5波导定向耦合原理1102

δ2 P2 ( Z ) =| A2 ( Z ) |2 = { 2 sin 2 [( k 2 + δ 2 )1 / 2 Z ] (k + δ 2 )
+ cos 2 [( k 2 + δ 2 )1 / 2 Z ]} | A2 (0) |2
2011年 §5.2 两同向波的耦合 2011年2月
第五章 波导定向耦合原理
v v v v 式中，E1 、E 2 、 H 1 、H 2 是波导未经微扰的场分
布。A1(Z)、 A2(Z) 表示相应的振幅。 、
2011年 §5.1 耦合模方程 2011年2月
第五章 波导定向耦合原理
不考虑相邻波导场的扰动，波导1、2中的光波 模式分别可以写成： v v − iβ 1 Z E1 = E10 e v v − iβ 1 Z H 1 = H 10 e 则
2011年 §5.2 两同向波的耦合 2011年2月
第五章 波导定向耦合原理
得到
dA12 dA1 + 2 iδ − k 2 A1 = 0 dZ 2 dZ
2 dA2 dA2 − 2 iδ − k 2 A2 = 0 dZ 2 dZ
类似
设初始条件是波导2端口输入，波导1无输入， 即A1(0)=0
（简介6） 简介 ）
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第五章 波导定向耦合原理
（简介9） 简介 ）
P2(Z)=|A2(Z)|2
P1(Z)=|A1(Z)|2
|A2(0)|2 π/2 π kZ
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第五章 波导定向耦合原理
设Z＝L时，光功率由波导2完全进入波导1
+ i cos[( k 2 + δ 2 )1 / 2 Z ]}e − iδZ
(1)光场匹配，即δ = β2－β1＝0
A1 ( Z ) = iA2 (0) sin kZ A2 ( Z ) = iA2 (0) cos kZ
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第五章 波导定向耦合原理
（简介8） 简介 ）
简介5） §5.2 两同向波的耦合 （简介 ）
对象：两条平行相邻、各种参数相同，而且无损 耗的耦合波导。 (一) 横截面功率表达式、耦合系数关系 设波导1横截面上传输的平均功率为P1，由功率定 义
P=∫
S
v v 1 Re( E × H *) Z dS 2
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§5.1 耦合模方程 （简介1） 简介 ）
Z
nf1 ns
nf2
x
设传播方向为Z，折射率分布与Z无关。波导中 第ν 阶导模场 v v E = Eν ( x , y )e − iβZ
v v H = Hν ( x , y )e − iβZ
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第五章 波导定向耦合原理
2011年 §5.1 耦合模方程 2011年2月
第五章 波导定向耦合原理
推导A1(Z)、 A2(Z)随Z的变化： 、 将
a1 ( Z ) = A1 ( Z )e − iβ 1 Z a2 ( Z ) = A2 ( Z )e − iβ 2 Z
代入上式
d [ A1 ( Z )e − iβ 1 Z ] = − iβ a1 ( Z ) + ik1a2 ( Z ) dZ d [ A2 ( Z )e − iβ 2 Z ] = − iβ a2 ( Z ) + ik 2a1 ( Z ) dZ
P1 ( L) =| A2 (0) |2 sin 2 kL =| A2 (0) |2 P2 ( L) =| A2 (0) |2 cos 2 kL = 0
此时
sin 2 kL = 1; kL =
cos 2 kL = 0 m = 0,1,2, L
π π
2
+ mπ
m L= + π 2k k
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（简介2） 简介 ）
两波导平行邻近。两导模场由于耦合而产生微扰。
？
模场
模场
n f1 ns
nf2
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第五章 波导定向耦合原理
（简介3） 简介 ）
将波导1、2的场相对之间的作用视为微扰（弱耦 合，耦合场<<本征场)，可以将每个波导中的场视为两 个波导中的导模场的叠加
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第五章 波导定向耦合原理
得到：波导1横截面上平均功率 P1=|A1|2 波导2横截面上平均功率 P2=|A2|2 根据能量守恒原理，在无损耗波导中，两波导平 均传输功率之和不随距离变化
d (| A1 |2 + | A2 |2 ) = 0 dZ
代入耦合模方程： k1=－k2* － k2=－k1* －
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第五章 波导定向耦合原理
可见，此情形两耦合系数为纯虚数。可设 k1= k2 = －ik
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第五章 波导定向耦合原理
(二)功率分布
dA1 dZ = kA2 exp[−2iδZ ] dA 2 = kA1 exp[2iδZ ] dZ
第五章 波导定向耦合原理
v v v v 1 P1 = Re ∫ [( A1 ( Z ) E1 + A2 ( Z ) E 2 ) × ( A1 ( Z ) H 1wenku.baidu.com+ A2 ( Z ) H 2 )]Z dS 2 S
考虑 (1)波导1内A2很小 (2)功率归一化
∫
S
v v 1 Re( E1 × H 1 *) Z dS = 1 2
第五章 波导定向耦合原理
达到100％能量交换的最短距离(m = 0)为
Lmin =
π
2k
－耦合长度。其值与耦合系数成反比。
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第五章 波导定向耦合原理
(2)一般情形，δ = β2－β1 ≠ 0
k2 P1 ( Z ) =| A1 ( Z ) |2 = 2 sin 2 [( k 2 + δ 2 )1 / 2 Z ] | A2 (0) |2 (k + δ 2 )
（简介10） 简介 ）
δ =β1-β2 ≠0
P2(Z)=|A2(Z)|
2
|A2(0)|
2
P1(Z)=|A1(Z)|2 π/2 π
δ2 | A2 (0) |2 k2 + δ 2
k2 | A2 (0) |2 2 2 k +δ
(k2+δ2)1/2Z
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第五章 波导定向耦合原理
（简介7） 简介 ）
k sin[( k 2 + δ 2 )1 / 2 Z ]e − iδZ A1 ( Z ) = iA2 (0) 2 ( k + δ 2 )1 / 2
δ A2 ( Z ) = A2 (0){ 2 sin[( k 2 + δ 2 )1 / 2 Z ] ( k + δ 2 )1 / 2
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第五章 波导定向耦合原理
得到耦合模方程
（简介4） 简介 ）
dA1 dZ = ik1 A2 exp[i ( β 1 − β 2 ) Z ] dA 2 = ik 2 A1 exp[− i ( β 1 − β 2 ) Z ] dZ
k1、 k2 是耦合系数。β1、β2是波导的传播常数。 k1 、k2取决于波导结构、参数、机制、耦合过程。
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第五章 波导定向耦合原理
dA1 ( Z ) − iβ 1 Z e + A1 ( Z ) ⋅ ( − iβ 1 )e − iβ 1 Z = − iβ a1 ( Z ) + ik1a 2 ( Z ) dZ ∴ dA2 ( Z ) e − iβ 2 Z + A ( Z ) ⋅ ( − iβ 2 )e − iβ 2 Z = − iβ a ( Z ) + ik a ( Z ) 2 1 2 2 1 dZ dA1 ( Z ) − iβ 1 Z − iβ 1a1 ( Z ) = − iβ a1 ( Z ) + ik1a 2 ( Z ) dZ e ∴ dA2 ( Z ) e − iβ 2 Z − iβ a ( Z ) = − iβ a ( Z ) + ik a ( Z ) 2 2 2 1 dZ dA1 ( Z ) − iβ 1 Z e = ik1 A2 ( Z )e − iβ 2 Z dZ ∴ dA2 ( Z ) e − iβ 2 Z = ik A ( Z )e − iβ 1 Z 2 1 dZ
两波导中Z处的功率
P1 ( Z ) =| A2 (0) |2 sin 2 kZ P2 ( Z ) =| A2 (0) |2 cos 2 kZ
总功率＝P1(Z)+P2(Z)=|A2(0)|2 两条平行相邻、各种参数相同，而且无损耗的耦 合波导中，若相位匹配，则在同一Z处，两波导传输 光强变化相差π/2。两光场光功率往复交替，能量交 换达100％。
−∞
v (−) v v v (−) v ∫ ∫ e Z ⋅ ( E2 × H 2 + E2 × H 2 )dxdy
∞
−∞
∫ ∫ (n
∞
2 f2
v (−) v − n ) E 2 ⋅ E1 dxdy
2 s
上标(－)表示传播常数数值相等，方向相反的场。
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第五章 波导定向耦合原理
其中，2δ = β2－β1。 求解A1、 A2： ：
d 2 A1 dA2 d exp[−2iδZ ] + kA2 exp[−2iδZ ] =k 2 dZ dZ dZ = k ⋅ kA1 exp[2iδZ ] exp[−2iδZ ] + kA2 ( −2iδ ) exp[−2iδZ ] = k 2 A1 − 2iδkA2 exp[−2iδZ ]
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设
第五章 波导定向耦合原理
则
v v v E = a1 ( Z ) E10 + a2 ( Z ) E 20 v v v H = a1 ( Z ) H 10 + a2 ( Z ) H 20
考察a1(Z)随Z的变化，来自二方面： Z （1）不考虑来自波导2的扰动，仅仅考虑在波导1 中传输 --第一项 （2）考虑波导2的扰动 --第二项
第五章 波导定向耦合原理
设波导2对于波导1的耦合系数为k1， a1(Z)随Z的变化的表达式可以写成：
da1 (Z ) (Z = − iβ a1 ( Z ) + ik1a 2 ( Z ) ?? dZ
类似，设波导1对于波导2的耦合系数为k2， a2(Z)随Z的变化的表达式可以写成：
da2 ( Z ) = − iβ a2 ( Z ) + ik 2a1 ( Z ) dZ
da1 ( Z ) d [ A1 ( Z )e − iβ 1 Z ] de − iβ 1 Z − iβ 1 Z dA1 ( Z ) = = A1 ( Z ) +e dZ dZ dZ dZ − iβ 1 Z dA1 ( Z ) = − iβ 1a1 ( Z ) + e dZ
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第五章 波导定向耦合原理
k1 = ωε 0
−∞
v (−) v v v (−) v ∫ ∫ e Z ⋅ ( E1 × H 1 + E1 × H 1 )dxdy
∞
−∞
v (−) v ∫ ∫ (n − n ) E1 ⋅ E2 dxdy
2 f1 2 s
∞
k1 = ωε 0
v v − iβ 2 Z E 2 = E 20 e v v − iβ 2 Z H 2 = H 20 e
v v − iβ 1 Z v − iβ 2 Z E = A1 ( Z ) E10e + A2 ( Z ) E 20e v v − iβ 1 Z v − iβ 2 Z H = A1 ( Z ) H 10e + A2 ( Z ) H 20e a1 ( Z ) = A1 ( Z )e − iβ 1 Z a2 ( Z ) = A2 ( Z )e − iβ 2 Z
第五章 波导定向耦合原理
第五章
波导定向耦合原理波导定向耦合原理-简介
耦合:能量从一个波导传输到另一个波导。 能量从波导一个部分传输到另一个部分。 一种模式的能量转化成另一种模式能量。 第五章主要内容： 平行邻近两波导耦合模方程、耦合
第五章 波导定向耦合原理 2011年2月 年 月
第五章 波导定向耦合原理