热点12 函数与导数综合大题-2018届高考数学三轮核心热点深度剖析与训练 (江苏版)

热点12 函数与导数综合大题

【名师精讲指南篇】 【热点深度剖析】

1. 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的性质问题已成为炙手可热的考点，与导数知识相比，导数方法更显重要，它比初等数学的方法刻画更精细、计算更快捷、运用更广泛，所以高考真正重视的是对导数方法的考查．预测2018年高考仍将以利用导数研究函数的性质为主要考向．

2. 在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下

（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.

（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.

（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.

4.预计18年函数依然是考查重点，必考大题，只不过函数题可以有初等方法或导数方法两种思路的区别.也可以在同一解中，初等方法和导数方法交替使用. 【重点知识整合】

1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数

()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x

y

∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0

x x y ='

，即0000()()

()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆.

注意：在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义

式可写成

000000

()()()()

()lim

lim x o

x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义：

导数0000()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)

(x f y =在点0x 处变化．．

的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-

注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.

3.导数的物理意义：

函数()s s t =在点0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；

x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=

； 1

(log )log a a x e x

'=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则：

法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'；

法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=；

法则3： '

2

''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

. 6.复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅' 7.导数与函数的单调性

1.函数()y f x =在某个区间内有导数，如果()0f x '>，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的

增区间；若()0f x '<，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间. 2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;

()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()

f x 在(),a b 上是减函数

8. 导数与函数的极（最）值

1.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y

极大值

0()f x =，0x 是极大值点.

2.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y

极小值

0()f x =，0x 是极小值点.

3.极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

4.当()f x 在点0x 连续时，判别0()f x 是极大、极小值的方法:

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值. 5.求可导函数()f x 的极值的步骤:

()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '；()2求方程()0f x '=的根；

()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根

左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根