高等代数习题解答(第一章)

高等代数习题解答

第一章 多项式

补充题1．当,,a b c 取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？

提示：比较系数得6136,,555

a b c =-=-=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈¡，2232()()()f x xg x x h x =+，证明： ()()()0f x g x h x ===．

证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ∂为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈¡，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ∂为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===．

1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )：

1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1；

2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2．

1）解法一 待定系数法．

由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，

所以商q (x )必是首项系数为13

的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 q (x ) =13

x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即

x 3-3x 2 -x -1 = (13

x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得

2333a -=-, 1123

a b -=-++, 1a c -=+ 解得 79a =- , 269b =- , 29

c =- ，故得 解法二 带余除法．

3 -2 1 1 -3 -1 -1

13 79

- 1 23- 13

73- 43- -1 得

2） 2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+ 262().99

r x x =-

- 2．,,m p q 适合什么条件时，有

1）231;x mx x px q +-++

2）2421.x mx x px q ++++

1）解 21x mx +-除3x px q ++得余式为：

2()(1)()r x p m x q m =+++-， 令()0r x =，即 210;0.p m q m ⎧++=⎨-=⎩

故231x mx x px q +-++的充要条件是

2）解 21x mx ++除42x px q ++得余式为：

22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+，

令()0r x =，即 22(2)0;10.

m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩ 解得2421x mx x px q ++++的充要条件是

0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 21;2.

q p m =⎧⎨=-⎩ 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x ：

1）53()258,()3;f x x x x g x x =--=+

2）32(),()12.f x x x x g x x i =--=-+

1）解法一 用带余除法（略）．

解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：

-3 2 0 -5 0 -8 0

+ -6 18 -39 117 -327

2 -6 1

3 -39 109 -327

所以

2）解法一 用带余除法（略）．

解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：

1-2i 1 -1 -1 0

+ 1-2i -4-2i -9+8i

1 -2i -5-2i -9+8i

所以

4．把()f x 表成0x x -的方幂和，即表成

的形式：

1）50(),1;f x x x ==

2）420()23,2;f x x x x =-+=-

3）4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=-

注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+L 的形式，则0c 就是()f x 被0x x -除所得的余数，1c 就是()f x 被0x x -除所得的商式212030()()c c x x c x x +-+-+L 再被0x x -除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到01,,,.n c c c L

1）解 用综合除法进行计算

1 1 0 0 0 0 0

+ 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

+ 1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 + 1 3 6

1 3 6 10

1 + 1 4

1 4 10

1 + 1

1 5

所以 5234515(1)10(1)10(1)5(1)(1).x x x x x x =+-+-+-+-+-

2）3）略