幂的运算

幂的运算

1、什么是幂

幂指乘方运算的结果.

m n 指将n 自乘m 次.把m n 看作乘方的结果,叫做n 的m 次幂。

其中,n 称为底,m 称为指数（写成上标）。

由幂的定义可以看出幂是乘方运算的结果而不是运算的过程。

m n 的亦可视为1×n ×n ×n...×n

（注共m 个n 相乘）即起始值1（乘法的单位元）乘底数的指数次幂。这样定义了后,很易想到如何一般指数为0和负数的情况︰

除了0之外所有数的零次方都是1,即n 0=1（n ≠0）；

指数为负数的幂定义为m

n - = m n 1； 分数为指数的幂定义为n m a = n m a 。

2、幂的运算

2.1、幂的运算公式

同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +

幂的乘方：n m a )(=mn a

同指数幂的乘法：m b a )(⨯=m a ×m b

同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)

这些公式也可以这样用：

)(n m a += m a ×n a

mn a =n m a )(

m a ×m b =m b a )(⨯

)(n m a -= m a ÷n a (a ≠0)

2.2幂的运算公式的运用

运用幂的运算公式前应先知道这些公式是怎么得来的，观察幂的运算公式有什么特点，这样才能更好的运用公式。

幂的运算公式都是由幂的定义推导而来，是为了方便特殊情况幂的运算。

2.2.1幂的运算公式推导

2.2.1.1同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +

因为：m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）；

n a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）；

m a ×n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）｝×｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}为m+n 个a 相乘即)(n m a +；

所以：m a ×n a =)(n m a +

2.2.1.2幂的乘方：

n m a )(=mn a 因为：n m a )(由幂的定义为m a ×m a ×m a ...×m a (n 个m a 相乘）

其中m

a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）

即n m a )(由幂的定义也可以为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×...｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}(注：共n 个｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}）

所以：n m a )(=mn a

2.2.1.3同指数幂的乘法：m b a )(⨯=m a ×m b 因为：m b a )(⨯由幂的定义为(a ×b)×(a ×b)×(a ×b)×...×(a ×b)(共m 个a ×b 相乘）=a ×b ×a ×b ×a ×b ×...×a ×b(共m 个a ×b 相乘）=a ×a ×a ×...a(共m 各a 相乘）×b ×b ×b ×...b(共m 各a 相乘)

所以：m b a )(⨯=m a ×m b

2.2.1.4同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)

因为：当a=0时n a 意义；

当a ≠0时，m a ÷n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}÷｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}

所以：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)

2.2.2幂的运算公式运用选择

运用幂的公式前我们应当清楚幂的公式的特点即使用的条件。

我们通过公式的推导和公式可以看出幂的公式是针对幂的相乘、相处、乘方。只有当幂的运算是相乘、相处、乘方时，我们在考虑其是否满足要求。

当满足幂的运算是相乘、相处、乘方的要求是，我们应观察幂是否同底、同指、乘方，如满足在根据特征选取相应的公式进行计算。

2.2.2幂的运算公式运用举例

例1计算2×32×62

解：2×32×62=)631(2++=102

注：通过观察这是幂的相乘运算我们可以运用幂的运算公式计算；我们可以发现相乘的幂的底数相同都为x 2，我们选用同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +进行运算。

例2 计算3)(y x -×2)(x y -×4)(y x -

解：3)(y x -×2)(x y -×4)(y x -=)43()(+-y x ×2)(x y -=7)(y x -2)(x y -

注：通过观察这是幂的相乘运算我们可以运用幂的运算公式计算；我们可以发现相乘的幂的底数不是完全都相同分为（x-y)和(y-x),其中3)(y x -和4)(y x -的底数相同都为（x-y)我们选用同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +进行运算，但是2)(x y -的底数相同都为(y-x)，我们不能使用公式。观察时应注意不可将（x-y)和(y-x)看成相同使用公式造成错误。

3、幂运算法则口诀

同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；

同底数幂的除法：底数不变，指数相减；

同指指幂的乘法：指数不变，底数的指数次幂相乘；

幂的指数乘方：底数不变，指数相乘。