2012年中科大量子力学考研真题
中科院量子力学考研题库
中科院量子力学考研题库量子力学是物理学中研究微观粒子行为的分支，它在现代科学和技术中有着广泛的应用。
中科院作为中国科学研究的领军机构，其量子力学的考研题库通常会包含以下几类题目：1. 基础概念题：这类题目旨在考察学生对量子力学基本概念的理解，例如量子态、波函数、量子叠加原理等。
2. 数学工具题：量子力学中使用了大量的数学工具，如线性代数、微分方程等，题目可能会要求学生运用这些工具解决量子力学问题。
3. 物理原理题：这类题目通常要求学生解释量子力学中的某些物理现象，如不确定性原理、量子纠缠等。
4. 实验问题题：量子力学的很多理论都是通过实验验证的，题目可能会要求学生分析实验数据或设计实验方案。
5. 计算题：这类题目要求学生运用量子力学的原理和公式进行计算，解决具体的物理问题。
6. 综合应用题：这类题目综合考察学生的理论知识和应用能力，可能涉及到量子力学在不同领域的应用，如量子计算、量子通信等。
以下是一些可能的题目示例：- 基础概念题：解释海森堡不确定性原理，并举例说明其在微观世界中的重要性。
- 数学工具题：给定一个量子系统的哈密顿量，求解其时间无关的薛定谔方程。
- 物理原理题：描述量子纠缠现象，并解释为什么它违反了经典物理学的定域性原理。
- 实验问题题：分析双缝实验的结果，并讨论它如何支持波粒二象性。
- 计算题：计算一个氢原子在第一激发态时的轨道半径和能量。
- 综合应用题：讨论量子力学在量子计算中的应用，并解释量子比特与经典比特的区别。
量子力学的考研题库旨在全面考察学生对量子力学理论的掌握程度以及解决实际问题的能力。
通过这些题目，学生可以加深对量子力学的理解，并为将来的科研工作打下坚实的基础。
2012-2013年中国科学院大学考研试题 普通物理乙
中国科学院研究生院2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：普通物理(乙)考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
科目名称：普通物理(乙)第1页，共3页一、 选择题(共40分，每小题5分)1. 一物体对某质点Q 作用的万有引力(A) 等于该物体质量全部集中于几何中心处形成的一个质点对Q 的万有引力； (B) 等于该物体质量全部集中于质心处形成的一个质点对Q 的万有引力； (C) 等于该物体上各质点对Q 的万有引力的矢量和；(D) 以上说法都不对。
2. “天宫一号”在圆形轨道上运行。
如果关闭所有自身动力系统，由于受到轨道上稀薄空气的阻力作用，轨道高度将会逐渐降低，则其 (A) 动能和机械能一定减小； (B) 动能可能增加，机械能一定减小； (C) 动能可能减小，机械能一定增加；(D) 动能和机械能可能增加。
3. 如图所示，质量为1m 和2m 的两个小滑块分别放置于三角形大滑块M 的左右两斜面上。
滑块M 放置于光滑水平面上，忽略一切摩擦，当1m 和2m 同时从静止开始在斜面上滑下，则此刻M 向右运动的条件是(A) 1122sin 2sin 2m m θθ>；(B) 1122sin 2sin 2m m θθ<；(C) 1122sin 2sin 2m m M θθ->； (D) 1122sin 2sin 2m m M θθ+>。
4. 一个带正电荷Q 、质量为M 的质点绕另一个带负电q 、质量为m 的固定质点作匀速圆周运动。
则这两个质点电荷间的距离与运动周期的2/3次方 (A) 成正比； (B) 成反比； (C) 不成比例； (D) 无关。
5. 真空中一半径为r 的单匝圆形线圈，通以电流I 。
其中心处磁感应强度大小为 (A)024μπIr； (B)02μIr； (C)24πIr； (D)2I r。
1990-2010年__量子力学_中国科学院研究生院_招收攻读硕士学位研究生入学统一考试_试题及参考
Q
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
bi t.
场的作用， 磁场 B
ˆ 指向正 x 方向， 相互作用势为 H
5d
四、
有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动） ，受到均匀磁
b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论 矛盾何在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。
co
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中国科学院－中国科技大学
(2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定 律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？
iv
Q
bi t.
5d
（1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有
6d
本书收集了中国科学院 1900-2009 年研究生考试的真题。
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和气，最终能在考场上亮出自己的最好成绩。
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家都能注重基础知识，多做试题(特别是真题) 夯实基础，平心
1
Q bi t.
5d
试题名称：
6d .
0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
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中国科学院－中国科技大学
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？
(2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
量子力学考试题
量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
2012中国科学院量子力学真题解答
a
当 m n时 2 a m x 2 xmn x s i n ( )dx a 0 a a 2
二 、 解 ： Pn 0 其 中 n0
1 n H ' 0 e i n 0 t d t 2 0 ( E n E 0 ) / n
2
n H ' 0 qE exp( x n = x 0 =
3
1/ 2
0
（ 3） ( ) N (1 H ') 0 , ( ) 0 N (1 H ')
( ) ( ) 1 N
2
1 1 2 H ' 0
2
H ' 0
2
1
2
1 H '2 0
E ( ) ( ) H ( ) ( ) H 0 H ' ( ) = 0 N (1 H ')( H 0 H ') N (1 H ') 0 N 2[E0 H '
0
0
+ 2 E 0 H '2
0
]
E0 由 E ( ) 0
2
2
2
[ H ', [ H 0 , H ']] H ' 0
2
1
2 H '2
2 2
0 0
[ H ', [ H 0 , H ']]
2a02 1 2 e E0
E ( ) E 0 2e a0
四、解： 1） [ J x , J y ] i J z ; [ J y , J z ] i J x ; [ J z , J x ] i J y ; J J iJ 2) m J x n 1 m Jy Jz JzJy n i 1 [ m Jy Jz n m Jz Jy n ] i 1 [n m J y n m m J y n ] i nm m Jy n i 1 m Jz Jx JxJz n i m n = m Jx n i nm m Jy n i nm m n . m Jx n i i (n m )2 m J x n 1 (n m )2 =0 m n 1 所 以 当 且 仅 当 m n 1时 ， m J x n 不 为 0 . 3） 在 （ J 2 , J z ) 表 象 中 ， J = 1 , m = - J , - J 1 , . . . . , J 1, J .所 以 m 0 , 1 . J z =， 相 应 的 1 本 征 态 为 1 0 ； J z =0， 0 0 1 1 1 2 ； J x =0， 2 ' 0 ； 2 1 1 0 1 ； J z =-， 0 J x =-， 0 1 0 1 1 1 3' 2 2 1
中科院量子力学历年详解(phileas)
v v vi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17
1.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 详解 2.1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
2.10 2006 乙 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 2006 乙 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14 2001 理论型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A 四川大学量子力学入学试题 A.1 2010 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 2009 试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 2010 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 2009 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定（2）中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚 势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示） 。
试题名称：1990 量子力学（实验型） 第1页 共1页
试题名称：1992 量子力学（理论型）
第1页
共1页
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
中科院量子力学考研真题
中科院量子力学考研真题中科院量子力学考研真题一直是考生备战考试的重要资料之一。
量子力学作为现代物理学的重要分支，研究微观粒子的行为规律，具有广泛的应用领域。
因此，掌握量子力学的基本概念和原理对于物理学研究者来说至关重要。
下面将围绕中科院量子力学考研真题展开论述，探讨其重要性以及备考策略。
首先，中科院量子力学考研真题是考生备考的重要参考资料。
这些真题来源于中科院量子力学考研的实际考试题目，具有一定的代表性和权威性。
通过研究这些真题，考生可以了解考试的出题风格和难度水平，有针对性地进行备考。
同时，通过解答真题，考生可以检验自己对量子力学知识的掌握程度，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行知识的强化和补充。
其次，中科院量子力学考研真题能够帮助考生提高解题能力。
量子力学作为一门复杂的学科，涉及到许多抽象的概念和数学工具。
通过解答真题，考生可以熟悉和掌握这些概念和工具的应用方法，提高自己的解题能力。
同时，真题中的一些经典题目往往需要考生灵活运用所学知识，进行综合分析和推理。
通过反复解答这些题目，考生可以培养自己的思维能力和创新能力，提高解题的准确性和效率。
此外，中科院量子力学考研真题还能够帮助考生了解学科的最新研究动态。
量子力学作为一个不断发展的学科，研究者们在不断地探索和发现新的现象和规律。
中科院量子力学考研真题中可能涉及到一些前沿的研究内容，通过解答这些题目，考生可以了解学科的最新进展，拓宽自己的学术视野。
同时，真题中可能出现一些经典的实验和现象，通过解答这些题目，考生可以了解这些实验和现象的背后原理和应用，对学科的发展有更加深入的理解。
最后，针对中科院量子力学考研真题，考生需要制定合理的备考策略。
首先，要对量子力学的基本概念和原理进行全面系统的学习，掌握其核心内容。
其次，要熟悉和掌握量子力学的数学工具和计算方法，能够灵活运用。
然后，要通过解答真题，进行实际操作和练习，提高解题能力。
同时，可以结合教材和参考书籍，扩展自己的知识面，提高对学科的理解和把握。
中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）
中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）中国科技大学2001-2002年硕士研究生入学考试试题（量子力学）中国科学院——中国科技大学2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）一、（10分）设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动()()()?<<><∞=a x a x x x V 00,0 试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
二、（10分）设一个质量为m 的粒子束沿正x 方向以能量E 向x=0处的势垒运动()()()>≤=04300x E x x V 试用量子力学的观点回答：在x=0处被反射的反射系数是多少？三、（20分）1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q和动量算符p ?，并推导其间的对易关系。
2、在动量表象中做1所要求做的问题。
四、（20分）设一个微观粒子在球对称的中心势场()r V 中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。
1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能()r V 在此态中平均值〈V 〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。
2、设V(r)为r 的单调上升函数（即对任意r,0>drdV ）。
试证明：对任意给定的r 0，均有 ()[]()022<-?dr r r R V r V ro o ，其中R(r)是径向波函五、（20分）设一个质量为m 的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有 ()mh X E Enm n m n 222=-∑ ,其中E 为能量，x 为坐标。
六、（20分）设一微观体系的哈密顿H=H 0+H ‘，其中H ’为微扰。
在一个由正交归一函数作为基的表象中。
量子力学试题
量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。