第四章 线性系统的根轨迹法(下)

116

4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16m s 。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。要求：

(1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图；

(2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。

(b)

图4-47 轧钢机控制系统

解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。 (1) 绘系统根轨迹图

电机与轧辊内回路的传递函数

()()()12

0.250.25

10.250.5G s s s s =

=

+++ 令0T =，系统开环传递函数为

()()()()

()()

2

2

2

0.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s *

+=

=

++++

式中，0.5a K K *=。概略绘制根轨迹图的特征数据为：

渐近线：交点与交角

2.5

0.6254

a σ-=

=- 45,135a ϕ=±± 分离点：由

11200.51

d d d ++=++ 解出

0.212d =-。

根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程

()()2

0.51s s s K *+++

4322.520.50s s s s K *=++++=

列劳思表

117

4s 1 2 K * 3s 2.5

0.5

2s 1.8 K *

1s 0.9 2.51.8

K *

-

0s K *

令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。令

21.80s K *+=

代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。交点处

20.72a K K *==

系统概略根轨迹图如图(a)所示。

图(a) 概略根轨迹图

(2) 确定使系统0.707ζ≥的a K

在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点

1,20.1550.155s j =-±

利用模值条件，得1s 处的0.0612K *

=；分离点d 处的0.0387K *=。由于2a K K *=，故

取0.07740.1224a K <≤，可使0.7071ζ≤<；取0.0774a K ≤，可使1ζ≥。

()()

20.51010.5a

K s s s +=++

118

(3) MATLAB 验证

0.707ζ=时，系统主导极点及增益和根轨迹分离点处系统增益如图(b)所示；系统根轨

迹图如图(c)所示。分别令a K 为0.05，0.11，0.4和0.8，系统的单位阶跃响应如图(d)所示。

0.11a K =时，系统动态性能 % 2.17%,σ= 27.6s s t = ()=2%∆

0.4a K =时， 系统动态性能 %53.2%,σ= 57.9s s t = ()=2%∆

MATLAB 程序：exe423.m

% 建立等效开环传递函数模型 G=zpk([], [-0 -0.5 -1 -1], 1); z=0.707;

% 绘制相应系统的根轨迹 figure (1)

rlocus(G); sgrid(z,'new') % 取阻尼比为 0.707

axis([-0.5 0.1 -0.3 0.3]) figure (2)

K=0.0612; % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益 hold on; rlocus(G ,K) % 阻尼比为 0.707时, 系统的闭环特征根 axis([-1.5 0.5 -1 1])

rlocus(G); % Ka=0.05，0.11，0.4，0.8时的阶跃响应 Ka=0.05;

% Ka 可相应设置 numc=[0.5*Ka]; denc=[1 2.5 2 0.5 0]; [num, den]=cloop(numc, denc);

% 系统闭环传递函数 roots(den);

% 系统闭环极点

sys=tf(num, den); t=0:0.01:120; figure(3)

step(sys,t); grid on;

图(b) 确定0.707ζ=以及分离点处的a K (MA TLAB)

119

图(c) 轧钢机系统根轨迹图 (MA TLAB)

(1) 0.05a K = (2) 0.11a K =

(3) 0.4a K = (4) 0.8a K =

图(d) 轧钢机系统时间响应 (MA TLAB)

4-24 图4-48(a)是22V -鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图。22V -既是一种普通飞机，又是一种直升机。当飞机起飞和着陆时，其发动机位置可以如图示那样，使22V -像直升机那样垂直起降；而在起飞后，它又可以将发动机旋转90，切换到水平位置，像普通飞机一

120

样飞行。在直升机模式下，飞机的高度控制系统如图4-48(b)所示。要求：

(1) 概略绘出当控制器增益1K 变化时的系统根轨迹图，确定使系统稳定的1K 值范围； (2) 当去1280K =时，求系统对单位阶跃输入()()1r t t =的实际输出()h t ，并确定系统的超调量和调节时间()2%∆=；

(3) 当1280K =，()0r t =时，求系统对单位阶跃扰动()1N s s =的输出()n h t ； (4) 若在()R s 和第一个比较点之间增加一个前置滤波器

()20.5

1.50.5

p G s s s =

++

试重作问题(2)。

(b) 控制系统

图4-48 V -22旋翼机的高度控制系统

解 本题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题，其中包括引入前置滤波器，以抵消闭环零点的不利影响，改善系统性能。

(1) 绘制系统的根轨迹图

由图4-48(b)，系统开环传递函数

()()()()()

21 1.50.52011010.51K s s G s s s s s ++=

+++

()()

()()()

0.510.050.12K s s s s s s *++=

+++ 式中

10.01K K *=

渐近线：交点与交角

0.325a σ=- 90a ϕ=±

分离点：

1111110.050.120.51

d d d d d d +++=++++++ 0.022d =-

根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程

(R s