2.10 系统的频率响应与系统类型

H (z) = K
(1 − cm z −1 ) ∏ (1 − d k z −1 ) ∏
k =1 m =1 N
M
= Kz
( N − M ) m =1 N k =1
∏ (z − c
M
m
) )
∏ (z − d
M
k
令
z=e
jω
H (e jω ) = Kz N − M
(1 − c m e − jω ) ∏ (1 − d k e − jω ) ∏
——电子信息工程 电子信息工程 例： 设一阶系统的差分方程为
y( n) = x( n) + ay( n − 1)
求系统的频率响应 将差分方程两端取z变换 解：将差分方程两端取 变换
Y (z) 1 H (z) = = X ( z ) 1 − az −1
n
| a |< 1, a为实数
| z |>| a |
——电子信息工程 电子信息工程
= H(z) = mN0
bmz−m ∑ ak z−k ∑
k =0
M
=
1− ∑ak z−k
k =1
m=0 N
bmz−m ∑
M
IIR系统：至少有一个 ak ≠ 0
全极点系统：分子只有常数项 b0 全极点系统： 零极点系统： 零极点系统：分子不只常数项 b0
FIR系统：全部 ak = 0 系统： 系统 内无极点， 收敛域 0 < z < ∞内无极点，是全零点系统
解出单位抽样响应为
h( n) = a u( n)
其频率响应为
1 1 H ( e ) = H ( z ) | z = e jω = = − jω 1 − ae (1 − a cos ω ) + ja sin ω
jω
——电子信息工程 电子信息工程 幅度响应为
− 1 2
| H (e ) |= (1 + a − 2a cos ω )
H (e ) =| H (e ) | e
周期为 2π π
在研究系统的频率特性时，一般只 在研究系统的频率特性时， H(e jω ) 需在0<ω 需在 ω<2 π区间内标出
低频就是靠近π偶数倍的那些频率成分， 低频就是靠近π偶数倍的那些频率成分，高频就 是靠近π奇数倍的那些频率成分。 是靠近π奇数倍的那些频率成分。
k =1 m =1 N
M
= Ke j ( N − M )ω
( e jω − c m ) ∏ ( e jω − d k ) ∏
k =1 m =1 N
——电子信息工程 电子信息工程 频率响应的模
| H (e jω ) |=| K | | ( e jω − c m ) | ∏ | ( e jω − d k ) | ∏
输出为同频 (ω0 )正弦序列，幅度受频率响应幅度 H(e jω ) 正弦序列， 加权， 加权，相位为输入相位与系统相位响应之和
——电子信息工程 电子信息工程
3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应 系统对任意输入序列的稳态响应
y(n) = x(n)*h(n)
Y (e ) = X (e ) ⋅ H(e )
k =0
M −1
这就是M −1个单元延时及M个抽头加权后 相加所组成的电路，常称之为横向滤波器， 求其频率响应。
——电子信息工程 电子信息工程
解：令x(n) = δ (n)，两边取z变换 1− aM z−M zM − aM k −k H(z) = ∑a z = = M−1 −1 1− az z (z − a) k =0
m =1 k =1 M N
j Im[z ]
| H ( e jω ) |
φ1 d 1
ρ2 θ2
d2
l1
e jω ω
ρ1 θ1
Re[z ]
0
l2
| z |= 1
φ2
π
2
π
3π 2
2π
ω
——电子信息工程 电子信息工程 • 零点位置影响凹谷点的位置与深度 – 零点在单位圆上，谷点为零 零点在单位圆上， – 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 零点趋向于单位圆， • 极点位置影响凸峰的位置和深度 – 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点趋向于单位圆， – 极点在单位圆外，系统不稳定 极点在单位圆外，
M −1
z >0
零 ： i = ae 点 z
j
2π i M
， =1,2,..., M −1 i
极点：z = 0， (M −1)阶，z = a处零极点相消
当输 入为δ (n)， 则输 出为h(n) a h(n) = 0
n
0 ≤ n ≤ M −1 其 n 它
——电子信息工程 电子信息工程
——电子信息工程 电子信息工程 系统的分类 从频率角度看，系统对输入信号的响应过程， 从频率角度看，系统对输入信号的响应过程， 实质上是对信号频率成分的选择过程。根据LTI系统对 实质上是对信号频率成分的选择过程。根据 系统对 频率的不同选择性，将系统分成以下几种滤波器。 频率的不同选择性，将系统分成以下几种滤波器。 低通滤波器 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 全通滤波器
——电子信息工程 电子信息工程
§2.10 系统的频率响应与 系统类型
——电子信息工程 电子信息工程
H(e jω ) ： 系统的频率响应
单位圆上的系统函数
H ( e j ω ) = H ( z ) | z = e jω =
jω
n = −∞
h( n)e − jωn ∑
jω jθ ( ω )
∞
单位抽样响应h(n)的Fourier变换 的 单位抽样响应 变换
令 cm = e − cm = ρme
jω
jθm
dk = e − dk = lke
jω
jφk
| H (e ) |=| K |
jω
∏ρ
m =1 N
M
m
∏l
k =1
k
——电子信息工程 电子信息工程 频率响应的辐角为
arg[ H (e jω )] = arg[ K ] + ∑θ m − ∑ ϕ k + ( N − M )ω
——电子信息工程 电子信息工程
y(n) = ∑bmx(n − m) + ∑ak y(n − k)
m=0 k =0
M
N
Байду номын сангаас
IIR系统：至少有一个ak ≠ 0 系统： 系统 有反馈环路，采用递归型结构 有反馈环路， FIR系统：全部 ak = 0 系统： 系统 无反馈环路， 无反馈环路，多采用非递归结构
k =1
N
M
m =1 N
频率响应的辐角
arg[ H (e jω )] = arg[ K ] + ∑ arg[e jω − cm ] − ∑ arg[e jω − d k ] + ( N − M )ω
m =1 k =1 M
采用向量表示各零、 采用向量表示各零、极点和
e
jω
的差
( e jω − c m ) ( e jω − d k )
y( n) = x ( n) ∗ h( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
表示系统的输出响应是由输入序列的傅里叶 变换和系统频率响应的乘积所决定
——电子信息工程 电子信息工程
系统的频率响应的意义 1）LSI系统对复指数序列的稳态响应 系统对复指数序列的稳态响应： ） 系统对复指数序列的稳态响应 jωn x(n) = e −∞< n < ∞
——电子信息工程 电子信息工程
五、IIR系统和FIR系统 无限长单位冲激响应（ ）系统： 无限长单位冲激响应（IIR）系统： 单位冲激响应h(n)是无限长序列 单位冲激响应 是无限长序列
有限长单位冲激响应（ 有限长单位冲激响应（FIR）系统： ）系统： 单位冲激响应h(n)是有限长序列 单位冲激响应 是有限长序列
1 π y(n) = H(e jω ) X (e jω )e jωndω 2π ∫−π
jω
jω
jω
1 π jω jωn 其中： 其中： x(n) = ∫−π X (e )e dω 2π
1 jω jωn 微分增量（复指数）： 微分增量（复指数 X (e )e dω 2π
——电子信息工程 电子信息工程 频率响应几何确定法 本小节通过H(z)在z平面上零点、极点的分布采用 在 平面上零点 平面上零点、 本小节通过 几何方法求出系统的频率响应
y(n) =
m=−∞
∑ h(m)e
∞
jω(n−m)
=e
jωn
m=−∞
∑ h(m)e
∞
− jωm
= e H(e )
jωn
jω
2）LSI系统对正弦序列的稳态响应 ） 系统对正弦序列的稳态响应
x(n) = Acos(ω0n +φ)
y(n) = A H(e jω0 ) cos{ω0n +φ + arg[H(e jω0 )]}
1 1− a
−1
a
1
Re[z ]
1 1+ a
0
π
2
π
3π 2
2π
ω
arg[ H ( e jω )]
0
π
2π
ω
——电子信息工程 电子信息工程
例 ：设系统的差分方程： y(n) = x(n) + ax(n −1) + a x(n − 2) +...
2
+aM−1x(n − M +1) = ∑ak x(n − k)
——电子信息工程 电子信息工程 线性移不变系统的频率响应表示为
N
H (e jω ) = ∑ h( n)e − jωn = H ( z ) |z =e jω
n=0
H (e jω ) 是h(n)的傅里叶变换 也是系统函数 的傅里叶变换,也是系统函数 的傅里叶变换 也是系统函数H(z)在单 在单
位圆上的值 由于 所以
2
jω
相位响应为
a sin ω arg[ H (e )] = − arctan( ) 1 − a cos ω
jω
系统呈低通 低通特性 若 0 < a < 1 系统呈低通特性 系统呈高通 高通特性 若 − 1 < a < 0 系统呈高通特性
——电子信息工程 电子信息工程
j Im[z ]
| H ( e jω ) |