因无水平力水平方向质心守恒，又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0，由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
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第十一章动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1

t2
t1
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第十一章动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若作用于质点上的力为零，F 0 ，则有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1

11_动量定理大学理论力学

车辆速度减少的值与v无关
如发射第二次导弹如何计算∆v值 ∆
冲量定理
r re r r dp d r r = ∑ m i v i = ∑ Fi , dp = d ∑ m v = ∑ F e dt , i i i dt dt
re re t2 r r r r p2 − p1 = Σm i v 2 − Σm i v1 = ∫ ∑Fi dt = ∑ I i ,
r Σm i ri v rc = , m
x
r r v p = mv c = Σmi vi ,
求下例图所示物体的动量。例11-1: 求下例图所示物体的动量。 11p=0 m v
p=mv
m
ω
p=0
ω
v
p=mvc
W
已知椭圆规的AB杆质量为杆质量为2m 杆质量为m 例11-2: 已知椭圆规的杆质量为 1,OC杆质量为 1，物块杆质量为 A,B质量为 2，OC=AC=BC=l，物系的动量。质量为m 质量为，物系的动量。解：
px = m Cx = m&C = −2(m +m )lωsin ω t v x 1 2
px = m ωecos t ω 2
py = m2ωesinωt
由
得
dpx =F x dt dpy = F −mg −m g 1 2 y dt Fx = −m2eω2 sin ω t 2 Fy = (m +m )g +m eω cosω t 1 2 2
电机不转时, x 电机不转时, F 力.
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
l m1 cos ωt + 2m1l cos ωt + 2m 2 l cos ωt 2 xc = 3m1 + 2m 2

理论力学11动量定理分解

0
α
解得:
P3
P2
N
u
B m1 (u sin v) m2 (u cos v)
m3 v 0
x
v u( P 1cos P2sin )/(P 1 P2 P 3)
30
§12-4
将 K MvC
质心运动定理
( e)
( e) M r F C i
( e) d 代入到质点系动量定理，得 ( MvC ) Fi dt
若质点系质量不变，则 MaC Fi
或
1. 投影形式：
( e) ( e) ( e) C Fix C Fiy C Fiz x , MaCy M y , MaCz M z 。 ① MaCx M
根据质心运动定理，有
mi aCix Fix , m2a2 x m2e 2 cost N x
( e)
mi aCiy Fiy , m2 a2 y m2 e 2 sin t N y m1 g m2 g
( e)
N x m2 e 2 cost , N y m1 g m2 g m2 e 2 sin t
mv2 y mv1 y I y Fy dt mv2 z mv1z I z Fz dt
t1 t1 t2
t2
t1 t2
质点的动量守恒若 F 0 ，则 m v 常矢量，若 Fx 0 ，则 mvx 常量，二．质点系的动量定理
(e) dP Fi dt
C
33
例题水平面上放一均质三棱柱 A, 在此三棱柱上又放一均质三棱柱 B 两三棱柱的横截面都是直角三角形,且质量分别为M
b
B
和m,设各接触面都是光滑的,

理论力学课件第十一章动量定理

dt
F (e) y
dPz
dt
F (e) z
质点系的动量某轴上的投影对时间的导数等于作用于质点系的
所有外力在同一坐标轴上投影的代数和。
§ 11-2 动量定理
v
设t=0时，v质点系的动量为P1 的动量为 P2 。则
，经过时间t后，质点系 v P1
v
dP
d(mivvi )
v Fi(e)dt
Mi
P
Pvx2
v
Py2
Pz2
cos(P, v
i) v
Px
/
P
cos(P, j) Py / P
vv
cos(P, k ) Pz / P;
§ 11-1 动量和冲量
例11-2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量为m , OC=CA=CB= l 。求在图示位置曲柄以匀角速度转动时
Fdt 0
2
的过m程vv中2 ，m速vv度1 分Iv别为质v点v1、动vv2量定理
vv2 积分式
某段时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上力在此段
时间内的冲量
§ 11-2 动量定理
二、质点系的动量定理
设在由力nFv个i 的质作点用组下成，的获质得点速系度，为第ivv个i 质点的质量为 mi ，
椭圆规的动量。
vA
A
解：取整个刚体系统
P
为研究对象。
vC
C
P点为AB杆的速度瞬心
O
vB
B
§ 11-1 动量和冲量
由运动学可知，速度 A v A
分别为
vC l
AB
vC PC
P
vC

第十一章.动量矩定理(哈工大理论力学课件)

1）若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则角加速度
体作匀速转动或保持静止。
0, 恒量，刚
2）若 M z (e) 常量，则α =常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z (e) 与 ma 转动惯性的度量。
25
F比较，刚体的转动惯量 J
z
是刚体
MO ( F ) MO (T ) M O (mg ) mglsin
l
运动分析： v l ,
方向 OM
M O (mv ) mll ml2
由动量矩定理： d M O ( mv ) M O ( F ) 即：
dt d (ml 2 ) mglsin dt
Fn
J z M z ( Fi )
或
d 2 Jz M z ( Fi ) dt
F2 ω FN2
24
——刚体绕定轴的转动微分方程
解决两类问题：（1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。特殊情况：
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
共有n个方程，相加后得：
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
M O ( Fi ) 0, d d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) LO dt dt dt d (e) LO M O ( Fi ) dt
ω C vC
Lx mx (mvC ) J C mvc R J C

理论力学第十一章,动量定理

的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v

vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例题1
v

考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt

dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰角是（图b）。炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为

理论力学第11章动量定理

动量定理关注物体的运动状态，而能量守恒定律关注物体的能量转化与守恒。在一些特定情况下，两个定律是相关的。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量定理的应用有所不同。

理论力学动量定理

4. 解题过程
p p0 恒矢量 px p0 x 恒量选择研究对象运动源自析受力分析取坐标系建立方程
求解计算讨论
Ch.11. 动量定理
例11-1 电动机的外壳固定在水平基础上，定子和机壳的质量为 m1，转子质量为m2，如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e。已知转子匀速转动，角速度为ω 。求基础的水平及铅直约束力。解：研究电动机外壳与转子组成质点系
动量大小
动量的方向沿质心轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示。
Ch.11. 动量定理
2. 质心运动定理
dp Fi ( e ) FR( e ) , dt p mvC
d (mvC ) Fi ( e ) dt
(e) maC ΣF (e) FR
质心运动定理
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（即等于外力的主矢）。这种规律称为质心运动定理。
2. 质点系的动量定理第k个质点：
质点系内力之和
Ch.11. 动量定理
动量定理的微分形式：
dp F dt dI i( e)
i 1 (e) i i 1
n
n
dp Fi ( e ) FR( e ) dt dpy dpx dpz (e) (e) (e) F , F , F 或者 x y z dt dt dt
vb
dp pbb1 paa1 dm vb dm va qV (vb va )dt
Ch.11. 动量定理
动量定理
dp pbb1 paa1 qV (vb va )dt ( P Fa Fb F )dt
qV (vb va ) P Fa Fb F

理论力学第十一章动量定理

[注 ] 1、质心运动定理是动量定理的另种表现形式，与质心运动定理是动量定理的另种表现形式，质点运动微分方程形式相似:对任意一质点系，质点运动微分方程形式相似:对任意一质点系，无论它作什么形式的运动，论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可看成一个质点的运动，一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这点上, 所有外力也集中作用在质心。中在质心这点上, 所有外力也集中作用在质心。
drc dri = ∑mi = ∑mivi = P 上式两边对t 上式两边对t求导 ⇒m dt dt
即
∑mi ri , m = ∑mi 质心 : rc = m
p =m c v
——刚体动量的计算式 ——刚体动量的计算式
[P245 图11-1]
[例１]曲柄连杆机构的曲柄OA以匀ω 转曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 OA=AB= 曲柄OA及连杆都是及连杆AB 动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是 y vA 匀质杆, 质量各为m 滑块B的质量也为m 匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。 45º时系统的动量时系统的动量。求当ϕ = 45º时系统的动量。 vc1 解: 曲柄OA：v C 1 曲柄OA：滑块B 滑块B： v C 3 = PBω AB = 2 lω 连杆AB：连杆AB： v C 2 = PC 2ω AB =
Fx = 0 Fy = (m + m2 )g 1
动约束力——电机转动时的约束力。动约束力电机转动时的约束力。电机转动时的约束力附加动约束力 = 动约束力 - 静约束力是由于系统运动而产生的。是由于系统运动而产生的。
本题的附加动约束力：本题的附加动约束力：
x
方向： −m eω2 sin ωt 方向： 2

《理论力学》动量定理

锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量 G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为30o的导杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝2 m/s 所需的时间。
ve OC 1 0.21 0.2 m/s
vr R2 0.1 4 0.4 m/s
Rp
O
C
1
B 2
30
A
O
1
C ve va
B
30
vr A
于是
vC va vr sin 60
0.4
3 0.3464 m/s 2
所以
p mvC 20 0.3464 6.93 Ns 方向水平向右。
vC1

l
2

AB作平面运动 vC2 vA vC2 A
O
C1
mvC1
A
vC 2

l

l 2
2

2l
p m l m2l 5 ml
2
2
C2
mvC2
r=
B
方向水平向右。
11.1 动量与冲量
11.1.2 冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s，与动量的量纲相同。
t
mv mv0
F dt I
0
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m

理论力学第十一章-质点系动量定理

§11-2 质心运动定理
质心运动定理质点系旳总质量与质点系质心加速度乘积，
等于作用在这一质点系上外力旳主矢 .
质心运动定理揭示了动量定理旳实质：外力主矢仅仅拟定了质点系质心运动状态旳变化。
§11-2 质心运动定理
对于质点：牛顿第二定律，描述单个质点运动与力之间旳关系
对于质点系：质心运动定理，描述质点系整体运动与力之间旳关系
aA aD sin
maA N A mg cos MaD N A sin
aD
mg M
sin cos m sin2
aA
mg sin2 cos M m sin2
质点系动量定理应用于简朴旳刚体系统
例题8
电动机旳外壳和定子旳总质量为 m1 ,质心C1与转子转轴 O1 重叠；转子质量为 m2 ，质心O2 与转轴不重叠，偏心距 O1O2 = e 。若转子以
结论与讨论
动量定理旳微分形式
动量定理微分形式和积分形式
动量定理旳积分形式
S－质点系统旳冲量
质点系统动量在一段时间内旳变化量等于系统中全部
质点冲量旳矢量和
返回
质点系动量定理应用于简朴旳刚体系统
例题1
A
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB ＝l；滑块A和B旳质量均为m，曲柄OC和连杆AB旳质量忽视不计；曲柄以等角速度绕O轴旋转；图示位置时，角度为任意值。
第11章质点系动量定理
几种有意义旳实际问题
？地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机工作时为何会左
？右运动；这种运动有什么规律；
会不会上下跳动；利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？蹲在磅秤上旳人站起来时

第十一章动量矩定理

PAG 12
Northeastern University
§11-2 动量矩定理 11由质点系对O轴的动 ⑷ 由质点系对轴的动量矩定理得
r FN
r v
ω
O
r F Oy
r F Ox
re dLO = ∑ M O ( Fi ) dt
rM mg 1
θ
r m2 g
d ( J + m2 R 2 )v = M − ( m 2 g sin θ ) ⋅ R 即 dt R ( J + m2 R 2 ) a = M − ( m 2 g sin θ ) ⋅ R R
§11-2 动量矩定理 11二、质点系的动量矩定理
作用于第i个质点的力有内力Fii和外力Fie 由质点的动量矩定理得： r re r ri r d r M O (mi vi ) = M O ( Fi ) + M O ( Fi ) dt r re r ri r d r ⇒ ∑ M O (mi vi ) = ∑ M O ( Fi ) + ∑ M O ( Fi ) = 0 dt r r re r d ⇒ ∑ M O (mi vi ) = ∑ M O ( Fi ) dt r r re d LO ⇒ = ∑ M O ( Fi ) dt
PAG 15
Northeastern University
§11-2 动量矩定理 11转盘由圆轮1(半径r 和塔轮2(半径r 固结而成, 1(半径 2(半径例11-3 转盘由圆轮1(半径 1)和塔轮2(半径 2)固结而成,转盘总质量为m,对盘心的转动惯量为J 重物质量分别为m 总质量为 ,对盘心的转动惯量为 O,重物质量分别为 1和m2, 不计摩擦。求圆盘角加速度, 处约束力处约束力F 绳索张力F 不计摩擦。求圆盘角加速度,O处约束力 N,绳索张力 T1,FT2.

理论力学第11章-动量定理

y
解：(用质点系动量定理求解) w
（1）取电机外壳与转子组成质点系。（2）受力分析：外力有重力m1 g 、
O1 e p
m1g
m2g
O2
x
m2 g ；基础的反力F x 、 F y 和 M O 。
MO Fx
（3）运动分析：机壳不动，质点系
Fy
的动量就是转子的动量，其大小为：
p m2 w e
px m1 ew cosw t
11 动量定理
11.1 动量与冲量 11.1.1 动量
1.质点的动量
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。是瞬时矢
量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。
2.质点系的动量质点系中所有各质点的动量的矢量和。
撞击后，A 与B 一起向前运动，历时2s 而停止。设A、
B 与平面的摩擦因数 f s= 0.25，求撞击前 A 的速度，以及撞击时 A、B 相互作用的冲量。
解：（1）运动分析： v0
A与B 均作直线运动，设
A
B
AB
撞击前A的速度为v0，从
x
撞击开始到停止运动的2s内，A 的速度从v0到0；而B开
始是静止的，最后仍处于静止。
py m2 ew sin w t
设 t = 0 时：O1O2 铅垂，有 = wt 。由动量定理
的投影式得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g m2 g
Fx m2 w2 e sin w t
Fy (m1 m2 )g m ew2 cosw t
电机不转时，基础只有向上的反力 (m1 m2 )g ，称为

理论力学11—动量定理N

11.2 动量定理和冲量定理
求解步骤 1）分析问题，取研究对象；）分析问题，取研究对象； 2）运动分析，求速度、加速度和动量；）运动分析，求速度、加速度和动量； 3）受力分析，画受力图，判定动量是否守恒；）受力分析，画受力图，判定动量是否守恒； 4）列方程求解。）列方程求解。注意事项 1）只考虑外力，但同一问题中外力和内力可以相互转化；）只考虑外力，但同一问题中外力和内力可以相互转化； 2）速度、加速度、动量及外力是相对惯性坐标系而言的；）速度、加速度、动量及外力是相对惯性坐标系而言的； 3）解题时用投影方程，并要注意运动量和外力的投影轴）解题时用投影方程，的正负号要一致。的正负号要一致。
∑F = ∑ F + ∑F i i i
(i)
(e)
因为内力之和则有
∑F i
(i)
=0
dp (e) = ∑F i dt
11.2 动量定理和冲量定理
一、动量定理
dp (e) = ∑Fi dt
即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理。。常称为在具体计算时，往往写成投影形式，在具体计算时，往往写成投影形式，即
O
ω1
R C B
30o
v p
ω2
A
解:取C为动点，动系与OA固连为动点，
ve = OC ⋅ ω1 = 0.2 × 1 = 0.2 m/s vr = Rω2 = 0.1× 4 = 0.4 m/s
于是
O
3 = 0.3464 m/s 2 所以 p = mv = 20 × 0.3464 = 6.93 N⋅ s C vC = va = vr sin 60o = 0.4 ×

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dI = Fd t
力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量
I t2 Fdt t1
(11－5)
冲量计算的投影式
若 I Ixi Iy j Izk,
F X (t)i Y (t) j Z (t)k
则冲量计算的投影式为
I x
t2 X (t)dt
t1
I y
t2 Y (t)dt
t1
I z
(2)
p带’ = d m2v L
2R mv mv 2(d R)
L
L
= m v = p带
例11-3 椭圆规机构如图，已知规尺 BD = 2L , 质量为2m1，滑
块 B、D 的质量均为 m2；曲柄OA = L，质量为 m1，以匀角速度ω 绕轴O 转动。求: 图示瞬时， ⑴ 曲柄 OA 的动量；⑵ 整个机
t1
质点动量定理的积分形式
(11－7)
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同一时间内的冲量。
二、质点系的动量定理
设质点系有 n 个质点，第 i 个质点的质量为 mi，速度为 vi；
受力Fi(e) ········外力，Fi(i) ········内力，
由质点的动量定理，有
已知 m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系统动量。
v3
v2
y
m2
p
m1v1
m3
45°
m1 v1
m2v2
O
解： p m1v1 m2v2 m3v3
45° m3v3
x
px m2v2 m3v3 cos 45 2.707 m3v py m1v1 m3v3 sin 45 3.293m3v
miri m rc
质
)
m d rc dt
m vc
结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其质心速度的乘积。
质点系的动量 p 在直角坐标系中的投影为
px mivix mvcx py miviy mvcy pz miviz mvcz
若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可写为
解：AB 杆做平面运动，
B
C
vB
φ
P ωAB
mvc
vA
瞬心为P，∵vA= v
AB
vA AP
v
l sin
vC
AB
CP
v
2 sin
p mvC
mv
2 sin
A
•见续后
⑹ 皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成，该系统的动量等于多少？
ω2 m2
O2
？
m
C
m1 ω1
O1
∵系统对称于两轮轴心连线， ∴系统质心必在该连线上，
d (mivi) = ( Fi(e) +Fi(i) ) d t = Fi(e)d t + Fi(i)d t
对于整个质点系
n
n
n
d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
i 1
i 1
i 1
d(mivi ) d (mivi ) dp,
(Fi(e)dt) dIi(e)
(Fi(i)dt) 0
流体在管道内流动的动压力动量守恒
质点系动量定理的应用
1．流体在管道中流动时的动压力
关于流体的几个概念：
流体的密度：流体单位体积的质量 ( Kg/m3 )。稳定流动（定常流动）：流体各质点流经空间某固定点时，其速度和压强等都不随时间而改变。流量 Q ：单位时间内流经某截面的流体体积(m3/s)。流体的不可压缩性：流经各截面的流量不变。
n
n
dp (Fi(e)dt) dIi(e)
i 1
i 1
(11－8)
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
或
dp
dt
n i1
F (e) i
(11－9)
质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力的矢量和
在瞬时 t1至 t2 段时间内积分，有
n
得
p2 p1
I (e) i
§11-1 动量与冲量
一、动量
⒈质点的动量：
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。
动量是矢量，其方向与速度方向一致。
若 v vxi vy j vzk 则 mv mvxi mvy j mvzk
⒉质点系的动量：
mv v m
质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量主矢，简称为质点系的动量。用 p 表示.。
欧拉动水反力公式
流体动反力公式的一些应用：
（1）流体管道动压力的计算，即 N 壁 = － N ”=ρQ (v1 － v2)
（2）在大流量、高流速的管道的弯头处管壁强
度校核以及弯头处支座安装的依据。
（3）输送散体（粮食、矿石等）机械动压力的计算。
例11-6 已知流量 Q，密度ρ，流入截面 AB 的直径为 d1，流出
Fx
c1
m1g
ω e φ
A
c2 p2 m2g
x
由质点系动量定理：
dpx
dt
X (e),
dpx dt
Fx
,
Fy MA
dpy
dt
Y (e),
dp y dt
Fy
m1g m2 g ,
Fx m2 2esin t, Fy (m1 m2 )g m2 2ecost
三、质点系动量定理的应用
i1
dp F dt p2
n t2 (e)
p1
i1 t1 i
(11－10)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
动量定理的投影式：
dt X
dpx
(e)
dt Y
dp y
(e)
dt
dpz
Z (e)
p2x p1x I x (e)
p2 y p1y I y (e)
n
p mivi i 1
动量的量纲为 dim mv = MLT-1
在国际单位制中，动量的单位为 kg·m/s。
例11-1 三物块用绳连接如图示，其质量为 m1=2m2 =4m3 ，如绳的质量和变形均不计，则三物块均以同样的速度v运动。求该质点系的动量。
v3
v2
m2
m3 45°
m1
v1
• 见后续
量守恒
当∑X (e) ＝ 0 时，px= p0x= 常量。
定
律
实例分析
太空拔河
宇航员A、B的质量分别为mA、mB。开始时二人在太空保持
静止。若A的力气大于B，则拔河胜负如何？
C
vA
vB
F (e) 0, mAvA mBvB (mA mB )vC 0
∴ 二人拔河不分胜负！
受力分
mA FA FA’
p pi mivci ,
式中 mi 、vci 分别为第 j 个刚体的质量和它的质心的速度。
例11-2 求图示均质物体或物体系统的动量。
⑴均质轮质量为m，半径为R，绕质心轴C 转动，角速度为ω，则其动量为
p mvc
vc 0 p mvc 0
ω C
⑵ 均质轮质量为m，半径为R，偏心距为e，绕轴O转动，角速度为ω，则其动量为
C
x
D v2
说明：流体对管壁的附加动反力的方向与之相反。
2. 质点系动量守恒定律
• 当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时，则质点系的动量保持不变。
• 当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如 x 轴）上投影恒等于零时，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
动
当 R (e)＝0 时，p= p0 = 常矢量；即
析
FA’ = FB’
FA = FB
mB FB’ FB
驱动汽车行驶的力
Fr aC W
F2
N2
M
N1
F1
maC=F1－F2－Fr 当F1＞F2＋Fr时，aC＞0
短跑运动员如何在短时间内获得巨大动量?
定向爆破
v
P
爆破后，各物块的轨迹各不相同，但质心的轨迹近似一抛物线，由此可预计大部分物块的堆落的地方。
§11-2 动量定理
一、质点的动量定理
若质量 m 恒定，则牛顿第二定律可写为
d (mv) F dt
或
d(mv) Fdt
质点动量定理的微分形式
(11－6)
即：质点的动量对时间的导数等于作用于其上的力。
在t1至t2时间内积分，得
v2 d (mv) t2 Fdt
v1
t1
mv2
mv1
t2 Fdt I
p px 2 py 2 4.263m3v
( p, i) arccos px 50.58, p
( p, j) arccos py 140 .58 p
质点系动量的另一算法：
设质点系内各质点对固定点O的矢径为 ri，则
vi
d dt
ri
,
p mivi
mi
dri dt
d
dt
mi ri
截面 CD 的直径为 d2 。求附加动反力。
解：以 AB、CD段液体为研究对象：
设流入、流出的速度分别为v1 、v2，
y
管壁对流体的动反力为Nx 、 Ny
v1
则
Q
v1
d12
4
v2
d
2 2
4
A
B
v1
4Q
d12
,
v2
4Q
d
2 2
Nx
Q(v2
0)
4 Q d 2 2
,