热点12 函数与导数综合大题-2018届高考数学三轮核心热点深度剖析与训练 (江苏版)

热点12 函数与导数综合大题
【名师精讲指南篇】 【热点深度剖析】
1. 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的性质问题已成为炙手可热的考点，与导数知识相比，导数方法更显重要，它比初等数学的方法刻画更精细、计算更快捷、运用更广泛，所以高考真正重视的是对导数方法的考查．预测2018年高考仍将以利用导数研究函数的性质为主要考向．
2. 在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下
（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.
（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.
4.预计18年函数依然是考查重点，必考大题，只不过函数题可以有初等方法或导数方法两种思路的区别.也可以在同一解中，初等方法和导数方法交替使用. 【重点知识整合】
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数
()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比
x
y
∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
x x y ='
，即0000()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆.
注意：在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义
式可写成
000000
()()()()
()lim
lim x o
x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义：
导数0000()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)
(x f y =在点0x 处变化．．
的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-
注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.
3.导数的物理意义：
函数()s s t =在点0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；
x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=
； 1
(log )log a a x e x
'=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则：
法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'；
法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=；
法则3： '
2
''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
. 6.复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅' 7.导数与函数的单调性
1.函数()y f x =在某个区间内有导数，如果()0f x '>，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的
增区间；若()0f x '<，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间. 2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;
()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()
f x 在(),a b 上是减函数
8. 导数与函数的极（最）值
1.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y
极大值
0()f x =，0x 是极大值点.
2.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y
极小值
0()f x =，0x 是极小值点.
3.极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
4.当()f x 在点0x 连续时，判别0()f x 是极大、极小值的方法:
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值. 5.求可导函数()f x 的极值的步骤:
()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '；()2求方程()0f x '=的根；
()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根
左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根
处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .
9.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 注意：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x
x f 1
)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；
()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条
件．
()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
10.利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；
()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p.
【应试技巧点拨】
1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”
在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线()y f x =上的一点，则以A 为切点的切线方程为
y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点.
２．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的
零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．
(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数()f x 单调递增，则()'0f x ≥”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．
３．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域． (2)求导数()'f x ．
(3)①若求极值，则先求方程()'0f x =的根，再检验()'f x 在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)
②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程()'0f x =根的大小或存在情况，从而求解． ４．求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
５.利用导数处理恒成立问题
不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.
６.利用导数，如何解决函数与不等式大题
在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的
引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下
（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.
（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”. 【考场经验分享】
1．利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题
(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
(3)注意在某一区间内()'0f x >(或()'0f x <)是函数()f x 在该区间上为增(或减)函数的充分条件． 2．可导函数的极值
(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．
(2)若()f x 在(),a b 内有极值，那么()f x 在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
3.如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”是不正确的，因为“(－∞，－2
3)∪(1，＋∞)”不是一
个区间，该函数在(－∞，－2
3
)∪(1，＋∞)上不是单调递增的．
４．利用导数解决不等式问题的类型：(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．
(2)比较两个数的大小：一般的解决思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小．
(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．
５.函数的解答题，一般放在最后一道题的位置，难度较大，尤其是第二问，与不等式联系，是拉开分数的试题，故关于此题，要端正好心态，对于第一问一般不难，是学生必须带分的部分，做题要仔细，特别是与单调区间有关，首先要考虑定义域，另外，求导要准确，这是基础；对于第二问，往往需要通过不等式等价转化，构造函数，通过求导研究函数的单调性最值，然后达到证明不等式的基本模式. 【名题精选练兵篇】
1．【前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】已知函数
()(),2x f x e ex g x ax a =-=+，其中e 为自然对数的底数， a R ∈.
（1）求证： ()0f x ≥；
（2）若存在0x R ∈，使()()00f x g x =，求a 的取值范围； （3）若对任意的()()(),1,x f x g x ∈-∞-≥恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）2e a <-或0a ≥（3）2
e
-. 【解析】试题分析：
(1)由题意可得函数的最小值()10f =，所以()0f x ≥.
(2)原问题等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.分类讨论：①当0a ≥时， ()F x 有零点.②当
02e a -
≤<时， ()F x 无零点.③当2e a <-时， ()F x 有零点.则a 的取值范围是2
e
a <-或0a ≥. (3)原问题即21
x e ex a x -≥+.构造函数()()121x e ex G x x x -=<-+，其值域为A ，且()2e G x <-.结合导函数可
得()G x 在(),1-∞-上为减函数，所以()()11G x G e e >-=--
，. 记区间1,2e e B e ⎛
⎫---= ⎪⎝⎭，构造新函数()(),H x G x m m B =-∈，结合题意讨论可得a 的最小值为2
e
-. 试题解析：
（2）设()2x
F x e ex ax a =---，题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围.
①当0a ≥时，由()()1
30,10F x a F e e a -=-≤-=++>，所以()F x 有零点.
②当02
e
a -
≤<时， 若0x ≤，由20e a +≥，得()()20x
F x e e a x a =-+->； 若0x >，由（1）知， ()()210F x a x =-+>，所以()F x 无零点. ③当2e a <-时， ()010F a =->，又存在0102a
x e a
-=<+， ()()00120F x e a x a <-+-=，所以()
F x 有零点.
综上， a 的取值范围是2
e
a <-
或0a ≥. （3）由题意， ()21x
a x e ex +≤-，因为1x <-，所以21
x e ex
a x -≥+.
设()()121
x e ex
G x x x -=<-+，其值域为A ，
由于()20221221
x x
e
e e e ex e G x x x +
-⎛⎫--=
+=< ⎪++⎝⎭，所以()2e G x <-. 又()()
2
2021x x xe e e
G x x --=
<+'，所以()G x 在(),1-∞-上为减函数，所以()()1
1G x G e e
>-=--，.
记区间1
,2e e B e
⎛⎫
---
= ⎪⎝⎭
，则A B ⊆.① 设函数()(),H x G x m m B =-∈， 一方面， ()1
10H e m e
-=--<； 另一方面， ()()12121x
H x e ex m x x ⎡⎤=
---⎣⎦+ ()
()112121
x e e m x m x ⎡⎤=--++-⎣⎦+， 存在
512m e <-+， ()
51140212x
H e m m e m e
⎛⎫
⎡⎤=⋅--+> ⎪⎣⎦+⎝⎭
++ 所以15,12x m e ⎛⎫
∃∈-
⎪+⎝⎭
，使()10H x =，即()1G x m =，所以B A ⊆.②
由①，②知， A B =，
从而2e a ≥-
，即a 的最小值为2
e -. 2．【淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】已知函数．
⑴当
时，求函数
的极值；
⑵若存在与函数，
的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
【答案】（1）当
时，函数
取得极小值为
，无极大值；（2）
【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为
，无极大值；（2）
，所以，通过
求导讨论，得到的取值范围是．
试题解析：
（2）设函数
上点
与函数
上点
处切线相同，
则
所以
所以，代入得：
设，则
不妨设则当
时，
，当
时，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
代入可得：
设，则对恒成立，
所以在区间
上单调递增，又
所以当
时
，即当
时
,
又当时
因此当时，函数必有零点；即当
时，必存在使得
成立；
即存在
使得函数
上点
与函数
上点
处切线相同．
又由得：
所以单调递减，因此
所以实数的取值范围是
．
3．．【南通市2018届高三上学期第一次调研】已知函数()3
2
g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数
()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对
应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式；
（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()7
3
M a <-. 【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫
≠-
⎪⎝⎭
（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式
试题解析：（1）因为()()'x
x
f x e x a e =++ ()1x
x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.
列表如下.
所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2
'32g x x ax b =++，
由题意可知()'10g a --=，且2
4120a b ∆=->
所以()()2
31210a a a b --+--+=，
化简得2
43b a a =---，
由2
412a b ∆=- ()()2
412130a a a =+++>，得32
a ≠-
. 所以2
43b a a =---， 32a ⎛⎫≠-
⎪⎝⎭
. （2）因为()()()F x f x g x =- ()()
32
x x a e x ax bx =+-++，
所以()()()'''F x f x g x =- ()()()2
13213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦
()()()1133x
x a e x a x a =++-++--
()()
133x
x a e x a =++-++
记()33x
h x e x a =-++，则()'3x
h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.
列表如下.
所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值，
此时， ()ln3
ln33ln33h e a =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫
=+>> ⎪⎝⎭
.
令()'0F x =，解得1x a =--. 列表如下.
所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值. 所以()()1M a F a =--= ()()()()(
)
32
1
1111a a e
a a a
b a -------+--+--
()()2
112a e a a --=--++.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
4．【如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数.当0x <时， ()()ln f x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在点()()
,e f e 处的切线方程；
(2) 若关于x 的不等式()1f x a x ≤+恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e
y x e
-=
（2）21a e -≥-
试题解析：因为()f x 为偶函数，所以，
当0x >时，则0x -<，故 ()ln f x x x -=-，所以()ln f x x x =-， 从而得到()ln f x x x =-， ()(),00,x ∈-∞⋃+∞ ， （1）当0x >时， ()1'1f x x =
-，所以()1'e f e e
-= 所以在点()()
,e f e 的切线方程为： ()()()'y f e f e x e -=-，即1e
y x e
-= （2）关于x 的不等式()1f x a x ≤+恒成立，即 ln 1x x a x -≤+恒成立 令(),0,x t t =∈+∞，则原命题等价于ln 1t t at -≤+， ()0,t ∀∈+∞恒成立，
即
()ln 1
1,0,t a t t t
--≤∀∈+∞恒成立， 记()ln 11t g t t t =--， ()222
1ln 12ln t t g t t t t --=+='， 当()
20,x e ∈时， ()0g t '>，则()g t 递增；当()
2
,x e ∈+∞时， ()0g t '<，则()g t 递减； 所以，当2x e =时， ()g t 取极大值，也是最大值()
22
1g e e -=-， 所以()()
22
max 1a g t g e e -≥==-，
即实数a 的范围为2
1a e -≥- .
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()
00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.
5．【如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数()1x x
f x ax e
=-+. （1）当1a =时，求()y f x =在[]
1,1x ∈-上的值域； （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.
【答案】（1）[]
2,1e -（2）当0a ≤时， ()f x 只有一个零点；当0a >时， ()f x 有两个零点． 【解析】试题分析：（1）当1a =时， ()1x x f x ax e =
-+，则()
()11x
x
f x
g x e -'-==，
而()2
0x
x g x e -'=<
在[]1,1-上恒成立，所以()()g x f x ='在[]
1,1-上递减，由()00f '=，可得
当()1,0x ∈-时， ()0f x '>， ()f x 递增；当()0,1x ∈时()0f x '<， ()f x 递减；所以
()()m a x 01f x f ==，比较()()1,1f f -的大小可得()()min 12f x f e -=-，进而可得结果；
（2）原方程等价于10x e a x -
-=实根的个数，原命题也等价于()1
x h x e a x
=--在(),0)(0,x ∈-∞⋃+∞上的零点个数，讨论0a =， 0a <， 0a >，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.
试题解析：（1）当1a =时， ()1x x f x ax e =-+，则()
()11x
x
f x
g x e -'-==， 而()2
0x x g x e
-'=
<在[]1,1-上恒成立，所以()()g x f x ='在[]1,1-上递减， ()()max 1210f x f e =-=-'>'， ()()min 110f x f ''==-<，
所以()f x '在[]
1,1-上存在唯一的00x =，使得()00f '=，而且
当()1,0x ∈-时， ()0f x '>， ()f x 递增；当()0,1x ∈时()0f x '<， ()f x 递减； 所以，当0x =时， ()f x 取极大值，也是最大值，即()()max 01f x f ==，
()()(){}()min min 1,112f x f f f e =-=-=-，
所以， ()f x 在[]1,1-上的值域为[]
2,1e -.
（2）令()0f x =，得10x x
ax e -+=， 0x =显然不是方程的根， 那么原方程等价于10x e a x --=实根的个数，令()1x
h x e a x
=--， (),0)(0,x ∈-∞⋃+∞
原命题也等价于()1x
h x e a x
=--在(),0)(0,x ∈-∞⋃+∞上的零点个数；
又因为()210x
h x e x
=+>'，所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞上都是单调递增的；
（I ）若0a =，则
当(),0x ∈-∞时， ()1
0x
h x e x
=-
>恒成立，则没有零点；
当()0,x ∈+∞时， ()110h e =->， 1202h ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，又()h x 在()0,+∞上单调递增的，所以有唯一的零点。

（II ）若0a <，则
当(),0x ∈-∞时， ()1
0x
h x e a x
=-
->恒成立，则没有零点； 当()0,x ∈+∞时， 110a h e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 11
22
12202a h e e a -⎛⎫=-<-< ⎪-⎝⎭
，又()h x 在()0,+∞上单调递
增的，所以有唯一的零点 （III ）若0a >，则
当(),0x ∈-∞时，由 ()x
e x x R >∈，则11
0,(0)x
e a x a x x x
-
->--><，
则2
10,x ax --<取00x =<，则()00h x <，又()1
0a h a e a a --=+-<
，所以()h x 在(),0-∞有唯一的零点，
当()0,x ∈+∞时， ()()1111
1110111a
h a e
a a a a a a
++=-
->+--=->+++， ()()()1
2122202a h e a a a a a a a +⎛⎫=-+-<+-+-=-< ⎪+⎝⎭
，又()h x 在()0,+∞上单调递增的，所以有唯一的零点
综上所述，当0a ≤时， ()f x 只有一个零点；当0a >时， ()f x 有两个零点．
6．【南师附中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】已知函数()()ln ,,f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数）
（1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；
（2）若函数()()y f x g x =-在区间()1,+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；
（3）设()()()[],1,H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）
1e e -；（2）][(),1,e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或11
2
a e <<. 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（*） 又()1
,f x a x
=
'- ()00
1
,f x a e x ∴=-=' 01
x a e
∴=
+，代入（*）得0ln 1,x = 0,x e ∴=
1
a e e
∴=
-． （2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+≥， 当()h x 单调递增时， 则()()1
0h x a e x
=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴
()1
a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()1
0,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．
当()h x 单调递减时， 则()()1
0h x a e x
=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴
()1
a e x
≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≤
1a e ∴≤-
综上()h x 单调时a 的取值范围为][()
,1,e e -∞-⋃-+∞． （3）()2ln ln x
H x x ax ex ex a x
=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =
-∈则()21ln x t x x
-'=， 当[]
1,x e ∈时， ()0t x '≥， ()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1
a t x a e
-≤≤
-. 1）当0a -≥，即0a ≤时， ()0,t x ≥
∴()()
[]2
ln ,1,H x e x x ax x e =-∈，
则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增，
()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．
2）当
10a e -<即1
a e
>时， ()0,t x < ()()
[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-∈
∴()()()1112ln 1,2,
,1H x e ax x H x e a x x e ⎛
⎫⎡⎤
=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
I ）当21a ≥，即1
2
a ≥
时， ()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．
II ）当
112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a
=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
递减， 1,2e a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦递增，
又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-=-=-''
()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=
()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．
3）当1a e =
时， ()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫
=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
'由得， ()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
又()()2110,0H e H e e ⎛⎫
=-<=
'⎪⎭
'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．
4）当1
0a e
<<
时， ()t x 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得
ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时， ()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时， ()0t x ≥，
()()
()20
2
ln ,1{
ln ,e ax x x x x H x e x x ax x
x e
-≤≤∴=-≤≤，
()()()00,1{
12,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e
-≤<∴+-<≤'=，
令()[]
()2
ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--， 下面证明()0k x '≤，即证ln 1
2ln 1,2x ax x a x
+≤+≤， 又'2ln 1ln (
)0x x
x x
+=-< min ln 12x x e
+⎛⎫∴= ⎪
⎝⎭， 即证1
a e
≤
，所以结论成立，即()0k x '≤， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴在[)01,x 递减， (]0,x e 递增，
0x ∴为()H x 的极小值.
综上当10a e <<或11
2
a e <<时， ()H x 在[]1,e 上有极值点． 点睛：
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()'0f x ≥ (或()'0f x ≤ (()'f x 在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．
7．【兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考】已知函数f (x )= x －
b
x
，g (x )= 2ln a x ．
（1）若0b =，函数()f x 的图像与函数()g x 的图像相切，求a 的值； （2）若0a >， 1b =-，函数()()()F x xf x g x
=+
满足对任意(]12,0,1x x ∈（x 1
≠x 2）
，都有()()1212
11
3
|F x F x x x --恒成立，求a 的取值范围； （3）若1b =，函数()G x =f (x )+ g (x ),且G(x )有两个极值点x 1,x 2,其中x 1103⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
，，求()()12G x G x -的最小值． 【答案】（1）2e a =
；（2）102a <≤；（3）20ln316
3
-.
试题解析：(1)若b=0，函数f(x)=x 的图像与g(x)=2alnx 的图像相切，设切点为(x 0,2alnx 0),则切线方程为
y=00
222a x a alnx x -+，所以0
021{ 220a x a alnx =-+=得0{ 2
x e
e
a ==
.所以a=2e
. (2)当a>0,b=-1时，F(x)=x 2
+1+2alnx ， F ＇(x)=2x+2a
x
>0,所以F(x)在(0,1]递增. 不妨设0<x 1<x 2≤1，原不等式⇔F(x 2)-F(x 1)<3(
1211x x -)，即F(x 2)+ 23x < F(x 1)+ 1
3x . 设h(x)= F(x)+
3x = x 2
+1+2alnx+3x ，则原不等式⇔h(x)在(0,1]上递减 即h ＇(x)=2x+2a x -230x ≤在(0,1]上恒成立.所以2a 3x
≤-2x 2
在(0,1]上恒成立.
设y=3x -2x 2
,在(0,1]上递减，所以y min =3-2=1，所以2a ≤1，又a>0，所以0<a 12
≤.
(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x)=x 1
x
-+2alnx
G /
(x)= 22
21x ax x ++,(x >0),由题意知x 1,x 2是x 2
+2ax+1=0的两根，
∴x 1x 2=1, x 1+x 2=－2a,x 2=
1
1
x ,2a=111x x --,
G(x 1)-G(x 2)=G(x 1)-G(1
1
x )=11111112ln x x x x x ⎡⎤⎛⎫
-
-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
令H (x )=2[]11ln x x x x x ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦, H ＇(x )=2()211x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭lnx=()()2
211ln x x x x +- 当10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦时，H/(x)<0, H(x)在10,3⎛⎤ ⎥⎝
⎦上单调递减，H(x)的最小值为120ln316
3
3
H -⎛⎫=
⎪⎝⎭
即G(x 1)-G(x 2) 的最小值为
20ln316
3- 8．已知函数()211
ln 22
f x x x =+-．
（Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；
（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令
()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+
-->， ()12g x x k x +-'=，可知()120g x x k x
=+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23
ln (1)22
x h x x x =-->的单调性，可证结论.
试题解析：（Ⅰ）因为0x >，所以切线斜率()1
2f x x x
+'=≥，当且仅当1x =时取得等号； （Ⅱ）()()211
2ln 222
g x f x kx x x kx =-=+
-- (0)x >， ()1
2g x x k x
+-'=
， 当1k ≤时， (
)122220g x x k k k x =
+-≥=-≥'， 函数()g x 在()0,+∞上递增，无极值．
当1k >时， ()2121
2x kx g x x k x x
-+=+-='，
由()0g x '=得2
210x kx -+=， ()
2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，
其中1201x k x k <=-<=+
()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，
从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，
()()2222222212211
ln 2ln 2222
x x g x x kx x x x x =+--=+-+-
22222222211
3ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭
，
即()222223
ln (1)22
x g x x x =-
->， 构造函数()23ln (1)22
x h x x x =-
->， ()1
0h x x x -'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-．
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 9．已知函数()ln x
f x x
=
， ()()1g x k x =-. （1）证明： k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；
（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()1
2
f x
g x ≤+
成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）()()12f x g x ≤+
可转化为()11l n 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x x
ϕ=--， 2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， ()min 1
2
x ϕ≤，分类讨论求()x ϕ的最小值即可.。