过程能力指数的4个基本特性

过程能力指数4 个基本特性ËÎÏéÑå摘要：本文根据过程能力指数C p 定义发现了过程能力指数的4 个基本特性，即过程能力指数的对半特性、可计量特性、零判据和基准。

这4 个特性为研究各种情况下过程能力指数公式提供了理论依据。

关键词：过程能力指数特性贡献过程能力指数区间基准The Four Basic Properties of Process Capability IndexSong xiangyanAbstract: This paper discovers the four important properties of process capability index according to the definition of C p, they are the fifty-fifty property of PCI, the measurability of PCI, the zero criterion of PCI and the datum of PCI. The four basic properties provide theoretical foundation for us to explore the various kinds of formulas of process capability index.Key words: Process capability index; Property; Contribution; Interval of process capability index; Datum过程能力指数(PCI,Process Capability Index)定义为C p =T6 σ=T U–T L6 σ(1)式(1)是针对对称公差无偏情况定义的。

根据数理统计概率计算公式，图1 中正态分布曲线落在区间[T L,T U]内的合格率为Ф(T U–μσ)–Ф(T L–μσ)=2 Ф(3C p) –1 (2)由于过程能力指数来自于合格率的贡献，且正态分布曲线落在合格区内的合格率具有积分的累加性，故合格率对对过程能力指数的贡献具有可加性。

推论1：过程能力指数具有可加性在无偏情况下，见图2，过程能力指数C p 可看成是合格区间内彼此相邻的任意n 个大小不同的区域的合格率对过程能力指数C p 贡献之和，即：∑== + + + = + + + = =nin Cpi Cpn Cp Cp T T T T Cp12 1 2 16 6 6 6L L L Lσσσσ当T1= T2= ……= T n 时，C P=nT16 σ。

图5 是可加性在n=2 时的一个特例。

当偏移发生时，过程能力指数PCI 可看成合格区间内彼此相邻的任意n 个大小不同的区域内的合格率对过程能力指数贡献之和，即：+ = 1 PCI PCI ∑== + +nii n PCI PCI PCI12 L L图3 中偏移发生后的过程能力指数可以看成是区间[T L,T L+ ε]、[T L+ ε,T L+2 ε]、[T L+2 ε,T U]内的合格率对过程能力指数贡献之和。

以下将要谈到的过程能力指数可计量特性充分说明了过程能力指数具有可加性。

推论2：过程能力指数具有不变性假设合格区间[T L,T U]内的某一合格区域i 对过程能力指数的贡献为PCI i，在标准差σ(即正态分布的曲线形状)不变的情况下，当均值μ向右偏移时，参见图4，若偏移后的区域i仍处于合格区间[T L,T U]内，即在移动过程中合格率不发生改变，则区域i 的合格率对过程能力指数的贡献仍为PCI i。

过程能力指数不变性取决于两个条件：一个是曲线形状不发生变化，另一个是移动后的合格区域i 仍处于合格区间[T L,T U]内。

1 过程能力指数的对半特性在无偏情况下( μ=M)，见图5，过程的能力指数C p 是通过中心线左右两侧的对称区间内的合格率对过程能力指数的贡献来实现的，即区间[T L, μ]内的合格率与区间[ μ,T U]内的合格率共同完成对过程能力指数C p 的贡献过程。

由于正态分布的对称性，左右两侧对称区间[T L, μ]和[ μ,T U]内的合格率相同，所以两侧对称区间内的合格率对过程能力指数的贡献值也相同。

即区间[T L, μ]内的合格率与区间[ μ,T U]内的合格率对过程能力指数的贡献都是C p/2。

当对称区域并非充满整个合格区间时，见图6，以μ为中心的两个对称区间[T L+d, μ]和[ μ,T U–d]内的合格率相同，它们对过程能力指数的贡献也相同。

当参数d 变化时在合格区内能找到无数个以μ=M 为中心的对称区域，但d 必须满足d≥0 且T–2d≥0，即0≤d≤T/2。

显然，图5 是图6 当d=0 时的特例。

当均值μ向右偏移ε时，在合格区内以μ为中心的最大的对称区域为[ μ–T/2+ ε, μ+T/2–ε]，见图7。

由于对称区间[ μ–T/2+ ε, μ]和[ μ, μ+T/2–ε]内的合格率相同，所以它们对过程能力指数的贡献也相同。

在图8 中，由于以μ为中心的两个对称区间[ μ–T/2+d, μ]和[ μ, μ+T/2–d]内的合格率相同，所以它们对过程能力指数的贡献也相同。

随着变量d 的变化，以μ为中心的对称区域[ μ–T/2+d, μ+T/2–d]的宽度T–2d 也发生变化。

显然，d 应满足d–ε≥0 且T–2d≥0，即ε≤d ≤T/2。

图7 是图8 在d= ε时的特例。

无偏时过程能力指数对半特性是有偏时过程能力指数对半特性的特例。

综上所述，可得如下重要结论：过程能力指数对半特性——不论是无偏还是有偏，只要正态分布曲线分布中心μ两侧的对称区间在合格区间内(合格率相同)，那么它们对过程能力指数的贡献相同。

这就是过程能力指数的对半特性，是正态分布对称性赋予过程能力指数的一个隐含特性。

注意，以μ为中心的两个对称区间必须处于合格区间以内，否则即使是对称区间，也不能保证合格率相同，更不能谈过程能力指数的对半特性。

若研究对半特性时连同不对称的那一部分合格率一起考虑，就永远不会发现过程能力指数的对半特性。

但这并不意味着不研究不对称的那部分合格率对过程能力指数的贡献，相反，正是通过分段研究，才相继发现了过程能力指数的可计量特性和过程能力指数的零判据。

2 过程能力指数的可计量特性图5 中对称区域充满了整个合格区间，区间[T L, μ]内的合格率与区间[ μ,T U]内的合格率对过程能力指数的贡献都是C p/2。

当对称区域并非充满整个合格区间时，见图6，对称区域[T L+d,T U–d]内的合格率对过程能力指数的贡献是多少呢？根据数理统计概率计算公式，对称区域[T L+d,T U–d]内的合格率为Φ(T U–d–μσ)–Φ(T L+d–μσ)=2 Φ(T–2d2 σ)–1 (3)将式(3)与式(2)比较知，对称区域[T L+d,T U–d]内的合格率对过程能力指数的贡献为(T.2d)/6 σ。

根据对半特性，区间[T L,T L+d]和区间[T U–d,T U]内的合格率对过程能力指数的贡献各为d/6 σ。

同理，当均值μ向右偏移ε时，见图8，根据数理统计概率计算公式，合格区内以μ为中心的对称区域[ μ–T/2+d, μ+T/2–d]内的合格率为Φ(μ+T/2–d–μσ)–Φ(μ–T/2+d–μσ)=2 Φ(T–2d2 σ)–1 (4)将式(4)与式(2)比较知，对称区域[ μ–T/2+d, μ+T/2–d]内的合格率对过程能力指数的贡献也是(T.2d)/6 σ。

显然为使该对称区域在合格区间内，必须保证T/2≥d 且ε+T/2–d≤T/2，即ε≤d≤T/2。

由此可以得出如下重要结论：过程能力指数可计量特性——不论是无偏还是有偏，只要正态分布曲线分布中心μ两侧的某对称区域在合格区内，则宽度为T–2d( ε≤d≤T/2)的对称区域对过程能力指数贡献是(T.2d)/6 σ。

这就是过程能力指数的可计量特性，是过程能力指数定义所隐含的又一特性。

借助于该特性，可计量合格区中任一对称区域内的合格率对过程能力指数的贡献大小。

如果没有对半特性存在，而只有可计量特性存在，我们就不能得出图6 中区间[T L,T L+d]和区间[T U–d,T U]内的合格率对过程能力指数的贡献各为d/6 σ的结论。

另外，本文正是利用了对半特性和可计量特性，才证明了过程能力指数C pk 公式是错误的。

但仅仅利用这两个特性，还不能充分证明作者提出的过程能力指数的修正公式C pkr 是正确的，必须运用过程能力指数零判据。

3 过程能力指数的零判据当均值μ向右偏移ε( ε>0)时，参见图3，根据可计量特性，以μ为中心的对称区域[T L+2 ε,T U]内的合格率对过程能力指数贡献是(T.2 ε)/6 σ。

根据对半特性，偏移前区间[T L,T L+ ε] 内的合格率对过程能力指数贡献是ε/6 σ。

偏移后区间[T L,T L+ ε]移至区间[T L+ ε,T L+2 ε]，根据过程能力指数不变性，区间[T L+ ε,T L+2 ε]内的合格率对过程能力指数的贡献也是ε/6 σ。

假设偏移发生后的区间[T L,T L+ ε]内的合格率对过程能力指数有贡献且贡献值为Δ，则必有Δ= ε/6 σ。

根据过程能力指数可加性，偏移后的过程能力指数为(T–2 ε)/ 6 σ+ ε/6 σ+Δ。

由于偏移发生后的过程能力指数小于T/6 σ，必有(T–2 ε)/ 6 σ+ ε/6 σ+ Δ<T/6 σ，即Δ< ε/6 σ，显然这与Δ= ε/6 σ>0 矛盾，所以Δ不能大于零，由于Δ不能小于0，故Δ=0。

推论3：当偏移发生时进入合格区内的合格率对过程能力指数的贡献为零。

无偏情况下，见图1，区间[ .∞,T L]内的分布概率为Φ(T L . μσ). Φ(.∞–μσ)=1. Φ(T2 σ) (5)根据过程能力指数定义，区间[–∞,T L]内的分布概率对过程能力指数的贡献为零。

因此无偏时过程能力指数为零与分布概率1. Φ(T/2 σ)建立了对应关系。

当均值μ向右偏移ε(即μ=M+ ε)时，见图3，区间[–∞,T L+ ε]内的分布概率为Φ(T L+ ε. μσ). Φ(.∞–μσ)= Φ(T L.Mσ)=1. Φ(T2 σ) (6)由于区间[–∞,T L+ ε]由[–∞,T L]和[T L,T L+ ε]两部分组成，所以根据过程能力指数定义和推论3，区间[–∞,T L+ ε]内的合格率对过程能力指数的贡献等于零，且与偏移量ε的大小无关。

综合式(5)和式(6)，可得如下重要结论：过程能力指数零判据——不论是无偏还是有偏，当从–∞(或+∞)开始计算正态分布曲线落在某一区域内的分布概率等于1. Φ( T/2 σ)时，则该区域内的分布概率对过程能力指数贡献为零。