材料力学上课例题
材料力学例题
0.75m 1m
A
D 1.5m
B
F
横梁BC为刚杆，自重Q＝2KN，力P＝10KN可在横 梁BC上自由移动。AB杆的许用应力为[σ]=100MP ａ，设计AB杆的横截面面积。如果AB杆采用直径 为10毫米的细丝，需要几根？
P C
30°
Ｂ
• [例] 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，
例题 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图.AB杆的外径 D=140mm，内外 径之比α= d/D=0.8，材料的许用应力[] = 160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的 强度。 解:（1）外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得
10kN
0.8m A
B D
F 25kN
M e 15 1 . 4 10 0 . 6 15 kN m
G=80GPa ，许用剪应力 []=30MPa，试设计杆
的外径；若[]=2º /m ，试校核此杆的刚度，并
求右端面转角。
[例题] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已 知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º /m ，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排,轴的受力合理？ P2 A 500 B 400 P3 C
y Me A x B l/2 F1
F2
D F2 D M e C ( F1 F 2 ) 2 2 20 F2 kN 3 F 20kN
轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平 面弯曲
材料力学(资料例题)
材料力学（一）轴向拉伸与压缩【内容提要】材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。
为设计既安全可靠又经济合理的构件，提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。
【重点、难点】重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。
【内容讲解】一、基本概念强度——构件在外力作用下，抵抗破坏的能力，以保证在规定的使用条件下，不会发生意外的断裂或显著塑性变形。
刚度——构件在外力作用下，抵抗变形的能力，以保证在规定的使用条件下不会产生过分的变形。
稳定性——构件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保证在规定的使用条件下，不会产生失稳现象。
杆件——一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件或简称杆。
根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。
二、材料力学的基本假设工程实际中的构件所用的材料多种多样，为便于理论分析，根据它们的主要性质对其作如下假设。
(一)连续性假设——假设在构件所占有的空间内均毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。
这样，构件内的一些几何量，力学量(如应力、位移)均可用坐标的连续函数表示，并可采用无限小的数学分析方法。
(二)均匀性假设——很设材料的力学性能与其在构件中的位置无关。
按此假设通过试样所测得的材料性能，可用于构件内的任何部位(包括单元体)。
(三)各向同性假设——沿各个方向均具有相同力学性能。
具有该性质的材料，称为各向同性材料。
综上所述，在材料力学中，一般将实际材料构件，看作是连续、均匀和各向同性的可变形固体。
三、外力内力与截面法(一)外力对于所研究的对象来说，其它构件和物体作用于其上的力均为外力，例如载荷与约束力。
外力可分为：表面力与体积力；分布力与集中力；静载荷与动载荷等。
当构件(杆件)承受一般载荷作用时，可将载荷向三个坐标平面(三个平面均通过杆的轴线，其中两个平面为形心主惯性平面)内分解，使之变为两个平面载荷和一个扭转力偶作用情况。
材料力学典型例题及解析 12.冲击问题典型习题解析
击构件瞬间的速度为 υ
，只须将前面（a）式右端改为
1 2
⋅
Pυ2 g
= Vε
，即可导出 kd
=
υ2 。 g∆st
（4）、前面推导过程中，冲击物的势能取为 Ep = P(h + ∆d ) ，一般情况下 ∆d << h ，可将其忽
略，取 Ep = Ph ，读者可仿照上面推导一下，并讨论忽略后对 kd 有什么影响。
所以本问题的动载荷因数为： kd
=
∆d ∆st
=1+
1+ 2h = 1+ ∆st
1+
2
× 440 ×10 −3 2 ×10 −3 m
m
= 22
讨论：（1）、在线弹性范围内，载荷、变形、应变、应力之间都是线性关系，也就是说，当
外载荷被放大 kd 倍，则变形、应力、应变也同样被放大 kd 倍。所以有σ d = kdσ st 。有了 kd 很
动能完全转化为橡皮筋的应变能。即 Ek = Vε 。
解：设小球离开木拍瞬间速度为υ ，则其动能 Ek
=
1 2பைடு நூலகம்
W g
υ 2 ；而橡皮筋被拉至最长时应变能
Vε
=
1 2
F ⋅ ∆L ，其中
F
为小球速度为零时橡皮筋所受拉力。由于假设橡皮筋为线弹性变形，
3
所以 F
=σ
A
=
Eε
A=
∆L L0
EA ，于是Vε
=
∆d
=
∆d ∆st
P 。定义
∆d ∆st
= kd 为动载荷因数，则有
Fd P
=
∆d ∆st
= σd σ st
材料力学例题及解题指导总结
材料力学例题及解题指导（第二章至第六章）第二章拉伸、压缩与剪切例2-1试画出图a直杆的轴力图解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。
先求AB段轴力。
在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段（图2-5b）。
在截面上设出正轴力2。
由此段的平衡方程ZX = 0得N L 6= 0, N i =+ 6kN图2-5理得CD段内任一截面的轴力都是一4kN。
画内力图，以水平轴x表示杆的截面位置, 的比例尺画出轴力图，如图N i得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。
AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。
再求BC段轴力，在BC段任一截面2-2处将杆件截开，仍考察左段（图2-5C）,在截面上仍设正的轴力N 2,由ZX= 0得—6 + 18+ N2 = 0N2=- 12kNN2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力），同时又表明轴力N2是负的。
2-5 （d）所示。
由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内任一截面的轴力都等于—12kN。
同以垂直x的坐标轴表示截面的轴力，按选定BC段内。
解题指导：利用截面法求轴力时，在切开的截面上总是设出正轴力N，然后由3X= 0求出轴力N ,如N得正说明是正轴力（拉力），如得负则说明是负轴力（压力）。
例2-3图2-7所示两根圆截面杆材料相同，试计 算两杆的应变能，并比较其大小。
解：a 杆:U aP 2 丨=P 2 l _ 22EA 2E 「：d4二 2 P lE d例2-2试求自由悬挂的直杆（图2-6a ） 由纵向均匀分布荷载 q （力/长度）引起 的应力和纵向变形。
设杆长 I 、截面积A 及弹性模量E 均已知。
解：在杆上距下端为 x 处取一任意横 截面m-m ,则该截面轴力为 N （x ）= qx , 根据此式可作出轴力图如图 2-6b 所示。
m-m 截面的应力为 （x ） = N （x ）/A = qx/A 。
显然，悬挂端有最大轴力 N max = ql 及最 大正应力■- 'max =ql / A 。
材料力学例题
B
DC
1
3
2
A
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
F
A'
A'
变形几何方程为 Δl1 Δl3 cos
物理方程为
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
（3）补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解 B
DC
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
d
[] = 60MPa ,许用挤压应力为 [bs]= 200MPa .试校核销钉的
强度.
F
B
A
d1
d d1
F
解: （1）销钉受力如图b所示
F
剪切面
F
d
F
F
2
2
挤压面
d
B
A
d1
d d1
F
（2）校核剪切强度
剪切面
F
由截面法得两个面上的剪力
FS
F 2
d
剪切面积为 A d 2
4
FS 51MPa
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程
Fx 0 Fx 0 l
3 a
2 a
1
Fy 0
B
C
A
FN1 FN2 FN3 F 0
MB 0
F FN3
FN2
FN1
3 a
2 a
1
材料力学课堂例题(湖南大学)-静力学.
40.4kN
由BC杆强度，可得
P NBC 2 A2
2
2
160106 600106 48103 N 2
48kN
综合考虑两杆的强度，整个结 构的许用荷载为：
P 40.4kN
当 P P 40.4kN时，AB杆将达到许用
应力，但BC却强度有余，即BC的面积可减小。
A
B DC
2m 1m 1m
1马力=745.7瓦
为简化计算，1马力取700瓦。
解：① 计算外力偶
m1
9550 Nk n
马力 9550 0.7
n
7000 300 N m 7 300 kN m 7kN m
300
300
m2
m3
7
150 300
3.5kN m
故可能危险截面为1截面和2截面
170 30 y2=139 y1=61
25kNm
+
1
M
2
10kNm
–
+
200
z
+
–
30
Iz 40.3106 m4 y
“ 1”
Lmax
M max Iz
y1
10103 40.3106
61103
15.1MPa [ L ]
Cmax
式中
Ip
(D4
32
d4)
(1004
32
804 ) 1012
5.79106 m4
m1
m2
m3
“ DC”轴
max
T DC max
工程力学材料力学-知识点-及典型例题
作出图中AB杆的受力图。
A处固定铰支座B处可动铰支座作出图中AB、AC杆及整体的受力图。
B、C光滑面约束A处铰链约束DE柔性约束作图示物系中各物体及整体的受力图。
AB杆：二力杆E处固定端C处铰链约束（1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。
（2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。
3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。
4、力的表示方法：（1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！）（2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。
5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。
6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。
约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。
约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。
作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。
8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。
(1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。
(2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。
（）9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。
（1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。
被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。
（2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。
（）10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。
约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。
（）11、固定铰支座（1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。
（2）约束反力的特点：固定铰支座的约束反力同中间铰的一样，也是方向未定的一个力；用一对正交的力来表示，指向假定。
()12、可动铰支座（1）约束的构造特点把固定铰支座的底部安放若干滚子，并与支撑连接则构成活动铰链支座约束，又称锟轴支座。
材料力学典型例题与详解(经典题目)
所以石柱体积为
V3
=
G ρ
=
[σ ]A(l) − ρ
F
= 1×106 Pa ×1.45 m 2 −1000 ×103 N = 18 m3 25 ×103 N/m3
三种情况下所需石料的体积比值为 24∶19.7∶18，或 1.33∶1.09∶1。 讨论：计算结果表明，采用等强度石柱时最节省材料，这是因为这种设计使得各截面的正应 力均达到许用应力，使材料得到充分利用。 3 滑轮结构如图，AB 杆为钢材，截面为圆形，直径 d = 20 mm ，许用应力 [σ ] = 160 MPa ，BC 杆为木材，截面为方形，边长 a = 60 mm ，许用应力 [σ c ] = 12 MPa 。试计算此结构的许用载
= 1.14 m 2
A
2=
F+ρ [σ ] −
A1 l1 ρ l2
=
1000 ×103 N + 25 ×103 N/m3 ×1.14 m 2 × 5 m 1×106 N/m 2 − 25×103 N/m3 × 5 m
= 1.31 m 2
A
3=
F
+ ρA1l1 + ρA2l2 [σ ] − ρ l3
= 1000 ×103 N + 25 ×103 N/m3 ×1.14 m 2 × 5 m + 25×103 N/m3 ×1.31 m 2 × 5 m = 1.49m 2 1×106 N/m 2 − 25 ×103 N/m3 × 5 m
解：1、计算 1-1 截面轴力：从 1-1 截面将杆截成两段，研究上半段。设截面上轴力为 FN1 ，
为压力（见图 b），则 FN1 应与该杆段所受外力平衡。杆段所受外力为杆段的自重，大
材料力学例题
一、空心钢轴的外径D =100mm ，内径d =50mm ，若要求轴在单位长度内的最大转角不超过0.75°，试求它所承受的最大扭矩，并求此时轴内的最大切应力。
已知G =80GPa 。
二、两杆AC 和BC 两端均为铰支，且在C 处承受F =200kN 力的作用。
两杆的材料均为钢，直径均为mm 50=d ，许用应力MPa 100][=σ，弹性模量E =200GPa ，试校核两杆的强度；并求C 点的垂直位移。
F
C 30°
F F C
C'4
1
2
3
AC ∆l BC
∆l N,AC
N,BC
三、作梁和刚架的内力图。
16 kN
a 2a
q = 2 kN/m
(d)F
a 2a
a
q (e)
q
(a)
q
a
a
F
(b)
MPa ，截面对形心轴c z 的惯性矩F 。
0.8F (+)
0.6F (-)
(a)
五、求图示刚架自由端C 点的垂直位移和水平位移。
EI 为常数，拉压和剪切变
形不计。
（提示：跨度为l 的悬臂梁自由端受集中力偶e M 作用，该处转角为EI l
M e ，
挠度为EI l M e 22
；跨度为l 的悬臂梁自由端受集中载荷F 作用，该处转角为EI
Fl 22
，
挠度为EI
Fl 33
）
六、图示铝柱用青铜芯加强，置于刚性支承上，加在刚性盖板上的轴向压力F =40kN ，已知两种材料的弹性模量分别为E al =70GPa ，E br =100GPa ，求横截面上两种材料的正应力。
材料力学典型题(试题大类)
材料力学8-3. 图示起重架的最大起吊重量（包括行走小车等）为P=40kN，横梁AC由两根No18槽钢组成，材料为Q235钢，许用应力[ ]=120MPa。
试校核梁的强度。
P30o 3.5m ABCz解：（1）受力分析当小车行走至横梁中间时最危险，此时梁AC 的受力为由平衡方程求得kN Y kN X kN S 20 64.34 40===（2）作梁的弯矩图和轴力图此时横梁发生压弯变形，D 截面为危险截面，kNm M kN N 35 64.34max ==（3）由型钢表查得 No.18工字钢23299.29 152cm A cm W y ==（4）强度校核][05.112122max maxmax σσσ MPa W M A N y c =+==故梁AC 满足强度要求。
8-5. 单臂液压机架及其立柱的横截面尺寸如图所示。
P=1600kN ，材料的许用应力[σ]=160MPa 。
试校核立柱的强度（关于立柱横截面几何性质的计算可参看附录A 例A-8）。
P P900140027603800I1400 890y c 5016 1616截面I-IABCD A C PXY SD —— 35KNm+ 34．64KN解：（1）内力分析截开立柱横截面Ⅰ-由静力平衡方程可得kNm y P M kN P N c 2256 1600=⨯===所以立柱发生压弯变形。
（2）计算截面几何性质4102109.2 99448mm I mm A z ⨯==（3）计算最大正应力立柱左侧MPa ANI My Z C t 7.55max =+=σ 立柱右侧[]MPaMPa MPaANI M Z c 1607.552.53890max max ==∴=+⨯-=σσσ （4）结论：力柱满足强度要求。
8-6. 材料为灰铸铁的压力机架如图所示，铸铁许用拉应力为[σt]=30MPa ，许用压应力为[σc]=80MPa 。
试校核框架立柱的强度。
50100202020z 1 z 2y 截面I-I60IP=12kNP2002760II NP900My c解:（1）计算截面几何性质4124879050 5.59 4200mm I mm z mm A y ===（2）内力分析作截面Ⅰ-Ⅰ，取上半部分由静力平衡方程可得Nm z P M kN P N 2886)200( 122=+===所以立柱发生拉弯变形。
材料力学-习题(课堂使用)
①
②③ 基础④教学
D
P2
P1 P3 6
11.已知单元体AB、BC面上只作用有剪应力τ，则AC面上的应力
为
C
A、 AC / 2, AC 0
B、 AC / 2, AC 3 / 2
C、AC / 2,
AC 3 / 2
B
D、 AC / 2, AC 0
30
A
C
12.正方形截面杆，横截面边a和杆长l成比例增加，则它的长细 比为 B
C
q
l2 3m
A
B
l1 2m
基础教学
16
05. 已知某危险点的应力状态如图， [σ]=160MPa。试校核强度 （用第三强度理论）
60
50 60
50
（Mpa)
06、房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的双跨梁 （如图所示）。试作梁的剪力图和弯矩图。（12分）
q
A
C
B B 0
l
l
基础教学
d 70mm
e 20mm
P 10.图示受力杆件中，已知P=20kN，M=0.8kNm，直径d=40mm。 试求外表面上A点的主应力。
A P
m P
m
基础教学
19
11、受扭圆轴表面上任一点处与轴线成 方向的线应变 ，材料的E=200Gpa， =0.3， =160Mpa，用第
三强度理论校核其强度。（12分）
T
T
T
(a)圆截面
(b)空心截面
(c)薄壁圆截面
10.偏心压缩实际上就是 压缩 和 弯曲 的组合变形问题。
基础教学
11
11、在压杆稳定性计算中，若将中柔度杆误用了欧拉公式进行计 算，则所得的临界力比实际的临界力值 大 ；而稳定性校核的结 果是偏于危险。
材料力学习题大全及答案
习题2-1图 习题2-2图习题2-3图 习题2-4图习题2-5图 习题2-6图材料力学习题大全及答案第1章 引 论1－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。
关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。
正确答案是 C 。
1－2 图示带缺口的直杆在两端承受拉力F P 作用。
关于A －A 截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。
正确答案是 D 。
1－3 图示直杆ACB 在两端A 、B 处固定。
关于其两端的约束力有四种答案。
试分析哪一种答案最合理。
正确答案是 D 。
1－4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力F P 。
关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。
正确答案是 D 。
1－5 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M ，力偶作用面与杆的对称面一致。
关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（对于左端，由A A '→；对于右端，由A A ''→），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。
正确答案是 C 。
习题2-1图习题2-2图习题2-3图习题2-4图1－6 等截面直杆，其支承和受力如图所示。
关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。
正确答案是 C 。
第2章 杆件的内力分析2－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。
试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
（A ）d d Q x F d M（B ）d d Q x F （C ）d d Q x F （D ）d d Q xF 2－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。
材料力学例题及解题指导总结
材料力学例题及解题指导（第二章至第六章）第二章 拉伸、压缩与剪切 例2-1 试画出图a 直杆的轴力图解：此直杆在A 、B 、C 、D 点承受轴向外力。
先求AB 段轴力。
在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段（图2-5b ）。
在截面上设出正轴力N 1。
由此段的平衡方程∑X ＝0得 N 1－6＝0， N 1＝＋6kNN 1得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。
AB 段内任一截面的轴力都等于+6kN 。
再求BC 段轴力，在BC 段任一截面2-2处将杆件截开，仍考察左段（图2-5c ），在截面上仍设正的轴力N 2，由∑X ＝0得－6＋18＋N 2＝0 N 2＝－12kNN 2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力），同时又表明轴力N 2是负的。
BC 段内任一截面的轴力都等于－12kN 。
同理得CD段内任一截面的轴力都是－4kN 。
画内力图，以水平轴x 表示杆的截面位置，以垂直x 的坐标轴表示截面的轴力，按选定的比例尺画出轴力图，如图2-5（d ）所示。
由此图可知数值最大的轴力发生在BC 段内。
解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N ，然后由∑X ＝0求出轴力N ，如N 得正说明是正轴力（拉力），如得负则说明是负轴力（压力）。
图2-5例2-2试求自由悬挂的直杆（图2-6a）由纵向均匀分布荷载q（力／长度）引起的应力和纵向变形。
设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知。
解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m，则该截面轴力为N(x)＝qx，根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。
m-m截面的应力为σ（x）＝N(x)/A＝qx/A。
显然，悬挂端有最大轴力N max＝ql及最大正应力Aql/max=σ。
求杆纵向变形，由于各横截面上轴力不等，不能直接应用公式(2-4)，而应从长为d x的微段出发。
在x处取微段d x，其纵向伸长可写为()()EAxxNxdd=∆杆件的总伸长()EAqlxxEAqxEAqxEAxxNllll2ddd2====∆⎰⎰⎰研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力q＝A⋅1⋅γ，此处γ是材料单位体积的重量即容重。
【2019年整理】习题课材料力学
p.28
例题
例题
解：(1) 3杆装入后，三杆的铰接点为A1，此时3杆将缩短，而1杆和 2杆将伸长，A1受力分析 (2) 平衡方程
(3)由变形谐调条件
(4)物理关系
由此得 (5) 联立求解得
p.29
例题
例题
20.车床的传动光杆装有安全联轴 器，过载时安全销将先被剪断。 已知安全销的平均直径为5mm， 材料为45钢，其剪切极限应力为 u=370MPa，求联轴器所能传递的 最大力偶矩M。 解：剪断时
(2)计算抗扭截面模量
(3)强度校核
p.40
例题
例题
26.图示AB轴的转速n=120 r/min，从B轮输入功率N=60马力，此功 率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴 C，另一半由水平轴 H输出。已 知D1=60cm，D2=24cm，d1=10cm，d2=8cm，d3=6cm，[τ]=20MPa 。试对各轴进行强度校核。
p.21
例题
例题
（3）如图，A点受力后将位移至A’,所以A点的垂直位移为 AA’’
15.受预拉力10kN拉紧的缆索如 图所示。若在C点再作用向下15 kN的力，并设缆索不能承受压 力。试求在h=l/5和h=4l/5两种 情况下，AC和BC两段内的内力。
p.22
例题
例题
解：设铰链A、B的约束反力为YA、YB 则有 AC段和BC段的轴力 变形协调条件为 当h=l/5时
(3)以杆BD为研究对象
(4)杆的应力为
p.13
例题
例题
8. 某拉伸试验机的示意图如图所示。设试验机的CD杆与试样AB同 为低碳钢制成，p=200MPa，s=240MPa，b=400MPa。试验机的 最大拉力为100kN。 （1）用这试验机作拉断试验时试样最大直径可达多少？ （2）设计时若取安全系数n=2，则CD杆的截面面积为多少？ （3）若试样的直径d=10mm，今欲测弹性模量E则所加拉力最大不 应超过多少？ 解：(1)试样拉断时
材料力学课件例题
例：重力坝受水的压力如图。
设水深为h ，水的密度为ρ ，试求水压力简化的结果。
解: 坐标系如图所示，以O 点为简化中心将平面平行力系向点简化 力系的主矢力系对O 点的主矩 力系进一步简化为一合力 合力作用线距点的距离为 例：悬臂式简易起重机简化为图示结构。
AB 是吊车梁，BC 是钢索，A 端支承可简化为铰链支座。
设已知电动葫芦和重物其重P = 10 kN ，梁自重W = 5 kN ，θ= 30o 。
试求钢索BC 和铰链A 的约束力，及钢索受力的最大值。
解：以吊车梁AB 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。
电动葫芦距A 处距离为x ，建立平衡方程d d F gy y=ρ2R1d 2hx F gy y gh '∴=-=-⎰ρρR0y F '=2R R R 12x F F F gh ''===-ρO R 23M OO h F '=='3O 01d 3h M y gy y gh =-⋅=-⎰ρρA ()0:M F =∑B sin 02lW P x F l -⋅-⋅+⋅=θB ()0:M F =∑A ()02y lP l x W F l ⋅-+⋅+⋅=0:xF=∑A B cos 0x F F -=θ解得：例：试求图示悬臂固定端 A 处的约束力。
其中q 为均布载荷集度，单位为kN/m ，设集中力F = ql ，集中力偶矩M = ql 2。
解：以梁AB 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。
建立平衡方程解得：例：边长为a 的等边三角形平板 ABC 在铅垂平面内，用三根沿边长方向的直杆铰接如图所示。
BC 边水平，三角形平板上作用一已知力偶，其力偶矩为M 。
三角形平板重为P ， 杆不计自重。
试求三杆多三角形平板的约束力。
解：以三角形平板ABC 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。
建立平衡方程A 3()2xP W F x l =+A ()2y l x WF P l -=-+B 2P F x Wl =+Bmax 225kNF P W ∴=+=0:x F =∑0Ax F =0:y F =∑20Ay F q l F -⋅+=A()0:M F =∑A 220M q l l M F l -⋅⋅++⋅=A 0x F =A y F ql=2A M ql =A ()0:M F =∑C 0F M -=B ()0:M F =∑A 022aF P M ⋅-⋅-=C ()0:M F =∑B 022a F a P M ⋅+⋅-=解得： 例：塔式起重机简图如图所示。
材料力学经典例题
Ip R
称为抗扭截面 系数(模量 模量)， 系数 模量 ， 单位： 单位：mm3。
Nm mm
3
MT = W p
=10 MPa
3
五、Ip和Wp公式
π D4
32
工程上采用空心截面构件：提高强度， 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约 材料， 材料，重量轻 结构轻便，应用广泛。 结构轻便，应用广泛。
Ip =
例题2.4 例题2.4 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。 D=350mm，油压p=1MPa 螺栓许用应力[σ]=40MPa p=1MPa。 [σ]=40MPa， D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F = D 2 p
目录
FN 1 = 2 F1 ≤ [σ ] A1
失效、 §2.7 失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷 根据水平杆的强度， 查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm2 =2×
FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F
FN 2 = 3F2 ≤ [σ ] A2
FN 1
（kN·m） ）
MT
2. 校核强度
MT1 10×103 ×16 ×103 = 50.9MPa＜ [τ] (τmax )1 = W = π×1003 p1
MT2 3×103 ×16 τmax ) 2 = = ×103 = 70.7 MPa ＞ [τ] ( Wp2 π×603
MT1 180 10×103 ×32 180 ⋅ = ⋅ = 0.7 o m ＜[θ] θ1 = GIp1 π 80×109 ×π×1004 ×10−12 π MT2 180 3×103 ×32 3 180 ⋅ = ×10 ⋅ = 1.7 o m ＞[θ] θ2 = GIp2 π 80×π×604 π
材料力学习题及答案
材料⼒学习题及答案材料⼒学习题⼀⼀、计算题1．（12分）图⽰⽔平放置圆截⾯直⾓钢杆（2ABC π=∠），直径mm 100d =，m l 2=，m N k 1q =，[]MPa 160=σ，试校核该杆的强度。
2．（12分）悬臂梁受⼒如图，试作出其剪⼒图与弯矩图。
3．（10分）图⽰三⾓架受⼒P 作⽤，杆的截⾯积为A ，弹性模量为E ，试求杆的内⼒和A 点的铅垂位移Ay δ。
4．（15分）图⽰结构中CD 为刚性杆，C ，D 处为铰接，AB 与DE 梁的EI 相同，试求E 端约束反⼒。
5. (15分) 作⽤于图⽰矩形截⾯悬臂⽊梁上的载荷为：在⽔平平⾯内P 1=800N ，在垂直平⾯内P 2=1650N 。
⽊材的许⽤应⼒[σ]=10MPa 。
若矩形截⾯h/b=2，试确定其尺⼨。
三．填空题（23分）1．（4分）设单元体的主应⼒为321σσσ、、，则单元体只有体积改变⽽⽆形状改变的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；单元体只有形状改变⽽⽆体积改变的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2．（6分）杆件的基本变形⼀般有＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿四种；⽽应变只有＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿两种。
3．（6分）影响实际构件持久极限的因素通常有＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它们分别⽤＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿来加以修正。
4.（5分）平⾯弯曲的定义为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_。
5.（2分）低碳钢圆截⾯试件受扭时，沿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿截⾯破坏；铸铁圆截⾯试件受扭时，沿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⾯破坏。
四、选择题（共2题，9分）2．（5分）图⽰四根压杆的材料与横截⾯均相同，试判断哪⼀根最容易失稳。
答案：（）材料⼒学习题⼆⼆、选择题：（每⼩题3分，共24分）1、危险截⾯是______所在的截⾯。
材料力学上课例题
2qa
简支梁BC旳受力情况与
q
外伸梁AC 旳BC段旳受力情
况相同
MB qa2
C
B
D
由简支梁BC求得旳B,wD
q
就是外伸梁AC旳 B,wD
B
C
D
简支梁BC旳变形就是MB 和均布荷载q分别引起变形旳
叠加.
MB qa2 B
C D
2qa
MB qa2
B
B
MB qa2
B
q D (B )q D (wD )q
(
400 16
200 ) 3
+0.423 10-4 （rad）
wC
F1l 2a 16EI
F2a 3 3EI
F2a 2l 3EI
5.19 106 m
（3）校核刚度:
wmax l
w l
wmax 5.19 106m w 105m
max 0.423 104 0.001
例题8 梁AC如图所示,梁旳A端用一钢杆AD与梁AC铰接, 在梁受 荷载作用前, 杆AD内没有内力,已知梁和杆用一样旳钢材制成, 材 料旳弹性模量为E, 钢梁横截面旳惯性矩为I, 拉杆横截面旳面积为 A,其他尺寸见图,试求钢杆AD内旳拉力FN.
C
变形几何方程为
(wA )q (wA )FN l wA
B
2q
q
在例题 中已求得
(wA )q
7qa4 12EI
(wA )q
C B
可算出:
FN
(wA )FN
FNa3 EI
(w A )FN
B
C
拉杆 AD 旳伸长为: l FNl EA
补充方程为:
7qa4 FNa3 FNl 12EI EI EA
材料力学讲课例题
例4.2 在图示受扭圆轴横截面上的切应力 分布图中，正确的结果是( )。
答案 D
3、扭转变形（扭转角）
MT
MTl
GI p
GI p
例4.3 已知扭转刚度GIP，扭转求轴两端面的
相对扭转角（写结果）
例4.4 实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，则圆 轴的扭转角是原来的( ) (A) 2倍 (B) 4倍 (C) 8倍 (D) 16倍
解：（a）、(c) 、(f)是平面弯曲。 (b)、(d) 是斜弯曲。 (e) 是斜弯曲与扭转组合变形。
例8.3 斜支梁AB如图示，确定梁的变形，有( ) (A) AB (B) AC段弯曲变形，CB (C) AC段压缩与弯曲，BC (D) AC段压缩与弯曲，BC
答案 D
例8.4 图示结构中，杆的AC部分将发生的变形为( )
例2.2 已知图示杆的轴力 图， 请选择该杆相应的载荷图。
答案 D
例2.3 杆长l、截面积A及弹性模量E已知。求悬 挂直杆由纵向均匀分布荷载q引起的应力和纵向 变形。
解：距下端为x的横截面 m-m，轴力为N(x)＝qx， 轴力图如图（b)
最大轴力 Nmax＝ql
最大正应力 max ql / A
N
2
M
2
3
MT
2
A W 2W
N
2
M
2
3
MT
Pa 2
2a a2 6
2Pa2
答：增加7倍， 选答案B
例8.6 圆杆横截面积为A，截面惯性矩为W，受到 轴力N、扭矩MT和弯矩M的共同作用（拉、弯、 扭组合变形），第四强度理论的相当应力为( )。
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q/2
A
4
B C
wC 1
5(q 2)l 5ql 384 EI 768 EI (q 2)l ql 24 EI 48 EI
3 3
4
q/2 A C q/2 B
B1 A1
（2）反对称荷载作用下 在跨中C截面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零 可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l /2 的简支梁
解:将外伸梁沿B截面截成两段, 将AB 段看成B端固定的悬臂 A 梁,BC段看成简支梁.
B截面两侧的相互作用为：
2q q B a a D C
2qa
M B qa
2q
M B qa
2
2a
2
2qa
M B qa
2
q
A
B 2qa
B
D
C
简支梁BC的受力情况与 外伸梁AC 的BC段的受力情 2 M qa B 况相同
例7 下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的
E=210GPa,工程规定C点的[w/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试
校核此杆的刚度.
l=400mm A D B a=0.1m C B A D C
200mm F1=1kN
F2=2kN
F2
=
=
B
a
A
D
B
C
C
F2 M
第七章 弯曲变形 上课例题
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max w
A
F
B x
l
解：
w
F
A B
x
（1） 弯矩方程为
x
M ( x ) F (l x )
(1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w
5ql 4 384 EI
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
x 0, w 0
(4)
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
C2 0
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
y A
F
B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
l
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
2
(4)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
I ( D4 d 4 ) 64 3.14 (804 404 ) 1012 64 188 108 m 4
2
3
2
+
C
+
F2 M
F2
图3 A
D
B
C
F1l F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 -4 +0.423 10 （rad）
可得到： wC 2 0
q/2 A
θ A 2 θB 2
q l 3 ( )( ) 3 ql 2 2 24 EI 384 EI
A
4
C
q/2 q/2 C
B
将相应的位移进行叠加, 即得
B
5ql wC wC 1 wC 2 ( ) 768 EI 3 3 3 ql ql 3ql A A1 A 2 48 EI 384 EI 128 EI
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
q
解:由对称性可知,梁的两 个支反力为
A x
B
FRA FRB
ql 2
FRA
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
Fab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max
Fab( l a ) B 6lEI
简支梁的最大挠度应在
w' 0 处
先研究第一段梁,令 w1 0 得
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 1 w 1' 6lEI
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
2 Fb Pbl 2 2 3 w | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a）
b 挠曲线方程 EIw 1 M 1 F x l
转角方程
b x2 F EIw1 C1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
挠度方程
（b）（ a x l ）
b 挠曲线方程 EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
梁中点 C 处的挠度为
Fb Fbl 2 2 wC (3l 4b ) 0.0625 48 EI EI
2
2 Fb Fbl 2 2 3 y | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
2qa
q C
B
D
q
由简支梁BC求得的B,wD 就是外伸梁AC的 B,wD 简支梁BC的变形就是MB 和均布荷载q分别引起变形的 叠加.
B
C D
M B qa
2
B
C D
2qa
M B qa
2
q
（1）求 B ,wD
C
B
D
B
( B )q D ( w D )q
C
ql qa ( B )q 24 EI 3 EI 3 M Bl 2qa ( B ) M B 3 EI 3 EI 4 4 5ql 5qa ( w D )q 384 EI 24 EI 4 MB l2 qa ( wD )MB 16 EI 4 EI
A
B
( B ) M e
)
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题5 试利用叠加法,求图 所示抗弯刚度为EI的简支 梁跨中点的挠度 wC 和两端 截面的转角A , B .
q A C B
l/2 l
q/2
解:可视为正对称荷载
与反对称荷载两种情况的叠 加.
A C
B
q/2 A C q/2
B
（1）正对称荷载作用下
3
3
3
M B qa
2
由叠加原理得:
( B ) M B
(wD ) M B
B
D
C
qa B ( B )q ( B ) M B 3 EI 4 qa w D ( w D )q ( w D ) M B 24 EI
2q A
M B qa
2
2qa A
M B qa
F1l 2 16 EI
=
+ +
l=400mm
a=0.1m
（2）叠加求复杂载荷下的变形
C
A
D
B
200mm F1=1kN A D
F1l 2 F2la B F2=2kN 16 EI 3 EI
C
=
图1
F1=1kN
B 图2
F1l a F2a F2a l wC 16 EI 3 EI 3 EI
C
+
F1=1kN
A
B
F2
A
D B
+
C
F2=2kN
l=400mm A D B
a=0.1m C
解:（1）结构变换,查表求简 单载荷变形.
200mm F =1kN 1 图1
F2=2kN
1 B
D
C
F1=1kN
图2 B
C
F2
图3 A
F2
M
D
B
C
F1l 2a w1C 1 B a 16 EI 2B 0 F2a 3 w2C 3 EI Ml laF2 3B 3 EI 3 EI F2 la 2 w3 C 3 B a 3 EI