中考数学创新题型大集合

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2、 设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (1，1)，那么点O (0，0)到正方形ABCD 的距离为1.

（1）如果⊙P 是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O (0，0)到⊙P 的距离为 ；

（2）①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离；

②如果点(0,)N a 到直线21y x =+的距离为3，那么a 的值是 ； （3）如果点(0,)G b 到抛物线2

y x =的距离为3，请直接写出b 的值.

3、在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l

上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点,,,A B C D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”． 例如,下图中的矩形矩形”．

（1）若点(1,2)A -“理想矩形”，则点D 的坐标为 ；（2）若点(3,4)A 想矩形”的面积； （3）若点(1,3)A -，直线积的最大值为 ，此时点为 ．

4、在平面直角坐标系中，如果点P 的横

坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），

(31-，31

-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12

+=x y 的图象

上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数)0(42

≠++=a c x ax y 的图象上有

且只有一个和谐点(23，2

3

)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4

3

42≠-

++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m

的取值范围．

（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交

于点D ，与反比例函数x

n y G =：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P

且23<+DN DM ，请直接写出n

5、【探究】如图1，点()N m,n 是抛物线2

1114

y

x =

-上的任意一点，l 是过点()02,-且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为H .

①计算: m=0时，NH= ;

m =4时，NO = .

②猜想: m 取任意值时，NO

NH (填“＞”、“＝”或“＜”).

【定义】我们定义：平面内到一个定点F

和一条直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O 即为抛物线1

y 的“焦点”，直线l :2y =-即为抛物线1

y 的“准线”.可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上.

【应用】（1）如图2，“焦点”为F (-4，

-1)、“准线”为l 的抛物线()2

2

1+44

y x k =+与y 轴交于点N （0，2），点M 为直线FN 与抛物线的另一交点.MQ ⊥l 于点Q ，直线l 交y 轴于点H .

①直接写出抛物线y 2的“准

线”l ： ；

②计算求值：1MQ +1

NH

=；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，

以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于

A

= 3

x

只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线2

3

y ax bx c =++的表达式.

6、设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数4

=-+，当x=1时，y=3；当x=3时，

y x

y=1，即当13

x

≤≤时，有13

=-+是

y x

y

≤≤，所以说函数4

闭区间[1,3]上的“闭函数”．

2015是闭区间[1,2015]（1）反比例函数y=

x

上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若二次函数y=22

--是闭区间[1,2]

x x k

上的“闭函数”，求k的值；

（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．

7、对某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C 运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.则直线DE的表达式是.

（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.

①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x 轴，则C点的坐标是.

②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.

③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F

两点，当点C在线段EF上运动时，点H在

线段OF上运动，（不与O、F重合），且