考点3 命题和充分必要条件(学生版)
高一数学第一章(第18课时)充分条件与必要条件(1)
课题：1.8 充分条件与必要条件（一）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A 为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分 条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p ⇒q （或若┐q ⇒┐p ），则p 是q 的充分条件；若q ⇒p （或若┐p ⇒┐q ），则p 是q 的必要条件.六、作业：1．课本P 34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么，D 是A 的什么条件？A 是B 的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D 是A 的必要条件；A 是B 的充分条件.3．预习：课本P 35-36内容. 课 题：1.1集合－集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写二、讲解新课： （二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三） 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图五、课后作业： 六、板书设计（略）七、课后记：七、板书设计（略）八、课后记：。
第03讲 充分条件与必要条件(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第03讲充分条件与必要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系【基础知识】一、“⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q 推出p”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；(5)若A B,则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q 是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p 推不出q,但不能用特例说明由p 可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p 是q 的充分条件；2.p 的充分条件是q .五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p 是否是q 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p 与q 的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是()A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240b ac =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设:13x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是()A ．r 是q 的必要不充分条件B ．r 是s 的充要条件C ．r 是s 的充分不必要条件D ．q 是s 的充要条件【真题演练】1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“260x x --=”是“3x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是()A ．3x >是5x >的充分不必要条件B ．1x ≠±是1x ≠的充要条件C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合{}3A x x =≤，集合{}1B x x m =≤+，能使A B ⊆成立的充分不必要条件有()A ．0m >B ．1m >C ．3m >D ．4m >5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是()A ．8-B ．5-C ．1D ．46.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.(写出满足题意的一个即可)7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：①已知集合{240A xx =-<∣，且}N x ∈，则集合A 的真子集个数是4；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【过关检测】1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“2x ＝”是“240x ﹣＝”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.使“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是()A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜03.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的()条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p 是q 的必要条件的是()A ．:325,:235p x q x +>-->-B ．:2,2,:p a b q a b><>C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．:0p a ≠，q ：关于x 的方程1ax =有唯一解6.(多选)设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有()A ．A B A = B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð7.(多选)已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则()A ．p 是q 的充分条件B ．p 是s 的必要条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件8.下列命题：①“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件；②当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件；③“1x =或2x =-”是“方程220x x +-=”的充要条件．其中正确的序号为______．9．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合{}13A x x =-<<，{}12B x x x x =<<，其中1x ，()212x x x <是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围..。
高中数学—命题和充要条件—学生版
命题和充要条件知识梳理 一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。
2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。
相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。
4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。
二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。
如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。
3、命题、的否定分别记作α、β。
4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。
5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。
叫做的必要条件。
2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。
例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =I ，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。
高中数学第三讲 充分条件和必要条件练习北师大版选修21
高中数学第三讲充分条件和必要条件练习北师大版选修21一、考试说明理解必要条件、充分条件的意义，会分析四种命题的相互关系二、基础知识建构1、“若p则q”是真命题，即p⇒q；“若p则q”为假命题，即p⎭q.2、(1)若①，则p是q的充分不必要条件.(2)若p⎭ q, 但p⇐q,则p是q的②.(3)若③,则p是q的充分条件，也是必要条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件)(4)若④,则p是q的既不充分也不必要条件.3、证明p是q的充要条件,分两步：证明：①充分性,把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.②必要性,把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以,p是q的充要条件.4、充分条件、必要条件常用判断法(1)定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断；(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题的逆否命题进行判断；(3)集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B、，则：若A⊆B,则p是q的充分条件；若A B,则p是q的充分非必要条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A B,则p是q的必要非充分条件；若A=B,则p是q的充要条件若A∑B,且A⎛B,则p是q的非充分又非必要条件.5、当p⇒q时,称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立,具备条件p就足够了，“充分”即“足够”的意思,当p⇐q时,也称条件p是条件q的必要条件，因为q⇒p等价于非p⇒非q,即若不具备q,则p必不成立,所以要使p成立必须具备q .“必要”即“必须具备”的意思. “若p则q”形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：(1)p⇒q但q⇒p 不一定成立：这时,p是q的充分而不必要条件；(2)q⇒p但p⇒q不一定成立：这时,称p是q 的必要而不充分条件；(3)p⇒q且q⇒p：这时,称p是q的充分且必要条件；(4)p⇒q不一定成立且q⇒p不一定成立：这时,称p是q的既不充分也不必要条件.6、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断7、一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
考点03 充分、必要条件的2种判断方法(解析版)
2021-2022学年《高考数学方法研究》（人教A 版2019） 专题一 集合与常用逻辑用语考点3 充分、必要条件的2种判断方法【方法点拨】1. 定义法：根据p 推q ，q 推p 是否成立进行判断。
2. 集合法：根据p ，q 成立与对应的集合之间的包含关系进行判断。
【高考模拟】1．已知,a b ∈R ，则“6a b +>”是“3a >且3b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.【解析】 ,a b ∈R ，若6a b +>，则,a b 的大小无法确定，不能得出3a >且3b >，故充分性不成立， 若3a >且3b >，则6a b +>，故必要性成立，∴“6a b +>”是“3a >且3b >”的必要而不充分条件.故选：B.2．设a ∈R ，则“1a >-”是“2log (23)1a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】先解不等式2log (23)1a ->，再用集合法判断.【解析】由2log (23)1a ->解得：52a >记()51,,,2A B ⎛⎫=-+∞=+∞ ⎪⎝⎭∵B A ⊆,∴“1a >-”是“2log (23)1a ->”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．3．已知函数y =f (x )的定义域为A ，则“x A ∀∈，都有f (x )≥4”是“函数y =f (x )最小值为4”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解.【解析】若“()f x 在A 上的最小值为4”则“x A ∀∈，()4f x ≥”成立，即必要性成立；函数()254f x x =+≥恒成立，但()f x 在A 上的最小值不是4，即充分性不成立， “x A ∀∈，()4f x ≥”是“()f x 在A 上的最小值为4”的必要不充分条件．故选：B.4．对于实数x ，“1x <”是“||1x <”的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解析】当1x <时，例如当21x =-<，但||1x >，故充分性不成立；反之，若||1x <，则11x -<<，故必要性成立.5．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】D【分析】 利用22a b a b >⇔>来判断AB ；利用2c ≥0来判断CD.【解析】对于A ，a b >a b >⇔22a b >，故“a b >”是“22a b >”的充分条件为假命题；对于B ，22a b >a b⇔>a b >，故“a b >”是“22a b >”的必要条件为假命题；对于C ，当2c =0时，a b >22ac bc >,故“a b >”是“22ac bc >”的充分条件为假命题；对于D ，()2220ac bc a b c >⇒>≠，故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件为真命题.故选：D6．已知a ，b 为实数，则“0a b >>”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】C【分析】利用lg y x =为增函数，分别判断充分性和必要性.【解析】充分性：∵lg y x =为增函数，∴0a b >>时有lg lg a b >，故充分性满足；必要性：∵lg y x =为增函数，∴lg lg a b >时可以得到0a b >>，故必要性满足；∴“0a b >>”是“lg lg a b >”的充要条件.【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.7．命题p ：220x x --<是命题q ：01x <<的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】解一元二次不等式，利用充分条件、必要条件即可判断.【解析】 22012x x x --<⇔-<<，所以p q ，反之q p ⇒.故p 是q 的必要不充分条件.故选：B8．设R θ∈，则“sin θ<”是“04πθ<<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解正弦不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解析】当sin 2θ<时， 则32,22,22,44k k k k k Z ππθπππππ⎡⎫⎛⎤∈+⋃++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，当04πθ<<时，0sin 2θ<<，即“sin θ<”是“04πθ<<”的必要而不充分条件 故选：B 9．若,a b ∈R ，使||||6a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．6a b +≥B ．6a ≥C ．6b <-D ．||3a ≥且3b ≥【答案】C【分析】利用不等式的性质以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【解析】A ，3+36≥，不满足6a b +> ；B ，660a b =≥=，，不满足6a b +> ；C ，由6b <-可得6a b +>，反之，6a b +>，得不到6b <-，如2,5a b ==-.D ，33≥，33≥，不满足6a b +>.故选：C10．设a R ∈，则“2a =”是“24a =”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】若2a =，可以推出24a =，故充分性成立，若24a =，则2a =±，不能推出2a =，故必要性不成立，所以“2a =”是“24a =”的充分不必要条件．故选：C.11．命题“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≤B ．2a ≤C ．3a ≤D ．1a ≤【答案】A【分析】 “[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题可转化为[]23,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案．【解析】若“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题，得23,[1,2]x a x ≥∈恒成立，只需()2min 33a x≤=， 所以4a ≤时，不能推出“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题，“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题时推出4a ≤，故4a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A ．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12．已知a ，b ，R c ∈，则“a b >”是“22ac bc >”成立的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义判断.【解析】当0c 时，22ac bc =，所以“a b >”不能推出22ac bc >，反过来，当22ac bc >，时，20c >，能推出a b >，所以“a b >”是“22ac bc >”成立的必要不充分条件.故选：C13．“a b >且c d >”是“a b d c ->-”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件定义判断即可得结果.【解析】当a b >且c d >时，0a b ->，0d c -<，所以a b d c ->-；反之不一定成立，如4a =，1b =，3d =，2c =满足a b d c ->-，但不满足a b >且c d >.故选：B14．已知命题2:320p x x -+≤，命题22:440q x x m -+-≤．若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,)+∞C ．{0}D ．(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】D【分析】先求出命题,p q 为真时，x 的范围，再根据充分不必要条件得出关于m 的不等关系，从而可得结论．【解析】 2:320p x x -+≤，12x ≤≤，22:440q x x m -+-≤，22m x m -≤≤+，p 是q 的充分不必要条件，则2122m m ⎧-≤⎪⎨+≥⎪⎩，1m ≥，∴1m ≤-或m 1≥． 故选：D ．15．“3πα=”是“()tan πα-=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.解：充分性：3πα=， ()2tan tan tan 333πππαπ⎛⎫∴-=-==- ⎪⎝⎭， 即3πα=能推出()tan 3πα-=-，即充分性成立，必要性：()tan 3πα-=-，则()23k k z ππαπ-=+∈， 则()3k k z παπ=-∈，故()tan 3πα-=-推不出3πα=， 故必要性不成立，故“3πα=”是“()tan 3πα-=-”的充分不必要条件.故选：A.16．a ∈R ，|a |<4成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．a <4B ．|a |<3C ．a 2<16D ．0<a <3【答案】A【分析】利用集合法判断.【解析】因为|a|<4的解集是()4,4-，A. 因为()4,4- (),4-∞，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B. 因为()3,3- ()4,4-，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C. 因为a2<16的解集是()4,4-，所以a2<16是|a|<4成立的一个充要条件；D. 因为()0,3 ()4,4-，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；17．已知,m n 是平面α内的两条相交直线，且直线l n ⊥，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理和性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【解析】当l m ⊥时，因为,m n 是平面α内的两条相交直线，l n ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得l α⊥；当l α⊥时，因为m α⊂，所以l m ⊥，综上，“l m ⊥”是“l α⊥”的充要条件.故选：A.18．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项.【解析】直线,l m 且//m α，若“l m ⊥”，不一定推出l α⊥，因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足； 反之，l α⊥，则直线l 垂直于面内的任意一条直线，由//m α，可得l m ⊥， 必要性满足，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B19．设R a ∈，则“a >是“22a >”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A首先根据22a >得到a >a <.【解析】由22a >，解得a >a <则当a >22a >成立.当22a >时，a >3a =-时，满足22a >，但a >.所以“a >是“22a >”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 20．已知ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解.【解析】 充分性：若0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2221cos 122a c b B ac +-≤=<，即2222ac a c b ac ≤+-<，即222222a c ac b a c ac +-<≤+-，并不能得出2b ac =一定成立，故充分性不成立； 必要性：若2b ac =，由余弦定理得：2221cos 222a c ac ac ac B ac ac +--=≥=，因为()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故必要性成立， 综上，“0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦”是“2b ac =”的必要不充分条件， 故选：C.【点睛】 方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：定义法、传递性法、集合法、等价命题法.21．“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ）A ．4433m -≤≤B ．423m -<≤C ．4433m -<≤D ．403m -≤< 【答案】B【分析】求出“关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ”成立时实数m 的取值范围，再结合必要不充分条件的定义可得出结论.【解析】由关于x 的不等式2340x mx -+≥的解集为R ，可得()23440m ∆=--⨯≤，解得4433m -≤≤，所以m 的取值范围是4433m -≤≤. 根据必要不充分条件的概念可知B 项正确.故选：B.22．已知x ∈R ，则“21x >”是“2x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件 【答案】A【分析】 解不等式21x >，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【解析】 解不等式21x >，可得2210x x x--=<，解得02x <<，{}02x x << {}2x x <，因此，“21x >”是“2x <”的充分不必要条件.故选：A.23．“()0,απ∈”是“sin 0α>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【解析】由()0,απ∈，可得sin 0α>由sin 0α>可得()22k k k Z παππ<<+∈，所以sin 0α>得不出()0,απ∈， 可得()0,απ∈”是“sin 0α>”的充分不必要条件，故选：A24．设x ∈R ，则“1x >”是“11x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】解不等式11x <，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解析】 解不等式11x <，即1110x x x --=>，解得0x <或1x >. {}1x x > {0x x <或}1x >，因此，“1x >”是“11x <”的充分不必要条件.故选：A.25．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.【解析】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件. 所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.26．一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线是这两个平面垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用线面垂直的判定定理来判断.【解析】根据线面垂直的判定定理：一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线可以推出这两个平面垂直；反过来，两个平面垂直也能够推出一个平面内存在一条与另一个平面垂直的直线.故选:C【点睛】判断充要条件的四种方法：（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.27．命题 :p a b >，命题:q a c b c +>+（其中,,a b c ∈R ），那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断得出正确选项.【解析】若a b >，则a c b c +>+，所以命题p 可以得出命题q 成立，若a c b c +>+则a c c b c c +->+-，即a b >，所以所以命题q 可以得出命题p 成立， 所以p 是q 的充要条件，故选：C28．设x 、y R ∈，则“0x >，0y >”是“0xy >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【解析】充分性：若0x >且0y >，则0xy >，充分性成立； 必要性：若0xy >，则00x y >⎧⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，必要性不成立. 因此，“0x >，0y >”是“0xy >”的充分不必要条件.故选：A.29．已知22:1,:1p x y q x y +≤+≤，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】 分别把221x y +≤和1x y +≤表示的区域表示出来，利用集合法判断.【解析】不等式221x y +≤表示单位圆及其内部的区域，1x y +≤表示以(1,0)±和(0,1)±为顶点的正方形及其内部的区域，画图可知q 对应的区域被p 对应的区域包含，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．30．使“不等式241122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．1x <B ．0x <C ．1x >D ．0x >【答案】B【分析】 根据指数函数的性质，求得不等式的解集，再结合充分不必要条件和选项，即可求解.【解析】 由不等式241122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得24122x x -++>，即241x x -+>+，解得1x <，结合选项，可得“不等式241122xx-+⎛⎫>⎪⎝⎭成立”的一个充分不必要条件可以是0x<.故选：B.。
【高考数学 易错专练】知识点 充分条件与必要条件 易错点1 混淆条件关系(学生版)
3.命题p：“向量 与向量 的夹角θ为锐角”是命题q：“ ”的________条件．
【典例】若 ， ， 关于x的二次方程 的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的（）
A．充分不必要条件命B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【针对训练】
1.一次函数 的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（）
A. ， B.
C. ， D.
2.“ ”是“ ”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件． 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解2---常用逻辑用语
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第2讲常用逻辑用语一、知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件“∀x∈M，p(x)”“∃x∈M，p(x)”3.全称量词命题和存在量词命题的否定命题命题的否定结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题常用结论1.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.2.从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若A＝B，则p是q的充要条件；(3)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.3.含有一个量词的命题的否定规律：“改量词，否结论”.二、教材衍化1.(人A必修第一册P21例3(3)改编)“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.因为xy＞0⇒/ x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件.2.(人A必修第一册P31习题 1.5T3(1)改编)命题：“∃x∈Z，|x|∉N”的否定是____________________.答案：∀x∈Z，|x|∈N一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(2)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立.( )(3)“梯形的对角线相等”是全称量词命题.( )(4)“并非∀x∈M，p(x)”是全称量词命题.( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×二、易错纠偏1.(含一个量词的命题否定不当致误)命题p：∀x∈(0，＋∞)，sin x＞x的否定为( )A.∃x∈(0，＋∞)，sin x＞xB.∃x∈(0，＋∞)，sin x≤xC.∃x∈(－∞，0]，sin x＞xD.∃x∈(－∞，0]，sin x≥x解析：选B.因为原命题是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即¬p：∃x∈(0，＋∞)，sin x≤x.2.(多选)(充要条件理解不当致误)设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是( )A.x＜1B.x＞1C.x＞－1D.x＞3答案：BC3.设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件.答案：必要不充分考点一全称量词命题与存在量词命题(综合研析) 复习指导：理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(1)(链接常用结论3)(2022·广西重点中学3月联考)命题p：∃x>0，ln(x＋1)>x2，则¬p为( )A.∃x>0，ln(x＋1)≤x2B.∀x >0，ln(x ＋1)≤x 2C.∀x ≤0，ln(x ＋1)≤x 2D.∃x ≤0，ln(x ＋1)>x 2(2)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.【解析】 (1)由于存在量词命题的否定是全称量词命题，所以改变量词，否定结论即可.(2)因为函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，所以y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.所以m 的最小值为1.【答案】 (1)B (2)1(1)全称量词命题中的量词可以省略.(2)判断含量词的命题的真假有两种思路：根据量词的意义从命题本身判断或利用命题的否定的真假进行判断.|跟踪训练|1.(2022·河南驻马店高三阶段性检测)已知命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，3x >x 3，则¬p 是( )A.∃x ∈(－∞，0)，3x ≤x 3B.∃x ∈(－∞，0)，3x >x 3C.∀x ∈(－∞，0)，3x ≤x 3D.∀x ∈(0，＋∞)，3x ≤x 3解析：选D.根据特称命题的否定可知，¬p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x ≤x 3.2.(2022·辽宁大连4月二模)若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx －1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________.解析：若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx －1＜0成立”是假命题，则“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx －1≥0成立”是真命题，分离参数得λ≤2x 2－1x＝2x －1x.设f (x )＝2x －1x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则f ′(x )＝2＋1x 2＞0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增.所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，所以λ≤－1.答案：(－∞，－1]考点二 充分条件、必要条件的判断(自主练透)复习指导：理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.(2021·高考天津卷)已知a ∈R ，则“a >6”是“a 2>36”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.由题意，若a >6，则a 2>36，故充分性成立； 若a 2>36，则a >6或a <－6，推不出a >6，故必要性不成立； 所以“a >6”是“a 2>36”的充分不必要条件.故选A.2.设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0，3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合.综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.3.(2021·高考浙江卷)已知非零向量a ，b ，c ，则“a ·c ＝b ·c ”是“a ＝b ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c ＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.4．(2021·高考北京卷)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，而f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，并不能得到f(x)在[0，1]上单调递增，所以“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件．充分条件、必要条件的2种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断.[提醒]判断充要条件需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明.考点三充分条件、必要条件的应用(思维发散) 复习指导：通过条件之间的关系探求参数范围是充分、必要条件的重要应用，解决关键是将条件之间的关系转化为集合之间的关系.(链接常用结论2)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若p是q的必要条件，求实数m的取值范围.【解】由题易知，P＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 即m 的取值范围是[0，3].1.本例中，若x ∉P 是x ∉S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解：若x ∉P 是x ∉S 的必要条件，则x ∉S ⇒x ∉P ， 所以x ∈P ⇒x ∈S ， 所以P ⊆S ，则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，所以m ≥9，故实数m 的取值范围是[9，＋∞).2.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， 所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.根据充分条件、必要条件求解参数范围需注意以下2点：(1)将条件间的关系转化为集合间的关系，列出关于参数的不等式； (2)注意端点处函数值的检验.|跟踪训练|1.(2022·石家庄期中)函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )A.a ＝0B.a <0C.0<a ≤13D.a ≥1解析：选D.当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋3，在区间[1，3]上为减函数，所以不合题意，舍去；当a ≠0时，二次函数f (x )＝ax 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1a，要想f (x )在区间[1，3]上为增函数，则要满足⎩⎨⎧a >0，1a ≤1①或⎩⎨⎧a <0，1a ≥3②，解①得a ≥1，解②得∅ .综上，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是a ≥1.2.若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________. 解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件， 所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集， 即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案：3[学生用书P389(单独成册)][A 基础达标]1.(多选)(2022·青铜峡市高级中学月考)下列命题中的真命题是( ) A.∀x ∈R ，2x －1>0 B.∀x ∈N *，(x －1)2>0C.∃x ∈R ，lg x <1D.∃x ∈R ，tan x ＝2 解析：选ACD.对于A ，∀x ∈R ，2x －1>0，A 正确， 对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，B 错误， 对于C ，当x ＝110时，lg x ＝－1<1，C 正确， 对于D ，函数y ＝tan x 的值域为R ， 所以∃x ∈R ，tan x ＝2，D 正确.2.设θ∈R ，则“θ＝π6”是“sin θ＝12”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：选A.当θ＝π6时，sin θ＝12成立，当sin θ＝12时，θ＝2k π＋π6或θ＝2k π＋5π6(k ∈Z )，所以“θ＝π6”是“sin θ＝12”的充分不必要条件.3.(2022·北京十一学校高一期中)已知命题p ：“∀a ≥0，都有x 2＋2ax ＋a 2≥0”，则命题p 的否定是( )A.∃a ≥0，使得x 2＋2ax ＋a 2≤0B.∀a ≥0，使得x 2＋2ax ＋a 2<0C.∃a ≥0，使得x 2＋2ax ＋a 2<0D.∀a <0，使得x 2＋2ax ＋a 2≤0解析：选C.原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C 选项符合.4.(2022·梅州高三第一次月考)设条件p ：|2x －3|<1，q ：2x －3x －2≤1，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.因为p ：|2x －3|<1⇔1<x <2，q ：2x －3x －2≤1⇔1≤x <2，而(1，2)是[1，2)的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件.5.(2021·高考全国卷甲)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{}S n 是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：选B.当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在.所以甲是乙的必要条件.6.(多选)(2022·常州10月调研)若x 2－3x －4<0是－3<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是 ( )A.3B.4C.5D.6解析：选BCD.由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0，解得－1<x <4， 令A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |－3<x <a }， 由题意得AB ，所以a ≥4，故选BCD.7.(多选)(2022·汉川市第二中学期中测试)下列说法正确的有( ) A.不等式3x 2＋7x ＋2<0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－13B.“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件C.命题p ：∀x ∈R ，x 2>0，则¬p ：∃x ∈R ，x 2<0D.“a <5”是“a <3”的必要条件解析：选ABD.由3x 2＋7x ＋2<0，得－2<x <－13，A 正确；a >1，b >1时，一定有ab >1，但ab >1时，不一定有a >1，b >1成立，因此“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件，B 正确；命题p ：∀x ∈R ，x 2>0，则¬p ：∃x ∈R ，x 2≤0，C 错误；a <5不能推出a <3，但a <3时，一定有a <5成立，所以“a <5”是“a <3”的必要条件，D 正确.故选ABD.8.若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________.答案：∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋19.(2022·北京理工大学附属中学期中测试)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋ax ＋a <0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析：由题知，¬p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0，因为¬p 是真命题，所以Δ≤0，即a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤4.答案：[0，4] 10.已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.解析：因为A ＝{x |－1＜x ＜3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以AB ，所以m ＋1＞3，即m ＞2. 答案：(2，＋∞)[B 综合应用]11.(2022·江西省智学联盟体联考) 已知命题p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2x ·cos x >3sin x ，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为( )A.假，¬p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2x ·cos x ≤3sin x B.假，¬p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2x ·cos x ≤3sin x C.真，¬p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2x ·cos x ≤3sin x D.真，¬p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2x ·cos x ≤3sin x 解析：选B.因为x <tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，将2x ·cos x >3sin x 变形为2x 3>sin x cos x ＝tan x ，这和x <tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2矛盾，所以命题p 是假命题； 命题p 的否定是：¬p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2x ·cos x ≤3sin x . 12.若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B.a <1C.a >3D.a ≥3解析：选D.|x －1|<a ，解得1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，即⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3，解得a ≥3. 13.已知A ：关于x 的不等式|2x －3|<m ，B ：x (x －3)<0.若A 是B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________.解析：由题意，知B ＝{x |0<x <3}，当m ≤0时，A ＝∅，满足题意；当m >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－m 2<x <3＋m 2， 因为当3－m 2＝0，即m ＝3时，3＋m 2＝3，A ＝B ，不合题意；所以要使A 是B 的充分不必要条件，即A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2>0，3＋m 2<3，m >0，解得0<m <3， 综上，实数m 的取值范围是(－∞，3).答案：(－∞，3)14.已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2，3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析：由题意知f (x )min ≥g (x )max ，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2，3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.答案：(－∞，－3]。
高考数学充分条件和必要条件知识点总结归纳
高考数学充分条件和必要条件知识点总结归纳数学知识点的积累是高考必胜的法宝，以下是充分条件和必要条件知识点，请大家参考。
一、充分条件和必要条件当命题若A则B为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。
若AB，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
2.由于充分条件与必要条件是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑正难则反的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
以上为大家分享的充分条件和必要条件知识点，查字典数学网希望大家可以熟练运用。
人教版高一数学第一章 2《命题、充分条件与必要条件》复习学案+检测
人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习学案【学习目标】1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．【新知探究·夯实知识基础】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且p⇒/qp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p [常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题． ()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()[解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4C[“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[x＜⇒/－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]【题型探究·突破重点难点】题型一四种命题的相互关系及真假判断[题组集训]1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 D[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题B[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福D[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分、必要条件的判断(多维探究)【例1】(1)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)A[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则ba＝dc，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则ab＝cd，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由N M知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.][规律方法]充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ；③确定条件p 和结论q 的关系.(2)等价转换法：对于含否定形式的命题，如﹁p 是﹁q 的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q 是p 的什么条件.(3)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ，而p 不能推出q ”.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x ＞1或x ＜－3，条件q ：5x －6＞x 2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立，由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立．因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件，故选A.(2)由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，即q ：2＜x ＜3.所以q ⇒p ，pq ，从而q 是p 的充分不必要条件． 即p 是q 的充分不必要条件，故选A.]题型三 充分、必要条件的应用(多维探究)【例2】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1.由p 是q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3. 故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.][规律方法] 利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.(1)A (2)3或4 [(1)由题意知(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n ≥0，即n ≤4时，方程x 2－4x ＋n ＝0的两根为x ＝4±16－4n 2＝2±4－n .又n ∈N *，且n ≤4，则当n ＝3,4时，方程有整数根．]人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测一、选择题1．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0B．a－b>0C.ab>1 D．ab<－12．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．命题p的逆命题是“若x<2ab，则x<a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的() A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．45．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是() A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b6．等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④10．已知命题p：|x＋1|>2；命题q：x≤a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A．(－∞，－3) B．(－∞，－3]C．(－∞，1) D．(－∞，1]11．“x<m－1或x>m＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0,2]B．(0,2)C．[0,2) D．(0,2]二、填空题12．命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是___________________________．13.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．14．有下列几个命题：①“若a>b，则1a>1b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测解析一、选择题1．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0B．a－b>0C.ab>1 D．ab<－1【答案】A【解析】若a<0，b<0，则一定有a＋b<0.故选A.2．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．命题p的逆命题是“若x<2ab，则x<a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”【答案】C【解析】命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”，故C正确，D错误．3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的() A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选A.4．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题的个数为2.5．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是() A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b.故选C.6．等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列{a n}的公比为q.若a1<a3，∴a1<a1q2，∴q2>1，若q<－1，则a3＝a1q2>0，a6＝a1q5<0，∴a3<a6不成立；若a3<a6成立，则a1q2<a1q5，又a1>0，∴q3>1，∴q>1，∴a1<a3成立，综合可知，“a1<a3”是“a3<a6”的必要不充分条件．故选B.7．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于命题“若x＝3且y＝1，则x＋y＝4”为真命题，可知该命题的逆否命题也为真命题，即p⇒q.由x≠3或y≠1，但x＝2，y＝2时有x＋y＝4，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．故选A.8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】D【解析】一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理知④为真命题．10．已知命题p ：|x ＋1|>2；命题q ：x ≤a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 【答案】A【解析】命题p ：|x ＋1|>2，即x <－3或x >1.∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴{x |x ≤a }{x |x <－3或x >1}，∴a <－3.故选A. 11．“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2] 【答案】A【解析】由x 2－2x －3>0得x >3或x <－1.若“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则⎩⎨⎧m ＋1≤3，m －1≥－1且等号不同时成立，即0≤m ≤2.故选A.二、填空题12．命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是___________________________．【答案】若x 2－x <0，则x ≤2【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2－x <0，则x ≤2”．13.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒/ 甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁⇒/ 丙；故甲⇒丁，丁⇒/ 甲，即丁是甲的必要不充分条件．14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】②③【解析】①中原命题的否命题为“若a≤b，则1a≤1b”，为假命题；②中原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；③中原命题为真命题，故逆否命题为真命题．15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】[3,8)【解析】因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】(－∞，0]【解析】α可看作集合A＝{x|x≥a}．∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又α是β的必要不充分条件，∴B⊆A，∴a≤0.。
课件6：1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
课前自修
解析：对于①，因为原命题等价于逆否命题，所以①是真命题； 对于②，由充分、必要条件的定义知②是真命题；对于③，由充 要条件的意义知，③是真命题；对于④，“若 p，则 q”的否命题是 “若綈 p，则綈 q”，所以④是假命题．
考点探究
考点探究
考点1 四种命题及其真假
【例1】(2013·济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆 命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知 命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝ 0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝( )
考点探究
∴a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2>0. ∴a＋b－1＝0，即 a＋b＝1. 综上可知，当 ab≠0 时，a＋b＝1 的充要 条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
考点探究
点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪 个是结论，由“条件” “结论”是证明命题的充分性，由 “结论” “条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环 节：一是充分性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅 要会利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求．
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.3 充分条件、必要条件与命题的 四种形式
考纲要求
考纲要求
1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命 题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 4．会用反证法证明命题．
课前自修
课前自修
基础回顾
考点探究
考点3 充要条件的证明
【例 3】已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 的充要条件是 a3 ＋b3＋ab－a2－b2＝0.
2021版新高考数学：充分条件与必要条件含答案
p是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pD⇒/q且qD⇒/p[常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．()[答案](1)√(2)√(3)√二、教材改编(对应学生用书第4页)考点1充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系．(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p是¬q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(1)(20xx·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4 ”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(20xx·天津高考)设x ∈R ，则“x 2－5x ＜0”是“|x －1|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)B (3)C [(1)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A.(2)由x 2－5x ＜0得0＜x ＜5，记A ＝{x |0＜x ＜5}，由|x －1|＜1得0＜x ＜2，记B ＝{x |0＜x ＜2}，显然B A ，B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件B[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]2．给定两个命题p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[因为¬p是q的必要不充分条件，所以q⇒¬p，但¬p q，其等价于p⇒¬q，但¬q p，故选A.]考点2充分条件、必要条件的探究与证明充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．0.[证明] 必要性：∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.充分性：由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0.故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.考点3 充分条件、必要条件的应用根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[0，3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .又S 为非空集合，则⎩⎨⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0，3].][母题探究] 把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎨⎧1－m≤1＋m ，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m ≥9， 即所求m 的取值范围是[9，＋∞).。
第1章 第2节 充分条件与必要条件-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第二节充分条件与必要条件一、教材概念·结论·性质重现1．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B⇒/A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A⇒/B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(√)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(√)(4)若q不是p的必要条件，则p⇒/q．(√)(5)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的子集．(×)2．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3A解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．4．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.5．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)．充分不必要充要解析：由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.考点1充分条件与必要条件的判断——基础性1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为a2>a⇔a＜0或a>1，所以a>1⇒a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．2．(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：当a>0，b>0，a＋b≤4时，有2ab≤a＋b≤4.所以ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a ＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．3．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：由x2－5x<0可得0<x<5；由|x－1|<1可得0<x<2.因为0<x<5⇒/ 0<x<2，但0<x<2⇒0<x<5，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．考点2充分条件与必要条件的探究与证明——综合性(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10C解析：∀x∈[1,3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1,3]，x2≤a⇔9≤a.所以a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．1．区分两种易混说法“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是“p⇒q，且q⇒/p”，后者是“p⇒/q，q⇒p”，这种推导关系极易混淆．2．充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是()A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔－b2a＝0⇔b＝0.2．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x B”成立的充要条件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D 解析：由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.3或4 解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有实数根⇔(－4)2－4n ≥0⇔n ≤4.又n ∈N *，则n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0，有整数根2；n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0，有整数根1,3；n ＝2时，方程x 2－4x ＋2＝0，无整数根；n ＝1时，方程x 2－4x ＋1＝0，无整数根．所以n ＝3或n ＝4.考点3 充分条件、必要条件的应用——应用性已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] 解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．因为x ∈P 是x ∈S 的必要条件，所以S ⊆P .所以⎩⎨⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤3. 故0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若本例条件不变，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？说明理由． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎨⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，得⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9.这样的m 不存在．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是﹁q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：因为A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m ＋2}，所以∁R B＝{x|x<m－2或x>m＋2}．因为p是﹁q的充分条件，所以A⊆∁R B，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则﹁p是﹁q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[四字程序]读想算思判断充分必要条件1.充分必要条件的概念；2.判断充分、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x－6>x21.定义法；2.集合法；3.等价转化法1.一元二次不等式的解法；2.集合间的包含关系充分必要条件与集合包含关系思路参考：解不等式＋求﹁p，﹁q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.﹁p：－3≤x≤1；﹁q：x≥3或x≤2.显然﹁p⇒﹁q，﹁q⇒/﹁p，所以﹁p是﹁q的充分不必要条件．故选A．思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即﹁q：A＝{x|x≤2或x≥3}，﹁p：B＝{x|－3≤x≤1}．显然B A，故﹁p是﹁q的充分不必要条件．故选A．思路参考：原命题与逆否命题的等价性＋转化．A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.显然q是p的充分不必要条件．故选A．判断充分、必要、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的命题的问题．(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此法．1．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.故选A．2．若“x>2m2－3”的充分不必要条件是“－1<x<4”，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D. [－1,1]D解析：因为“－1<x<4”是“x>2m2－3”的充分不必要条件，所以(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以－1≥2m2－3，解得－1≤m≤1.故选D.。
充分条件必要条件4种常见考法归类(原卷版)
1.2.3 充分条件、必要条件4种常见考法归类1、对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：(1)“若p，则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p可以得到结论q；(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2、充要条件拓展p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．3、充分条件、必要条件、充要条件的判断方法（1）定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．（2）等价转化法①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．②逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若¬p⇒¬q，且¬q⇒¬p，则p是q的必要不充分条件；若¬p⇒¬q，则p与q互为充要条件；若¬p⇒¬q，且¬q⇒¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．（3）集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A ⇒B 可得，p 是q 的充分条件， ⇒若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；⇒若A ⇒B ，则p 是q 的必要条件； ⇒若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；⇒若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；⇒若A ⇒B 且A ⇒B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．（5）特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．注：充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；4、根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．考点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 考点二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件) 考点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 考点四 充分性与必要性的证明考点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断1．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形； (2)p ：1x =，q ：2430x x -+=.2．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p ：x 为自然数，q ：x 为整数； (2)p ：2a <，q ：1a <；(3)p ：同位角相等，q ：两直线平行；(4)p ：四边形的两条对角线相等，q ：四边形是平行四边形．3．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·江苏·高一假期作业）“0x <”是“3x <”的 条件． 5．（2023春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）设x ∈R ，则“51x<”是“5x >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2023春·浙江温州·高二校联考期中）“0a b >>”是“11a b<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2023春·河北沧州·高二统考期末）若,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·全国·高一假期作业）设p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2023·全国·高三专题练习）32a a a ⎧⎫∈≤-⎨⎬⎩⎭是方程30ax +=有实根0x 且{}012x x x ∈-≤≤的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知命题p ：x ∀∈R ，20x x a -+>，则“(],0a ∈-∞”是“p ⌝是真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．【多选】（2023春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）A ．“1x <”是“11x>”的充分不必要条件 B ．命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃<≥” C ．0x y +=的充要条件是1xy=- D ．若2x y +>，则,x y 至少有一个大于112．【多选】（2023秋·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（ ）A ．“1x >”是“1x >”的充分不必要条件B ．“a P Q ∈⋂”是“a P ∈”的必要不充分条件C ．“R x ∀∈，有210x x ++≥”的否定是“R x ∃∈，使210x x ++<”D ．“1x =是方程20ax bx c ++=的实数根”的充要条件是“0a b c ++=”13．（2023秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充要条件的为（ ）A ．:0p a <，:0q a >B ．p ：两个三角形全等，q ：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C ．:p a b =，22:q a b =D ．p ：两直角三角形的斜边相等，q ：两直角三角形全等考点二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件)14．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式1x >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．23x <<B ．0x >C ．25x -<<D ．1x >15．（2023·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：⇒0ab >；⇒0a >或0b >；⇒2a b +>；⇒0a >且0b >．其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 ．16．（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“220x x m +-≥在x ∈R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．1m <-B ．4m >C ．23m <<D ．12m -<<17．（2023·全国·高三专题练习）不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞218．（2023·重庆·统考模拟预测）命题“223,20x x a ∀-≤≤-≤”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．1a ≥B ．92a ≥C ．5a ≥D ．4a ≤19．（2023秋·高一课时练习）方程220x x a -+=有实根的充要条件是 ，方程220x x a -+=有实根的一个充分而不必要条件可以是 .20．【多选】（2023·全国·高一假期作业）设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的是（ ）A ．AB B ⋃=B ．UA B C ．UUAB D ．UAB U21．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（ ）A ．1m <B ．2m <C ．2m ≤D ．3m <考点三 充分条件、必要条件、充要条件的应用22．（2023·上海长宁·统考二模）若“1x =”是“x a >”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ．23．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）已知条件{}2:60p xx x +-=∣，条件:{10}q x mx +=∣，且p 是q 的必要条件，求m 的取值集合．24．（2023秋·湖北武汉·高一期中）已知p ：x >1或x <-3，q ：x >a (a 为实数)．若¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则实数a 的取值范围是 ．25．（2023·全国·高三专题练习）已知集合[]2,5A =-，[]1,21B m m =+-．若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(]2,3C ．∅D ．[]2,326．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式1x m -<成立”的充要条件为“2x <”，则实数m 的值为 . 27．（2023·江苏·高一假期作业）已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．28．（2023秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知:()p x m m >∈R ， :1q x >或3x <-，若q ⌝的必要不充分条件是p ⌝，则m 的取值范围是 .29．（2023·高一单元测试）已知集合{|522}A x x x x =-<<-，集合{|231}B x m x m =+≤≤+． (1)当4m =-时，求()RA B ⋃；(2)当B 为非空集合时，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 30．（2023·高一单元测试）已知全集R U =，集合{}|11A x m x m =-<<+，{}|4B x x =<. (1)当4m =时，求A B ⋃和()R A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.31．（2023·全国·高一专题练习）设集合{13},{11,0}A x B x m x m m =-<<=-<<+>∣，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈(1)若p 是q 的充要条件，求正实数m 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.32．（2023秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合{}|26A x x =-≤≤， {}|11B x m x m =-≤≤+，0m >.请在⇒充分条件，⇒必要条件，⇒充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若x A ∈是x B ∈的________条件，判断实数m 是否存在？33．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A ． (1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点四 充分性与必要性的证明34．（2023秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”的什么条件？请证明你的结论．35．（2023秋·高一课时练习）已知x ，y ⇒R ，求证:xy =0是x 2+y 2=0的必要不充分条件.36．（2023秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合{}2|(1)40A x x m x =+++=，{}Z |1B x x =∈≤．(1)若“x B ∃∈，x A ∈”为假命题，求m 的取值范围；(2)求证：A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-，或3m ≥．37．（2023秋·河南许昌·高一校考阶段练习）求证：方程220x kx ++=与220x x k ++=有一个公共实数根的充要条件是3k =-.。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题03 充分条件、必要条件与命题的四种形式(解析版)
专题三 充分条件、必要条件与命题的四种形式【高频考点解读】1.了解规律联结词“或”、“且”、“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【热点题型】题型一 含有规律联结词的命题的真假推断【例1】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q【提分秘籍】正确理解规律联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应依据组成各个复合命题的语句中所消灭的规律联结词进行命题结构与真假的推断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②推断其中简洁命题的真假；③推断复合命题的真假．【举一反三】已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧綈q 是真命题C ．命题綈p ∧q 是真命题D ．命题綈p ∨綈q 是假命题解析：由余弦函数的值域知命题p 不正确；由于x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，故命题q 正确．故选C. 答案：C 【热点题型】题型二 全称命题、特称命题的真假推断 【例2】下列命题中是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点【提分秘籍】1．全称命题真假的推断方法(1)要推断一个全称命题是真命题，必需对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立． (2)要推断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成马上可． 2．特称命题真假的推断方法要推断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成马上可，否则这一特称命题就是假命题．【举一反三】下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＝52B ．∃x ∈R ，log 2x ＝－1C ．∃x ∈R ，⎝⎛⎭⎫12x>0D ．∀x ∈R ，x 2≥0解析：易知|sin x |≤1，故A 是假命题． 答案：A 【热点题型】题型三 含有一个量词的命题否定【例3】设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B【解析】由于任意都满足的否定是存在不满足的，所以选D. 【答案】D 【提分秘籍】对含有一个量词的命题进行否定的方法：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．【举一反三】若命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( ) A ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－∞，－π2∪⎝⎛⎭⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 答案：C 【热点题型】题型四 利用全称(特称)命题的真假求参数范围【例4】若命题p ：∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a <－2x 2＋1是假命题，则实数a 的取值范围是________．【提分秘籍】解题模板第一步：转化：依据条件命题的真假进行转化 其次步：求范围：依据转化问题，数形结合求参数范围 第三步：结论：回答问题结论第四步：反思：反思解题过程，留意端点值验证取舍 【举一反三】设集合A ＝{ (x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，假如命题“∃t ∈R ，A ∩B ≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【高考风向标】1．（2022·湖南卷）已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2．（2022·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )3．（2022·新课标全国卷Ⅰ） 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 34．（2021·重庆卷）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20＜0【答案】D【解析】依据定义可知命题的否定为：存在x0∈R，使得x20＜0，故选D.【随堂巩固】1．命题“全部奇数的立方都是奇数”的否定是()A．全部奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数解析：全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．答案：C2．已知命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋2x0＋2>0B．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0D．∀x∈R，x2＋2x＋2>0解析：依据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.答案：D3．给出命题p：直线l1：ax＋3y＋1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0相互平行的充要条件是a＝－3；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是() A．命题“p∧q”为真B．命题“p∨q”为假C．命题“p∨綈q”为假D．命题“p∧綈q”为真4．给定命题p：函数y＝sin⎝⎛⎭⎫2x＋π4和函数y＝cos ⎝⎛⎭⎫2x－3π4的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝2(sin 2x＋cos 2x)取得微小值．下列说法正确的是()A．p∨q是假命题B．綈p∧q是假命题C．p∧q是真命题D．綈p∨q是真命题5．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”；命题q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4] B．(－∞，1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，e)∪(4，＋∞) D．(1，＋∞)6．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m≤0，那么()A．“綈p”是假命题B．“綈q”是真命题C．“p∧q”为真命题D．“p∨q”为真命题7．下列说法中，正确的是()A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件D ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”8．已知f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )>0或g (x )>0； ②∃x ∈(－∞，－ 4)，f (x )g (x )<0. 则实数m 的取值范围是________．9．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中是真命题的有________．解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，綈p 为真． 答案：p ∨q ，綈p10．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式明显成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.答案：[－8,0)11．已知命题p ：“∀x ∈N *，x >1x ”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________”；q 的真假为________(填“真”或“假”)．解析：q ：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0，当x 0＝1时，x 0＝1x 0成立，故q 为真．答案：∃x 0∈N *，x 0≤1x 0真12．若命题“存在实数x 0，使x 20＋ax 0＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为________． 解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)13．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．14．已知命题p ：∃a 0∈R ，曲线x 2＋y 2a 0＝1为双曲线；命题q ：x －1x －2≤0的解集是{x |1<x <2}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是真命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的是________．15．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋12>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3；③“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab <2，则a 2＋b 2≤4”． 其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)16．写出下列命题的否定，并推断真假．(1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些素数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解析：(1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个素数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．17．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的新命题，并推断其真假． (1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线相互平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的确定值相等．18．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围．解析：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1. 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1. 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12.即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.又∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪c >12且c ≠1 ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪12<c <1. ②当p 假，q 真时，{}c | c >1∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪0<c ≤12＝∅ 综上所述，实数c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪12<c <1.。
第6讲 充分条件与必要条件5种题型总结(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
第6讲充分条件与必要条件5种题型总结【考点分析】考点一：充分条件与必要条件充要条件的基本概念①推出符号的含义：“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.②充分条件、必要条件与充要条件1.若p q ⇒，称p 是q 的充分条件.2.若q p ⇐，称p 是q 的必要条件.3.若q p ⇔，称p 是q 的充要条件.考点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断①从逻辑推理关系看1.若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；2.若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；3.若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；4.若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.②从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，则1.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；2.若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件；3.若A =B ，则p 、q 互为充要条件；4.若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.考点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）【题型目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：充分、必要条件的选择题型三：根据充分条件求参数取值范围题型四：根据必要条件求参数取值范围题型五：根据充要条件求参数取值范围【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）“0<x <2”成立是“2x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】解：“0<x<2”成立时，“2x <”一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的充分条件；“2x <”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“2x <”成立的非必要条件.所以“0<x <2”成立是“2x <”成立的充分不必要条件.故选：A【例2】（2021·黑龙江大庆市）若R c b a ∈,,，则“a b <”是“22ac bc <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若a b <，0c =，则22ac bc =，充分性不成立；必要性：若22ac bc <，则20c >，由不等式的性质可得a b <，必要性成立.因此，“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件.故选：B.【例3】（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）“a <－1”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个实数根”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当0=a 时，方程即为210x +=，解得12x =-；当0a ≠时，2240a ∆=-≥，得1a ≤，；所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个实数根”等价于“1a ≤”“1a <-”能推出“方程2210ax x ++=至少有一个实数根”，反之不成立；所以“1a <-”是“方程2210ax x ++=至少有一个实数根”的充分不必要条件.故选：B .【例4】（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p ：x 为自然数，命题q ：x 为整数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若x 为自然数，则它必为整数，即p ⇒q ．但x 为整数不一定是自然数，如x ＝－2，即q ⇒p ．故p 是q 的充分不必要条件．故选：A .【例5】（2022·江苏·高一专题练习）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A ，B ，C ，D ，由甲是乙的充分不必要条件得，A B ，由乙是丙的充要条件得，B C =，由丁是丙的必要不充分条件得，C D ，所以A D ，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A .【例6】（2022·重庆巴蜀中学高二期末多选）已知R 是实数集，集合{}12A x x =<<，{}2B x x =≤，则下列说法正确的是（）A ．x A ∈是xB ∈的充分不必要条件B ．x A ∈是x B ∈的必要不充分条件C ．x A ∈R ð是R x B ∈ð的充分不必要条件D ．x A ∈R ð是R x B ∈ð的必要不充分条件【答案】AD 【解析】【分析】根据题意得到A B ，且B R ð A R ð，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，集合{}12A x x =<<，{}2B x x =≤，可得A B ，且B R ð A R ð，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，且x A ∈R ð是R x B ∈ð的必要不充分条件成立.故选：AD.【题型专练】1．（2022·湖北·宜昌英杰学校高一开学考试）设p ：实数a ，b 满足1a >且1b >；q ：实数a ，b 满足21a b ab +>⎧⎨>⎩；则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先考查p q ⇒是否成立，再考查q p ⇒是否成立,即可得结论.【详解】解：因为1a >且1b >，所以2a b +>，即p q ⇒成立；反之若a ，b 满足21a b ab +>⎧⎨>⎩，如13,2a b ==，但不满足1a >且1b >，即q p ⇒不成立，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A.2.（2022·福建福州·高二期末）“0m n >>”是22m n >的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项.【详解】若0m n >>，则22m n >，反过来，若22m n >，只能推出m n >，不一定0m n >>，例如()2221->，此时m n <，所以“0m n >>”是22m n >的充分不必要条件.故选：A3.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“1x >”是“11x<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为11x<，所以10x x -<，(1)0x x ∴-<，(1)0x x ∴->，0x ∴<或1x >，当1x >时，0x <或1x >一定成立，所以“1x >”是“11x<”的充分条件；当0x <或1x >时，1x >不一定成立，所以“1x >”是“11x<”的不必要条件.所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知q 是r 的必要不充分条件，s 是r 的充分且必要条件，那么s 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分，必要条件的关系，即可判断选项.【详解】由条件可知,r q q r ⇒⇒，s r ⇔，所以s q ⇒，q s ⇒，所以s 是q 的充分不必要条件.故选：C5.（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））设x ∈R ，则“20x +=”是“24x =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当20x +=时，2x =-，则24x =成立，而当24x =时，2x =-或2x =，所以“20x +=”是“24x =”的充分而不必要条件，故选：A6.（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知集合{}012M =,,，{}1,0,1,2N =-，则“a M ∈”是“a N ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为M N ⊆,所以“a M ∈”⇒“a N ∈”，但“a N ∈”推不出“a M ∈”，所以“a M ∈”是“a N ∈”的充分不必要条件.故选：A.题型二：充分、必要条件的选择【例1】（2022浙江高考模拟（多选））“122x -<<”的一个充分不必要条件可以是（）A ．1x >-B ．01x <<C ．1122x -<<D ．2x <【答案】BC【解析】设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=221x x M ,选项对应的集合为N ,因为选项是“221<<-x ”的一个充分不必要条件，所以N 是M 的真子集.故选：BC 【例2】（2022·全国·高一专题练习（多选题））下列条件中是“0a b +>”的充分条件的是（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．3,2a b ==-D ．0,0a b ><且a b>【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件的定义依次讨论各选项即可求解.【详解】对于A 选项，因为0,0a b >>，故0a b +>，所以A 选项正确；对于B 选项，因为0,0a b <<，故0a b +>不成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为3,2a b ==-，故10a b +=>，故C 选项正确；对于D 选项，因为0,0a b ><且a b >，故a b >-，即：0a b +>，故D 选项正确.所以A ，C ，D 中的条件均是“0a b +>”的充分条件，B 中的条件不是“0a b +>”的充分条件.故选：ACD 【题型专练】1.（2022·全国·高一单元测试）一元二次方程220x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件为（）A ．1m <B ．1m £C ．m 1≥D ．2m <【答案】D 【解析】【分析】方程220x x m ++=有实数解，则0∆≥，解得m 范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为方程220x x m ++=有实数解，所以440m ∆=-≥，解得1m £，所以方程220x x m ++=有实数解的一个必要不充分条件为2m <.故选：D.题型三：根据充分条件求参数取值范围【例1】（2022·河南信阳·高一期末）若“x a >”是“x b >”的充分不必要条件，则（）A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b≥【答案】B 【解析】【分析】转化“x a >”是“x b >”的充分不必要条件为{|}x x a > {|}x x b >，分析即得解【详解】由题意，“x a >”是“x b >”的充分不必要条件故{|}x x a > {|}x x b >故a b >故选：B【例2】（2022·山东·烟台二中高一阶段练习（多选题））若不等式1x a -<成立的充分条件是1x <，则实数的取值可以是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】CD 【解析】【分析】求出不等式成立的充要条件，然后根据充分条件求出参数范围，然后判断．【详解】1x a -<1x a ⇔<+，则11a +≥，0a ≥．故选：CD ．【例3】（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤；(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以的范围是131956a ≤≤．【题型专练】1.（2022·安徽宣城·高一期中）已知:42p x -<<-，:q x a £，若p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是______【答案】2a ≥-【解析】【分析】根据p 是q 的充分不必要条件，可得{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，从而可得出答案.【详解】解：因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}{}42x x x x a ≠-<<-⊂≤，所以2a ≥-.故答案为：2a ≥-.2.（2022·全国·高一单元测试）设p ：x ＞a ，q ：x ＞3.(1)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】(1)a ＜3(2)a ＞3【解析】【分析】设{}{}|,|3A x x a B x x =>=>，（1）若p 是q 的必要不充分条件，则B A ，进而可得a 的范围．（2）若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，进而可得a 的范围．(1)设{}{}|,|3A x x a B x x =>=>，∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴3a <(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴3a >．3.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥．(1)当3a =时，求A B ；(2)若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1){11A B xx =-≤≤ ∣或}45x ≤≤(2)01a <<【解析】【分析】（1）借助数轴即可确定集合A 与集合B 的交集（2）由于A R B ð，根据集合之间的包含关系即可求解(1)当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15x x =-≤≤∣,{|1B x x =≤或}4x ≥，{11A B x x ∴=-≤≤ ∣或}45x ≤≤(2) 若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，{}{}22(0),14R A x a x a a B x x =-≤≤+>=<<∣∣ð因为A R B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩解得01a <<.故的取值范围是:01a <<4.（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高一阶段练习）已知集合P ={x |a +1≤x ≤2a +1}，Q ={x |-2≤x ≤5}.(1)若a =3，求()U P Q ⋂ð；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)4{|}2x x -≤<(2)2a ≤【解析】【分析】（1）将a =3代入求出集合P ，Q ，再由补集及交集的意义即可计算得解.（2）由给定条件可得P Q ，再根据集合包含关系列式计算作答.(1)因a =3，则P ={x |4≤x ≤7}，则有{|4U P x x =<ð或7}x >，又Q ={x |-2≤x ≤5}，所以{|24)}(U P Q x x ⋂=-≤<ð.(2)“x ∈P ”是“x ∈Q ”充分不必要条件，于是得P Q ，当a +1>2a +1，即a <0时，P =∅，又Q ≠∅，即∅ Q ，满足P Q ，则a <0，当P ≠∅时，则有12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+<⎩或12112215a a a a +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+≤⎩，解得02a ≤<或02a ≤≤，即02a ≤≤，综上得：2a ≤，所以实数a 的取值范围是2a ≤.题型四：根据必要条件求参数取值范围【例1】（2022浙江高三模拟）已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是____________．【答案】03m <≤【解析】:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，且p 是q 的必要不充分条件，所以{|11}x m x m -≤≤+是{|210}x x -≤≤的真子集，所以121100m m m -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩或121100m m m ->-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得03m <≤，【例2】（2022·江西·丰城九中高一阶段练习）已知集合{|1A x x =≥或4}x ≤-，集合{|02}B x x =<≤(1)若{|21}C x a x a =<<+，且()C A B ⊆，求实数的取值范围．(2)已知集合1|,R 2D x m x m x ⎧⎫=≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，若x A B ∈ 是x D ∈的必要不充分条件，判断实数m 是否存在，若存在求m 的范围【答案】(1)12a ≥；(2)存在，312m ≤≤.【解析】【分析】（1）由集合交运算可得{|12}A B x x =≤≤ ，根据集合的包含关系并讨论C 是否为空集，列不等式组求参数范围；（2）由题意()D A B ≠⊂⋂，列不等式组求参数m 范围.(1)由题设{|12}A B x x =≤≤ ，又()C A B ⊆ ，当C ≠∅时，211212a a a a≥⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩，可得112a ≤<.当C =∅时，12a a +≤，可得1a ≥.综上，a 的范围12a ≥.(2)由题意()D A B ≠⊂⋂，而12m m +>，所以，结合（1）有1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩(等号不同时成立)，可得312m ≤≤.故存在实数m 且312m ≤≤.【题型专练】1.（2022·广东·梅州市梅州中学高一练习）已知集合{|1A x x =<-，或2}x >，{}|23B x a x a =≤≤+，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】4a <-或1a >【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A 与B 的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a 的范围．【详解】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a aa +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为4a <-或1a >．2.（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知集合{}|123A x a x a =-≤≤+，{}|14B x x =-≤≤，全集U =R ．(1)当1a =时，求()U C A B ⋂；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1){}()10U C A B x x ⋂=-≤<(2)4a <-或102a ≤≤【解析】【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件等价于A B ⊆.讨论A是否为空集，即可求出实数的取值范围.(1)当1a =时，集合{}|05A x x =≤≤，{|0U C A x x =<或}5x >，{}()|10U C A B x x ⋂=-≤<．(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，则A B ⊆，①当A =∅时，123,4a a a ->+<-∴；②A ≠∅，则4a ≥-且11,234a a -≥-+≤，102a ∴≤≤.综上所述，4a <-或102a ≤≤．3.（2022·河北沧州·高一开学考试）已知:{|2p A x x =<-或10},:{|1x q B x x m >=<-或1,0}x m m >+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】{}|9m m ≥.【解析】【分析】由题设p 、q 间的关系可得B A ≠⊂，根据集合A 、B 的描述列方程组求m 的参数即可.【详解】由p 是q 的必要不充分条件，所以B A ≠⊂，则012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+>⎩ 或012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+⎩，解得：9m .m ∴的取值范围是{}|9m m ≥.题型五：根据充要条件求参数取值范围【例1】（2022·全国·高一专题练习）方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（）A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a <【答案】C 【解析】【分析】按和0a ≠讨论方程2210ax x ++=有负实根的等价条件即可作答.【详解】当时，方程为210x +=有一个负实根12x =-，反之，12x =-时，则，于是得；当0a ≠时，44a ∆=-，若0a <，则0∆>，方程有两个不等实根12,x x ，1210x x a=<，即1x 与2x 一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积1a小于0，0a <，于是得0a <，若0a >，由0∆≥，即01a <≤知，方程有两个实根12,x x ，必有12122010x x ax x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，此时1x 与2x 都是负数，反之，方程2210ax x ++=两根12,x x 都为负，则12124402010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得01a <≤，于是得01a <≤，综上，当1a ≤时，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，反之，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，必有1a ≤.所以方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是1a ≤.故选：C【例2】（2022·广西钦州·高一期末）若“11x -<<”是“11x m -<-<”的充要条件，则实数m 的取值是_________．【答案】0【解析】【分析】根据充要条件的定义即可求解.【详解】1111x m m x m -<-<⇒-<<+，则{x |11x -<<}＝{x |11m x m -<<+}，即11011m m m -=-⎧⇒=⎨+=⎩.故答案为：0.【例3】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；④“整数，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故，b 属于同一“类”，故整数，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⋃⋃⋃⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆⋃⋃⋃，故[][][][]0123Z ⋃⋃⋃=，故③正确.故选：C .【题型专练】1.（2022·全国·高一课时练习）若“20x ax b ++=”是“1x =”的充要条件，则a b +的值为________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意可知21040a b a b ++=⎧⎨-=⎩，由此求出,a b 的值，即可求出结果.【详解】由题意可知，21040a b a b ++=⎧⎨-=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，所以1a b +=-.故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了充要条件的应用，属于基础题.2.（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．“220x x -=”是“2x =”的必要不充分条件B ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件C ．当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件D ．若P 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A ，由220x x -=得到x =0或x =2.所以由2x =可以得到220x x -=，反之，若x =0，满足220x x -=成立，但显然得不到2x =.所以A 正确；对B ，由2x >且3y >显然可以得到5x y +>，但若6,1x y ==，满足5x y +>，但不满足2x >且3y >.所以B 正确；对C ，0a ≠时，方程20ax bx c ++=有解240b ac ⇔-≥.所以由240b ac -<得不到方程20ax bx c ++=有解，反之方程20ax bx c ++=有解，也无法得到240b ac -<.所以C 错误.对D ，若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.所以D 正确.故选：ABD .3.（2022·江苏·高一单元测试）已知{}|14,{|11}.P x x S x m x m =≤≤=-≤≤+（1）是否存在m ∈R 使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m ∈R 使x P ∈是x S ∈的必要条件？若存在，求出m 范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，m 0 .【解析】【分析】（1）依题意P S =，即可得到方程组，由方程组无解即可判断；（2）依题意可得S P ⊆，再对S =∅与S ≠∅分两种情况讨论，即可求出参数m 的取值范围；【详解】解：{}|14P x x =≤≤，{|11}S x m x m =-≤≤+．（1）要使x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即1114m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件；（2）要使x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆，①当S =∅时，11m m ->+，解得0m <；②当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥，要使S P ⊆，则有1114m m -≥⎧⎨+≤⎩解得0m ≤，所以，综上可得，当实数0m ≤时，x P ∈是x S ∈的必要条件．4.（2022·全国·高一专题练习）已知命题{}:2131p A x a x a =-<<+，命题{}:14q B x x =-<<.（1）若p 是q 的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数a ，使得p 是q 的充要条件？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）集合{}2131A x a x a =-<<-，集合{}14B x x =-<<.因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，∴集合A 可以分为A =∅或A ≠∅两种情况来讨论：当A =∅时，满足题意，此时2131a a -≥-，解得：2a ≤-；当A ≠∅时，要使A B ⊆成立，需满足211314012131a a a a a -≥-⎧⎪+≤⇒≤≤⎨⎪-<+⎩，综上所得，实数的取值范围2a ≤-或01a ≤≤.（2）假设存在实数，使得p 是q 的充要条件，那么A B =，则必有211314a a -=-⎧⎨+=⎩，解得01a a =⎧⎨=⎩，综合得a 无解.故不存在实数a ，使得A B =，即不存在实数a ，使得A 是B 的充要条件.。
充分条件与必要条件_学生4
充分条件与必要条件【要点梳理】要点一：充分条件与必要条件、充要条件的概念 1. 符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒； “若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/. 2. 充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p 是q 的充要条件.总结：口诀“前推后，充分条件；后推前，必要条件；前后互推，充要条件” 要点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 1. 从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系.①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件； ③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件； ④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 2. 从集合与集合间的关系看 若p ：x ∈A ，则q ：x ∈B .①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件； ③若A =B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 总结：小范围 大范围 要点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）.要点诠释：对于命题“若p ，则q ” ：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. 指出下列各题中，p 分别是q 的什么条件？ (1) p ：(2)(3)0x x --=， q ： 2x =；(2) p ：0c =， q ： 抛物线2y ax bx c =++过原点； (3) p ：一个四边形是矩形， q ： 四边形的邻边相等. 举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：A B ∠=∠， q ：A ∠和B ∠是对顶角. （2）p ：1x =， q ：21x =； 【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件. （1）p ：0a >且0b >， q ：0ab >； （2）p ：1xy>， q ： x y >. 例2. 已知p ：0<x <3，q ：|x -1|<2，则p 是q 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 举一反三：【变式1】设x ∈R ，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）A.1x >B.1x <C.3x >D.3x < 【变式2】下列各小题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：22x -≤≤， q ： 20x -<<； （2）p ：03x <<， q ：13x -<<.【变式3】设条件甲为“250x x -<”，条件乙为“2560x x --<””那么甲是乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x y 、∈R ，求证：|x y +|=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.举一反三：【变式1】已知a b c ，，都是实数，证明ac < 0是关于x 的方程2ax bx c ++=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负的实根的充要条件.类型三：充要条件的应用例4. 已知条件p ：2x +ax ＋1≤ 0，条件q ：23x x －＋2≤ 0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．举一反三：【变式1】已知命题p ：()110c x +c c <<>－，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【变式2】已知p ：1|1|23x --≤，q ：22210(0)x x m m -+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【巩固练习】 一、选择题1．设a b 、∈R ，那么ab ＝0的充要条件是( ) A ．a ＝0且b ＝0 B ．a ＝0或b ≠ 0 C ．a ＝0或b ＝0 D ．a ≠ 0且b ＝02．命题p ：(1)(2)x y －－＝0；命题q ：22(1)(2)x y －＋－＝0，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．已知a b c d ，，，为实数，且c d >，则“a b >”是“a c b d >－－”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件．4．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题p ：不等式221ax +ax+>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题7．若x ∈R ，则函数()()20f x ax +bx+c a ≠＝的值恒为正的充要条件是_________________，恒为负的充要条件是_________________．8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”， “必要不充分条件”， “充要条件”， “既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________． 三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5. (3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形． 12．(1)写出x < 2的一个充分不必要条件； (2) 写出x > 1的一个必要不充分条件； (3) 写出x1>2的一个充要条件.13．已知p ：2820x x -->0，，q ：2221x x a -+->0， 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.【课后作业】 一、选择题1．命题(1)(2)0p x y =：－－；命题22(1)(2)0q x y =：－＋－，则命题p 是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．非充分非必要条件2．“0b=c=”是二次函数“2y=ax +bx+c ”的图象经过原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题p ：不等式221ax +ax +>0的解集为R ，命题q ：0<a <1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合{}|M=x x a >，{|1}P=x x a < ，那么“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题中的真命题是( )A ．“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件B ．“AB ≠ ”是“A →B ”的充要条件C ．“24b ac －< 0”是一元二次不等式“2ax +bx+c > 0的解集为R ”的充要条件D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 二、填空题7．关于x 的方程22(1)2m x m+x+－＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 8．已知数列{}n a ，那么“对任意的n ∈N ＋，点()n n P n a ，，都在直线2y=x ＋1上”是“{}n a 为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1) “m ≠3”是“m ≠3”的________；(2) “四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________； (3) “a >b ，c d >”是“a c b d > ”的________．10. 函数()()20f x =ax bx c a ≠＋＋的图象关于y 轴对称的充要条件是________． 三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：x ＝1； q ：x －1(2) p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5. (3) p ：三角形是等边三角形； q ：三角形是等腰三角形．12．已知p ： 2820x x -->0,，q ：2221x x a -+->0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.13．不等式221x mx －－>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．14．证明：方程2ax +bx+c ＝0有一根为1的充要条件是a+b+c ＝0.15. 求不等式22(32)(1)a a+x +a x －－＋2>0的解是一切实数的充要条件．全称量词与存在量词【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题 全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等． 全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”． 全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题 存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等．存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”． 特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断. （2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+．（2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三： 全称命题与特称命题的否定总结：全称命题的否定是特称命题.全称命题的否定: （两变）1. “全称量词”变“存在量词”2. 否定结论 全称命题P ： 特称命题:例1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p: 每个实数的平方都是正数；3) p:写出下列命题的否定：1)有的同学期末考试数学成绩不及格； 2）∃ x 0∈R, x 02＋1＜0.总结：特称命题的否定是全称命题特称命题的否定:（两变）1. “存在量词”变“全称量词”2. 否定结论 特称命题 : 全称命题P ：要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示： 正面词 是 等于 都是 大于 小于 至少一个 至多一个 小于等于 否定词不是不等于不都是不大于不小于一个也没有至少两个大于等于【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，(2)1024n =． 举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->； （4）有一个实数，不能作除数； （5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数．类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ． 举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假： （1）2,10x x ∀∈+>R ； （2）2,1x x ∀∈≥N ； （3）3,3x x ∃∈=Z ； （4）2,320x x x ∀∈-+=R ； （5）2,10x x ∃∈+=R .类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=． 举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得220x +=．【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数【巩固练习】一、选择题1．将“222x +y xy ß”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．任意x y ，∈R ，都有222x +y xy ßB ．存在x y ，∈R ，都有222x +y xy ßC ．任意x ＞0，y ＞0，都有222x +y xy ßD ．存在x ＜0，y ＜0，都有222x +y xy ß2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x Þ0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33. 下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a b ，∈R ，都有222220a +b a b+<－－B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x xD ．对数函数在定义域上是单调函数4．命题“存在x ∈Z ，使220x x m ++Þ”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使22x x m ++>0B ．不存在x ∈Z ，使 22x x m ++>0C ．对于任意的x ∈Z 都有22x x m ++Þ0D ．对于任意x ∈Z 都有22x x m ++>05．命题21log 0p x x ∀>>：，，则¬p 是( )A ．21log x x ∀>，Þ0 B ．21log x x ∀>，>0C ．21log x x ∃>，Þ0D ．21log x x ∃>，>0 6. 下列说法中，正确的是( )A ．命题“若22am bm ＜，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在x ∈R ，2x x －＞0 ”的否定是“任意x ∈R ，2x x －≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件二、填空题7．命题“有些末位是0的整数，可以被3整除”________特称命题．(填“是”或“不是”)；此命题的否定是__________________________．8．下列命题中真命题为________，假命题为________． ①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形9．命题“对任何x ∈R ， 2250x x ++>”的否定是____________．10. 已知命题p ：“任意[]21,20x x a ∈，－ß”，命题q ：“存在x ∈R ，02x +2ax+2a －＝”． 若命题p 和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题11．写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；(4) 有些质数是奇数．12．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1) 存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2) 所有圆都有内接四边形．13．写出下列命题的否定：(1) 若2x >4，则x >2；(2) 若m ß0，则2x +x m －＝0有实数根；(3) 可以被5整除的整数，末位是0；(4) 被8整除的数能被4整除；(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．14. 命题“存在x ∈R ，2239x ax+－＜0”为假命题，求实数a 的取值范围．。
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考点3 命题和充分必要条件
[玩前必备]
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件． 3.全称量词和存在量词
4.
5.
[玩转典例]
题型一 充分条件与必要条件的判定
例1（2019•天津）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例2（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
例3（2018•天津）设x R ∈，则“11
||22
x -<”是“31x <”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
例4（北京高考）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [玩转跟踪]
1.（2020届山东省济宁市高三3月月考）“0x y >>”是“()()ln 1ln 1x y +>+”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
2.（2020届山东省泰安市肥城市一模）若集合{}{}1234|05P Q x x x R ==<<∈，，，，，，则“x P ∈”是“x Q ∈”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也非不必要条件
3.(2015·湖南，2)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型二 含一个量词的命题的否定和真假命题
例5（2020•四川模拟）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则(
)
A ．:p x A ⌝∀∈，2x
B ∉ B ．:p x A ⌝∀∉，2x B ∉
C ．:p x A ⌝∃∉，2x B ∈
D ．:p x A ⌝∃∈，2x B ∉
例6已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x
＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 例7(1)(2020·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥n
B ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝m
C ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n
D ．∀n ∈R ，n 2<n
(2)下列命题中的假命题是( )
A ．∀x ∈R,2x －
1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2
[玩转跟踪]
1.（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-
D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-
2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知命题P ：有的三角形是等边三角形，则 A ．P ⌝：有的三角形不是等边三角形 B ．P ⌝ ：有的三角形是不等边三角形 C ．P ⌝：所有的三角形都是等边三角形 D ．P ⌝：所有的三角形都不是等边三角形
[玩转练习]
1．（2020天津模拟）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，
2120n n a a -+<”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 2．（2020安徽模拟）设p ：12x <<，q ：21x
>，则p 是q 成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（2020重庆模拟）“1x >”是“12
log (2)0x +<”的
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（2020天津模拟）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“2
20x x +-> ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．（2020浙江模拟）命题“*
*
N ,()N n f n ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是
A ．*
*
N ,()N n f n ∀∈∉且()f n n >
B ．**
N ,()N n f n ∀∈∉或()f n n >
C ．**
00N ,()N n f n ∃∈∉且00()f n n > D ．**
00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >
6．（2020福建模拟）命题“[)3
0,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是
A ．()30,.0x x x ∀∈+∞+<
B ．()3,0.0x x x ∀∈-∞+≥
C ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<
D ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+≥
7．（2020浙江模拟）已知是虚数单位，,则“”是“”的
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充分必要条件
D ． 既不充分也不必要条件
8．（2020•德阳模拟）若a ，b R ∈，则“220a b +≠ “是“a ，b 全不为零“的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．充分不必要条件
9.（2020•武汉模拟）已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“|1||1|a b +>+”的什么条件( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．（2020•九江一模）已知非零向量a ，b 满足||||a b =，则“|2||2|a b a b +=-”是“a b ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11.（2020·山东高三下学期开学）“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12.（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件
i R b a ∈,1==b a i bi a 2)(2
=+。