线性方程组解的存在性

1
0
0
2 1 2
3 2 4
4
0
0
1 2 3 4
ru3uuuu(uu2uu)uuurur2
0
1
2
0
0 0 0 0
r( A) r( A) 2 而 n 3
所以方程组有无穷多解，并且有一个自由未知数
例3、 (1)设 A为3 4 矩阵，则结论（ ）必成立。
A AX 0有非零解 C AX b有无穷多解
A
2
1
1 3
4 6
M1
M0
2 5
1 1
4 2
M1 Ma
0 0
7 14
16
M1
32 Ma
1 3 6 M 0
0
7
16 M 1
0 0 0 Ma 2
r( A) 2
当 a 2 时 r( A) r( A) 2 ，此时方程组有解
定理： 若线性方程组 AX b 有解，记 r( A) r( A) r n 为未知元的个数，则当 r n 时，线性方程组有唯一解；
当 r n 时，线性方程组有无穷多个解，且解中包含 n r
个自 由未知数
推论 对齐次线性方程组 AX 0 ，当r( A) n时，只有
零解；当 r( A) n 时，有无穷多个解，因此必有非零解。
如
x1 x2 x3 x1 x2 2 x3
2x4 0 x4 0
1
系数矩阵
A
1
§ 1、线性方程组解的存在性
对线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L a2n xn LLLLLLLLLL
b2 L
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
a11
A
a21
M
a12 L a22 L MO
am1 am2 L
当 b 0时，称 AX 0 为齐次线性方程组。 关于线性方程组 AX b 是否有解，我们有下面的定理。
定理：线性方程组 AX b 有解的充分必要条件是增广矩 阵的秩与系数矩阵的秩相等，即：r( A) r( A)
推论 任何齐次线性方程组都有解。
因为，对齐次线性方程组 AX 0，增广矩阵为 A ( AM0) 显然有 r( A) r( A)
1 1
1 2
2
1
x1 x2 2 x4 0
1 1 0 2
Q r( A) 3 4
所以该方程组必有非零解
例2、判断线性方程组
xx112xx2253xx33
4 4
解的情况？
解：
2x1 6x2 2x3 8
1
A
1
2
2 1 6
3 5 2
4
4
8
r2 r1
ru3uuuuuuu2uuuurur1
D. 非零解的情况不确定
解：对AX 0，r( A)可能为1，2，3，而未知数个数n 3
故结论A，B，C不成立。
答案： D
a1n
a2n
M
amn
方程组的 系数矩阵
a11 a12 L
A
a21
a22 L
M M O
来自百度文库
am1 am2 L
a1n Mb1
a2n M
Mb2
MM
A
Mb
amn Mbm
方程组的 增广矩阵
其中 b
b1
b2
为 m 维列向量，
M
记
X
x1
x2
为未知元向量
M
bm
xn
则方程组可写成矩阵形式：AX b
B AX 0只有零解 D AX b有唯一解
解：未知数个数n 4
对AX 0，r( A)可能为1，2，3，总小于n
故结论A成立，B不成立。
对AX b ，r( A)的情况不确定，
故结论C、D不成立。
答案： A
(2)设 A为5 3 矩阵，则AX （0 ）。
A. 有非零解 C. 无解
B. 只有零解
由于A与 A 的关系：A AMb ，故对A 施行初等行变换，
在求出 A 的秩的同时，也就求出了 A 的秩，从而可判定方程
组是否有解。
例1 判定下面方程组当 a 为何值时有解？
52xx11
x2 x2
2 x3 4 x3
a 1
x1 3 x2 6 x3 0
解： 5 1 2 Ma 1 3 6 M0 1 3 6 M0