第四章 线性系统的根轨迹法(下)
夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】
夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章 线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。
证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。
由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。
MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。
可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。
图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。
解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。
①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。
图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。
图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。
图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
第四章 线性系统的根轨迹法(下)
1164-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。
环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。
带钢通过环轮的典型速度为10.16m s 。
假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。
要求：(1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图；(2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。
(b)图4-47 轧钢机控制系统解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。
(1) 绘系统根轨迹图电机与轧辊内回路的传递函数()()()120.250.2510.250.5G s s s s ==+++ 令0T =，系统开环传递函数为()()()()()()2220.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s *+==++++式中，0.5a K K *=。
概略绘制根轨迹图的特征数据为：渐近线：交点与交角2.50.6254a σ-==- 45,135a ϕ=±± 分离点：由11200.51d d d ++=++ 解出0.212d =-。
根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程()()20.51s s s K *+++4322.520.50s s s s K *=++++=列劳思表1174s 1 2 K * 3s 2.50.52s 1.8 K *1s 0.9 2.51.8K *-0s K *令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。
令21.80s K *+=代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。
交点处20.72a K K *==系统概略根轨迹图如图(a)所示。
图(a) 概略根轨迹图(2) 确定使系统0.707ζ≥的a K在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点1,20.1550.155s j =-±利用模值条件，得1s 处的0.0612K *=；分离点d 处的0.0387K *=。
第4章 线性系统的根轨迹法
m
s p
i 1
n
0
或写成
* s p K i s zi 0 i 1 i 1
m
它是直接利用开环传递函数分析闭环特征根及其性能的图解法。
『例』已知单位反馈系统开环传递函数 G s
讨论系统闭环极点的分布情况(0<K<∞)。
开环增益 K K * i bd
j
z
ac
i
p
j
四、根轨迹方程
(1) 根轨迹方程
1 Gs H s 0 或 Gs H s 1
假设开环传递函数中有m个零点和n个极点
1
K * s zi
i 1
m
s p
i i 1
n
0,
j z2
p3
S1
p2 z3
z1
p4
p1
4. 根轨迹的渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹 分支沿着与实轴夹角为 a 和交点为 的一组渐进线 a 趋向无穷远处。
(2k 1) a , a nm
p z
i 1 i i 1
n
m
i
nm
『例』指出单位反馈系统根轨迹的条数、根轨迹渐近线与 实轴的夹角和交点。 K* G(s) s( s 1)(s 2) 60 （2k 1) 0 1 2 解：有3条根轨迹， a 180 ， a 1 30 3 60
『问题』开环传递函数的3个极点和2个零点如下图，
判断s1是否根轨迹上的点?
s1
5 4
z1 z2
× p3
3
2
× p2
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
第四章：根轨迹法
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
第4章 线性系统的根轨迹分析
３．暂态性能 （１） 当０<Ｋ< ０.25时， 闭环特征根为实根，系统是过 阻尼状态，阶跃响应为非周期 过程。
∞ K K=0 × -1 K
jω
K=0.25 K=0 ×
σ
（２） 当Ｋ＝０.25时，两 特征根重合，均为－0.5，系 统处于临界阻尼状态。
∞
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭 复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰 减振荡过程。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1)( j 2) K 1 0 j ( 2 j 3 2) K 1 0 j 3 3 2 j 2 K 1 0
jω
j 2
K1=6
实部 虚部
K 13 2 0 2 3 0
i 1
n
q 0,1,2,
…
（＊＊）
三．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图， 在Ｓ平面中的任意一点 s 0 ，用 相角条件可以判断 s 0 是不是根 轨迹的点。 １．从 s 0 到各零极点连直线 ２．用量角器量(s0 p1 ) ,…等 各个角． ３．将量好的值代入（＊＊） 式，若等式成立，则 s 0 就是根 轨迹上的点．
§４－１根轨迹的基本概念
G H
绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改 写为 G ( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的
幅值和相角分别相等的条件，可以得到
§４－１根轨迹的基本概念
G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 180(2q 1),
z1
第四章根轨迹分析法
j=1
i=1 ≠b
例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解 按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现 纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令 其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标 值及其相应的Kg值。 例 设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增 益Kgp。
解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
第4章线性系统的根轨迹分析
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
根轨迹方程
j
a
0
a
23
例：已知系统的开环传递函数
G(s)H (s)
s(s
K *(s 1) 4)(s2 2s
2)
求出根轨迹的渐近线。
j
。 0
解： 开环零点： z 1, m 1
开环极点： p1 0, p2 4,
n
m p3 1 j1, p4 1 j1, n 4
终点 K * s zi 0 s zi
16
若开环极点数n > 开环零点数m ，有(n－m)个开环零 点在无穷远处，则有(n－m)条根轨迹趋于无穷远处。
m
模值方程：
s zi
i 1
n
s pj
1 K*
当s→∞时，zi、pj都可忽略
m
j1
m
s zi
G(s)H(s) K*
i 1 n
（首1型） (s pj )
j 1
开环根轨迹增益
G(s)H(s) = -1
m
(s zi )
K * i1 n
1
(s pj)
j 1
分 解
Ⅲ.根轨迹方程形式三： m
①模值方程：
s zi
K * i1 n
1
s pj
m j1
a
pj zi
j1
i 1
nm
5 3
;a
(2k 1) (2k 1)
nm
41
(2k 1)
3
600(k 0); 1800(k 1); 3000(k 2)
a1
a2
a3
线性系统的根轨迹法
➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言，采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 （即闭环极点）一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中，经常需要考察系统某一参数（如开环根 增益）改变时，闭环极点的位置改变情况，以便于根据控制系 统的性能要求，确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 －1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9－1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9－ 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
第10讲第4章根轨迹
4.5.2 开环零极点对系统的影响
对于图4-1所描述的系统，影响系统稳定性有三 大因素：开环增益、开环极点、开环零点影响，请看图4-13所示的例子。
图4-13a,b 开环零、极点对系统的影响
第四章 根轨迹法
图4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响 第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
(b)
(c)
(d)
(e)
第四章 根轨迹法
(f)
4.5.4 闭环零极点与时间响应
系统的动态性能最终体现在时间响应，影响时间响 应的因素有两个：闭环传递函数和输入函数。在第三章 中已经分析：时间响应的暂态分量主要取决于闭环零、 极点，时间响应的稳态分量主要取决于输入函数。 如前所说，闭环系统的稳定性完全取决于闭环极 点，实际上时间响应的暂态分量也主要取决于闭环极 点。每一个闭环极点si对应时间响应中的一个因子 exp(sit)——称为系统的一个模态（Mode），si在S平 面上的位置决定了它对应的暂态分量的运动形式。
图4-13（a）-（d）所对应的系统开环传递函数 分别为：
a 图 : 图 : b 图 : c 图 : d
1 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s + 2) s +3 G(s)H(s) = s(s − 2) s −3 G(s)H(s) = s(s + 2)
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
第四章 根轨迹法
j
σ
——闭环极点位置
———
的共轭
图4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式
第四章 根轨迹法
设计系统时合理配置闭环极点是十分重要的，根 据上述规律，一般首先配置主导极点，然后配置非主 导极点，非主导极点与虚轴的距离应当是主导极点与 虚轴距离的2～5倍，这样系统的时间响应就主要取决 于一对主导极点。 主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于 如图4-5虚轴左边60o扇形区内，且离虚轴有一定的距 离，其理由在于： 1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态 性能与一个二阶欠阻尼系统相似，二阶系统的动态性 能是分析得最透彻的，欠阻尼系统则具有较快的反应 速度。
第4章线性系统的根轨迹法.
C(s)
G1 ( s) C ( s) G( s) R( s) 1 G1 ( s) H ( s)
闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点
闭环零点＝G 1(s)中的零点和H(s)中的极点，很容易求得 闭环极点由特征方程：1+ G1 (s) H(s)＝0 求出，很难求得
第四章 根轨迹法 5
根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法 找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地 实现高阶系统的性能分析和设计。 根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从0→∞变化时，
第四章 根轨迹法 22
当n>m时，起始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞ 的点，要K→∞只有两种情况，一是 s=zl(l=1,2,…,m)，二是s→∞。这时，无穷远处也 称为‘无穷远零点’。 当 n<m 时，终止于 m 个开环零点 m 支根轨迹， 有 n 支来自个开环极点，有 m-n 支来自无穷远处。 必需指出，实际系统极少有 n<m的情况，但是在处 理特殊根轨迹时，常常将系统特征方程变形，变形 后的等价系统可能会出现这种情况。
1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法， 它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统 的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数 连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹， 如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根 据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可 以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
第四章 根轨迹法 23
规则二：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹对称于实轴，连续变化，并且有max(n,m) 支。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，无论K如何 变化特征方程始终有max(n,m)个根，即使出现重 根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终 为重根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。 特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是 共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于 实轴且连续变化。
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
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1164-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。
环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。
带钢通过环轮的典型速度为10.16m s 。
假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。
要求：(1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图；(2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。
(b)图4-47 轧钢机控制系统解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。
(1) 绘系统根轨迹图电机与轧辊内回路的传递函数()()()120.250.2510.250.5G s s s s ==+++ 令0T =，系统开环传递函数为()()()()()()2220.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s *+==++++式中，0.5a K K *=。
概略绘制根轨迹图的特征数据为：渐近线：交点与交角2.50.6254a σ-==- 45,135a ϕ=±± 分离点：由11200.51d d d ++=++ 解出0.212d =-。
根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程()()20.51s s s K *+++4322.520.50s s s s K *=++++=列劳思表1174s 1 2 K * 3s 2.50.52s 1.8 K *1s 0.9 2.51.8K *-0s K *令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。
令21.80s K *+=代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。
交点处20.72a K K *==系统概略根轨迹图如图(a)所示。
图(a) 概略根轨迹图(2) 确定使系统0.707ζ≥的a K在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点1,20.1550.155s j =-±利用模值条件，得1s 处的0.0612K *=；分离点d 处的0.0387K *=。
由于2a K K *=，故取0.07740.1224a K <≤，可使0.7071ζ≤<；取0.0774a K ≤，可使1ζ≥。
()()20.51010.5aK s s s +=++118(3) MATLAB 验证0.707ζ=时，系统主导极点及增益和根轨迹分离点处系统增益如图(b)所示；系统根轨迹图如图(c)所示。
分别令a K 为0.05，0.11，0.4和0.8，系统的单位阶跃响应如图(d)所示。
0.11a K =时，系统动态性能 % 2.17%,σ= 27.6s s t = ()=2%∆0.4a K =时， 系统动态性能 %53.2%,σ= 57.9s s t = ()=2%∆MATLAB 程序：exe423.m% 建立等效开环传递函数模型 G=zpk([], [-0 -0.5 -1 -1], 1); z=0.707;% 绘制相应系统的根轨迹 figure (1)rlocus(G); sgrid(z,'new') % 取阻尼比为 0.707axis([-0.5 0.1 -0.3 0.3]) figure (2)K=0.0612; % 最佳阻尼比对应的根轨迹增益 hold on; rlocus(G ,K) % 阻尼比为 0.707时, 系统的闭环特征根 axis([-1.5 0.5 -1 1])rlocus(G); % Ka=0.05，0.11，0.4，0.8时的阶跃响应 Ka=0.05;% Ka 可相应设置 numc=[0.5*Ka]; denc=[1 2.5 2 0.5 0]; [num, den]=cloop(numc, denc);% 系统闭环传递函数 roots(den);% 系统闭环极点sys=tf(num, den); t=0:0.01:120; figure(3)step(sys,t); grid on;图(b) 确定0.707ζ=以及分离点处的a K (MA TLAB)119图(c) 轧钢机系统根轨迹图 (MA TLAB)(1) 0.05a K = (2) 0.11a K =(3) 0.4a K = (4) 0.8a K =图(d) 轧钢机系统时间响应 (MA TLAB)4-24 图4-48(a)是22V -鱼鹰型倾斜旋翼飞机示意图。
22V -既是一种普通飞机，又是一种直升机。
当飞机起飞和着陆时，其发动机位置可以如图示那样，使22V -像直升机那样垂直起降；而在起飞后，它又可以将发动机旋转90，切换到水平位置，像普通飞机一120样飞行。
在直升机模式下，飞机的高度控制系统如图4-48(b)所示。
要求：(1) 概略绘出当控制器增益1K 变化时的系统根轨迹图，确定使系统稳定的1K 值范围； (2) 当去1280K =时，求系统对单位阶跃输入()()1r t t =的实际输出()h t ，并确定系统的超调量和调节时间()2%∆=；(3) 当1280K =，()0r t =时，求系统对单位阶跃扰动()1N s s =的输出()n h t ； (4) 若在()R s 和第一个比较点之间增加一个前置滤波器()20.51.50.5p G s s s =++试重作问题(2)。
(b) 控制系统图4-48 V -22旋翼机的高度控制系统解 本题属于应用根轨迹法设计系统参数的综合性问题，其中包括引入前置滤波器，以抵消闭环零点的不利影响，改善系统性能。
(1) 绘制系统的根轨迹图由图4-48(b)，系统开环传递函数()()()()()21 1.50.52011010.51K s s G s s s s s ++=+++()()()()()0.510.050.12K s s s s s s *++=+++ 式中10.01K K *=渐近线：交点与交角0.325a σ=- 90a ϕ=±分离点：1111110.050.120.51d d d d d d +++=++++++ 0.022d =-根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程(R s121()()()()()0.050.120.510s s s s K s s *++++++=整理得()()4322.150.3050.01 1.50.50s s K s K s K ***++++++=列劳思表4s 1 0.305K *+ 0.5K * 3s 2.15 0.01 1.5K *+ 2s 0.30.302K *+ 0.5K *1s 20.0030.6220.4530.30.302K K K***-++ 0s 0.5K *令()20.4530.6220.0030KK **-+=，解得10.005K *=， 2 1.368K *=令()20.30.3020.50K s K **++=，代入s j ω=、1K *及2K *，解得10.09ω=， 20.977ω=绘出系统概略根轨迹图，如图(a)所示。
0.325as 0.022d图(a) 概略根轨迹图()()()21 1.50.5102011010.51s s K s s s s +++=+++122由于1100K K *=，因此使系统稳定的1K 值范围为：100.5K <<以及1136.8K >。
应用MATLAB 软件包，得到系统根轨迹图如图(b)所示。
图(b) 根轨迹图 (MA TLAB)(2) 当1280K =时，确定系统单位阶跃输入响应应用MA TLAB 软件包，得到单位阶跃输入时系统的输出响应曲线，如图(c)-(1)中虚线所示。
由图可得%92.1%σ=， 43.9s s t = ()2%∆=显然，系统动态性能不佳。
(3) 当1280K =时，确定系统单位阶跃扰动响应应用MA TLAB 软件包，得到单位阶跃扰动输入下系统的输出响应曲线，如图(c)-(2)所示。
由图可见，扰动响应是振荡的，但最大振幅约为0.003，故可略去不计。
(1) 单位阶跃输入响应 (2) 单位阶跃扰动响应图(c) V -22旋翼机的高度时间响应 (MA TLAB)(4) 有前置滤波器时，系统的单位阶跃输入响应（1280K =）()()()21 1.50.5102011010.51s s K s s s s +++=+++123无前置滤波器时，闭环传递函数()()()14322.80.512.15 3.105 4.21 1.4s s s s s s s Φ++=++++有前置滤波器()20.51.50.5p G s s s =++时，闭环传递函数 ()()()21p s G s s ΦΦ=⋅4321.42.153.1054.21 1.4s s s s =++++ 可见，()1s Φ与()2s Φ有相同的极点，但()1s Φ有0.5-和1-两个闭环零点，虽可加快响应速度，但却极大增加了振荡幅度，使超调量过大；而()2s Φ的闭环零点被前置滤波器完全对消，因而最终改善了系统动态性能。
应用MATLAB 软件包，得有前置滤波器时系统的单位阶跃响应如图(c)-(1)中实线所示，其%7.08%σ=， 25.8s s t = ()2%∆=MATLAB 程序：exe424.m% 建立等效开环传递函数模型 G=zpk([-0.5 -1], [0 -0.05 -0.1 -2], 1); % 绘制相应系统的根轨迹figure rlocus(G); axis( [-1.5,1.5,-1.5,1.5] ); % 系统输入时间响应 % 原系统 K=280;num1=[K 1.5*K 0.5*K]; den1=[0 0 1 0]; num2=[1]; den2=[100 215 30.5 1]; [numc, denc]=series(num1,den1,num2,den2); [numr, denr]=cloop(numc,denc);sysr=tf(numr, denr) ; t=0: 0.01:80; figurestep(sysr,t); hold on; % 添加前置滤波器numf=[0.5]; denf=[1 1.5 0.5]; [num, den]=series(numr,denr,numf,denf);sys=tf(num, den) ; step(sys,t); grid % 系统扰动时间响应 K=280;numh=[K 1.5*K 0.5*K]; denh=[0 0 1 0]; numg=[1]; deng=[100 215 30.5 1];124[numn,denn]=feedback(numg,deng,numh,denh); sysn=tf(numn, denn) figurestep(sysn,t); grid4-25 在未来的智能汽车-高速公路系统中，汇集了各种电子设备，可以提供事故、堵塞、路径规划、路边服务和交通控制等实时信息。